Gazdaságmatematika 2.

(1)

Gazdaságmatematika 2.

Gyakorlat – 7. hét

Extremális pont, extremális irány

Készítette: dr. Nagy Noémi

(2)

1. példa

Adott az alábbi konvex poliéder. Határozza meg a konvex poliéder összes extremális pontját és extremális irányát!

Megoldás:

Első lépésként elkészítjük a pivottábláját.

Választunk egy pivotelemet

Kiszámoljuk az új táblát:

- P helyére a reciproka - Sorában osztunk P-vel - Oszlopában osztunk (-P)-vel

- Többi helyen téglalapszabályt alkalmazunk (x-ab/p) Újabb pivotelemet választunk

Végül elhagyjuk az e oszlopokat

(3)

1. példa

Miután megkaptuk az első bázismegoldást, leolvashatjuk azt:

Mivel az x-ekre vonatkozó feltételek teljesülnek, megtaláltuk az első extremális pontot.

Extremális irány akkor tartozik az extremális ponthoz, ha a pivot tábla tartalmaz nempozitív (0 vagy negatív) elemekből álló oszlopot. Itt ilyen oszlopot nem látunk, tehát nincs extremális irány.

Egy konvex poliéder „csúcspontja” az extremális pontok, melyek száma legfeljebb a bázismegoldások maximális számával megegyező lehet.

Az extremális pontok meghatározásához minden

lehetséges bázismegoldást fel kell írni. Jelen esetben ez bázismegoldást jelent.

Válasszuk elsőként az metszetében lévő pivotelemet:

Az utolsó (hatodik) tábla bázisában az és ismeretleneknek kell lennie. Ez onnan is látszik, hogy eredetileg ezek nem szerepeltek az induló tábla bázisában.

Ehhez célszerű a kijelölt elemek valamelyikét választani

(4)

1. példa

Miután mind a 6 táblánk megvan, összegyűjtjük az extremális pontokat és irányokat:

Extremális irány ebben az esetben nincs, ezért a konvex poliéder zárt alakja:

(5)

2. Példa

(dr. Házy Attila: Példatár a második zárthelyi dolgozathoz, Extremális pontok, irányok meghatározása, 1. feladat)

Adott az alábbi konvex poliéder. Határozza meg az összes extremális pontját és irányát, valamint írja fel a konvex poliédert az extremális pontjai és irányai segítségével!

Megoldás:

Mivel van nempozitív oszlop, ezért van extremális irány, melyet a következőképpen olvasunk le: az adott oszlophoz tartozó ismeretlen értéke 1, a bázisban szereplő értékek az adott oszlopban szereplő értékek (-1)-szerese, a többi ismeretlen értéke 0.

(6)

2. Példa

Az extremális pontok: Az extremális irányok:

A megadott konvex poliéder zárt alakja:

Ezek a a feltételek az extremális pontok által kifeszített testet (szimplex) írják le, amik akár így is kinézhetnek:

Ez pedig a kifeszített test pozitív irányú, extremális irányokba történő eltolását jelenti.

Megjegyzés:

Amennyiben jól látható, hogy a b oszlopában negatív érték lesz, elegendő megjegyezni, hogy „nincs extremális pont”, az új tábla számítása mellőzhető. Ilyen eset lehet például, amikor a b oszlopában nem szerepelt negatív érték, de a pivotelem negatív.

(7)

3. Példa

(dr. Házy Attila: Példatár a második zárthelyi dolgozathoz, Extremális pontok, irányok meghatározása, 5. feladat)

x₁ x₂

(0,0) (6,0)

(0,2) Megoldás:

Szemléltetésképpen grafikusan ábrázoljuk a feltételeket a koordinátarendszerben és bejelöljük a feltételek által meghatározott területet, hogy később összevethessük a kapott eredményekkel.

(Számonkérés során az ábrázolás nem szükséges.)

(0,-2) (-4,0)

Az első feltétel által meghatározott határoló egyenes.

A második feltétel által meghatározott határoló egyenes. A feltételek által meghatározott terület.

(8)

3. Példa

(dr. Házy Attila: Példatár a második zárthelyi dolgozathoz, Extremális pontok, irányok meghatározása, 5. feladat)

Megoldás:

Első lépésként az egyenlőtlenség jobb oldalán lévő negatív érték esetén a feltételt (-1)-gyel szorozzuk.

Második lépésként <=esetén hozzáadunk egy u-t,

>= esetén kivonunk v-t.

Azaz nemnegatív hiány- vagy feleslegváltozót vezetünk be, melynek hatására a két oldal között egyenlőség lesz.

Elkezdjük az egyenlet- rendszer megoldását

Elhagyjuk a felesleges oszlopokat és leolvassuk az első bázismegoldást.

Tehát az extremális pontok: Az extremális irányok: A megadott konvex poliéder zárt alakja:

Látható, hogy a három tábla (a bázisbeli elemektől eltekintve) azonos, ezért a táblázat felírásánál Az u változók automatikusan bekerülhetnek a bázisba.

(9)

3. Példa

(dr. Házy Attila: Példatár a második zárthelyi dolgozathoz, Extremális pontok, irányok meghatározása, 5. feladat)

x₁ x₂

(0,0) (6,0)

(0,2)

(3,1) (2,1)=(1,1/2)

A kapott extremális pontok az ábrán:

A kapott extremális irányok az ábrán:

A megadott konvex poliéder az ábrán: