REPREZENTÁCIÓELMÉLETLOGIKAIEREDETŰRELATIVIZÁLTHALMAZALGEBRÁKRAALAPOZVAFERENCZIMIKLÓS MTADOKTORIÉRTEKEZÉSTÉZISEI

MTA DOKTORI ÉRTEKEZÉS TÉZISEI

REPREZENTÁCIÓELMÉLET

LOGIKAI EREDETŰ RELATIVIZÁLT HALMAZALGEBRÁKRA ALAPOZVA

FERENCZI MIKLÓS

Budapest, 2012

1. A kitűzött kutatási célokról

Az algebrai logika olyan reprezentációelméletét vizsgáljuk, ahol a reprezen- táns struktúrák relativizált halmazalgebrák (a klasszikus, négyzetes halmaz- algebrák helyett). Az új reprezentációelmélet számos tekintetben erősebb, mint a hagyományos, mint azt be fogjuk mutatni. A logikai gyökerekre gon- dolva, a relativizált halmazalgebráknak a Henkin féle logikai szemantika, a reprezentáció tételeknek pedig az ezen szemantikára vonatkozó teljességi té- telek felelnek meg. Azonban jelen eredmények, Henkin klasszikus eredmé- nyeinek nagyfokú kiterjesztései. Az Értekezésben cilindrikus- és poliadikus típusú algebrákkal foglalkozunk – mint algebraizációkkal.

Areprezentáció probléma az algebra, algebrai logika egyik centrális prob- lémája. Az állítás logika reprezentációi, a Boole algebrák esetén az idevágó Stone tétel ad a problémára pozitív választ: a Boole algebrák reprezentálha- tók (Boole) halmazalgebrákkal. Az elsőrendű logika algebraizációi, például a cilindrikus algebrák, az egyenlőséges poliadikus algebrák vagy a kvázi- poliadikus algebrák esetén nincs a problémának ilyen egyszerű megoldása.

Sokat kutatták ezt a kérdést. Például cilindrikus algebrák esetén, Donald Monk egy eredményének következményeként, cilindrikus algebrák általában nem reprezentálhatók az úgynevezett „általánosított cilindrikus halmazalgeb- rákkal” (Gsα), mely utóbbiak a Boole halmazalgebrák általánosításának te- kinthetők. Léteznek ugyan a cilindikus algebráknak fontos, reprezentálható részosztályai, pl. a lokálisan véges, vagy a dimenzió korlátozott algebrák, de ezen részosztályok nem axiomatizálhatóak elsőrendben, egyenletek véges axióma sémájával. Hasonló eredmények igazak az elsőrendű logika más al- gebraizációira is, pl. egyenlőséges poliadikus algebrákra.

Leon Henkin kezdeményezte a reprezentálhatóság jellemzését (univerzá- lis) algebrai eszközökkel, ez vezetett az úgynevezett „neat beágyazás” fogal- mához. A neat beágyazási tételek központi fontosságúak az algebrai logiká- ban.

A Értekezésben egyenlőséges algebrákkal foglalkozunk. Az egyenlőség mentes algebrák viselkedése, a reprezentálhatóság szempontjából, igen speci- ális, például egyenlőség mentes poliadikus algebrák mindig reprezentálhatók ([Ha56]). A poliadikus algebrák típusánál azt is feltételezzük, hogy a szereplő poliadikus algebrák csak közönséges („single”, azaz c_i) cilindrifikációkat tar- talmaznak, erre az előforduló cilindrifikációk nem-kommutativitása miatt van

szükség. Ezen megállapodások mellett, poliadikus típuson az Értekezésben összefoglalóan, a transzpozíció-, a kvázi-poliadikus-, az m-kvázi-poliadikus- és a klasszikus poliadikus algebrák típusait értjük.

Áttörést a cilindrikus algebrák reprezentációelméletében csak Leon Hen- kin PhD tanítványának Dana Resek-nek az eredménye hozott, amelyet csak doktori értekezésében publikált ([Res]). Resek egyrészt módosította a cilind- rikus algebra fogalmát, hozzávéve az axiómákhoz egy végtelen axióma sémát (merry-go-round axiómák), másrészt, nem a hagyományos(„négyzetes”) rep- rezentáció osztályt használta reprezentáns osztálynak, hanem a relativizált cilindrikus halmazalgebrák osztályát (Crsα). Ilyen feltételek mellett bizonyí- totta, hogy ezen módosított cilindrikus algebrák reprezentálhatók Crs_α-beli algebrákkal.

Itt jegyezzük meg, hogy a relativizált cilindrikus halmazalgebrák vizsgá- latát Leon Henkin kezdeményezte. Késöbb, Németi István kezdte el szisz- tematikus kutatásukat, az Andréka Hajnallal közös idevágó eredményeket a [HMTAN] könyvben publikálták. Németi vezette be a „locally square” osz- tályt (G_α), és ő hívta fel először a figyelmet a cilindrifikációk kommutativitá- sának a kitüntetett szerepére ([Nem86]. Igen fontos aCrsosztályalkalmazása, a Crs számos nem-klasszikus logika szemantikája algebraizációjának tekint- hető (ezek közül a legfontosabb logika az úgynevezett „guarded segment”, amely egy elsőrendű modális logika eldönthető része, ezért jól alkalmazható a számítástudományban, [An-Ne-Be], [Ben12], [Ben05]).

Resek tételének ismertté válása körülbelül egybeesett a nagy cilindrikus algebra monográfia befejező kötetének, a Henkin-Monk-Tarski, Cylindric Al- gebras, II.-nek megjelenésével. A tétel már csak érintőlegesen kerülhetett be a monográfiába (a Remark 3.2.88-ba). Andréka Hajnal és Richard Thomp- son továbbfejlesztették Resek tételét (Resek-Thompson-Andréka tétel): a végtelen merry-go-round axioma sémát egyetlen sémára redukálták és úgy gyengítették a (C₄) cilindrikus axiómát, hogy a reprezentáns osztály a rela- tivizált halmazalgebrák egy jól definálható részosztálya legyen (Dα). És nem utolsó sorban, publikáltak az így nyert tételre egy viszonylag rövid bizonyítást (lásd [An-Th]). Maddux szintén javította Resek tételét ([Mad89]). Továbbá, vizsgálta a relativizált halmazalgebrákkal történő reprezentáció problémáját reláció algebrákra. Születtek relativizált halmazalgebra osztályok axiómati- zálhatóságára egzisztencia- ([Sai], [An-Go-Ne]) és eldönhetőségi eredmények ([Nem81], [Nem86]). Andréka pedig konkrét axiomatizációt adott a véges dimenziós, cilindrikus, Gα osztályra ([And]).

A témakör aktív kutatását jelen szerző tovább folytatta. Ezen kutatás

irányai az alábbi 1−4 pontokban foglalhatók össze, egyúttal ezek aÉrtekezés fő kutatási feladatai. A relativizált halmazalgebrákkal történő reprezentációt röviden, r-reprezentációnak nevezzük.

1. A Resek-Thompson-Andréka tétel javítása és elemzése.

2. Az r-reprezentálhatóság vizsgálatapoliadikus típusú algebrákra, azaz transzpozíció-, kvázi-poliadikus-, m-kvázi-poliadikus- és cilindrikus poliadi- kus típusú algebrákra. Vizsgáljuk, hogy hogyan módosulnak ezen reprezen- táció tételeknél az axiómák, továbbá, elemezzük az itt szerepet játszó re- lativizált halmazalgebrákat. Megjegyezzük, hogy a reprezentáció tételek, a reprezentáns osztályok felől nézve, nyilván, axiomatizálhatósági eredmények.

3. Vizsgáljuk azr-reprezentálhatóság fogalmának jellemzésétneat beágya- zással, cilindrikus típusú algebrák esetén. A beágyazási algebrák itt szintén cilindrikus típusú algebrák lesznek, ezen struktúrákat is vizsgálni kívánjuk.

Kutatjuk neat beágyazási tétel létezését poliadikus típusú algebrákra és ki- mondunk egy ilyen tételt m-kvázi, lokálisan-m, cilindrikus poliadikus algeb- rára.

4. Vizsgálni kívánjuk a neat beágyazási tételek alkalmazásait − e té- teleket elsősorban reprezentáció tételek bizonyítására használjuk. Szintén kutatni kívánjuk, hogy a reprezentáció- és neat beágyazási tételeknek milyen alkalmazásai találhatók a Matematikai Logikában.

2. Az alkalmazott módszerekről

Használjuk a reprezentálhatóság igazolására a [Nem86]-ban bevezetett úgy- nevezett step-by-step technikát. Ez egyfajta iterációs (limesz) konstrukció, amelyet Andréka is alkalmaz a Resek-Thompson-Andréka tétel igazolása- kor ([An-Th]). A módszer egy újabb, általánosabb változata a „proofs by games”([Hi-Ho02]). A step-by-step módszert használjuk transzpozíció algeb- rák r-reprezentálhatóságának igazolására (lásd a 2.8 Tétel igazolását).

A másik módszer reprezentálhatóság bizonyítására a neat beágyazási té- telek alkalmazása. Ezzel a módszerrel bizonyította Tarski pl. a lokálisan véges cilindrikus algebrák klasszikus reprezentáció tételét ([He-Mo-Ta II.]).

Neat beágyazási tételt használunk például a cilindrikus poliadikus algeb- rák r-reprezentáció tételének igazolásakor (ez utóbbi esetben a step-by-step módszer nem alkalmazható, a végtelen sτ helyettesítések miatt). Maguknak a neat beágyazási tételeknek az igazolásásra pedig használjuk a szintén Tar- ski által az algebrai logikában bevezetett ultrafilter konstrukciós technikát ([He-Mo-Ta II.]), illetve annak továbbfejlesztését. E módszer gyökere a lo- gikában a „modell konstrukció változókból” ([Be-Ma]). Ezt az ultrafilteres technikát használjuk például a cilindrikus r-reprezentálhatóság jellemzésére vonatkozó „neat beágyazási tétel” bizonyításakor is.

Használjuk továbbá az Értekezésben az algebráról logikára fordítás tech- nikáját is, például akkor, amikor kihasználjuk azt, hogy a végtelen dimenziós cilindrikus algebráknak, a végtelen argumentumú relációkat tartalmazó nyel- vekre épülő bizonyos konkrét kalkulusok felelnek meg ([He-Mo-Ta II.]).

Az Értekezés (számozott) tételei saját eredmények. Itt a Tézisekben, követjük az Értekezés számozását. Ha formális eltérés van az Értekezés szó- ban forgó tétele, definíciója és az itt idézett változat között, akkor azt ’ -vel jelöljük.

3. Az eredményekről

3.1. Reprezentáció tételek

Elöször a cilindrikus esetet tekintjük.

1.1 Definíció(Crsα) EgyAalgebra egyαdimenziós (α ≥2)relativizált cilindrikus halmazalgebra V egységgel, ha A

hA, ∪, ∩, ∼_V, 0, V, C_i^V, D^V_ij i_i,j<α

alakú, ahol V, α hosszú sorozatok egy olyan halmaza, amelyre V ⊆ ^αU valamely U halmazra,A aV részhalmazainak egy olyan nem-üres halmaza, amelyik zárt a ∪, ∩, ∼V Boole műveletekre, zárt a

C_i^VX ={y ∈V : y_uⁱ ∈X valamely u-ra}

cilindrifikációkra, ahol i < α,X ∈A, A tartalmazza ∅és V -t, valamint a D^V_ij ={y∈V : y_i =y_j}

diagonál elemeket ([He-Mo-Ta II.]).

y_uⁱ-ty-ból úgy kapjuk, hogyy i-dik tagjátu-ra cseréljük. Hay a rendszá- mok sorozata, akkor a szokásos[i /u]jelölést használjuk, ezt a helyettesítést elemi helyettesítésnek hívjuk.

Crs_α nem részosztálya CA_α-nak, mivel a (C₄) és (C₆) axiómák nem fel- tétlenül teljesülnek Crs_α-ban. Tehát a Crs_α csupán egy cilindrikus típusú osztály.

1.2 Definíció (D_α)Ha A∈ Crs_α és ^VC_iD_ij =V mindeni, j ∈α-ra,ahol V az algebra egysége, akkor A∈ D_α ([An-Th]).

1.5 Definíció (CAα) Ha az hA, +, ·, −, 0, 1i Boole algebrát unáris c_i (i < α) műveletek, valamint konstansok egy d_ij (i, j < α) halmazával bővítjük, és teljesülnek az alábbi axiómák minden i, j, k < α-ra, akkor egy α dimenziós cilindrikus algebrát kapunk (α≥2) ([He-Mo-Ta I.]),

(C₁) c_i0 = 0 (C2) x≤cix

(C₃) c_i(x ·c_iy) =c_ix ·c_iy (C₄) c_ic_jx=c_jc_ix

(C5) dii= 1

(C₆) c_j(d_ji·d_jk) = d_ik j 6∈ {i, k}

(C₇) d_ij ·c_i(d_ij ·x) = d_ijx i6=j.

Ismert, hogy a (C6) axioma ekvivalens a következő négy tulajdonság együt- tesével:

a. dij =dji b. dij ·djk ≤dik

c. c_kd_ij =d_ij k /∈ {i, j} d. c_id_ij = 1. (1) Cilindrikus algebrában az sⁱ_j helyettesítés operátor azx helyen úgy definiált, mint a c_i(d_ij ·x)érték, ha i6=j, ésx, ha i=j.

1.8 Definíció A következő tulajdonságok amerry-go-round tulajdonságok:

s^k_isⁱ_js^j_kckx=s^k_js^j_isⁱ_kckx s^k_isⁱ_js^j_ms^m_k c_kx=s^k_js^j_ms^m_i sⁱ_kc_kx

aholi,j,k ésnkülönböző rendszámok ([He-Mo-Ta II.]). A két tulajdonságot együtt MGR-el jelöljük.

JelöljeIK a K algebra osztály tagjai izomorf képeinek összességét.

1.6 Definíció Egy cilindrikus típusúAalgebrar-reprezentálható,haA∈ ICrsα.

1.9 Definíció(CNA⁻_α) ACNA⁻_α (α ≥4) axiómákat úgy nyerjük a cilind- rikus axiómákból, hogy a (C₄) axiómát a (gyengébb)

−(C₄): sⁱ_ks^j_mx=s^j_msⁱ_kx (2) i, k /∈ {j, m}, tulajdonsággal helyettesítjük.

1.10 Definíció (CNA⁺_α) Ha a CNA⁻_α (α ≥ 4) axiómákhoz hozzávesszük az MGR tulajdonságot, akkor megkapjuk a CNA⁺_α axiómákat ([Fe07a]).

1.11 Definíció (NA⁺_α) NA⁺_α (α≥4) axiómáit úgy nyerjük a CNA⁺_α axió- mákból, hogy a ⁻(C₄) axiómát a

(C₄)^∗: d_ik·c_ic_jx≤c_jc_ix (3) tulajdonsággal helyettesítjük ([An-Th]).

A Resek-Thompson-Andréka tétel (röviden RTA tétel) állítása a követ- kező:

A ∈NA⁺_α akkor és csak akkor, ha A ∈ ID_α α ≥4 ([An-Th]).

Az RTA tétel átfogalmazása aximatizálhatósági állításra így hangzik: a D_α osztály axiomatizálható elsörendben, egyenletek egy véges axióma sémájá- val és ez utóbbiak választhatók az NA⁺_α axiómáknak.

Az alábbi lemma, a (2)-beli ⁻(C₄) néhány ekvivalensére vonatkozik. Je- lölje Σ a (C₄)-től megfosztott cilindrikus axiómákat.

1.14 Lemma A következő (i)–(iv) tulajdonságok ekvivalensek, Σfennál- lása esetén (α≥4) :

(i) sⁱ_ks^j_mx= s^j_msⁱ_kx (⁻( C₄) tulajdonság) (ii) c_is^j_mx≤s^j_m c_ix

(iii) d_ik·d_jm· c_i c_jx= d_jm·d_ik· c_jc_ix (iv)d_ik· c_ic_jx≤ c_jc_ix (( C₄)^∗tulajdonság)

ahol i, j, k és mkülönbözőek , kivéve esetleg a k =m esetet ([Fe07a]).

A következő tétel egy változata az RTA tételnek és következménye az előző lemmának:

1.15 Tétel

A∈CNA⁺_αakkor és csak akkor, ha A∈ ID_α.

α ≥4 ([Fe07a]).

Ismert, hogy cilindrikus algebrákban a _ks(i, j) = s^k_isⁱ_js^j_k operátor (i, j, k különbözők) egyfajta transzpozíció operátor szerepét játssza ( [He-Mo-Ta I.]).

Andréka és Thompson megmutatták [An-Th]-ban, hogy az MGR tulaj- donság a transzpozíció operátor egy ismert, fontos tulajdonsága. Nem min- den cilindrikus algebrában definiálható p_ij absztrakt transzpozíció operátor ([Fe07b]). Viszont, ha egy algebrában definiálható, akkor az algebra cilind- rikus reduktuma reprezentálható relativizált halmazalgebrával (az RTA tétel következményeként). A probléma az, hogy maga az algebra is reprezentálható- e relativizált halmazalgebrával? Erre a kérdésre térünk most rá. Elöször definiáljuk a transzpozíció algebrákat.

∗ ∗ ∗

A következő, transzpozíció algebrákra vonatkozó definíciókra és tételekre nézve lásd a [Fe12a] dolgozatot.

2.1 Definíció (Trs_α) Az A algebra egy α dimenziós (α ≥ 2) relativizált transzpozíció halmazalgebra V egységgel, ha A

hA, ∪, ∩, ∼_V, 0, V, C_i^V, [i, j]^V, D^V_ij i_i,j<α

alakú, ahol a cilindrikus reduktum egy Crsα algebra és A zárt a [i, j]^V mű- veletekre, ahol

[i, j]^VX ={y∈V :y◦[i, j]∈X}

ahol X ∈A és [i, j] jelöli az α-n értelmezett elemi transzpozíciót (azazi és j cseréjét).

Ha félreértés nem lehetséges, akkor[i, j]^V-ből elhagyjuk a V-t.

AdottU halmazra és p∈ ^αU sorozatra a

αU^(p) =

{x∈ ^αU : xésplegfeljebb véges sok helyen különbözik}

halmazt az U halmazhoz ésp ponthoz tartozó gyenge térnek nevezzük.

2.2 Definíció (Gwtα) Egy Trsα-beli A algebra egy általánosított gyenge relativizált transzpozíció halmaz algebra (A∈Gwt_α),ha léteznek olyanU_k, k ∈ K halmazok és olyanp_k ∈^αU_k sorozatok, hogy a halmazalgebraV egységére, V = S

k∈K

αU_k^(pk).

Az ^αU_k^(pk) „gyenge terek” fogalmára nézve lásd az alábbiakban a 3.13 Definíció utáni megjegyzést.

AGwt_αosztállyal, a klasszikusGws_αcilindrikus algebra osztályt társíthat- juk ([He-Mo-Ta II.]). A típusukon kívül, a legfontosabb különbség közöttük az, hogy az ^αU_k^(pk)-k diszjunktsága Gwtα-ban nem feltétel, szemben a Gwsα

algebrákkal.

2.3 Definíció(TAα)Aegyαdimenzióstranszpozíció algebra (α≥3), ha A

hA, +, ·, −, 0, 1, c_i, sⁱ_j, p_ij, d_iji_i,j<α,

alakú, ahol + és · bináris műveletek, −, c_i, sⁱ_j, p_ij unáris műveletek, a d_ij-k konstansok és az alábbi (F0−F11) axiómák teljesülnek mindeni, j, k < α-ra:

(F0) hA,+,·,−,0,1iBoole algebra,sⁱ_i =p_ii=dii=Id Aés pij =p_ji (F1) x≤ c_ix

(F2) c_i(x+y) = c_ix+ c_iy (F3) sⁱ_jc_ix= c_ix

(F4) cisⁱ_jx=sⁱ_jx i6=j

(F5)^∗ sⁱ_js^k_mx=s^k_msⁱ_jx, if i, j /∈ {k, m}

(F6) sⁱ_j ésp_ij Boole endomorfizmusok (azaz, sⁱ_j(−x) = −sⁱ_jx,stb.) (F7) p_ijp_ijx=x

(F8) p_ijp_ikx=p_jkp_ijx,aholi, j, k különbözőek (F9) pijsⁱ_jx=s^j_ix

(F10) sⁱ_jd_ij = 1 (F11) x· d_ij ≤sⁱ_jx.

Az (F5)^∗ axióma ugyanaz, mint a cilindrikus ⁻(C4). Ha az (F5)^∗ helyett az (F5): c_is^k_mx=s^k_mc_ix, i /∈ {k, m}axiómát tételezzük fel, akkor a [Sa-Th]- ben bevezetett úgynevezett véges egyenlőséges poliadikus algebrák (FPEA_α) definícióját kapjuk, más elnevezéssel, azerős transzpozíció algebrákét (TASα).

Sain és Thompson [Sa-Th]-ban bebizonyították, hogy az erős transzpozíció algebrák és a kvázi-poliadikus algebrák egymáshoz nagyon közelálló struk- túrák, nevezetesen, a kvázi-poliadikus algebrák és az FPEAα -beli algebrák definícósan ekvivalensek.

2.6 DefinícióEgyTA_αtípusúAalgebrar-reprezentálható,haA∈ITrs_α. A következő lemma motivációt szolgáltat a rákövetkező reprezentáció té- telhez:

2.7 Lemma Igazak a következő (i) és (ii) állítások:

(i)HaA∈Trsα,akkor A∈Gwtα pontosan akkor, ha x∈V-ból következik x◦[i, j]∈V és x◦[i / j]∈V, minden i, j < α-ra.

(ii) Ha B∈ TAα és B r-reprezentálható, akkor B ∈ IGwtα.

Az alábbi főtétel (reprezentáció tétel) igaz aTA_α osztályra:

2.8 Tétel

A∈TA_α akkor és csak akkor, ha A∈IGwt_α

ahol α ≥3([Fe12a]).

A tétel átfogalmazása axiomatizálhatósági tétellé: a Gwtα osztály axi- omatizálható elsőrendben, egyenletek egy véges sémájával és az axiómáknak választhatóak a TAα axiómák.

Figyelemre méltó, hogy a Gwt_α reprezentáns osztály szerkezete igen egy- szerű, geometriailag pedig szemléletes. A tétel igazolása a step-by-step mód- szer alkalmazásával történik. A 2.8 Tételhez hasonló reprezentáció tétel kvázi-poliadikus algebrákra is igazolható (az értekezésben a 3.9 Tétel ).

Jelölje Mod (Σ)aΣformulahalmaz modelljeinek összességét. Igaz aTASα

definíciójának és a 2.8 Tételnek az alábbi következménye:

2.9 Következmény A∈TASα akkor és csak akkor, ha A∈I(Gwt_α∩Mod(F5))

(α≥ 3).

Tehát, már aTAS_α osztály is reprezentálható relativizált halmazalgebrák- kal. Azonban, ha „szép” reprezentációt kívánunk kapni, akkor szükséges az (F5) axiómát kicserélni az (F5)* axiómával. Hasonló ez ahhoz, ahogyan az MGR-el kiegészített CA_α reprezentálható Crs_α ∩ CA_α-beli halmazalgebrával ([He-Mo-Ta II.] 3.2.88), de ha azt szeretnénk, hogy D_α-beli legyen a repre- zentáns, akkor szükséges feltennünk (C₄) helyett például a ⁻(C₄) axiómát.

∗ ∗ ∗

Rátérünk azegyenlőséges poliadikus típusú algebrák reprezentálhatóságá- nak tárgyalására. Itt a poliadikus algebrák típusának fogalmát a szűkebb értelemben használjuk, azaz poliadikus algebrán a klasszikus (Halmos féle) egyenlőséges poliadikus algebrát most értjük azzal a megszorítással, hogy az algebra csak „single” cilindrifikációkat tartalmazhat.

Az alábbi definíciókat, fogalmakat, lásd például a [Fe12b] dolgozat 3.

pontjában.

3.11 Definíció(Cprs_α) AzAalgebra egyαdimenziós(α ≥2)cilindrikus poliadikus relativizált halmazalgebra V egységgel, ha A

hA, ∪, ∩, ∼_V, ∅, V, C_i^V, S_τ^V, D_ij^Vi_τ∈^α_{α, i,j∈α} (4)

alakú, ahol a cilindrikus reduktum egy Crs_α algebra és A zárt a S_τ^VX ={y∈ V :y◦τ ∈X, τ ∈ ^αα}

műveletekre, ahol X ∈A.

Egyxelem∆xdimenzió halmazán az (i:c_ix6=x, i < α)halmazt értjük.

3.12 Definíció (Gpα és Gp^reg) Egy Cprs_α-beli A algebra egy általáno- sított, cilindrikus poliadikus, relativizált halmazalgebra(A∈Gp_α), ha léteznek olyan Uk, k ∈ K halmazok, hogy V = S

k∈KαU_k, ahol V az egység. Egy A

∈ Gpα algebrareguláris (A∈Gp^reg_α ) ha minden X∈A,x∈X ésy∈V-re, a (∆X∪1) x⊆yfeltételből következik y∈X – ahol ∆X, X-nek adimenzió halmazát jelöliX.

A Gpα osztály cilindrikus változata a „locally square” algebrák osztálya:

G_α (ez utóbbi osztályt Németi vezette be [Nem86]-ban). Mindkét osztály- hoz a klasszikus cilindikus halmazalgebra osztály, a Gsα társítható, mely osztály főleg abban tér el az előbbiektől, hogy az U_k-k páronkénti diszjunkt- sága Gs_α-ban követelmény. A regularitás fogalmára nézve lásd többek között [He-Mo-Ta II.]-t.

Tegyük fel, hogy m < α és m végtelen. Adott U halmazra és rögzített p∈ ^αU véges sorozatra a

α

mU^(p)={x∈ ^αU : xés p legfeljebb m helyen térhetnek el}

sorozat halmazt m-gyenge térnek nevezzük.

Ez a definíció nyilván közel áll az ^αU^(p) gyenge tér fogalomhoz ([He-Mo-Ta II.]).

3.13 Definíció Egy α-n definiált transzformáció m-transzformáció (m végtelen, m ≤ α), ha τ i = i kivéve m-sok i ∈ α-t. Az m-transzformációk összeségét mTα jelöli.

3.14 Definíció (_mCprs_α) Ha aCprs_α 3.11 Definíciójában az ^αα-t_mT_α-val cseréljük ki (m végtelen, m < α), akkor az _mCprs_α osztály fogalmát kapjuk.

αCprs_α nyilván maga aCprs_α osztály.

3.15 Definíció(_mGwp_αés_mGwp^reg)Egy_mCprs_α-beliAalgebra egyálta- lánosított m-kvázi (m<α), cilindrikus poliadikus, relativizált halmazalgebra, ahol m végtelen, m < α (A∈ _mGwpα), ha léteznek olyan U_k, k ∈K halma- zok és létezik olyan p_k∈ ^αU_k sorozat, hogy V =S

k∈K α

mU_k^(pk). _mGwp^reg-t az

mGwp -ből hasonlóan kapjuk, mint _mGp-ből _mGp^reg -t.

Most bevezetünk egy poliadikus típusú absztrakt algebra fogalmat, az egyenlőséges cilindrikus poliadikus algebra fogalmát (CPEα).

3.17 Definíció’ (CPEα) Aegy α dimenziós, egyenlőséges cilindrikus po- liadikus algebra, ha

hA, +, ·, −, 0, 1, ci, sτ, diji_τ∈ αα, i.j<α (5) alakú, ahol + és · bináris műveletek A-n, −, c_i és s_τ unáris műveletek A- n,0,1és d_ij-k konstansok A-ban és teljesülnek a következő axiómák minden i, j ∈α, x, y ∈A, σ, τ ∈ ^αα-ra:

(CP0) hA, +, ·, −, 0, 1i Boole algebra (CP1) c_i0 = 0

(CP2) x≤c_ix

(CP3) c_i(x·c_iy) = c_ix·c_iy (CP4) s_Idx=x

(CP5) sσ◦τx=s_σs_τx

(CP6) s_σ(x+y) =s_σx+s_σy (CP7) s_σ(−x) =∼s_σx

(CP8)^∗ d·s_σx =d·s_τx, ha a d_{τ i σi}(i ∈ 4x) elemek d infimuma létezik A-ban

(CP9)^∗ cisσx ≤ sσcjx, ha σ^−1∗{i} pontosan {j} vagy az üres halmaz (az utóbbi esetben c_i az identitás operátor), és az egyenlőség teljesül a ≤ helyett, ha σ egy permutációjaα-nak

(E1) dii= 1

(E2) x·d_ij ≤s_{[i / j]}x (E3) s_τd_ij =d_{τ i τ j}.

A fenti algebrák lényegesen különböznek a kvázi-poliadikus típusú algeb- ráktól (és transzpozíció algebráktól) abban, hogy a τ transzformációk lehet- nek végtelenek, így s_τ is lehet végtelen. Ezért a CPE_α-beli algebrák vizsgá- lata az eddigiekhez képest új módszereket igényel (pl. őket a neat beágyazási technikával vizsgáljuk).

Az Értekezésben bevezetjük egyébként a cilindrikus kvázi-poliadikus al- gebra fogalmát is (CQEα, 3.4 Definíció). Ezt a definíciót összevetve a fenti 3.17 Definícióval, a definícióban ^αα helyett FT_α szerepel és a (CP8)^∗-nak elegendő egy egyszerűbb változatát feltenni. Megmutatjuk, hogy a TA_α és CQEα algebrák definíciósan ekvivalensek (3.6 Tétel), továbbá, kimondunk egy r-reprezentáció tételt CQEα-ra (3.9 Tétel).

3.21 Definíció Egy CPE_α-típusú A algebra r-reprezentálható, ha A∈ ICprsα. Egy A∈_mCPEα algebrar-reprezentálható, ha A∈ I _mCprsα.

Igaz a következő reprezentáció tétel:

3.25 Tétel(Reprezentáció tételCPEα-re)A∈CPEα akkor és csak akkor, ha A∈ IGp^reg_α .

A bizonyítás egy neat beágyazási tételt használ (az alábbiakban a 6.2 Tétel), valamint használja a poliadikus egyenlőség algebrákra vonatkozó híres Daigneault-Monk-Keisler tételt ([Da-Mo]). Megjegyezzük, hogy a 3.25 Tétel cilindrikus változatát, véges α-ra, Andréka bizonyította [And]-ban.

3.19 Definíció (mCPEα) Ha a CPEα algebra 3.17 Definíciójában fel- tesszük, hogy a τ ésσ transzformációkm-transzformációk (mvégtelen, m <

α), azaz feltesszük, hogy τ, σ ∈ _mT_α, akkor kapjuk az α dimenziós egyenlő- séges, cilindrikus, m-kvázi-poliadikus algebra (mCPEα) fogalmát.

3.23 Definíció Tegyük fel, hogy mvégtelen ésm < α. EgyA∈_mCPE_α algebra lokálisan-m dimenziós (röviden: lokálisan-m), ha |∆b| ≤ m minden b ∈A -ra. Ezen algebrák osztályát Lmα-val jelöljük.

A következő reprezentáció tétel Halmos azon klasszikus reprezentáció té- telét általánosítja, hogy lokálisan véges, kvázi-poliadikus, végtelen dimenziós algebrák reprezentálhatók ([Ha57]):

3.24 Tétel (Reprezentáció tétel) mCPEα∩ Lmα-ra) A ∈m CPEα ∩Lmα

akkor és csak akkor, ha A∈ I(_mGwp^reg_α ∩ Lm_α), ahol m végtelen és m < α.

.

3.2. Neat beágyazási tételek és alkalmazásaik

A klasszikus neat beágyazási tétel cilindrikus algebrákra ezt állítja: A∈CAα

reprezentálható akkor és csak akkor ha A neatly beágyazható egy α+ε di- menziós cilindrikus algebrába, aholε≥ω, α≥2( [He-Mo-Ta I.]). Felvetődik a kérdés, hogy általánosítható-e a tétel a klasszikus reprezentálhatóságról r-reprezentálhatóságra?

Szükség van néhány fogalomra (lásd [He-Mo-Ta II.]).

4.1 Definíció Egy β-dimenziós

C=hA,+,·,−,0,1, c_i, d_iji_i,j<β

cilindrikus algebrának cilindrikus α-reduktuma az A=hA,+,·,−,0,1, ci, dijii,j<α

cilindrikus algebra, jelölése: Rd_αC. ACalgebránakneat α-reduktuma aD= hD,+,·,−,0,1, c_i, d_iji_i,j<α algebra, ahol D = {b ∈ A : c_ib = b minden α ≤i < β-ra}, jelölése: D=Nr_αC.

4.2 Definíció Egy A ∈ CA_α (α ≥ 2) algebra neatly beágyazható egy C∈ CA_β algebrába, ha létezikA-nak egy olyane beágyazásaRd_αC-be, hogy

c_iea=eamindena ∈Aés mindenα≤i < β-ra. TehátAneatly beágyazható C-be, ha izomorf Nr_αC egy részalgebrájával.

Ha K, CAβ-nak egy rögzített részosztálya, akkor SNrαK azon algebrák osztálya, melynek tagjai neatly beágyazhatók aKosztály valamelyik tagjába (itt S részalgebra képzést jelöl).

A fenti definíciók átvihetők cilindrikus típusú algebrákra is.

A következőkben aCNA⁺_α jelölés helyett, a rövidség kedvéért, azF_αjelölést használjuk (lásd az 1.10 Definíciót).

A következő fogalmak, tételek megtalálhatóak a [Fe10] dolgozatban.

Először bevezetjük a cilindrikus típusú algebrák egy many-sorted tagját, az F^α_α+ε-t.

4.3 Definíció (F^α_α+ε) Az F^α_α+ε osztály axiómáit úgy kapjuk a Fα+ε axi- ómáiból, ha a (C₄), (C₆) és MGR axiómákat rendre, kicseréljük az alábbi (C⁻₄), (C⁻₆) és MGR⁻axiómákkal, ahol α≥3, ε≥1 ésβ, α+ε-t jelöli:

(C⁻₄) a következő négy tulajdonság összessége:

(C⁻₄)a)sⁱ_ms^j_nx =s^j_nsⁱ_mx, hai, j, m, n∈β, i 6=j,kivéve a következő két esetet: i, j ∈α, m /∈α ési, j ∈α, n /∈α

(C⁻₄)b)sⁱ_ms^j_nx ≤s^j_nsⁱ_mx, hai, j, n∈α, m /∈α, (i, j, n, m különbözők) (C⁻₄) c) d_ik ·sⁱ_ms^j_nx ≤ s^j_nsⁱ_mx, ha i, j, k ∈ α, n /∈ α, (i, j, k, n, m különbözők)

(C⁻₄)d)c_ic_mx=c_mc_ix, ham /∈α

(C⁻₆) az (1)-beli a., b. és c. diagonál tulajdonságok együttese, kiegészítve a következő, (C⁻₆) d.-vel jelölt tulajdonsággal:

c_id_ij = 1 hai, j ∈β, kivéve azi∈α, j /∈α esetet MGR⁻ : Az MGR axióma korlátozása α-ra.

A következő két tétel elégséges és szükséges részei az r-reprezentálható- ságra vonatkozó neat beágyazási tételnek:

4.5 Tétel Ha A∈SNr_αF^α_α+ε, akkor A∈ IDα,ahol ε tetszőleges végtelen rendszám, α≥4..

A bizonyítás azultrafilter módszer egy lényeges általánosítását használja.

4.6 Tétel Ha A∈D_α, akkor A∈ SNr_αF^α_α+ε tetszőleges ε ≥2, α≥4-re.

A tétel bizonyítása egy a Crsα-k neat reduktumára vonatkozó lemmát használ ([He-Mo-Ta II.] Lemma 3.1.120).

Az előző tételnek és az RTA tételnek a következménye az alábbi:

4.8 Következmény F_α∈ SNr_αF^α_α+ε, ahol α≥4, ε≥2 ([Fe07a]).

Ismert, hogy egyenlőséges, poliadikus algebrákra nem létezik neat be- ágyazási tétel ([He-Mo-Ta II.]). Többek között, ezért érdekes a következő, m-kvázi, cilindrikus poliadikus algebrákra vonatkozó, neat beágyazási tétel:

6.2 Tétel (Neat beágyazási tétel _mCPE_α∩ Lm_α-re) Tegyük fel, hogy A∈_mCPEα∩Lmα,aholm végtelen, m < α. EkkorA∈SNrαB valamelyB

∈ _mCPE⁻_α+ε-re (ε végtelen) pontosan akkor, ha A∈ I_mGwp^reg_α .

Rátérünk a neat beágyazási tételek alkalmazásaira.

Először emlékeztetünk a poliadikus egyenlőség algebrákra (PEA_α) vonat- kozó Daigneault-Monk-Keisler tételre:

Ha A∈ PEAα,akkor A∈SNr_αBvalamely B∈ PEAα+ε-ra, ahol α >1, ε >1 tetszőlegesek ([Da-Mo], [Kei] és [He-Mo-Ta II.] Thm. 5.4.17).

A fenti 6.2 Tételt, a Daigneault-Monk-Keisler tétel megfelelő változatával együtt, a fenti 3.24 és 3.25 reprezentáció tételek bizonyítására alkalmazzuk.

Hasonlóan igazolható például az RTA reprezentáció tétel, a 4.5 neat be- ágyazási tétel felhasználásával. A Logika szempontjából az RTA tétel egy teljességi tételnek felel meg. A 4.5 tételből pedig az látszik, hogy a teljesség

bizonyításához, elegendő bizonyos alapvető logikai tulajdonságoknak csak a gyengítéseit használni (pl. kvantorok felcserélhetősége, egyenlőség bizonyos tulajdonságai). A [Fe00] dolgozatban a kérdéskört megvizsgáltuk aklasszikus reprezentáció esetére is és megmutattuk, hogy ott is hasonló jelenség áll fenn (lásd a a 4.18 Tételt az Értekezésben ).

Szintén neat beágyazási tulajdonságokhoz kapcsolódik a következő, a „le- vezetési relációk konzervatív kiterjesztésére” vonatkozó eredmény (a konkrét levezetési relációk definícióját megtaláljuk a dolgozat 5. fejezetében):

5.1 Tétel Az

r1

`levezetési reláció, konzervatív kiterjesztésea

q

`levezetési relációnak ([Fe09b]).

[Fe09a] -ben a valószínűségszámítás alapjaival kapcsolatban vizsgáltunk relativizált halmazalgebrákat és ezeken értelmezett mértékeket.

4. Összefoglalás

Röviden áttekintjük, hogy milyen eredményekre jutottunk, az algebrai lo- gika reprezentációelméletében áttörést jelentő Resek-Thompson-Andréka té- tel megjelenése után, jelen vizsgálatok mennyire teljesítették ki az algebrai logikában a reprezentációelméleti kutatásokat.

1. Bebizonyosodott, hogy a cilindrikus algebrák esetén, a relativizált hal- mazalgebrákkal történő reprezentálhatóságot egy bizonyos fajtatranszpozíció operátor egzisztenciája biztosítja (mely operátor rendelkezik a MGR tulaj- donsággal ). Ezt a kérdést elemzi a ([Fe11a]) dolgozat.

2. A témakört megvizsgáltuk különböző,poliadikus típusú algebrák esete- ire (transzpozíció-, kvázi-poliadikus-, m-kvázi-poliadikus-, cilindrikus polia- dikus típusú algebrák). Míg a Resek-Thompson-Andréka tétel csak egyetlen relativizált halmazalgebra osztályt tartalmaz (Dα), addig az új vizsgálatok konkrét relativizált algebra osztályok sorát hozta felszínre (példáulGwt_αvagy

Gpα). A Resek tételnél megjelenő újfajta reprezentálhatóság egyik ára az volt, hogy a reprezentáns osztály nem a klasszikus reprezentáció osztály, ha- nem relativizált halmazalgebrák osztálya. A poliadikus vizsgálatoknál meg- jelent osztályok annyiban hoztak újat az ott megjelenőCrsα∩CA_α vagy aDα

osztályhoz képest, hogy szerkezetük egyszerű, geometriailag szemléletes, így az őket tartalmazó reprezentáció tételek (axiomatizálhatósági eredmények) igen közel állnak a klasszikus Stone tételhez. Várható ezért, hogy ezek a rep- rezentáció tételek jól hasznosíthatóak a matematika különböző területein: pl.

a halmazelméletben, topológiában, mértékelméletben, stb.(lásd pl. [Fe09a]) 3. A vizsgálatok kiterjesztése poliadikus algebrákra pontosítja a választ arra, hogy mi az ára, hogy minél „látványosabb” reprezentáció tételeket kap- junk. Mint azt már említettük, magának a reprezentálhatóságnak az ára bizonyos transzpozíció operátor jelenléte. Megállapíthatjuk, hogy ezen belül, a „természetes” reprezentálhatóságnak az ára, bizonyos hagyományos axió- mák gyengítése. Ezek közül talán a legfontosabb a cilindrifikáció kommu- tativitásának a feladása. Ez utóbbi helyett általában elegendő csupán az single helyettesítések kommutativitását megkívánni. Poliadikus algebráknál is szükséges bizonyos poliadikus axiómák gyengítése, ilyen pl. az utolsó két, nem diagonál axióma gyengítése.

4. Megmutattuk, hogy cilindrikus típusú algebrák esetén létezik az r- reprezentálhatóság jellemzésére neat beágyazási tétel, azaz az r-reprezen- tálhatóságnak is létezik tisztán algebrai jellemzése. A befogadó algebra ez esetben egy many-sorted algebra. Ez a vizsgálat egyúttal a Resek-Thompson- Andréka tétel egy új bizonyítását teszi lehetővé. Az r-reprezentálhatóság fel- használásával, sikerült általánosítani apoliadikus algebrák elméletében olyan tételeket, amelyeket eddig nem. Míg az egyenlőséges poliadikus algebrák elméletében nem létezik klasszikus neat beágyazási tétel, igazoltuk, hogy r-reprezentációra létezik ilyen tétel. Továbbá, a relativizált halmazalgebrák- kal történő reprezentáció bevezetésével, általánosítottuk végtelenre Halmos klasszikus tételét, miszerint lokálisan véges, egyenlőséggel rendelkező, kvázi- poliadikus algebrák reprezentálhatók ([Ha56]).

5. A témakörnek figyelemreméltó kapcsolatai léteznek a Logikával. Pél- dául a cilindrifikációk kommutativitásának, vagy a diagonál elemeknek a kor- látozott használata a reprezentáció tételek bizonyításakor, azt mutatja, hogy a megfelelő logikai teljességi tételek bizonyításakor elegendő a szokásos logikai

kalkulusok egy szeletét használni. A reprezentáció tételeket lefordítva a szó- ban forgó algebrákhoz tartozó logikákra, Henkin-stílusú teljességi tételeket kapunk. A neat beágyazási tételek, pedig elméletek konzervatív kiterjeszté- seivel hozhatók kapcsolatba.

Az értekezéshez kapcsolódó szerzői dolgozatok

[Fe86] M. Ferenczi, On the connection of cylindrical homomorphisms and point functions for Crs’s, Lectures in Universal Algebra (Proc.Coll.Szeged 1983), Coll. Math. Soc. J. Bolyai 43, North Hol- land, (1986), 123–141

[Fe92] M. Ferenczi, On representability of cylindric algebras, Abstr. of papers presented to the American Math. Soc., 336, 13, (1992), 3 [Fe99] M. Ferenczi, On diagonals in representable cylindric algebras, Al-

gebra Universalis, 41 (1999), 187–199

[Fe00] M. Ferenczi,On representability of neatly embeddable cylindric al- gebras, Journal of Applied Non-classical logics, 3–4, (2000), 300–

315.

[Fe-Sa] M. Ferenczi, G. Sági, On some developments in the representation theory of cylindrical-like algebras, Algebra Universalis, 55, 2–3, (2006), 345–353

[Fe07a] M. Ferenczi, On cylindric algebras satisfying merry-go-round properties, Logic Journal of IGPL, 15 (2) (2007), 183–197.

[Fe07b] M. Ferenczi, Finitary polyadic algebras from cylindric algebras, Studia Logica, 1, 87, 2007, 2–11.

[Fe09a] M. Ferenczi, Non-standard stochastics with a first order algebrai- zation, Studia Logica, 95, (2009), 345–354

[Fe09b] M. Ferenczi, On conservative extensions in logics with infinitary predicates, Studia Logica, 1, 92, (2009), 121–135.

[Fe10] M. Ferenczi, On the representability of neatly embeddable CA’s by relativized set algebras,Algebra Universalis, 4, 63, (2010), 331–350.

[Fe11a] M. Ferenczi, Existence of partial transposition means representa- bility in cylindric algebras, Mathematical Logic Quarterly, 57, 1, (2011), 87–94

[Fe12a] M. Ferenczi, The polyadic generalization of the Boolean axioma- tization of fields of sets, Transaction of American Mathematical Society, 364, 2 (2012), 867–896

[Fe12b] M. Ferenczi, A new representation theory: representing cylindric- like algebras by relativised set algebras (in Cylindric-like Algebras and Algebraic Logic, Springer, 2012), 135–162

[Fe11b] M. Ferenczi,The representations of polyadic–like equality algebras, Arxiv:1104.1286, 2011.

[Fe13] M. Ferenczi, On the definition and the representability of quasi- polyadic equality algebras, to appear in Mathematical Logic Quar- terly

[FePrepr] M. Ferenczi, Neat embedding theorems in quasi-polyadic equality algebras, Preprint

Egyéb hivatkozások

[An-Th] H. Andréka and R. J. Thompson,A Stone type representation the- orem for algebras of relations of higher rank, Transaction of Amer.

Math. Soc., 309 (2) (1988), 671–682

[And] H. Andréka, A finite axiomatization of locally square cylindric–

relativized set algebras, Studia Sci. Math. Hung., 38 (1–4) (2001), 1–11.

[An-Fe-Ne] H. Andréka, M. Ferenczi and I. Németi, Cylindric-like Algebras and Algebraic Logic, Bolyai Society Mathematical Studies, Sprin- ger, 2012

[An-Ge] H. Andréka and T. Gergely, Dimension-restricted free cylindric algebras and finitary logic of infinitary relations, J. Symbolic Logic, (1979), 442

[An-Ge-Ne] H. Andréka, T. Gergely and I. Németi, On universal algebraic constructions of logics, Studia Logica, 36, (1977), 9–47

[An-Go-Ne] H. Andréka, R. Goldblatt and I. Németi, Relativized quantifica- tion: some canonical varieties of sequence-set algebras,Journal of Symbolic Logic,63, 1, (1998), 163–184

[An-Ne-Be] H.Andréka, I. Németi and J. van Benthem, Modal languages and bounded fragments of predicate logic, Journal of Philosophi- cal Logic, 27, (1998), 217 – 274

[Ben97] J. van Benthem,Modal foundations for predicate logic, Bull. of the IGPL, 5, (1997), 259–286

[Ben05] J. van Benthem,Guards, bounds, and generalized semantics, Jour- nal of Logic, Language and Information, 14, (2005), 263–279 [Ben12] J. van Benthem,Crs and guarded logics, in Cylindric-like Algebras

and Algebraic Logic, Bolyai Society Mathematical Studies, Sprin- ger, 2012

[Be-Ma] J. L. Bell, M. Machover, A Course in Mathematical Logic, North Holland, 1977

[Da-Mo] A. Daigneault and J. D. Monk,Representation theory for polyadic algebras, Fund. Math., 52 (1963), 151–176.

[Fe90] M. Ferenczi, On homomorphisms between relation algebras, Al- gebra Universalis, 27, (1990), 474–479

[Fe91] M. Ferenczi,Measures on free product of formula algebras and the analogies with homomorphisms, Algebraic Logic, (Proc.Conf. Bu- dapest 1986), Colloq. Math. Soc. J. Bolyai, North Holland, (1991), 173–181

[Fe05] M. Ferenczi,Classical and non-classical logics (in Formal Methods in Computing, Akadémiai Kiadó), (2005), 97–155

[Ha56] P. Halmos, Algebraic logic II.,Homogeneous, locally finite polyadic Boolean algebras.Fundamenta Mathematicae, 43, (1956), 255–325.

[Ha57] P. Halmos, Algebraic logic IV.Equality in polyadic algebras, Tran- saction of American Math. Soc., 86, (1957), 1–27.

[Hi-Ho97] R. Hirsch, I. Hodkinson, Step by step building representations in algebraic logic, Journal of Symbolic Logic, 62, 1, (1997), 225–279 [Hi-Ho02] R. Hirsch, I. Hodkinson, Relation Algebras by Games, North Hol-

land, 2002

[HMTAN] Henkin, L., Monk, J. D., Tarski, A., Andréka, H., Németi, I., Cy- lindric Set Algebras, Lecture Notes in Mathematics, 883, Springer, 1981.

[He-Mo-Ta I.] L. Henkin, J. D. Monk and A. Tarski, Cylindric Algebras I, North Holland, 1985.

[He-Mo-Ta II.] L. Henkin, J. D. Monk and A. Tarski, Cylindric Algebras II, North Holland, 1985.

[Kei] H. J. Keisler,A complete first order logic with infinitary predicates, Fund. Math. 52, (1963), 177–203

[Kur97] A. Kurucz, Decision problems in algebraic logic, PhD Dissertation, Hungarian Academy of Sciences (1997).

[Kur02] A. Kurucz,Comparing decision problems for various paradigms of algebraic logic, Algebra Universalis, 47 (2002), 409–424

[Mad82] R. Maddux, Some varieties containing relation algebras, Trans.

Amer. Math. Soc., 272, 2 (1982), 501–526

[Mad89] R. Maddux, Canonical relativized cylindric set algebras, Proc.of the Am. Math. Soc., 107, 2, (1989), 454–478

[Mik97] Sz. Mikulás, A note on expressing infinity in cylindric-relativized set algebras.In Proceedings of ReLMiCS ’97, Hammamet, Tunisia, 1997.

[1] Sz. Mikulás and M. Marx, Undecidable relativizations of algebras of relations, Journal of Symbolic Logic, 64, (1999), 747–760 [Nem81] I. Németi, Connections between cylindric algebras and initial al-

gebra semantics of CF languages, in Mathematical logic in com- puter science, Colloq. Math. Soc. J. Bolyai, 26, (1981), 561–605

[Nem86] I. Németi, Szabadalgebrák és eldönthetőség algebrai logikában, MTA Doktori Disszertáció, 1986

[Nem91] I. Németi, Algebraizations of quantifier logics, an introductory overview. Studia Logica, 50, 3/4 (1991), 485–570.

[Nem92] I. Németi, Decidable versions of first order logic and cylindric- relativized set algebras,in Logic Colloquium 92, CSLI Publications, Stanford, (1992), 177–241

[Pin] C. Pinter, Cylindric algebras and algebras of substitutions, Tran- saction of Amer. Math. Soc., 112, (1964), 185–205.

[Res] D. Resek, Some results on relativized cylindric algebras, PhD dis- sertation, Berkeley, 1975.

[Sai] I., Sain,On the search for a finitizable algebraization of first order logic, Logic Journal of the IGPL, 8, no.4, (2000), 495–589.

[Sa-Th] I. Sain and R. J. Thompson,Strictly finite schema axiomatization of quasi–polyadic algebras, in Algebraic Logic, Coll. Math. Soc. J.

Bolyai, (1988), 539–571.