Neptun Kód: AO1CTY
Név:. . . . Évfolyam:. . . . 1: Tegyük fel, hogy p
2-t 10 8 hibakorláttal tudjuk kiszámítani. Melyik kifejezést lehet kisebb relatív hibával kiszámítani és hányszor kisebbel, az alábbi elméletileg egyenl½o két kifejezés közül?
(i) 1 3 +p
8 6. (ii) 19501 13860p
2.
2: Gauss-eliminációval részleges f½oelemkiválasztást alkalmazva, oldja meg az alábbiAx=bl.e.r.- t, ahol ab = [505; 65; 395]T és az A mátrix sorai rendre:
10:1; 10:1; 10:1 ; 20:3; 25:3; 40:3 ; 30:2; 50:2; 61:2 :
3: Gauss-transzformációval számítsuk ki az alábbi egyenletrendszer együtthatómátrixánakLU- felbontását és alkalmazzuk az Ax = b megoldására, ha b = [505; 65; 395]T és az A mátrix sorai rendre: 10:1; 10:1; 10:1 , 20:3; 25:3; 40:3 , 30:2; 50:2; 61:2 .
4: Határozza meg az alábbi függvénytáblázathoz illeszked½o Lagrange interpolációs polinomot a Lagrange segédfüggvény segítségével és annak alapján f(115:44) közelít½o értékét!
x 101:1 201:1 301:1 f(x) 41:1 12:1 12:1
5: Ahatvány módszerrel határozza meg az alábbiAmátrix domináns sajátértékénekq(2) közelít½o étékét valmint a hozzá tartozó közelít½o sajátvektort és adjon hibabecslést a kapott eredményre a q(0) = 0 és v(0) = 1; 1; 1 T kezd½o érték és vektor esetén! A mátrix sorai rendre:
5; 2; 2 , 2; 6; 1 , 2; 1; 4 .
6: A Seidel módszerrel határozza az alábbi l.e.r. megoldásának x(2) közelít½o értékét és adjon hibabecslést a kapott eredményre az x(0) = 3; 3; 3 T kezd½o vektor esetén!
2 4
40 1 2
1 60 1
2 1 40
3 5
2 4
x1 x2 x3
3 5=
2 4
12:1 14:1 16:1
3 5
7: Az érint½o parabola módszerrel határozza meg f(x) =x3 1
5 = 0
nemlineáris egyenlet esetén a [0; 1] intervallumban a gyök x(4) közelít½o értékét és adjon hi- babecslést a kapott eredményre!
8: Az intervallum-felez½o módszerrel határozza meg f(x) =x3 1
5 = 0
nemlineáris egyenlet esetén a [0; 1] intervallumban a gyök x(4) közelít½o értékét és adjon hi- babecslést a kapott eredményre!
9: A Newton módszerrel határozza meg
f(x) =x3 1 5 = 0
nemlineáris egyenlet esetén a [0; 1] intervallumban a gyök x(4) közelít½o értékét és adjon hi- babecslést a kapott eredményre!
10: Az alábbi függvénytáblázat esetén határozza meg Newton I. formula segítségével azt a legfe- jebb másodfokú polinomot, melynek görbéjére az adatok legjobban illeszkednek!
x 111:1 211:1 311:1 f(x) 41:1 21:1 21:1 11:
a) Írjuk fel az alábbi függvénytáblázathoz illeszked½o köbös els½orend½u spline esetén azu4;2(x), u4;1(x), v5;1(x), valamint v6;2(x) bázis függvényeket de…niáló egyenleteket!
b) Adja meg az alábbi függvénytáblázathoz illeszked½o köbös els½orend½u spline6:részinterval- lumon érvényes alakját (S6(x)-t)!
x 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100
g(x) 10:10 21:10 31:10 31:10 0 31:10 0 21:10 11:10 61:10 11:10
g0(x) 1 0 1 1 1 1 1 1 3 1 2
12: Határozza meg az alábbi mátrix esetén a Frobenius, a sorösszeg és oszlopösszeg normákat valamint kondicíószámot! A mátrix sorai rendre:
10:1; 10:1; 210:1 ; 20:3; 250:3; 40:3 ; 333:2; 50:2; 61:2 :
13: Newton módszerrel határozza meg az f(x) = [f1(x1; x2); f2(x1; x2)]T = 0 nemlineáris egyen- letrendszer megoldásánakx(2) közelít½o értékét és adjon hibabecslést a kapott eredményre! Az adottak: f1(x1; x2) = x41 43x32, f2(x1; x2) = 118x41 +x42, x(0) = [1; 1]T.
14: Határozza meg az alábbi integrál közelít½o értékét és adjon hibabecslést a kapott eredményre!
Használja fel azt a tényt, hogy az integrandus kétszer folytonosan di¤erenciálható!
Z1 1
p 2x
(2 x2)dx:
a) Trapézformula segítségével.
b) Az összetett Trapézformula segítségével, a[ 1; 1] intervallum4 azonos hosszúságú rész- intervallum felosztása mellett.
15: Határozza meg az alábbi integrál közelít½o értékét és adjon hibabecslést a kapott eredményre!
Használja fel azt a tényt, hogy az integrandus négyszer folytonosan di¤erenciálható!
Z1 1
e x
2 5 dx:
a) Simpson formula segítségével.
b) Az összetett Simpson formula segítségével, a [ 1; 1] intervallum 4 azonos hosszúságú részintervallum felosztása mellett.
16: A legkisebb négyzetek módszerével illesszeng(x) =A1+A2(log3x)3alakú függvényt az alábbi táblázathoz!
x 0:3 1:1 3:1 9:1 27:1 f(x) 1:1 1:1 3:1 4:1 7:1
1A számolásokat 4 tízedes pontosságal végezze!
2A feladatok 1-1 pontosak.
3Legalább 9 pont szükséges az aláíráshoz.
