www.cs.bme.hu/~pappd 12. gyakorlat 2003.12.12.
1. A l´atott h´arom- ´es n´egyelem˝u csoportok m˝uveleti t´abl´aja seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg a csoport- beli elemek rendj´et! Ellen˝orizz¨uk, hogy az elem rendje oszt´oja a csoport rendj´enek. Hat´arozzuk meg D3 ¨osszes r´eszcsoportj´at!
2. Hat´arozzuk meg a Dn di´edercsoport elemeinek rendj´et!
3. Mutassuk meg, hogy minden csoportban igaz, hogy minden elem rendje megegyezik az inverze rendj´evel.
4. Adjunk meg olyan v´egtelen csoportot, amiben van 2 v´egtelen rend˝u elem, melyek szorzat´anak rendje v´eges! (gyakIV)
5. Legyen G csoport, melynek rendje 55. Tudjuk m´eg, hogy G-nek van legal´abb h´arom k¨ul¨onb¨oz˝o rend˝u eleme, amelyek egyike sem az egys´egelem. Bizony´ıtsuk be, hogy G kommutat´ıv! (vizsga) 6. Igaz vagy hamis?
a) Minden pr´ımrend˝u csoport ciklikus.
b) Az izomorfia erej´eig egyetlen prend˝u csoport van minden p pr´ımre.
c) Az izomorfia erej´eig egyetlen prend˝u csoport van minden p≥5-re.
d) A ciklikus csoport minden r´eszcsoportja is ciklikus.
e) A pr´ımrend˝u csoportok Abel-csoportok.
7. Igazoljuk, hogy n´egyzetsz´am semmilyen 4k+3 alak´u pr´ımmel osztva nem adhat (−1)-et ma- rad´ekul!
8. Hat´arozzuk meg az al´abbi permut´aci´ok rendj´et, inverz´et, ciklusfelbont´as´at, szorzat´at:
µ 1 2 3 4 5 6 3 5 2 6 1 4
¶ µ
1 2 3 4 5 6 5 3 2 1 4 6
¶ µ
1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 1
¶
9. Mutassuk meg, hogy Sn-ben az 1-es elemet helybenhagy´o permut´aci´ok r´eszcsoportot alkotnak!
10. Bizony´ıtsuk, hogy az al´abbi csoportok izomorfak!
a) val´os sz´amok az ¨osszed´assal – pozit´ıv val´os sz´amok a szorz´assal
b) A 11. gyakorlat 6. feladat´aban l´atott ,,f¨ules n´egyzet” szimmetriacsoportja – a D4 di´eder- csoport −π/2sz¨og˝u forgat´as ´altal gener´alt r´eszcsoportja.
c) (R+\1, a∗b:= alog(b)) – val´os sz´amok a szorz´assal
11. Alljon a´ Hr´eszhalmazGazon elemeib˝ol, amelyekGminden elem´evel felcser´elhet˝oek, azaz legyen H={h ∈G|hg=gh ∀g∈G}. Bizony´ıtsuk be, hogy ekkor H r´eszcsoportjaG-nek. (p´otZH)
