CAD/CAM/CAE elektronikus példatár

1

CAD-CAM-CAE Példatár

A példa megnevezése: Fergusson szplájn számítás

A példa száma: ÓE-A25

A példa szintje: alap – közepes – haladó

CAx rendszer: CAD

Kapcsolódó TÁMOP tananyag rész: CAD 02

A feladat rövid leírása: Félkör közelítése Fergusson szplájnnal

1. A feladat megfogalmazása

Közelítsünk Fergusson szplájn segítségével egy 1 sugarú félkört, mely az xy sík +y felén van.

2. A megoldás lépései:

Adva vannak a meghatározandó szplájn alappontjainak helyvektorai, rendre R1, R2, R3. R 1

00 R 0

10 R 1 00

A szplájn meghatározásához szükségünk van a D derivált mátrix elıállítására. Mivel mátrixal osztani nem lehet, ezért elıször az A inverz mátrixot kell meghatározni.

A D 3H D 3A H A 2 1 0

1 4 1

0 1 2 A inverz mártix előállítása A A E A ^{$%& '}_{()* '}

2

Aij elıjelhelyes aldeterminánsok

elıjelszabály +, , , ,

,+ ha A -

. . … .₀ . . … .₀ .10

.10

2 . 1₀₀3

akkor .45A -

6 6 … 6₀ 6 6 … 6₀ 610

610

2 6 1₀₀

3 Aij az aij-hez tartozó elıjelhelyes aldetermináns

adjungált A elıállítása A 4 2 1 1 7 A 81 2 09 2 A 1 1 0 1 A 81 2 09 2 A 2 2 0 4 A 82 1 09 2 A 1 1 0 1 A 82 1 09 2 A 2 4 1 1 7 inverz mátrix

A .45 A det A 1

12

7 2 1 2 4 2

1 2 7

Ezután képezni kell a helyvektorok különbségeit:

; ; 0 10 1

00 1 10

; ; 1 00 1

00 2 00

; ; 1 00 0

10 1 10

Ezzel már a D derivált mátrix meghatározható, ha a helyvektorok H mátrixát is felírjuk.

D 3A H H <; ;

; ;

; ;=

Helyettesítsünk be a D 3A H egyenletbe

3 3 1

12

7 2 1 2 4 2

1 2 7 <; ;

; ;

; ;= <>

>

> =

> 3 1

12 ?7@; ;A 2@; ;A , @; ;AB

> 3 1

12 ?2@; ;A , 4@; ;A 2@; ;AB

> 3 1

12 ?1@; ;A 2@; ;A , 7@; ;AB

> 1 4 C7

11

0 2 2

00 , 1

10 D 1 4 C

77 0 , 4

00 , 1

10 D 1 4

46

0 1 1,50

> 1 4 C2

11

0 , 4 2

00 2 1

10 D 1 4 C

22

0 , 8 00 , 2

20D 1 00

> 1 4 C

11

0 2 2

00 , 7 1

10 D 1 4 C

11 0 , 4

00 , 7

70 D 1 1,50

> 1

1,50 > 1

00 > 1 1,50 Ferguson szplájn általános alakja:

I8J9 6_K, J6, J6, J 6 0 L J L 1 Az i-edik szegmensre

I_M8J9 ;_M, J>, J?38;_MN ;_M9 2>_M>_MNB , J ?28;_MN ;_M9 , >_M, >_MNB

6_K ;_M 6 >

1. Szegmensre:

I8J9 ;, J>, J?3@; ;A 2> >B , J ?2@; ;A , > >B 10

0 , J 1

1,50 , JO3

30 , 2

30 1 00 P , J O 2

20 , 1

1,50 , 1 00 P 6 6

4 I8J9 1

00 , J 1

1,50 , J0

00 , 0 0,50 Próba:

I8J 09 1 00 I8J 19 1

00 , 1

1,50 , 0

0,50 0 10

Tehát az elsı szegmens n=0-nál adja az 1. pontot és n=1-nél adja meg a 2. pontot 2. Szegmensre:

I8J9 ;, J>, J?3@; ;A 2> > B , J ?2@; ;A , > > B 01

0 , J 1

00 , JO3 1

10 2 1

00 1 1,50 P , J O2 1

10 , 1

00 , 1 1,50 P

=0

10 , J 1

00 J 0

1,50 , J 0 0,50

Együttható vektorokat meghatároztuk Próba:

I809 0

10 I819 1 00

Ábrázoljuk a kört közelítı spline-t a két szegmens u=0 és u=1helyen adja a kör 1. – 2. – 3.

jelő pontját

Rajzoljuk meg a >_M érintı vektorokat is.

6_K 6 6 6

5

Félkört három ponttal nehéz megközelíteni, ha így vesszük fel az alappontokat, akkor jobb lesz a közelítés.