MATEMATIKA INFORMATIKA TECHNIKA Az Országos Közoktatási Intézet

MATEMATIKA INFORMATIKA TECHNIKA Az Országos Közoktatási Intézet

folyóirata IV. évfolyam, 5. szám

puuii^

T 1 ^TIU'

---

A TARTALOMBÓL Tóth Zoltán: Védőpajzsunk az ózon ✓ ✓ Reimann József: Gondolatok a mate­

matika tanításáról ✓✓ Holnapy Dezső: A humán műveltség és a formalizáltság ✓✓Szi/cs Ervin:

Tézisek a műveltségkép szerkezetéről ✓✓

Bölönyi György: Hátrametszés ✓✓ Vesztróczy László: A tantárgyi mérésekre való felkészülés

✓ ✓ Fitos László: A pitagoraszi számhármasok

általánosításai ✓✓ Mór Zsuzsa: Bábozzunk!

Számunk szerzői

Benedek Ignácnó, óvónő, Bicske

Bezzeg Mária, tud. titkár, Hadtörténeti Múzeum, Bu­

dapest

Bohár András, esztéta, Bu­

dapest

Bölönyi György, földmérő szaktanár, Varga Márton Kertészeti és Földmérési Szakközépiskola, Budapest Cech Vilmos, egyetemi ad­

junktus, ELTE TTK, Buda­

pest

Fűlöpné Sváb Jolán, tanító, 1. sz. Általános Iskola, Bics­

ke

Holnapy Dezső, tud. főmun­

katárs, BME Informatikai La­

boratórium, Budapest Lannert Judit, tud. munka­

társ, OKI, Budapest Mór Zsuzsa, óvónő, Szom­

bathely

Németh Zoltán, tanár, Mó­

ricz Zsigmond Általános Is­

kola, Győr

T, Puskás Ildikó, újságíró, Budapest

Csige Istvánná, tanító, Petőfi Sándor Általános Iskola, Szentes

Reimann József, nyug.

egyetemi tanár, Budapest Százdi Antal, tanácsos, Cse­

peli Polgármesteri Hivatal, Művelődési Iroda

Fatalin László, egy. tanárse­

géd, szerkesztő, BME Építő­

mérnöki Kar, Budapest Fitos László, nyug. főiskolai tanár, Esztergom

Fodor Sándor, író, Kolozsvár

Szigetvári József, pedagó­

gus, népművelő, Barátság Művelődési Központ, Száz­

halombatta

Szücs Ervin, egyetemi tanár, ELTE TTK, Budapest Takács Viola, tud. munka­

társ, szerkesztő, OKI, Buda­

pest

Tóth Zoltán, meteorológus, OMSZ Központi Légkörfizi­

kai Intézet, Budapest V. Molnár László, tud. főmun­

katárs, OKI, Budapest Vesztróczy László, szakta­

nácsadó, Eötvös Loránd Ál­

talánosiskola, Ajka

ISKOLAKULTÚRA Matematika - Informatika - Technika

IV. évfolyam 1994/5.

Az Országos Közoktatás Intézet folyóirata

Főszerkesztő:

GÉCZI JÁNOS Szerkesztő:

FATALIN LÁSZLÓ

A szerkesztőség munkatársai:

ANDOR MIHÁLY DIPPOLD PÁL KAMARÁS ISTVÁN KORMÁNY GYULA MÁNYOKI ENDRE MÁTIS LÍVIA SEBÓK ZOLTÁN SZAKÁLY SÁNDOR SZENDREI JÁNOS SZÉKELY SZ. MAGDOLNA TAKÁCS VIOLA

TRENCSÉNYI LÁSZLÓ VÁGÓ IRÉN

VÁMOS ÁGNES ZALÁN TIBOR

*

ASZTALOS ILDIKÓ (Kolozsvár) TÓTH LÁSZLÓ (Dunaszerdahely) FÜLÖP YV^TTE

GULYÁS LÁSZLÓ SZEBERÉNYI BEÁTA TOLNAI SZABOLCS VARGA PIROSKA

A borítót ás a b első tipográfiát tervezte:

HELLE MÁRIA

Kiadja az Országos Közoktatás Intézet

Budapest, Dorottya u. 8 1051 Felelős kiadó:

ZSOLNAI JÓZSEF tőigazgató Szerkesztőség:

Budapest, Dorottya u. 8 1051 (Postacím: 1393 Budapest, Pl.: 701/420)

Telefon: (1) 138-29-38 Telefax: (1) 118-63-84 Szerkesztőségi fogadónapok:

kedd, szerda, csütörtök 10-14 h Terjeszti a Hírker, valamint egyéb alter­

natív terjesztők Előfizethető a szer­

kesztőség címén közvetlenül, vagy át­

utalással MNB 232-90174-4273 pénz­

forgalmi jelzőszámon. Előfizetési díj számonként 110,- Ft. (Teljes évfolyam 2640,- Ft; Természettudomány 1100,- Ft, Társadalomtudomány 1100,- Ft, Matemalika-Informatika-Technika 440,- Ft.) Megjelenik kéthetente HU ISSN 1215-5233

A nyomás az MSZH Nyomda és Kiadó Kft Nyomdájában készült

Felelős vezető:

Nagy László igazgató

iikdakuílúka

AZ ORSZÁGOS KÖZOKTATÁSI INTÉZET FOLYÓIRATA

IV. évfolyam, 1994/5.

Tartalom

Tóth Zoltán: Védőpajzsunk az ózon (2) Reimann József: Gondolatok a matematika tanításáról (9) Holnapy Dezső: A humán műveltség és a formali- záltság (18) Fatalin László: Mérünk vagy értéke­

lünk? (25) Szücs Ervin: Tézisek a műveltségkép szerkezetéről (32)

SZEMLE

V. Molnár László: A dán oktatási rendszerről (38) Csige Istvánná: A technika tanításához (44) Bö- lönyi György: Hátrametszés (49) Vesztróczy László: A tantárgyi mérésekre való felkészülés (52) Fitos László: A pitagoraszi számhármasok általánosításai (57) Mór Zsuzsa: Bábozzunk! (60) Cech Vilmos: Szakdolgozatok 1993 (62) Fodor Sándor: Hagyomány és korszerűség (67) Bezzeg Mária: Az ICOM-CECA európai regionális konfe­

renciájáról (69) T. Puskás Ildikó: Játszani is en­

gedd! (71) Szigetvári József:

Nép/smeref-o/rfaíás

verről (78) Benedek Ignácné: Boa plusz (80) Fü- löpné Sváb Jolán: Kalendárium (81) Bohár And­

rás: Ahogy a világot látjuk (82) Takács Viola: Tan­

könyv a modellalkotásról (83) Százdi Antal: A ze­

nei tehetség gyökerei (84) HÍREK (86)

Lapzárta: 1994 Január 20.

Védőpajzsunk az ózon

TÓTH ZOLTÁN

Mostanában szinte szünet nélkül drámai hangvételű cikkek jelennek meg a sztratoszférikus ózon csökkenéséről a tömegtájékoztatásban. Ezeknek alapja a kb. másfélévé az egész mérsékelt övben folyamatosan tapasztalható ózonhiány.

Az aggodalmat az a ma már egyre közismertebbé váló tény váltja ki, hogy az ózon csökkenése az élővilágra káros ultraibolya-sugárzás intenzitásának növekedését okozza a földfelszínen. A félelmet még tovább növeli, hogy a köztudatban a mérsékeltövi ózoncsökkenés elég nagy százalékban „ózonlyukként” él.

Ózon és Uv-sugárzás

A Napból érkező elektromágneses sugárzás a földi légkör folyamatainak legjelentő­

sebb energiaforrása. Számtalan hatása van és számtalan információt nyerhetünk belőle.

Nem más ez, mint csaknem 300 000 km/s sebességgel térbeli hullámként terjedő elekt­

romágneses energia. Megtalálhatók benne mindenféle hullámhosszak a legrövidebbek­

től a leghosszabbakig, persze különböző mennyiségben. Legnagyobb mennyiségben az a hullámhossztartomány van benne képviselve, amelyre szemünk is érzékeny, s épp ezért látható fénynek hívjuk. Manapság már a „hétköznapi" ember számára is ismert min­

den egyes tartománya legalább az elnevezés erejéig, amelyek a rövidebbektől rendre a hosszabb hullámhosszak felé haladva a gamma-, a röntgen, az ultraibolya-, a látható-, az infravörös-, és a rádiótartomány. Ez nyilvánvalóan az ember által használt felosztás a detektálás és felhasználás jellege, mikéntje szerint. A különböző légköri gázok, illetve a

1000 500 200

100

50 20 10

1. ábra

Az ózontartalom magasság szerinti eloszlása

o 100

A U G 15 OC T 13

200

légkörben lebegő aeroszolok különböző mértékben elnyelik, illetve szórják a lég­

körbe érkező elektromágneses sugár­

zás hullámhosszait. Az ózon több mó­

don is kiemelkedő szerepet játszik az ult­

raibolya sugárzás gyengítésében. En­

nek megértéséhez ismerkedjünk meg ki­

csit részletesebben az ultraibolya (UV) sugárzással. Ezt a tartományt három­

részre osztjuk (extrém UV, vagy más né­

ven UV-C (hullámhossza: 100-280 nm), UV-B (280-320 nm), UV-A (320-400 nm).

A légkörbe érkező extrém Uv-sugárzás energiája kell ahhoz, hogy a kétatomos oxigénmolekulákból fotokémiai reakció útján ózon (O) keletkezzen. A legtöbb ózon az alsó sztratoszférában (15-20 km) keletkezik, mert itt már elég sok az oxigén és még elegendő extrém UV energia áll rendelkezésre. (1. ábra) Ezek a fotokémiai reakciók jelentik az ózon ke­

letkezési mechanizmusát a sztratoszfé­

rában. Az extrém Uv-sugárzás energiája közben felemésztődik az „ózongyártás­

ban” mielőtt a légkör alsóbb rétegeibe

VÉDŐPAJZSUNK AZ ÓZON érne. Az UV-B tartományba eső sugárzást pedig maga a légköri ózon nyeli el nagymér­

tékben, így igen csekély a felszínre érkező UV-B sugárzás intenzitása. Az UV-B tartomá­

nyon belül az ózon abszorpciós koefficiense (elnyelési együtthatója) rendkívül erősen csökken a növekvő hullámhosszal, míg a napsugárzás erőssége viszont erőteljesen nö­

vekszik. így 300 nm alatt alig érkezik a felszínre mérhető jel. Spektrofotométerrel végzett méréseink - amellyel 300 nm és 1100 nm között tudunk 1 nm felbontással mérni - 300 nm-nél rendkívül gyenge a mérhető jel.

A légkör ózontartalmának meghatározása

Először ismerkedjünk meg röviden azzal, hogyan mérjük a légkör ózontartalmát. Egy légoszlop teljes ózontartalmát az ún. Dobson-spektrofotométerrel mérjük. Ez a legna­

gyobb pontosságú berendezés az összózontartalom meghatározására, jelenleg az egész világon mintegy 150 található belőle. Ezek legnagyobb része az északi féltekén működik, közülük egy az Országos Meteorológiai Szolgálat Magaslégköri Megfigyelési Osztályán. Ezzel a spektrofotométerrel a Napra célzunk és a Napból érkező ultraibolya sugárzás gyengüléséből számítjuk ki a légkör ózontartalmát. Ha a Napot felhők takarják (azaz nincs ún. direkt sugárzás), akkor a zenitből érkező szórt sugárzásból határozzuk meg az ózon mennyiségét. E közvetett módszer pontossága megközelíti a direkt mód­

szerét. Naponta több mérést is végzünk, a mérési eredményeket átlagoljuk. A napi átla­

gértékek az adatsor jellemzőinek vizsgálatához elegendőek, mert az összózontartalom egy nap alatt gyakorlatilag nem változik. Az ózontartalom mértékegysége a Dobson-egy- ség (DU; Dobson Unit, azaz 10 atmoszférikus centiméter). A 300 DU ózontartalom tehát azt jelenti, hogy ha az összes légkörben lévő ózont lehoznánk tengerszinti légnyomásra, akkor az ózonmennyiség egy 3 mm vastag réteget képezne.

Az összózontartalom, illetve a felszínre érkező UV-B sugárzás intenzitásának megha­

tározása mellett általában arra is kiváncsiak vagyunk, hogy mekkora az ezzel járó dózis az élő szervezetek számára. Ehhez olyan érzékelő szükséges, amelynek az érzékeny­

ségi görbéje jól közelíti a bőr érzékenységi görbéjét (erythema). (Örömmel közölhetem, hamarosan működni fog hazánkban is az a néhány állomásból álló monitoring-hálózat, amely egyben a felszínre érkező UV-B sugárzás több aspektusból történő vizsgálatának is alapbázisául szolgálhat.) Napjainkban van egy biofizikusok által kifejlesztés alatt álló más mérési módszer is, amelynek az a lényege, hogy bizonyos bakteriumfágok pusztulási rátájából határozza meg a biológiailag aktív UV-dózist. (Magyarországon a SOTE Biofi­

zikai Intézete végez ilyen méréseket.)

A kiértékelések nehézségei

A felszínre érkező UV-sugárzást több tényező határozza meg, amelyek között igen gyors változékonyságúak is találhatók, így meglehetősen nehéz annak meghatározása, hogy a felszínre érkező ultraibolya sugárzás intenzitásában melyik tényező milyen

szerepel. Az azonban kétségtelen, hogy elsősorban a Nap horizont feletti magasságától függ, de jelentősen befolyásolják azt a légkör aeroszol-viszonyai és az ózon mennyisége.

Az angol monitoring hálózat mérései szerint átlagos esetben nyáron tízszer akkora dózist kapunk, mint télen. A nálunk rendelkezésre álló UV-számító modell szerint, ha valaki mondjuk Helsinkiből Krétára megy nyaralni, hasonló aeroszol- és ózon-viszonyok mellett másfélszeres dózis éri. A modellszámítások szerint 1 %-os ózoncsökkenés csaknem 2%- os UV-B növekedést okoz a földfelszínen. A számítások eredményei persze nagy óva­

tossággal kezelendők, ugyanis a légköri szórás jelentős szerepe miatt az UV-tartomány- ban a sugárzásátvitel számításának elég nagy a bizonytalansága, így a kapott eredmé­

nyek eléggé modellfüggőek. Azonban mindenesetre megállapítható, hogy az ózonhiány nem minden esetben ad okot a pánikra, hiszen az egyik januári héten 30 %-os ózonhiányt detektáltunk, ami másfélszeres UV-dózis növekedést okozott, de ez ezzel együtt is a nyá­

ron szokásos-értéknek csak törekéde. A következőkből azonban egyértelműen kiderül, hogy nincs minden renben.Az ózoncsökkenés okairól beszélve külön kell választanunk

3

TÓTH ZOLTÁN

az Antarktisz fölötti ózoncsökkenést (ózonlyuk) és a mérsékeltövi ózoncsökkenést. Ma úgy tűnik, hogy a mérsékeltövi ózon csökkenésének okait lényegesen nehezebb megál­

lapítani, mint az antarktiszit. A mérsékeltövi ózoncsökkenés napról napra való ingadozá­

sa lényegesen nagyobb, mint a csökkenés mértéke, ezért az adatsorokból a csökkenés trend első pillantásra nem is látszik. A mérsékeltövi obszervatóriumok adatsorainak ma­

tematikai vizsgálatai alapján azonban nyilvánvalóvá válik a kétség kívül meglevő csök­

kenő trend. Az ózoncsökkenéséért elsősorban a sztratoszféra kémiai állapotának az utóbbi évtizedekben megfigyelt fokozódó változása okolható. A sztratoszférában egyre növekszik azoknak a nyomgázoknak a mennyisége, amelyek pusztítják az ózont. Ehhez azonban meg kell jegyeznünk, hogy a modellszámítások szerint ez csak a tapasztalható trendnek „legjobb esetben” is legfeljebb a felét teszi ki. A csökkenés mértékének másik része leginkább az éghajlati rendszer belső autonómiájával magyarázható, azaz az ég­

hajlati rendszerben fellépő bonyolult (nem lineáris) visszacsatolási mechanizmusokkal, amelyek az ózonmennyiség alakulásában is rövidebb, vagy hosszabb időtartamú válto­

zásokat indukálnak. Ezek között lehetnek periodikusak is, amely okozhatja a megfigyelt csökkenő trend egy részét, amennyiben jelenleg éppen leszálló ágban vagyunk. Az ob­

jektív értékelést nagy mértékben megnehezíti az is, hogy az ózonmennyiség alakulása területileg is változékony.

Más a helyzet az antarktiszi ózonlyukkal. Ez egy nagyon kifejezett, területileg is, időben is jól behatárolható folyamat. Az ilyenek vizsgálata könnyebb a szakemberek számára.

Az ok-okozati viszonyokat persze itt sem lehet elsőre kitalálni. A könnyebbséget az jelenti, hogy a vizsgálatok során bizonyos folyamatok, mechanizmusok szerepe egyértelműb­

ben támasztható alá, vagy vethető el. Az „ózonlyuk” a mérsékelt övék ózoncsökkenésé­

vel ellentétben feltűnő és drasztikus jelenség.

Ózonlyuk

Az ózonlyuk elnevezés ugyan a tudományos terminológiában terjedt el, de nyilván nem valami tényleges lyukat jelent. A figyelemfelkeltő kifejezés a jelenség erőteljességére utal.

Az ózonlyuk az antarktikus vidékeken az ottani koratavasszal jelenik meg és 1,5-2 hó­

napig áll fenn, amely időszak alatt átlagosan az összózontartalomnak a fele tűnik el, de előfordult olyan nap is, amikor Argentína antarktiszi mérőállomásán 85%-os ózonhiányt detektáltak. Ma már úgy tűnik, hogy e jelenség okát pontosan ismerjük, az elméleti el­

képzeléseket a mérési adatok is egyértelműen alátámasztják. Az Antarktisz fölött télen egy intenzív stabil örvény alakul ki.(Az arktikus vidékek fölött ilyen nem tud kialakulni, mert az áramlás rendszer jóval bonyolultabb, változékonyabb, ezért a kialakulóban levő örvény nem stabilizálódhat.) Az örvényen belül nagyon le tud hűlni a levegő, akár -87 vagy -90 fokra is. Az északi sarkvidék sztratoszférája ennél mindig legalább 10 fokkal melegebb. Ilyen alacsony hőmérsékleten az ott igen kis koncentrációban található víz­

gőz jéggé tud fagyni és így kialakulnak a poláris sztratoszférikus felhők (PSC). A po­

láris sztratoszférikus felhők részecskéinek felületén olyan klórtartalmú vegyületek (leg­

inkább a CINO és a HCI) lépnek reakcióba egymással, amelyek más körülmények között semlegesek és a lejátszódó reakciókban felszabaduló igen aktív klór támadja meg az ózont. Ez a folyamat azonban magában nem képes akkora ózonpusztítást véghez vinni, mint amekkorát tapasztalunk, azaz valaminek még történnie kell. A jelenség magyará­

zatában itt lépnek színre a sokat emlegetett freonok. Ezek olyan halogénezett szénhid­

rogének, amelyeket az iparban rendkívül széles körben (ipari tartályok hűtőközegeként, spray-k hajtógázaként, oldószerként, habanyagok gyártásánál) alkalmaznak. Ezek ké­

miailag semlegesek, nem mérgezőek, nem roncsolnak semmit. Az ipari alkalmazások következtében hosszú időn keresztül nagy mennyiségben kerültek ezek az anyagok a légkörbe, felhasználásuk különösen az 50-es években emelkedett meg ugrásszerűen, aminek következtében az utóbbi évtizedekben a sztratoszférában is feldúsultak.

Nézzük meg mi történik az Antarktisz fölött, amikor véget ér a tél. A Nap megjelenik a horizonton, a levegő lassan melegszik és a poláris sztratoszférikus felhők lassan letűn­

nek a színről. Ekkor a felkelő Nap ultraibolya sugarai fölszabadítják a freonokból az addig bennük békésen szunnyadó klórt. Ez a nagy mennyiségben felszabaduló klór már hatal­

VÉDŐPAJZSUNK AZ ÓZON

más pusztítást tud véghezvinni az ózonban. Később, amikor a sztratoszféra már annyira felmelegedet, hogy a korábbi folyamatoknak (poláris sztratoszférikus felhőkbeli reakci­

óknak) már nem kedvez, a nagy ózonrombolásnak is vége szakad. A tavasz végének második felére mér egész szépen rendeződik a sarkvidék megtépázott ózonkészlete.

M érsékeltövi ózoncsökkenés

Az Országos Meteorológiai Szolgálat 1969 óta méri Budapesten a légkör teljes ózon­

tartalmát. A 2. ábrán az évi átlagos anomáliákat, a sokéves átlagtól való eltéréseket tün­

tettük fel. Az ábrán a szaggatott vonal jelzi az ezekre illesztett trendet. Trendvizsgálataink azt mutatják, hogy egy 1,7% /10 éves csökkenő trend észlelhető az adatsorban. Ilyen eltérést tapasztaltak más mérsékelt övben működő obszervatóriumokban is. (A hozzánk legközelebbi ózon obszervatórium Csehországban, Hradec Kralovéban van. Az ottani adatsornak szinte valamennyi statisztikai jellemzője nagyon közel áll a miénkhez.) Ennek a csökkenő trendnek - mint az előzőekben említettük - egyrészt a sztratoszféra kémiai állapotának az antropogén hatások miatti megváltozása a fő oka, de ma még nem telje­

sen tisztázott, hogy a megfigyelt trendben mekkora a szerepe az éghajlati rendszer belső autonómiájának. Az összózontartalom időbeli változásait ugyanis számos tényező ala­

kítja. Az alsó sztratoszféra áramlatai jelentősen meghatározzák az egy adott hely fölött mért teljes ózonmennyiséget, ezéri ezek változásai is jelentős hatást gyakorolnak az ózontartalom napról napra történő alakulására. Ezen kívül szintén a sztratoszférikus áramlások jellege következtében megfigyelhető egy éves periódus is koratavaszi maxi­

mummal és őszi minimummal. További két lényeges periodikus jelenség is befolyásolja az ózontartalmat:

1. A 10,6-10,7 év periódusú napfoltciklus. Ennek hatása érthető, hiszen a Nap emissziója függ a Napnak foltokkal való borítottságától, a relatív napfoltszámtól függő UV-sugárzásingadozás nyilván az ózontartalomban is egy periodikus változást okoz. En­

nek mértéke 4 DU, közel 1,2%.

2. A 2,3 év periódusú ún. „kvázi-kétéves oszcilláció”. Ez nem más, mint a sztratoszfé­

rikus légkörzés markáns átrendeződése, amely módosítja az ózon térbeli eloszlását, így változásokat okoz a mért ózontartalomban is. A változás mértéke 6 DU, közel 1,8%.

E periodikus összetevők együttes hatása változik aszerint, hogy milyen fázisban van­

nak egymáshoz képest. Az 1985-ös relatíve jelentős ózonhiány döntően ezek együttes hatásával magyarázható.

[DU]

2. ábra

A légköri ózon évi átlagainak eltérése a sokévi (1969-91) átlagtól Budapest fölött

TÓTH ZOLTÁN

Az ózoncsökkenés következm ényei

Van még egy befolyásoló tényező, amely nem periodikus és hatásának mértéke is elég vitatott. Ez a vulkáni tevékenység. Azok a vulkánok, amelyek extrém magasra (27-30 km) juttatják anyagukat, befolyásolni tudják az ózon mennyiségét. Ilyen vulkánkitörések persze ritkán fordulnak elő, legutóbb a Fülöp-szigeteki Pinatubovolt ilyen (1991 júniusá­

ban azelőtt pedig Mexikóban az El Chichón (1982). A vulkáni eredetű aeroszol részint lehűti a sztratoszférát, részint pedig növeli a kondenzációs magvak számát. Ezek a kö­

rülmények pedig növelik az ózont lebontó kémiai folyamatok hatékonyságát. Ezek a vul­

kánkitörések nem nagymértékű, de elég hosszú idejű (csaknem 1 év) csökkenést okoz­

nak az ózontartalomban. Az El Chichón hatása egyértelműen kimutatható a mérsékelt öv ózon-obszervatóriumainak adatsoraiból, így a budapesti adatsorból is, ami megfigyel­

hető az 1. ábrán. A Pinatubó kitörése pedig minden valószínűség szerint igen jelentős szerepet játszik az 1991-92 tele óta tartó ózonhiányban, amelyről az alábbiakban rész­

letesen lesz szó.

Napjaink ózonhiánya

1991 decembere óta egy perturbált állapot figyelhető meg a sztratoszféra ózonviszo­

nyaiban. Ez az állapot jól érzékelhető a 3. ábrán, amelyen a teljes ózontartalom napi ér­

tékeinek az átlagos évi menettől (napi értékek sokéves átlagaitól) való eltéréseit (ano­

mália) látjuk Dobson-egységben Budapest felett. (Az alább közölt eredmények hasonlóak más mérsékeltövi, elsősorban európai és észak-amerikai tapasztaltakhoz.) A 3. ábrán a szaggatott görbék a múltban megfigyelt természetes változékonyság sávját jelölik, ami az adatok szórásának kétszerese.

[DU]

+2<r

klina-

-2 (T

3. a. ábra

A légoszlop teljes ózon-tartalmának napi értékel (Budapest, 1992)

Normális esetben, például ha a múltból választanánk ki egy tetszőleges évet és annak napi értékeit tüntetnénk fel az ábrán, akkor a napi értékek az évi menet körül ingadozná­

nak, némelyik kicsivel alatta, némelyik kicsivel fölötte helyezkedne el. Most azonban az ábráról rögtön látható, hogy a helyzet alapvetően más, hiszen a napi értékek szinte végig, elenyésző kivételtől eltekintve alacsonyabbak a mindenkori sokéves átlagnál. (Ez egé­

szen pontosan a mérés napok 90%-ában igaz.) Az is megfigyelhető, hogy az ózondefi-

VÉDŐPAJZSUNK AZ ÓZON

[DU]

3. b. ábra

A légoszlop teljes ózon-tartalmának napi értékei (Budapest, 1993, január - augusztus) citek nem extrémen nagyok, hiszen mindössze a mérési napok 7%-ában alacsonyabbak a természetes változékonyság alsó határánál. A jelenség tehát nem azért rendkívüli, mert az értékek rendkívülien alacsonyak, hanem az időtartam miatt.A szóban forgó időszakra az átlagos ózondeficit 9%. Nem volt még soha ilyen eset, hogy két egymást követő télen ennyire alacsony lett volna az ózontartalom. (1. táblázat)

december január február

1991. -6% -17% -9%

1992. -10% -16% -17%

1

Az ózondeficit értékei az elmúlt időszakban

Ezek az értékek jól megegyeznek a műholdas mérésekkel, illetve az űrrepülőgépről végzett mérések eredményeivel. A jelenséget együtt okozhatja a sztratoszféra kémiai ál­

lapotának megváltozása, a szabad klór és klórmonoxid feldúsulása, valamint a Pinatubo kitörése. A Garmischpartenkirchenben (Németország) a tavalyi év folyamán végzett Ll- DAR-os mérésekből tudjuk, hogy jelentős mennyiségű vulkáni por lebegett Európa fölött a sztratoszférában, amivel jól egyezik az is, hogy Budapesten 1992-ben végig negatív anomáliákat észleltünk a sztratoszféra hőmérsékletében. A dolog érdekessége, hogy az újabb vizsgálatok szerint a várttal ellentétben még mindig megtalálható fölöttünk a vulkáni por, ez pedig továbbra is okozója lehet a szüntelenül tartó ózonhiányos állapotnak. Az elmúlt két évben a nyári hónapokban az ózonhiány számottevően kisebb volt a téliekénél, de ugyanakkor tény az is, hogy az idei ózondeficit így is csaknem kétszerese a tavaly nyáron megfigyeltnek. Azt ma még lehetetlen megfigyelni, hogy mi várható a jövőben.

Az ózoncsökkenés következm ényei

Nem feledkezhetünk meg arról, hogy az ózonmennyiség változása nemcsak a felszín­

re érkező UV-B sugárzás mennyiségének növekedését okozza, de hatással lehet a lég­

kör áramlási rendszerére is, amelyről kevesebb szó esik. A sztratoszféra fűtéséért, azért a tényért, hogy a sztratoszférában a hőmérséklet magasabb, mint a troposzféra felső ré­

tegeiben, nagyrészt az ózon a felelős, mert elnyeli a Napból érkező UV-B sugárzás je-

Magasságkm

TÓTH ZOLTÁN

H őm érséklet °C 4. ábra

A hőmérséklet magasság szerinti eloszlása

lentős részét, amely energia közben hő­

vé alakul át. (4. ábra) A troposzféra a lég­

kör legalsó légrétege, felső határa ná­

lunk kb. 12 km-en található, ebben a ré­

tegben játszódnak le a hétköznapi em­

ber által ismert időjárási jelenségek. Az ózon az alsó sztratoszférában csökken, itt tehát hosszú idő alatt, ha az ózon­

csökkenés sokáig tartana, változni fog a hőmérséklet, amiből a légkör hőmérsék­

leti rétegződésének megváltozása kö­

vetkezik, ami viszont az áramlás rend­

szer átrendeződését vonja maga után.

Védőpajzsunkkal, az ózonnal kapcso­

latban ma még elég sok a rejtély és a meglepő tény, ezért nem csoda, hogy szerte a világon - azokon a helyeken, ahol az ózon kutatásával, mérésével foglalkoznak - egyre nagyobb energiá­

kat fordítanak vizsgálatára, hiszen meg­

óvása az emberiség létérdeke.

Gondolatok a matematika tanításáról

REIM ANN JÓ ZSEF

Több mint három évtizedes egyetemi oktatási gyakorlatom során meglehetősen széles körű áttekintést kaptam arról, hogy milyen matematikai alapokkal kerülnek a hallgatók az egyetemre, milyen szakadék tátong a középiskolai és az egyetemi oktatás között és hogyan lehetséges ezt áthidalni. Tapasztalataimat elsősorban a Budapesti M űszaki Egyetemen szereztem, ezért nem térek ki a tudo­

mányegyetemek matematika szakára került hallgatókra, ahol általában lényege­

sen jobb a helyzet. Ezzel máris érzékeltettem, hogy a tanulók nagy átlagára vonatkozólag a matematikai felkészültség, az érdeklődés és a gondolkodókész­

ség meglehetősen siralmas. A keserűség fogatott tollat velem, hiszen a helyzet az utóbbi években tovább romlott, amit a felvételi tapasztalatok is igazolnak.

Tapasztalataim nagyobb részét különböző karokon mérnökhallgatók oktatása során szereztem, akik az érettségizettek nagy átlagához viszonyítva matematikából lényege­

sen jobbak. Mit mondhatunk a matematika oktatás eredményességéről, ha azokat a ta­

nulókat is figyelembe vesszük akik nem kerülnek be a felsőoktatásba?

Célszerű megvizsgálni azt a kérdést, honnan származik az ellenszenv és idegenke­

dés, amit érettségizett, sőt egyetemet végzett emberek jelentős része, - ha ugyan nem a túlnyomó többsége - táplál a matematikával szemben. Számos ismerőse van minden­

kinek, aki nagyon okos és művelt embernek tartja magát, ugyanakkor minden szégyen­

kezés nélkül a matematikához hatökörnek minősíti önmagát és eszébe sem jut, hogy itt némi ellentmondás rejlik.

Kétségtelen, hogy az iskolában a legtöbb diák megútálja a matematikát, talán 10-15 százalék kivételével alig értenek meg belőle valamit. Miért van ez? Ennyire buták a gye­

rekek? Vagy talán rosszul tanítjuk a matematikát? Egyik sem lehet igazi oka a siralmas eredménynek. Kétségtelen, hogy a gyerekek között igen nagy különbségek vannak a szellemi érettség, intelligencia szempontjából. Ennek ellenére általában ugyanabban az életkorban ugyanazt az ismeretanyagot ugyanannyi idő alatt akarjuk rájuk erőltetni, ter­

mészetesen nem sok sikerrel. A sikertelenség egyik fő oka az, hogy a tanulók többsége nem is mutat érdeklődést az iskolai matematika anyag iránt. Mi lehet ennek az oka?, A gyerekben vagy a tananyagban rejlik az ok? Úgy vélem, hogy inkább a tananyag okoz­

hatja a gondot, hiszen az igazán érdekes dolgok lekötik a gyerekek figyelmét, hallatlan érdeklődést figyelhetünk meg náluk.

Ami pedig azt a kérdést illeti, hogy jól vagy rosszul tanítjuk a matematikát, nyilvánvaló, hogy vannak jó tanárok és gyengébbek ugyanúgy, mint a más szaktárgyakat tanító kol­

legák között. A matematika tanításának eredményessége nem ezen múlik, hiszen a ma­

tematikatanárok többsége - csakúgy mint a többi tanár - lelkiismeretesen, felelős­

ségtudattal, szakmai hozzáértéssel és szorgalmasan végzi a dolgát, némelyik szinte megszállott lelkesedéssel erőlködik, hogy felkeltse az érdeklődést és elérje, hogy a ta­

nulók megértsék és elsajátítsák a számukra sokszor meglehetősen unalmas tananyagot.

A jó tanár néhány tanulóban valóban fel is tudja kelteni és ideig-óráig ébren tudja tartani az érdeklődést. A matematikai érzékkel megáldott tanulók hamar megértik az anyagot, de a többség csak addig jut el, hogy tudomásul veszi hogyan kell végrehajtani a mate­

matikai műveleteket és elég sok gyakorlás után kis segítséggel végre is tudja hajtani a

REIMANN JÓZSEF

törlek összeadását vagy a másodfokú egyenletek megoldását a kapott kaptafa segítsé­

gével. Az azonban örökre rejtve marad előtte, hogy miért úgy kell végrehajtani. Már csak azért sem látja a célját, mert a szülei sem tudják megoldani a példákat, mégis egész jól elboldogulnak. Legtöbbször keresnek valakit, aki korrepetálja a gyereket „matekból", hogy valahogy átmenjen az érettségin. Még nagyobb keletje van a korrepetálásnak a fel­

vételi előkészítés szempontjából, „teamekében, a „legkorszerűbb”, számítógépbe tárolt példák és megoldási sablonok segítségével súlykolják a típusfeladatok megoldását. Azt hiszem, amit eddig leírtam - jóllehet keserű tapasztalatom - mindenki előtt ismeretes.

Ráadásul világviszonylatban hasonló a helyzet. A matematikaoktatással foglalkozó kol­

légák túlnyomó többsége világosan látja, hogy mennire elavult, korszerűtlen a tananyag, amelyet matematika néven tanítunk a középiskolában és méginkább az általános iskola felső tagozatában. Lényegében a középkor matematikai ismereteit közvetítjük, így-úgy variálva, többszörösen megreformálva, lényeges változtatás nélkül. Megállt az idő leg­

alább 300 évvel a matematikaoktatásban. Szembe kell néznünk azzal az igazsággal - bármennyire kellemetlen is - , hogy amit matematika néven oktatunk elavult, unalmas tananyag, nem a valódi élő matematika, és ezért unják a diákok is. Megmerevedett és a tudomány fejlődésétől elszakadt ismerethalmazt nyújt, és nem alkalmas arra, hogy fel­

keltse a diákok érdeklődését. Ha sikerül a diákok érdeklődését felkelteni a matematika iránt - és ezt a matematika valóban érdekes fejezeteivel érhetjük el - , akkor a matema­

tikaoktatás hatásfoka jelentősen emelkedik.

Mit kell változtatni?

Milyen érdekes fejezeteket kellene oktatni? A mai matematika tananyag a világot mint­

egy megmerevedett, álló valamit, élő-és élettelen tárgyak halmazát tükrözi, kirekesztve a mozgást, a változást, a függés vizsgálatát, a statisztikai törvényszerűségek észrevé­

telét és mindezek rengeteg alkalmazási lehetőségét a természet és a társadalom éle­

tének, változásainak megértését és annak matematikai vetületét. Mindehhez szükség van a kombinatórikának, az analízis elemeinek és a valószínűségszámítás egyszerűbb fejezeteinek bemutatására. Ezeken keresztül nemcsak a gondolkodás fejlesztésében tu­

dunk nagyot lépni előre, hanem a matematika oktatását közelebb hozzuk az élethez. A differencál-és integrálszámítás elemeinek valamint valószínűségszámítási alapoknak a megismertetése során valódi gyakorlati példák olyan tömege áll rendelkezésünkre, hogy nem kell erőlködnünk annak érzékeltetése során a tanulók számára, hogy a matematika nemcsak hasznos és szükséges, de nélkülözhetetlen a világ megértéséhez.

A tananyag „korszerűsítésével”, reformjával már sokat foglalkoztak, érdemleges vál­

tozás azonban nem következett be, inkább csak átcsoportosítgatások történtek. Valósá­

gos kultúrbotrány, hogy az iskolák többségébe nem engedjük be a matematikának az utóbbi két-háromszáz évben született eredményeit és középkori ismeretek körében to- porgunk, amelyek birtokában a szaktárgyi ismeretek sem érthetők meg. Természetesen vannak (és elég sokan lehetnek) akik úgy gondolják, hogyha a törtek összeadása meg az egyszerűbb szöveges egyenletek megoldása is problémát okoz, akkor hogyan lehetne differenciál-és integrálszámítást, valószínűségszámítást tanítani a középiskolákban. Ez agyrém. Sokkal megfontoltabban, visszafogottabban lehet csak megreformálni a tan­

anyagot. Azzal egyetértek, hogy megfontoltan, de gyökeresen meg kell változtatni a ma­

tematika (és nem csak a matematika) oktatását. Világosan kell látni, hogy a matemati­

kaoktatás eredményessége szempontjából a csőd szélén állunk, és égetővé vált a lé­

nyeges változtatás szükségessége. Ahol eddig kísérlet történt a matematika említett

„újabb" fejezeteinek oktatására, a differenciál-és integrálszámítás tanítására, kombina­

torika és valószínűségszámítás elemeinek egyszerű tárgyalására, a kísérletek általában nagyfokú sikerrel jártak itthon és külföldön egyaránt. (Hogy mást ne mondjak 50-60 évvel ezelőtt a gimnáziumban nálunk mindezt tanították!) A kísérletek az új anyagrészek taní­

tásával és számos érdekes alkalmazásával oly mértékben felkeltették a gyerekek érdek­

lődését, hogy a matematika anyagának megértése ugrásszerűen megnőtt. A 14-18 éves gyerekek a legfogékonyabbak a matematikára, vétek tétlenségre kárhoztatni az eszüket.

Az említett fejezetek oktatásával a matematikát oktató kollégák mozgástere jelentősen

GONDOLATOK A MATEMATIKA TANÍTÁSÁRÓL

kibővülne, nagyobb lehetősége lenne a gondolkodásra-nevelésre, az absztraháló ké­

pesség fejlesztésére éppen a valódi alkalmazási példák páratlanul széleskörű bemuta­

tásával, a matematikai modellezési készség kialakításával. Sokan azt vetik fel, hogy a tanulók többségének gyenge az absztraháló képessége, a matematika viszont túlságo­

san elvont, absztrakt tudomány, így reménytelen a „nehezebb” anyagrészek megérteté­

se. A matematika valóban elvont tudomány, éppen absztrakt voltában rejlik a széleskörű alkalmazhatósága. Minél elvontabb egy tétel, annál nagyobb az a valóságbeli háttér, amelyre alkalmazható. Az absztrakciókban azt keressük, ami a dolgokban közös és el­

hagyunk minden lényegtelent. Az absztraháló képesség tehát lényeglátó képesség, más szóval gondolkodóképesség. Éppen e gondolkodóképesség fejlesztése az elsődleges célja a matematika oktatásnak. Vajon van-e más eszköz, más tudomány, amely alkalma­

sabb a gondolkodóképesség fejlesztésére, mint a matematika? Természetesen nem arról van szó, hogy rangsorolni akarnám a tantárgyakat, mindössze arra kívánok rámutatni, hogy a matematika a tantárgyak többségének megértéséhez, a világ jelenségeinek,meg­

értéséhez, a természet és a társadalom mozgástörvényeinek felismeréséhez (és nem csak a leírásához) páratlanul hatékony eszköz a hozzáértő kezében. Az absztraháló, gondolkodóképesség természetesen nem úgy fejlődik, hogy ülünk egy sötét szobában, behunyjuk a szemünket és megpróbálunk „absztrahálni”.

A valódi alkalmazási feladatok során felállított modellek, kísérletek végzése, ábrák ké­

szítése, más hasonló feladatok kitűzése, a feladatok fokozatossága, az önálló munka megkövetelése fejleszti az absztraháló képességet, de ehhez a jelenleg oktatott mate­

matikaanyag nem megfelelő, jelentősen ki kell bővíteni, az „álgyakorlati” feladatokat el­

hagyni és bátran újítani. Ha sikerül a tanulók érdeklődését néhány sikerélménnyel feléb­

reszteni, akkor a tananyag-felvevő képességük exponenciálisan nőni fog.

A m atem atika időigénye

A matematikát oktató kollégák többsége természetesen szívesen oktatná a matema­

tika modernebb fejezeteit, megtanítaná a gyerekek többségét differenciálni, integrálni, játszana a kombinatorikus feladatokkal, kialakítaná a statisztikus törvényszerűségek vizsgálatának módszereit, ha lenne idő minderre. Kétségtelen, hogy a matematika rend­

kívül időigényes. Ennek alapvető oka, hogy maga a megértés sokkal lassúbb folyamat, mint azt sokan gondolják. A gondolkodóképesség még a gyerekeknél is viszonylag las­

san fejlődik (hát még később), ezért időt kell adni a gondolkodásra és nagy pedagógiai művészettel vezetni rá a gyereket a megoldásra. El kell és el lehet érni, hogy a „miértre”

helyeződjék a hangsúly, az összefüggések megértése domináljon, ne pedig a tudomá­

sulvétele.. Sokkal többet kell kérdeznünk, mint közölnünk a matematika tanítása során.

A tanulókat rengeteg hatás éri, amely leszoktatja őket a gondolkodásról. Kezdve a tele­

víziótól, a szülők, a környezet sőt az iskola is legtöbbször tudomásul vétet, emlékezetet terhel. A vetélkedők többségén is olyat kell tudni, amit nem is nagyon érdemes tudni.

Erős primitiválódási folyamatnak vagyunk szenvedő részesei. Némleg javíthatna a hely­

zeten, ha a matematikaoktatás, és általában az oktatás és nevelés színvonalát sikerülne emelni. Erre csak az iskolában lehet remény. Az elsajátítandó ismereteket tantárgyakra tagolták, a tantárgyakra vonatkozólag valakik valamikor (talán éppen napjainkban is) megállapították a heti óraszámokat valamilyen megfontolás alapján. Nyilván figyelembe vették a tanítandó ismerethalmazt, majd megállapították, hogy mindegyik tantárgyra ke­

vés az óraszám, azután valamilyen erőviszonyok alapján kialakultak a mai óraszámok.

Ha a döntéshozók visszagondolnak arra, hogy mennyi ideig tartott nekik egy-egy mate­

matikai tétel megértése és a példák önálló (!) megoldása, vagy netán országos és helyi felmérés történnék, hogy a tanulók többsége mennyi időt fordít egy-egy tantárgyból a felkészülésre általában, akkor jelentős átcsoportosításra kerülne sor. A magam részéről arról sem vagyok meggyőződve, hogy a szükséges ismeretek történelmileg kialakult tan­

tárgyakra tagolása az optimális megoldás, mivel a széttagolt ismeretek valamilyen rend­

szerbe foglalására, szintetizálására semmilyen kísérlet nem történik. Ezzel a kérdéssel itt nem foglalkozom csak megemlítem, hogy jelentős, sőt ígéretes kísérletek is vannak más oktatási struktúrák alkalmazására. Visszatérek az eredeti égető problémára, a ma­

REIMANN JÓZSEF

tematika időigényességére. Ha egyszer a matematika időigényes, ami mindenki előtt vi­

lágos, akkor időt kell adni,az oktatására és az elsajátítására. Ezen másképpen, semmi­

féle bűvészmutatvánnyal nem lehet segíteni. Ha a matematikára több időt fordítunk, akkor az megtérül számos más (főleg természettudományos) tantárgy elsajátítási sebességé­

ben. Természetesen a nem matematika szakos kollégák némi rosszallással^olvassák ezeket a sorokat és azt mondják rá, hogy „minden cigány a maga lovát dicséri”. Itt azon­

ban másról van szó, nem rivalizálásról. Mindenki előtt ismeretes a mondás, hogy „a ter­

mészet törvényei a matematika nyelvén vannak megírva”. Valójában ennél sokkal többről van szó, mivel nemcsak a törvényszerűségek leírásában, hanem a törvényszerűségek felfedezésében is nélkülözhetetlen a matematika. Ha a matematikát a törvényszerűségek leírására való „nyelvinek tekintjük, akkor szembetűnő jellemzője, a rendkívüli tömörsége.

Nagy dolog, ha valaki a formulákból olvasni tud. Hogy a matematikai formulák mennyire tömör formában tartalmazzák az információt, annak érzékeltetésére említem a követke­

zőt. C. Shannon az információelmélet megalapozója vizsgálta az írott angol szöveg re­

dundanciáját. Megállapította, hogy a redundancia kb.66%, azaz ha az írott szövegből vé­

letlenszerűen a betűk kétharmad részét kitöröljük, a szöveg még egyértelműen vissza­

állítható, olvashatóvá tehető. Ha viszont egy matematikai képletben akár egyetlen jel (be­

tű vagy szám) hiányzik, a formula máris értelmét veszti. A matematika tehát az informá­

ciónak roppant tömör kódolása. Ez azt jelenti, hogy egy 100 oldalas matematika könyv, vagy jegyzet tartalmát korántsem lehet ekvivalensnek tekinteni 100 oldalas szöveges tankönyv tartalmával. Ha a tantárgyak óraszámát a közlendő ismerethalmaz nagyságától tesszük függővé, akkor ezt a tényt is figyelembe kell vennünk.

Amikor a matematika időigényességét hangsúlyozom, egyáltalán nem azt akarom mondani, hogy a jelenlegi óraszám keretek között nem lehet a matematika oktatását kö­

zelebb hozni az élet, a gyakorlat igényeihez, ugyanakkor jelentősen emelni az oktatás színvonalát, modernebbé és a tanulók számára sokkal érdekesebbé tenni a matematika tantárgyat. Ki tudja azt megmondani, hogy a későbbiekben az egyes tanulóknak mire lesz szüksége a matematikából? A válasz nem attól függ-e, hogy mi lesz a tanuló további sorsa, tovább tanul-e, s ha igen melyik felsőoktatási intézményben, mi lesz majdan a foglalkozása? A gondolkodó, absztraháló, modellező képességfejlődésére, a pontos fo­

galmazásra, logikus következtető képességre nyilván minden tanulónak szüksége van.

Mindebben egy modernebb matematikatanítása nyújthatna segítséget. Emellett az ipar, a mezőgazdaság, biológia, híradástechnika, a kereskedelem, a gazdasági élet számos problémájának megoldása a matematika újabb területeinek, a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika módszereinek ismeretét és alkalmazását igényli. A továbbiak­

ban ezzel a kérdéskörrel foglalkozunk kissé részletesebben.

Statisztikai szem lélet kialakítása az iskolában

Érdemes kissé meggondolni, hogyan is alakult ki az a tananyag, amelyet matematika címszó alatt jelenleg tanítunk az iskolában. Az őskor embere a természet erőivel állt szemben, a jelenségek bonyolultak és félelmetesek voltak számára. (Sokszor ma is azok.) Eleinte nagyon sok volt a véletlen, a meglepő jelenség, amelyeket nem tudott meg­

magyarázni. Később számos természeti jelenség magyarázatára rájöttek, a véletlen je­

lenségek terén a „rendteremtéssel” azonban még a középkorban sem tudtak megbirkóz­

ni. A természet látványának összetettségéből, a bonyolult konfigurációkból sokkal előbb bukkant elő a szám fogalma, majd az egyenes, a kör, az elemi alakzatok fogalma, az algebra, az egyenletek valamint a mérés tana, a geometria, a függvények fogalma, mint a véletlen jelenség, vagy a valószínűség fogalma. Sem az ókorban, sem a középkorban nem tudtak mit kezdeni a véletlen világával. Csak az újkor embere, a reneszánsz korában jutott azokra a nyomokra, amelyekből néhány évszázad folyamán kialakult a valószínű­

ségszámítás.A valószínűségszámítás megszületése után a legújabb korszak embere viszonylag gyorsan képessé vált az addig megfoghatatlan jelenségek megragadására, a véletlen folyamatok egzakt leírására, gyakorlati feladatok hosszú sorának megoldásá­

ra. De nem a gyakorlati élet, a termelés szükségletei vezettek a véletlen tudományának felfedezésére, hanem a szerencsejátékok kockázatának vizsgálata került avatott mate­

GONDOLATOK A MATEMATIKA TANÍTÁSÁRÓL

matikusok kezébe Franciaországban. Angliában a hajórakományok biztosítási díjának számítása, a tengeri katasztrófák, kalóztámadások kockázatának meghatározása veze­

tett ugyanazokra az eredményekre,mint a franciáknál a kockajátékban mutatkozó vélet­

len törvényszerűségek vizsgálata. Nem lehet célunk itt vázolni azt a hosszú fejlődési utat, amelyet a valószínűségszámítás megtett a szerencsejátékoktól a természeti jelenségek, véletlen folyamatok egzakt matematikai leírásáig, a természettudományok számos nagysze­

rű eredményének (atomenergia felszabadítása, űrkutatás stb.) lehetővé tételéig, a különböző szaktudományok fejlődésének előmozdításáig, a gazdasági élet modelljének leírásáig. Mint

Vincze István írja (1 )-ben: „a véletlen világában már nem a véletlen uralkodik”.

Az iskolai oktatásban sokat tehetünk a valószínűségszámítás és annak gyakorlati al­

kalmazása, a matematikai statisztika megalapozására. Ehhez kívánok vázolni néhány gondolatot.

Minthogy a tanulók megismerik a halmaz fogalmát és a halmazokkal való műveleteket, ezek konkrét alkalmazásaként nem nehéz bevezetni egy kísérlet összes kimeneteleinek fizikailag megkülönböztethető eredményeinek halmazát az alaphalmazt, az „elemi ese­

mények terét”, amelynek minden részhalmaza egy esemény. A véletlen esemény mate­

matikai modellje tehát a halmaz. Minél több példát célszerű mutatni egy véletlen kísérlet összes kimeneteleinek halmazára, hiszen ennek értéke éppen abban áll, hogy egy je­

lenség „kísérlet" összes lehetséges kimenetelét számba tudjuk venni és fel tudjuk mérni, hogy ezek közül valamilyen szempontból melyek a számunkra kedvezőek és melyek a kedvezőtlenek. Avalószínüségszámítás megalapozásában általában célszerű a történeti utat követni, a kockadobás, érmedobás stb. lehetséges eredményeinek vizsgálatával, ténylegesen végrehajtva a kísérleteket szinte laboratóriumi körülmények között vizsgál­

hatjuk a véletlen törvényszerűségeit. Ha a kísérlet kimeneteleinek halmaza véges hal­

maz, akkor ennek részhalmazaira vonatkozó leszámlálási módszerek összessége a kombinatorika. Ennek megismertetése alapvető fontosságú mind az analízis, mind a va­

lószínűség szempontjából. A modern matematikai statisztikában egyszerű kombinato­

rikus megfontolások alapján igen hatékony statisztikai próbákat konstruáltak. Bizonyára nagy érdeklődéssel végeznének kísérletet a gyerekek különböző bolyongási problémák vizsgálatára, amelyeknél egyszerű „fej vagy írás” játék eredményeinek szemléltetésére egy bábut tologatnának a számegyenes egész értékű pontjain, az origóból indítva a bá­

but. A legtöbb valószínűségszámítási könyvben számos ilyen jellegű példa található. A valószínűség fogalmának megértése természetesen számos tanulónak problémát okoz­

hat. Azt általában a szimmetria-meggondolás alapján könnyen belátják, hogy érmedobás esetében mind az „írás”, mind a „fej" dobásának valószínűsége 1/2, vagy hogy a kocka­

dobás esetén az 1,2.... 6 számok bármelyikének bekövetkezési valószínűsége 1/6. A szimmetria meggondolás azonban nem megbízható, hiszen lehet, hogy a kocka nem szabályos, vagy anyagában nem homogén. Hogyan lehet ezt ellenőrizni Mindenféle mé­

rőeszköz nélkül, statisztikai úton. Fel kell dobni a kockát sokszor, mondjuk 600-szor és ha az 1,2,....,6 számok mindegyike nagyjából ugyanannyiszor fordul elő, akkor a kocka szabályos. Pontosabban szólva, ha az 1,2.... 6 számok gyakoriságai rendre ki, k2,...,k6, akkor eme gyakoriságokat a dobások számával, n-nel osztva a ki/n, k2/n,....k6/n relatív gyakoriságok mindegyike az 1/6 érték közelében lesz. Ha n értékét még nagyobbra vá­

lasztjuk, akkor az egyes számok relatív gyakoriságai még kevésbé térnek el az 1/6 ér­

téktől, mindegyik szám relatív gyakorisága az 1/6 érték körül ingadozik és meglepő sta­

bilitást mutat. Azt a számot, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az illető esemény valószínűségének nevezzük. Ha pl. A6 jelöli azt az eseményt, hogy a do­

bás eredménye 6 pont, akkor P(Ae)= 1/6. Azt a tényt, hogy az Ai esemény k/n relatív gya­

korisága nagy n esetén alig tér el az 1/6 valószínűségtől, a nagy számok törvényének nevezzük. A gyakorlatban tulajdonképpen soha nem tudjuk egy esemény valószínűségét megismerni, meg kell elégednünk a relatív gyakorisággal, ami lényegében százalék-szá­

mítás (I), amit egyébként is tanulnak a gyerekek. A valószínűséggel is úgy vagyunk, mint a tömeg meghatározásával. Ha egy kb. 10 dkg tömeget analitikus mérlegen többször megmérünk, akkor meglepve tapasztaljuk, hogy mennyire különböző eredményeket ka­

punk. A mérés alapján nem tudjuk pontosan, hogy mennyi is valójában a test tömege, de ha sok mérési eredmény számtani közepét képezzük, az jól közelíti a test tömegét. A

REIMANN JÓZSEF

tömeget tehát statisztikai úton, valamely esemény valószínűségét szintén statisztikai úton, a relatív gyakoriság segítségével közelítjük meg. Elméleti úton nem lehet „kitalálni”

egy egyszerű esemény valószínűségét, azt meg kell mérni statisztikai úton. Ez az egy­

szerű, vagy elemi események valószínűségére vonatkozik. Más a helyzet az összetett események valószínűségével, amely összetett események több egyszerű esemény uni­

ójaként, vagy más néven összegeként állnak elő. Ha felrajzoljuk a kockadobás kísérle­

tének „eseményterét", az összes elemi kimeteie halmazát jelöljük i-vel, akkor mint em­

lítettük ennek bármely részhalmaza egy esemény, amelyet latin A,B,C,...nagy betűkkel jelölünk. Magát az I alaphalmazt biztos eseménynek nevezzük.

Ha pl. A az az esemény, hogy a dobás eredménye páros szám, azaz

A= {2,4,6} , akkor az A esemény relatív gyakoriságát már nem kell nagyszámú do­

bás regisztrálásával leszámolni. A gyere­

kek hamar rájönnek, hogy az A esemény relatív gyakorisága a benne levő elemi ese­

mények relatív gyakoriságainak összege. A binomiális-tétel segítségével megmutathat­

juk, hogy a kockadobás kísérleténél az összes lehetséges események száma 2 . Ekkor azt is megmutathatjuk, hogy minden olyan kísérletnél, amelynek véges n-számú kimenetele van, a lehetséges események száma 2n.

A relatív gyakoriság tulajdonságainak vizsgálatával eljutunk a valószínűségi axió­

mákhoz. A lényeg annak megértetése, hogy amikor események valószínűségéről beszélünk, a halmazokhoz számot rende­

lünk. Ez nem ismeretlen a gyerekek előtt, hi­

szen amikor intervallumok hosszát síkido­

mok területét mérjük, akkor is ez történik, lényegében tehát halmazfüggvényt értelme­

zünk. A valószínűség ugyanúgy halmazfüggvény mint pl. a terület, hiszen a valószínűség is mérték, egy esemény százalékos bekövetkezési gyakoriságának mértéke. Ha alaphal­

maznak valamely egységnégyzetet választunk, akkor a tanulók könnyen belátják, hogy ennek bármely részhalmaza kisebb területű mint 1. Azt is jól szemlélik, hogy diszjunkt

A

B

T(A+B) = T(A) + T(B) mivel AB = 0 T(A + B) - T(A) + T(B) - T (AB)

2

1

GONDOLATOK A MATEMATIKA TANÍTÁSÁRÓL

| X 1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

halmazok, pl. körök halmazelméleti összegének területe a területük összegével egyenlő, ha viszont a halmazoknak van közös része, akkor más a helyzet.

Ugyanezt intervallumokon is megmutathatjuk. Mindezek fejlesztik a gyerekek fantázi­

áját Ha az egységnégyzetre véletlenszerűen pontokat szórunk, ugyanezek a törvény­

szerűségek érvényesülnek a relatív gyakoriságokra is.

Alapvető fogalom a véletlen változó, vagy valószínűségi változó fogalma. Az könnyen megérthető, hogy a kockadobás eredménye az X valószínűségi változó, amelynek lehet­

séges értékei az 1,2,3,4,5,6 számok, amelyek mindegyikét 1/6 valószínűséggel veszi fel.

A mellékelt táblázattal máris meg­

adtuk az X valószínűségi változó el­

oszlását.

Játszhatunk olyan játékot is, hogy egy tanuló dobálja a kockát, és minden dobás után annyi forintot adunk neki, ahány pontot dobott, - csakhogy! - minden dobás előtt le kell tenni az asztalra valamennyi forintot!

Kérdés, hogy hány forintot tegyünk le? Ehhez ki kell számítanunk a nyeremény várható értékét.

E(X) = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) ^ 6

Úgy gondolom, hogy a matematika tanárok fantáziája megtalálja az utat a valószínű­

ségszámítás elemi fogalmainak érdekes bevezetéséhez. Például a normális- vagy Ga- uss-eloszlás megismertetéséhez lemérhetjük 100 tanuló testmagasságát, legyenek ezekx-i, X2,..., xioo

Számítsuk ki az

x = számtani közepet, valamint az

X1 + X2 + ... +X1QQ 100

S =

100

I< X 1 - X ) 2

1

100

empirikus szórást. Ha az xi, X2r .., xioo értékeket a számegyenesen ábrázoljuk, azt fogjuk tapasztalni, hogy az (x - S, x + S) intervallumba a magasságok kb 70%-a

68,3%

x -2 S x -S x + S x + 2S

95%

az (x - 2S, x + 2S) intervallumba a magasságok 95%-a esik, tehát 100 tanuló közül csak 4-5 gyerek magassága esik a kétszórásnyi sugarú intervallumon kívül.

Ezzel máris fontos statisztikai törvényszerűségre találtunk. Ha a számgyenest az ponttól indulva alkalmasan választott (mondjuk 5 cm-es) részintervallumra osztjuk és minden részintervallumra egy téglalapot rajzolunk, amelynek területe arányos az illető intervallumba eső pontok relatív gyakoriságával,akkor a kapott relatív gyakorisági hisz- togram kízelítőleg egy harang görbét illusztrál, amely a normális sűrűségfüggvény.

Mivel a téglalapok területének összege 1, a tanulók természetesnek veszik, hogy a sűrűségfüggvény alatti terület egységnyi. Ha a számegyenesre felmért x i,x2,...xi00 érté-

REIMANN JÓZSEF

kék segítségével megszerkesztünk egy lépcsős függvényt, amelynek mindegyike Xi pontiban nagyságú ugrása van és monoton nem csökkenő (célszerű milliméterpa­

pírt használni és 10 cm egység esetén y — =1 mm.), akkor az így kapott Fn(x) tapasztalati eloszlásfüggvény (ahol n=100) értéke tetszőleges x értékre megadja az x-nél kisebb

magasságok relatív gyakoriságát.

Az Fn(x) függvény segítségével tet­

szőleges (a,b) intervallum választásá­

val megkapjuk az illető intevallumba eső magasságok relatív gyakoriságát, ami az Fn(x) függvény növekménye az adott intervallumon. Az ilyen „játékos”

ábrázolgatás elősegíti annak megérté­

sét, hogy a testmagasság, jelöljük X- szel, valószínűségi változó amely a vé­

letlen játéka folytán különböző gyere­

keknél különböző értékű, a véletlen já­

tékában azonban statisztikai törvény­

szerűségek uralkodnak.

Az iskolában a tanulók különböző függvényekről tanulnak, a gyakorlatban azonban nem látják sok hasznát, túlságosan absztrakt számukra afüggvény. Azt sem értik például, hogy miért van szükség az egyenes egyenleteinek különböző alakjaira, vagy egyáltalán hogyan lehet meghatározni, hogy két mennyiség között milyen függés van, pedig ez volna a legfontosabb. A gyakorlatban rendszerint megelégszünk a kapcsolat lineáris közelítésé­

vel. Ha pl. keressük a kapcsolatot a tanulók testsúlya és magassága között és az osztályban mondjuk 30 tanuló van , akkor minden tanulóhoz tartozik egy számpár az xi magasság és az yi testsúly (i=1,2,...,30) Az (xi,yi), (X2,y2)...,(xao,y3o) pontokat a síkon ábrázolva egy pont­

felhőt kapunk. Számítsuk ki a ponthalmaz súlypontját, azaz határozzuk meg az _ X * _ ¿ y i

x = — , y =

30 30

koordinátájú súlypontot! Ezután vágjuk ketté a pontfelhőt az y tengellyel párhuzamos egyenessel, majd számítsuk ki a baloldali-ill. jobboldali részhalmazok súlypontjait, azaz határozzuk meg az (xi, y i) és (X2, y2) súlypontokat

Az (x, y) ponton átmenő és

^ l = m X2 -X1 iránytangensű egyenes, azaz az

y = y + ^ ( x - x ) X2 - X1

egyenes WaldÁbrahám vizsgálatai alapján a lineáris kapcsolatot bizonyos értelemben legjobban leíró függvény, egyfajta regressziós egyenes. Ennek alapján a magasság is­

meretében a testsúly jól becsülhető (legalábbis átlagban) és nem kell hozzá tudni mást,

GONDOLATOK A MATEMATIKA TANÍTÁSÁRÓL

mint az egyenes egyenletét. Azt hiszem, hogy a matematikát oktató kollégák számos ha­

sonló példát tudnak konstruálni. A valószínűsági alapok oktatása után a jelenleg oktatott anyagban számos helyen találunk valódi alkalmazási lehetőségeket, amelyekkel még az ismétléseket is színesebbé tehetjük.

A fentiekkel mindössze néhány ötletet kívántam nyújtani a statisztikus szemlélet meg­

alapozásához. Természetesen számos különböző út járható ezen a téren, egyáltalán nem baj, ha valaki egészen más utat követ. A baj csak az, ha szó sem esik a valószínű­

ségszámításról és statisztikai módszerekről az iskolában.

IRODALOM

(1 )Vincze István: A véletlen világában már nem a véletlen uralkodik ( Nagy pillanatok a mate­

matika történetéből 8.fejezet), Gondolat, Budapest, 1981 (2) Rényi Alfréd: Ars Matematica, Magvető Kiadó, Budapest, 1973

(3) Reimann József: Valószínűségelmélet és matematikai statisztika mérnökönek Tankönyvkiadó, Budapest, 1992

A humán műveltség és a formalizáltság

HOLNAPV DEZSŐ

A műveltség egyetemes! Nem igaz, hogy a humán műveltség és a termé­

szettudományos műveltség a műveltség különálló részei. Véleményem szerint vitathatatlan, hogy a humán tudományok művelőinek tudása, ismerete többnyire lexikális, míg a természettudományokkal foglalkozóké inkább procedurális, s e képességekben a fenti tudományterület képviselői különböznek. Akit zavar a humán műveltséggel kapcsolatban a formalizáltság bemutatása, annak bizonyára rossz emlékei vannak a középiskolai matematikáról, és nem vált élménnyé, élvezetié, intellektuális örömmé benne a matematika. Na nem a trigonometrikus azonosságok, a szóbeli egyenletek megoldási rutinjának évekig tartó gyakorlását kérem számon, hanem annak a gondolkodásmódnak az ismeretét, amit a mate­

matika révén elsajátíthatunk. A matematikai gondolkodásmód ui. a humán művelt­

ség része. (1) Jelen tanulmányban szeretném megmutatni, hogy a humán tudományokban is jelen van a formalizáltság, továbbá, hogy a formálisan megfo­

galmazott jelenségeknek is lehetnek humán interpretációi. Nem titkolt szándékom, hogy szeretnék e tevékenységemmel azok nyomdokaiba lépni akik a műveltséget képesek egységben látni (2), (3), (4), s szeretnék egyúttal ugyanerre másokat is lelkesíteni.

A modell

A környezetünk állapotáról, a benne zajló folyamatokról bennünk kialakult kép a jelenség fizikai modellje. A fizikai modell lehet verbális, leírhatjuk szöveges formában valamilyen élő nyelven, de leírhatjuk azt egy szigorúbb szintaxissal és szemantikával rendelkező mesterséges nyelven a ma­

tematika szimbolikájával is. A jelenségről alkotott képünk egzaktsági szintjétől függ, hogy melyik nyelvet használjuk. Az utóbbi alkalmazása esetén szokás matematikai modellről beszélni.

Modelljeink hierarchikusak, s a globájisabb modellek a részletesebbekhez képest többlet információkat is tartalmaznak (5). így lehet szó arról, hogy egy részletkérdéseket is egzaktul tárgyaló modellről magasabb hierarchiaszinten verbálisán beszéljünk, s ezzel élménnyé válik egy formalizmusnak a számunkra éppen érdekes mondanivalója (6).

A léptékproblémának is nevezhető jelenség jól bemutatható a különböző építészeti tervdokumentációkon keresztül. Világos, hogy az építtetőnek többet mond - a kőműves­

nek egyébként kevesebbet mondó - engedélyezési tervdokumentáció a pallérterveknél, amikből szakértelemmel neki, az építtetőnek kellene összegeznie, emergens tulajdon­

ságokkal felruháznia a kiolvasottakat ahhoz, hogy az engedélyezési terv mondanivalóját a maga számára előállítsa.

A művészet, a mesterség és a tudomány a Világról alkotott képünk különböző egzakt­

sági szintjei.

A nyelvtan, mint num erikus form alizm us

A költészet, azt hinné az ember, igazán mentes a kötöttségektől. Természetesen mon­

danivalóját, szemantikáját tekintve így is van. A rímek helyes képzése, még inkább az időmértékes versek ritmusa, igen szigorú szabályoknak hódol.

A HUMÁN MŰVELTSÉG ÉS A FORMALIZÁLTSÁG

Vizsgáljuk meg, miként írható le egzaktul egy korrekt hexameter.

T = { u ; - }

N = { pirrichius ; jambus ; trochaeus ; dactylus ; anapaestus ; spondeus ; hexameter;

alternatíval ; alternatíva2}

S = { hexameter}

{ pirrichius =>; u u ; iambus => u — ; trochaeus =>; — u; dactylus => — u u ; anapaestus vj — ; spondeus =>--- ; alternatíval =>; dactylus;

alternatíval =>; spondeus;

alternatíva2 =>; trochaeus;

alternatíva2 =>; spondeus;

hexameter =>; alternatíval alternatíval alternatíval alternatíval dactylus alternatíva 2;

A T nem üres, véges halmazt terminális szimbólumhalmaznak nevezzük. Egy ritmus­

leírásban csak ezek a jelek fordulhatnak elő. A gyűjtőfogalmak, vagy másnéven nemter­

minális szimbólumok az N, nem üres, véges halmazban találhatók. E fogalmak más fo­

galmakból való levezethetőségét (-> ) a P szabályhalmaz (production halmaz) tartalmaz­

za, míg az S, a nemterminálisok közül kiemelt legmagasabbrendű fogalom, a mondat­

szimbólum, aminek az egzakt definícióját tartalmazza a vázolt nyelvtan.

Sorozatos helyettesítésekkel a nyelvtan alapján képezhetők a nyelv összes korrekt mondatai, vagy pedig egy mondatról eldönthető, hogy korrekt mondata-e a nyelvnek.

Egyszerű példával megvilágítjuk a tételbizonyítás menetét a fent bemutatott nyelvtanra támaszkodva.

A bizonyítandó kérdés: a hexameter első verslába lehet-e--- ?

A bizonyítás gondolatmenete a következő: az első versláb, alternatíval. Az alternatíval helyettesíthető dactylus-szal, a dactylus pedig helyettesíthető — u u -vei, ami nem egyezik azzal, amit bizonyítani akartunk. Az alternatíval azonban spondeusüszal is helettesíthető, ami pedig--- val helyettesíthető. Az utóbbi megegyezik a kérdésben szereplő verslábbal.

A bizonyítás sikeres. Igaz tehát, hogy a hexameter első verslába le h e t---.

A bemutatott nyelvtan az ún Chomsky-ié\e string nyelvtan (7). A Chomsky-féle nyelv­

tanok alkalmasak arra, hogy a szigorúan rögzített szintaxisú nemnumerikus problémákat formalizáljuk. A bemutatott nyelvtan általánosítható többdimenziós esetre is, ami a nem­

numerikus kapcsolatok egy széleskörű osztályának egzakt formális leírását teszi lehe­

tővé. Ugyanilyen nyelvtanok használhatók a rendszerelvű építésben arra, hogy egy szer­

kezet összeépítési szabályait, vagyis az elvégzendő műveleteket egzaktul leírjuk.

Jelen fejezetben bemutattuk, miként lehet nemnumerikus eszközökkel formálisan dol­

gozni, ill. fogalmakat definiálni. Az eszköz akár a matematika jelölésrendszerének, nyel­

vének a definiálására is alkalmas, de mint láttuk, annál lényegesen szélesebb körű a nyelvtanok alkalmazhatósági köre.

A következőkben numerikus állításokból indulunk ki és megmutatjuk, hogy annak lé­

nyege miként interpretálható az annál lényegesen tágabb humaniórákban.

A folyam atm odell

A folyamatokat a kezdőknek induktív módon tanítjuk. Kiindulunk az időtől független eseményekből, és instantén állapotváltozásokat képzelünk el. A megalapozott ismeret birtokában térünk át a tranziensek leírására. A numerikus modell bemutatásánál jelen cikkben kövessünk deduktív módszert, majd mikor a modellt teljesen uraljuk, akkor tér­

jünk rá az egzaktul leírt folyamatok humán interpretációira.

Formalizált interpretációk

Egy folyamat a következő közönséges differenciálegyenlettel írható le:

HOLNAPY DEZSŐ

■r- d'oft) _ v h

^ a' dt' ^ 1 dt1

Hogy senki meg ne ijedjen ettől a formalizmustól, nyelvezettől, tekintsünk néhány pél­

dát. , _

Ha o -án feszültséget, e-on alakváltozást értünk,

i=0, j=0 esetében a folyamatot leíró (differenciál)egyenlet:

ao 0(t) = bo e(t) alakú, és a Hooke törvényt jelenti (1. ábra).

Épület­

süllyedés

l.ábra

A Hooke-törvény és alkalmazása i=0, j=1 esetében a folyamatot leíró differenciálegyenlet:

aoa(t) = boe(t) + bié(t)

alakú, és a Kelvin-Voigt anyagmodellt formalizálja, a lassú alakváltozást tartalmazza (2. ábra).

Konszolidáció 2. ábra

Kelvin-Voigt anyagtörvény és alkalmazása Az

Aq = s + ts

alakú differenciálegyenlet a 3. ábra szerinti kútrendszer instacionér állapotait is leíró probléma matematikai modellje.

b o ( t ) = k i ( t ) + T ki ( t ) alakban a 4. ábra szerinti víztározás problémáját írja le.

ht ( t ) = fi ( hi, Q, t ) erőmű felvízszint ala Ap = clQIQ + dQ + eQ

alakban az 5. ábra szerinti vízerőmű felvízszint alakulását követi Q(t) vízátbocsátás hatására.

alakban pedig a 6. ábra szerinti instacionaritást is tükröző csőhálózati nyomásesést modellezi.