www.tankonyvtar.hu Hős Csaba TÁMOP 412-08-2-A-KMR-2009-0029
1
Áramlástani alapok (0. fejezet)
1. Mekkora erő igyekszik a vázolt homokforma tetejét felemelni, ha az olvadt fém sűrűsége:
ρ = 7,3.103 [kg/m3]
A nyomás változása nehézségi erőtér esetén a térerő irányában:
p = ρ.g.z + áll
Ahol az állandó értéke a z = 0 ekvipotenciális felülethez tartozó értékekből határozható meg, azaz:
p0 = ρ.g.0 + áll. → állandó = p0
A biztonság okáért célszerű a forma felezősíkjában fellépő nyomással számolni, azaz z = 1, tehát:
p1 = ρ.g.l + p0 Ebből:
p1 – p0 = ρ.g.l = 7300.9,81.0,3 = 21484 [N/m2] A keresett erő pedig:
F = (p1 – po) .A = 21484.0,198 = 4253,83 [N]
ahol
198 , 0 4 5 , 0 A
2
[m2]
2. Az ábrán vázolt szűkületen qv térfogatáram áramlik át. Határozza meg az átlagsebességeket.
D1 = 22 [mm], D2 = 10 [mm], qr= 0,2.10-3 [m3/s]
Felírva a kontinuitás egyenletét
qv = A1.
v1 = A2.
v2 = áll.
s 0,05 m
v1
8 , 3
2 , 0 10 10 8 , 3
10 2 , 0 A q
4 3
1 v
www.tankonyvtar.hu Hős Csaba TÁMOP 412-08-2-A-KMR-2009-0029
2
m s
2,55
v2
785 , 0
2 , 0 10 10 785 , 0
10 2 , 0 A q
4 3
2 v
ahol
2
4 4
2 2
1
1 2,2 10 3,8 10 m
4 D 4
A
2
4 4
2 2 2
2 1 10 0,785 10 m
4 D 4
A
3. A csővezetékben áramló vízmennyiséget Venturi-csővel és a hozzákapcsolt differenciál-nyomásmérő segítségével mérjük.
Meghatározandó a térfogatáram (qv) nagysága.
Adatok: D = 300 [mm], d = 150 [mm], l = 0,23 [m]
Sűrűségek: víz = 999,7 [kg/m3], higany: 13,6.103 [kg/m3]
A térfogatáram a kontinuitás ismert összefüggéséből:
qv = A2.
v2
A v2 áramlási sebesség pedig az áramvonal két pontjára felírt Bernoulli-egyenletből (az áramlás stacionárius):
0 p U 2 v
2
1 2
Az áramvonal két pontjában az összetartozó adatok:
pont pont
v1; p1; U1 = gH v2; p2; U2 = gH Behelyettesítés, majd rendezés után:
2
2 2 1
2 2
1 2 2 2
1
v v 1 v 2 v v 2 p p
A két sebesség aránya a kontinuitásból:
1 2
2 1 2
2 1 1
A A v v A
v A
v
www.tankonyvtar.hu Hős Csaba TÁMOP 412-08-2-A-KMR-2009-0029
3 Ennek felhasználásával a v2 sebesség:
2 1
2
1 2 2 1 2
A A 1
p p 2 v
Ebben az egyenletben ismeretlen még a Δp = p1 – p2 nyomáskülönbség is, amely a differenciál – nyomásmérő egyensúlyi egyenletéből határozható meg. Ez az egyenlet célszerűen a két folyadék érintkezési felületénél felvett ekvipotenciális felület (z=0) segítségével írható fel, s a következő:
p1 + ρv.g H = ρv.
g (H – l) + ρHg.g.l + p2 Ebből a nyomáskülönbség:
p1 – p2 = g.l (ρHg – ρv) = 9,81.0,23 (13,6.103 – 999,7) = 28430 [N/m2] A keresett sebesség pedig:
s 7,78 m
v2
2 1
4
3 5 , 1 1
28430 7
, 999
2
ahol
4 2 4
1 2
3 5 , 1 D
d A
A
A térfogatáram:
qv = A2.
v2 = 177,6.10-4.7,78 = 0,138 [m3/s]
4. Határozza meg, hogy csővégre szerelt diffúzor esetén, az áramlás milyen erőhatást fejt ki az összefogó csavarokra.
A súrlódási és a súlyerőt elhanyagolva az ellenőrző felületre felírt impulzus tétel a következő:
ρ.A2.v22 – ρ.A1.v12 = - [p2.A2 - p1.A1] + F ahol:
F – a palástfelületen a diffúzor által a folyadéknak átadott erő.
A felírt egyenletben még további két ismeretlen van, a v1 áramlási sebesség és a p1 nyomás.
Az előbbit a kontinuitásból, az utóbbit pedig a Bernoulli-egyenletből lehet meghatározni.
Felírva a kontinuitást, majd a v1-et kifejezve:
s 8 mv1
2
1 2 2 2
2 1 1
1 2 2 A A v v
A v A
www.tankonyvtar.hu Hős Csaba TÁMOP 412-08-2-A-KMR-2009-0029
4 ahol
2
1 2
1 2
D D A A
Az áramvonal két pontjára (1-2) felírt Bernoulli-egyenletből pedig az ismeretlen p1 nyomás értéke:
2 4
1
m 10 N
7 p
2 2 3 5
2 1 2 2 2 2
2 2 1 2 1
8 2 2 10 10
v v 2 p p
2 v p 2 v
Ezután az impulzus-tételből az ismeretlen F erő:
F = ρ (A2.
v22
– A1.
v12
) + p2.
A2 – p1A1 =
=103(31,4.10-3.22 – 7,8.10-3.82) + 105.31,4.10-3 – 7.104.7,8.10-3 =
= 125,6 – 499,2 + 3140 – 546 = 2220,4 [N]
A diffúzort terhelő erő ezzel ellentett értelmű, azaz:
Fd = - 2220,4 [N]
A csavarok terhelésének a meghatározásához figyelembe kell venni a külső nyomásból származó palástra ható erőt is.
Fk = Ak.
p0 = (A2 – A1) .p0 = (31,4.10-3 – 7,8.10-3) .105 = 2360 [N]
A csavarokat terhelő erő pedig:
Fcs = Fd + Fk = - 2220,4 + 2360 = 139,6 [N]
5. Határozza meg az alábbi elrendezésre a (p1 – p0) nyomáskülönbség értékét.
A hidraulikailag simának tekinthető csővezetékben áramló víz jellemzői:
sűrűsége: 999,7 [kg/m3]; qv = 3.10-3 [m3/s]
viszkozitása: 1,306.10-6 [m2/s]
Az áramvonal két pontjára (1-2) felírt veszteséges Bernoulli egyenlet:
p v 2 H g p 0 v 2
p1 2 0 2
.
Ebből a keresett nyomáskülönbség:
www.tankonyvtar.hu Hős Csaba TÁMOP 412-08-2-A-KMR-2009-0029
5
kPa
36,3 m
36296,073 N p
p
2 0
1
28 , 2 0203 , 0 10 5
5 , 29 53 , 1 2
7 , 999 2 , 2 81 , 9 7 , 999
d l v 2 H g p H g
2 2
2
ahol
v – az áramlás közepes sebessége =
s 53 m , 1 10 6 , 19
10 3 A q
4 3
v
.
H – a z =0 ekvipotenciális felülettől számított távolság = 2 + 0,1 + 0,1 = 2,2 [m]
Σζ – a veszteségtényezők összege: 2 + 0,14 + 0,14 = 2,28 Λ – csősúrlódási tényező: 0,0203
58846 316 , 0 R
316 , 0
4 1 4
1 e
mert
2320 58846
10 306 , 1
10 5 53 , 1 d v
R 6
2
e
.
6. Határozza meg a mérőperemen áthaladó térfogatáramot.
Adatok: d = 1,2 [mm] ρ = 880 [kg/m3] p1 = 6,3 [MPa] μ = 0,63
p2 = 3,8 [MPa]
Az általános átfolyási egyenlet:
min 3,24 dm
s 10 m
0,54 q
3 4 3
v
2 1 5 6
2 1
10 38 63 880
2 10 13 , 1 63 , 0 p 2 A
www.tankonyvtar.hu Hős Csaba TÁMOP 412-08-2-A-KMR-2009-0029
6
7. Határozza meg a 0.45. ábrán szereplő rakétához kapcsolt Laval-cső maximális – és legszűkebb keresztmetszetéhez tartozó átmérőket.
Adatok: F = 5.104 [N]; T1 = 1373 [K]; p1 = 20.105 [Pa]; p2 = 105 [Pa];
Cp = 1010 [J/kg K]; κ=1,4; 3
) bar ( 98 , 0
) C (
0 1,252 kg m
A szükséges tolóerőt a kiáramló gáz impulzusereje szolgáltatja. A jelölt ellenőrző felületre felírt impulzus tételből:
F = ρ2.
A2.u22
Ezen összefüggésből határozható meg a Laval-cső maximális keresztmetszete (A2), de ismeretlen az u2 és a ρ2 is. Az u2 kiáramlási sebesség felírható:
egyrészt az izentrópikus áramlásra levezetett összefüggés alapján:
1
1 2
1 2 1
2
p p 1 p 1 2 u
másrészt pedig az összenyomható közeg energia egyenlete alapján:
p 2 2 2 1 1
c 2
u
din
Ahol jelen esetben T1din = 0, mert a tartályban a gázáramlási sebessége u1 = 0.
Mindezt figyelembe véve írható:
1 2 1 p 2
1 p 2
2 2 c 2 c 1
u
Az izentrópikus állapotváltozás esetén a hőmérsékletviszonyra érvényes
1
1 2
1 2
p p
összefüggés felhasználásával a kiáramlási sebesség:
2 3 2
2 2
s 10 m
1584,4 u
4 , 1
1 4 , 1
1
1 2 1
p
20 1 1 1373 1010 2
p p 1 c 2
www.tankonyvtar.hu Hős Csaba TÁMOP 412-08-2-A-KMR-2009-0029
7
A gáz sűrűsége kiáramlásnál (ρ2) az általános gáztörvény – p R T
– alapján határozható meg:
3
5 5
2 2
2 m
601 kg , 0 7 , 580 10 98 , 0
273 252 , 1 10 1 T p
T p
ahol
K 7 , 580 20
1 1373 p
p 1,4
1 4 , 1 1
1 2 1
2
Ezek után az impulzus tételből kifejezve a szükséges keresztmetszetet:
2
4 4
2 2 2
2 0,0525 m
10 44 , 158 601 , 0
10 5 u
F
A
Az ehhez tartozó átmérő D2 = 0,259 [m] ~ 260 [mm].
A legszűkebb keresztmetszethez tartozó adat a kontinuitás összefüggéséből határozható meg:
*
* 2 2
* 2
u u A A
Azonban ismeretlen még a ρ* és az u* értéke is. A kritikus értékekre vonatkozó hányadosok alapján:
3
*
1
*
m 0,639 kg
0,639
ahol
3
5 5
1 1
1 m
08 kg , 5 1373 10 98 , 0
273 252 , 1 10 20 T p
T p
A legszűkebb keresztmetszetben, mint ismert: M=1, azaz a*=u*
de 1 *
*
1
*
s u 5 m , 676 741 913 , 0 a 913 , 0 a 913 , 0 a
a
ahol
m s
741 1373
20 T 20
a 2
1 2
1 1
1 .
Visszatérve a keresett keresztmetszet összefüggéséhez:
2
*
* 2 2
* 2
m 0181 , 0 5
, 676 25 , 3
73 , 1258 0525 , 0 601 , 0 u
u A
A
Ebből a szükséges átmérő: D* = 152 [mm].
www.tankonyvtar.hu Hős Csaba TÁMOP 412-08-2-A-KMR-2009-0029
8
8. Az alábbi csővezetékben egy örvényszivattyú gázolajat szállít. A vezetéket tz = 45 [ms] alatt elzárják, határozza meg a kialakuló nyomásnövekedést és ha szükséges válasszon a csillapításra hidroakkumulátort.
Adatok: qv = 21 [m3/h]; ρ = 860 [kg/m3]; υ = 8.10-6 [m2/s];
Ef = 1,62.109 [Pa]; Ecső= 7.108 [Pa].
A vezetékszakasz statikus nyomását annak ellenállása határozza meg:
d l v 2 p
p 2
. st
ahol
s 82 m , 2 10 74 , 2010 83 , 5 A q
v 4
3
v
2320 10
12 , 18 10
8 10 4 , 51 82 , 2 d v
R 3
6 3
e
2
4 3 1 4
1 e
10 724 , 2 ) 10 812 , 1 (
316 , 0 R
316 ,
0
Ezekkel a statikus nyomás:
6,51 bar
pst.
2,724 10 6,51 10 Pa
10 4 , 51
359 82
, 2 2 860
p 2 5
3 2
A gyors zárás következtében előálló nyomásnövekedés:
Δpz = ρ.a.v ahol
a – a hangsebesség =
2 1
ER
.
Az eredő térfogati rugalmassági modulusz pedig:
Pa
10 7,526
E 7
R
Pa 10 1
287 , 13 4 , 51
8 , 5 10 7
1 10
62 , 1
1
d s E
1 E
1 E
1 9
8 9
Cs ő f R
Ezzel a hangsebesség:
s 296 m
a
2
1 4 2
1 7
10 75 , 8 860
10 526 ,
7 .
www.tankonyvtar.hu Hős Csaba TÁMOP 412-08-2-A-KMR-2009-0029
9 A nyomásnövekedés pedig
Δpz = ρ.a.v = 860.296.2,82 = 7,18.105 [Pa].
Ezzel a rendszer maximális nyomása:
p(max) = pst + Δpz = 6,51 + 7,18 = 13,69 [bar].
A főidő:
s 45 ms !
2,43
tf őid ő
296 359 2 a
L
2 .
A rendszerben 10 [bar]-nál nagyobb nyomás nem engedhető meg, ezért szükség van a hidroakkumulátor beépítésére.
A szükséges össztérfogat:
4 , 1
1 4 , 1 4 5
, 1
1 4 , 1 4 5
, 1
1 5
2
n 1 n n 2
1 n n 3 1 1
2
1
10 6 10
10 10
5
1 4 , 1 82 , 2 640 2 1
p p p
1 n v m 2 1 V
2 3 3
1 1,44 10 m ~15 dm
V
97 , 45 999 , 51 7 , 11723
9 , 1017
ahol
m – a lezárt vezetékszakaszban levő folyadék tömege = ρ.V = ρ.A.L =
= 860.20,74.10-4.369 = 640 [kg]
v – az áramlási sebesség a zárás pillanatában = 2,82 [m/s]
p3 – a megengedhető maximális nyomás = 10 [bar]
p2 – a rendszer statikus nyomása = 6,5 [bar]
p1 – a gáz előtöltési nyomása a hidroakkumulátorban = 5 [bar]
n – az állapotváltozási kitevő = κ = 1,4.
