MAGYAR
AKADÉMIAI ÉRTESÍTŐ.
A M A T H E M A T I K A I
ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI OSZTÁLYOK
K Ö Z L Ö N Y E .
AZ A K A D É M I A R E N D E L E T E B O L
S Z E R K E S Z T I
G Y Ő R Y S Á N D O R
A K A D R . T A G .
HATODIK KÖTET
P E S T ,
k g q e n b e r g e r f e r d i n á n d m a g y a r a k a d . k ö n y v á r u s n á l ,
1865.
P E S T ,
n y o m a t o t t e m i c h g u s z t á v h a g y . a k a d n y o m d á s z n á l .
1865.
MAGYAR
AKADÉMIAI ÉRTESÍTŐ.
A M ATHEMATIK AI,
ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI
O S Z T Á L Y O K K Ö Z L Ö N Y E .
>
v i . KÖTET. 1 8 6 5 . I. SZÁM.
A Z Ú J E L E M Z Ő M É R T A N TÖETÉNETI FEJLŐDÉSE S ALAPVONALAI
ÖSSZEFÜGGÉSBEN DESCARTES RENDSZERÉVEL.
S z é k f o g l a l ó u l o l v a s t a N o v e m b e r 28-kán 1864.
C O R Z A N - A V E N D A N O GÁBOR,
A MAGYAR T D D . AKADÉMIA L E V . T A G J A . ( E g y t á b l a r a j z z a l . )
Azon igazságok közé , m e l y e k e t az ú j a b b k o r felfede- zett s tudományosan megalapított, tartozik azon, elv is, hogy
mialatt az a n y a g t e r é n körfolyam u r a l k o d i k , a szellemi élet a mindig előre haladó fejlődés t ö r v é n y é t követi. E z utóbbi- ban nincs e l m a r a d á s , s minden megállapodás is c s a k látszó- lagos, s valódilag n e m e g y é b , mint az erők összpontulása, m e l y n e k k ö v e t k e z m é n y e rendesen új és rögtöni lendület a haladás véghetetlen p á l y á j á n . A történet m u t a t j a , h o g y ha egyesek v a g y egész n é p e k is a mivelödés körén kívül marad- n a k i s , az összes e m b e r i nem általában véve mégis folyvást halad előre a tökéletesedés azon végczélja felé, a mely minden elért fokkal mindig m a g a s a b b r a száll.
H a pedig a szellemi élet ezen fejlődését t e k i n t j ü k , a 1*
ltí
CORZAN-AVENDANO GÁBOR.
mint a z különböző i r á n y o k b a n , a t ö r t é n e t , i r o d a l o m , tudo- m á n y , társadalom és államélet t e r é n mutatkozik, k é n y t e l e n e k v a g y u n k — mint H u m b o l d t Vilmos igen helyesen megjegyzi
— a fejlődés lánczát képező egyes szemek összefüggési mód- j á r a n é z v e két mozzanatot megkülönböztetni. A szellem n e m h a l a d csupán e g y e n e s , folytonos irányban, ú g y hogy az e g y i k mozzanat a másikból s z á r m a z n é k , és a z , a mi mái- m e g t ö r t é n t , alapját k é p e z n é a n n a k , a mi k é s ő b b e n bekövet- k e z e t t ; hanem ezen n y u g a l m a s n a k látszó folyamat közepette olykor-olykor véletlenül ú j mozgalom támad; ú j és hatalmas lökés. A szellem önmagából merít nagyobb teremtő e r ő t , mi által a c s e n d e s , i n k á b b csak e r ő m ü v i fejlődés n e m c s a k siet- tetik, hanem egészen új, m a g a s a b b lendületet n y e r . Az iiyen, r ö g t ö n b e k ö v e t k e z n i szokott fellobbanások r e n d e s e n egyes lángeszű főkből e r e d n e k , és a népszellem m i n d e n nyilatko- zási formáiban m é l y nyomokat h a g y n a k hátra. D e ebből nem k ö v e t k e z i k , hogy a lángész s e m m i összefüggésben nincs a n é p elért szellemi fokával. Mert a lángész nem egyéb, mint á l t a l á n o s népszellemnek fellobbanása, bár fokozott — mert egy egyénben összpontosult — a l a k b a n . A lángész teremtöleg hat ugyan, s oly m a g a s r a száll, m i n t azt előbb alig lehetett sejteni : de ezen röptét is csak azon álláspontról veszi, a me- lyet m á r addig a népszellem ért el ; a fejlődés közepette tá- m a d v á n , csak a szellem általános haladásának megfelelőleg m ű k ö d i k , a n n a k ö r ö k törvényei szerint. A lángész is ugyan- a z o n népszellemben g y ö k e r e z i k , a melyet m a g á v a l tovább r a g a d , csak azon alapot lángítja. fel, a melyen m a g a meggyu- ladt. A lángész c s a k kifejezést kölcsönöz a n n a k , a mit mind- n y á j a n sejtenek, s lia gondolja is, m é g sem teszi a kort azzá, a mi, hanem megfordítva, ő k o r á n a k s z ü l e m é n y e , kifolyása.
Ezen gondolatsorokat n e m czáfolja meg azon tapaszta- lás, hogy g y a k r a n oly eszmék is k e l e t k e z n e k egyesekben, m e l y e k n e k felfogására a kor — mint m o n d j á k — még nem e l é g g é érett; m e l y esetben az e s z m é k hatás n é l k ü l maradván, l a s s a n k é n t feledésbe mennek. D e az eszmét n e m lehet meg- semmisíteni, m e r t a z , lia m i n d j á r t egy időre hattérbe szorít- t a t i k i s , nem s o k á r a niegújúlt erővel ismét f e l l é p ; míg végre m i n d e n m e g t á m a d á s , sőt üldözés daczára is k i v í v j a magának
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 5 azon diadalt, a mely azután az emberi miveltségtörténet egyik f é n y p o n t j á t képezi.
Mind ennek példáit látjuk azon tudomány történetében is, a melyet m e n n y i s é g t a n n a k n e v e z ü n k . E m l é k e z z ü n k c s a k a csillagalaku sokszögekre. Legelőször Pythagoras iskolája fordította figyelmét r e á j u k . Ezután 1 0 századon át feledésbe mentek, és csak Boötius mértanában találkozunk megint a csil- lagalaku ötszöggel. A k ö v e t k e z ő 6 s z á z a d alatt ismét feledés- nek i n d u l t , és csak C a m p a n u s volt az, ki ezen elméletet ú j r a tárgyalta. E g y századdal később keletkezett belőle a kiszökő (ausspringend) sokszögek tana. D e c s a k k é t századdal ezután K e p l e r nagyhírű neve és munkálatai látszának ezen elmélet- nek fontos és állandó szerepet kölcsönözni. Mindamellett még k é t századig nem foglalkoztak vele, és csak az ú j k o r elemző vizsgálatai hozták megint emlékezetbe, és ragadták k i a fele- d é k e n y s é g örvényéből, az által, hogy a közönséges s o k s z ö g e k elméletével egybekötötték.
Л legelső érzéki szemlélettel közvetlenül v a n n a k adva a szárnyalak és cselekvőség (Tbätigkcit) fogalmainak elemei, de igen sok időbe k e r ü l t , míg az e m b e r i s é g az elvont fogal- m a k i g fölemelkedhetett. L e g h a m a r á b b a szám vált cl a tár- gyaktól, mivel minden dolgokra k ü l ö n b s é g nélkül alkal- maztatott. Sokkal n a g y o b b miveltségi fok kívántatott a r r a , hogy az a l a k választassék el a tartalomtól, és ettől külön-álló- lag tekintessék. A tiszta cselekvés felfogása a legnehezebb volt, cs azért legkésőbben is fejlődött.
A mennyire történelmi adataink t e r j e d n e k , a legrégibb miveltségi állapotokat Egyiptomban találjuk. Innen terjedt az első miveltség egyrészről Indiába, másrészről Görögország- ba. Ezen országokban fejlődtek ki a miveltség és t u d o m á n y első csirái, nagyon különbözölcg e g y m á s t ó l ugyan, d e mégis sokkal magasabbra, mint az előbbi culturai mozgalmak akár- melyiké.
A szellemi fejlődés ezen első stadiumában az indusok ü g y e k e z e t e a számtan állapítására s kifejtésére volt irányoz- v a . N á l u k a mértan egészen háttérbe szoríttatott. S z á m t a n u k
sem gyakorlati, sem pedig elméleti tekintetben a mostaninál sokkal h á t r á b b nem állott. A s z á m í t á s o k egész- és törtszá-
ltí CORZAN-AVENDANO GÁBOR.
m o k k á i ugyanazon világosság-, egyszerűség- és könnyűség- gel vitettek v é g h e z , mint n á l u n k . O k hoztak b e először a s z á m t a n b a kielégítő megjelölési m ó d o t . A határozatlan egyen- l e t e k legszebb r é s z é t képezik az i n d m e n n y i s é g t a n n a k . Ismer- t é k e z e k n e k feloldását egész s z á m o k b a n , ép ú g y , mint ez E u r ó p á b a n a X V I I - i k században ú j o n n a n feltaláltatott.
H a a görögök mennyiségtanát tekintjük, észreveszszük, h o g y ennek i r á n y a az indusokéval homlokegyenest ellenke- zett. A görögök i r á n y a túlnyomókig mértani volt, és ámbár az a e g y p t u s i felfogást ö k is e l s a j á t í t o t t á k , náluk mégis az alak lépett előtérbe. A mennyiséget á l t a l á b a n csak m i n t térmeny- nyiséget fogták fel, s ennélfogva c s a k a mértan fejlődhetett ki n á l u k . A számtan csak a m é r t a n n a k egy r é s z é t képezte, m e r t a számtani tételeket is m é r t a n i l a g fogták fel. Ezen vi- s z o n y o k arról t a n ú s k o d n a k , h o g y a görögök világosság és határozottság u t á n t ö r e k e d t e k , és azért m i n d e n t érzékileg
szemlélhető a l a k b a n igyekeztek feltüntetni. D e á m b á r a gö- r ö g ö k iránya szorosan mértani volt , mégis m i n d j á r t Euklid fellépése után oly tüneményt v e s z ü n k észre, m e l y ez óta m i n d i g szerepelt, és mely a m e n n y i s é g t a n gyakorlati alkalma- z á s á r a nézve igen n a g y horderejű volt ; értjük a mértannak összeköttetését a számtannal. E z e n újítást Archimedes nek ( 2 8 7 . K r . e. S y r a c u s b a n ) k ö s z ö n j ü k . 0 volt az első, ki a vona- l a k a t számok által fejezte ki, v a g y i s ki mértani czélokra betü- s z á m t a n i számításokat használt. —
Archimedes u t á n nem k e v é s b b é j e l e n t é k e n y mathemati- k u s vagyis j o b b a n mondva geometra következett, t. i. Pergai Apollonius (született Pamphiliában 2 4 7 . Кг. е., kiképeztetését A l e x a n d r i á b a n n y e r t e ) . Munkái m é g 18 századdal utána oly t e v é k e n y s é g e t i d é z t e k elő, m e l y n e k folytán számos ú j tétel deríttetett vagy fedeztetett fel. Az ötödik könyv l e g j o b b bizo- n y í t é k a az Apollonius lángeszének. Itt találjuk az első vizs- g á l a t o k a t a l e g n a g y o b b (maximum) és legkisebb (minimum) m e n n y i s é g fölött. Megtaláljuk b e n n e majdnem m i n d a z t , a mit e r r ő l az ú j a b b elemzési m ó d s z e r e k tanítanak, és egyszers- m i n d m e g i s m e r j ü k b e n n e az elemző mértan elméletének első csiráit.
H a b á r tehát a görög mennyiségtan fejlődésének mene-
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 7 téböl elóggé kitetszik, bogy a görögök figyelmüket főleg csak a m é r t a n r a irányozták, mindazonáltal m á r Apollonius a z o n t ö r e k v é s e , mely szerint a görög számjelölést javítani és bő-
víteni igyekezett, mutatja, hogy a számtan fontosságát a m é r - t a n r a nézve felfogta v a g y legalább sejtette ; daczára a n n a k , hogy még ö is szorosan ragaszkodott a g ö r ö g irányhoz.
H á r o m századdal Apollonius után Ptolomaeus (125. k ö - rül Kr. szül. után) irt egy k ö n y v e t a testek három k i t e r j e d é - s é r ő l , a miből látjuk, h o g y ő volt az első, ki három é p s z ö g ü tengelyről s z ó l t , melyre az elemző mértan valamely p o n t n a k fekvését a térben v o n a t k o z t a t j a .
A görögök és i n d u s o k ezen kettős i r á n y á t egybesítették az arabok az E u p h r a t v i d é k é n . Náluk t a l á l j u k a szám- és m é r t a n egybeköttetésének első k e z d e m é n y e i t , és az a r a b o k feladata épen az v o l t , h o g y ezen egybeköttetést b ő v e b b e n kifejtsék.
A mondottak bebizonyításául szolgáljon Hassan ben Hassan ben Heithem (meghalt Kairóban 1038.) a mennyiség- t a n történelmére nézve oly fontos m u n k á j a . Hassan egy k ö n y v - ben, mely a mértani h e l y e k r ő l szól, m a g a mondja, hogy mód- szere egészen ú j . N é m e l y e k a fekvés m é r t a n á n a k (Geometrie der L a g e ) kezdeményeit nála vélték feltalálhatni; ez a z o n - ban helytelennek látszik. M e r t szigoruabb vizsgálat u t á n ki- tűnik, hogy a benne foglalt tételek E u k l i d Dalainak után- zásai.
Az a r a b o k nagy j e l e n t ő s é g e a m e n n y i s é g t a n r a n é z v e te- hát k e v é s b b é fekszik azon ú j tanokban, m e l y e k e t ők felállítot- t a k , mint i n k á b b a b b a n , hogy a görögök és indusok i r á n y a i t e g y e s í t e t t é k , és ezeket így egyesítve r e á n k átszállították.
A mennyiségtan egyesített i r á n y á n a k ezen átültetése egy idegen földre nagy haladás volt, m e r t e nélkül m i n d a z , a mi azóta ezen a téren t ö r t é n t , a két i r á n y egyikének , sőt m i n d k e t t e j é n e k alapján sem lett volna lehetséges. De a r e á n k j u t o t t vegyület mind a z z a l , a mi idők folytán hozzá j á r u l t , oly fejlődésnek lett csirája, mely a legszerencsésebb e r e d m é - n y e k h e z vezetett.
E k k é p a görög és ind tudomány a nyugaton ú j h a z á t
8 CORZAÍ>-AVExNDANO GÁBOR.
t a l á l t , és az a r a b o k által egyesített két e s z m e k o r idegen föl- dön és új e r ő k k e l kezdette küzdelmeit.
E z e r esztendőt szükségeltek a görögök mennyiségtanuk kifejtésére, és m é g egy évezred volt szükséges a r r a , hogy a n y u g a t ezen t u d o m á n y t egész teljél en m a g á n a k ismét meg- szerezze. E z e n k o r s z a k első felében azon v o l t a k a mathema- tikusok, hogy a latin írókból a g ö r ö g t u d o m á n y csekély ma- r a d é k a i t elsajátítsák m a g o k n a k ; a második felét pedig az jel- lemzi, hegy az a r a b o k befolyása folytán a g ö r ö g - i n d tudományt befogadták. A m a nagy felfedezések a menyiségtan torén, me- lyeket az ó-kor tenni hivatva v o l t , ez időben véget értek.
Ezen időponttól kezdve önálló és eredeti írókkal nem találkozunk, h a n e m csak olyanokkal, kik a r é g i írók találmá- nyait újra felélesztették vagy a z o k a t m a g y a r á z t á k . Ezek k ö z t első helyet foglal cl Pappus. E z a (Kr. u.) IV. század felé meny- nyiségtani g y ű j t e m é n y e i b e n a legjelesebb mathematikusok elszórt találmányait állítá össze. Ezen g y ű j t e m é n y e k b e n — a régi tudósok legbecsesebb e m l é k é b e n — oly elméletekkel is t a l á l k o z u n k , m e l y e k most az átmetszök elméletéhez (Theorie d e r T r a n s v e r s a l e n ) tartoznak, és melyek közöl többen az össz- hangzó a r á n y l a t r a (harmonische Proportion) vonatkoznak.
E z e n ismeretes mértani tantétet, hogy t. i, ha négy egyenes vonal egy ponton megy k e r e s z t ü l , azaz : h a ezen vonalok sugár-kévét (Strahlenbündel) k é p e z n e k , a k k o r akármely át- metsző ( T r a n s v e r s a l e ) ezen k é v é t változatlan viszonyban vág- j a * ) , P a p p u s m ü v é n e k 7-ik k ö n y v é b e n t a l á l j u k .
*) Ezen t a n t é t lehozatala a következő: L e g y e n e k ( l . á b r a ) K M , KN, K P , K Q oly egyenes vonalok, melyek e g y m á s t К pontban metszik.QM t o v á b b á valamely tetszdsszerinti á t m e t s z ő ; végre K R azon függélyes , mely a közös К pontból az átmetszőre bocsáttatik.
E k k o r a KQP, K M N , KPM, K Q N háromszögek k e t t ő s területe ezen kifejezések által lesz kifejezve :
K R . Q P = K Q KPdinQlvP K R . M N = K M . K N s i n M K N K R Q N ^ K N . K Q s i n N K Q KR.MP = K M . K P s i n M K P , a miből lesz :
QP.MN sinQKP.sinMKN QN.MP sinNKQ.siuMKP,
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 9 E n n e k a tantétnek k e t t ő s jelleménél f o g v a , miszerint ezen viszony egyszersmind e g y kéve négy s u g a r á n a k , és e g y egyenes vonal négy p o n t j á n a k állandó viszonyait -fejezi ki, Chasles ezt kettős vágásit viszonynak (Doppelschnittsverhält- nissj, az átmetsző egyes r é s z e i n e k viszonyát pedig összhang- zatlan viszonynak (anharmonisches Verhältniss) nevezi, és az új elemző m é r t a n n a k kiindulási pontjává t e t t e .
Л XV-ik s z á z a d b a n , m i u t á n az a n y a g m á r fel volt dol- gozva, megszűnt az utánzás (Reproduction), és helyébe lépett az önálló b u v á r l á s és teremtés, mely új k o r s z a k n a k m e g k e z - dője Ragiomontanus ( 1 4 3 6 — 1 4 7 6 . ) vala. О e g y i k e a legneve- zetesebb f é r f i a k n a k , kiket a mennyiségtan történelme fölmu- tathat. I s m e r e t e i n e k egyetemessége , szellemének rendkívüli termékenysége, és termékeinek nagy száma — mindezek a r r a k é n y t e t n e k b e n n ü n k e t , hogy öt E u r ó p á b a n m i n t t u d o m á n y u n k visszaállítóját tekintsük. — É s ezen elismerés reánk m a g y a - r o k r a nézve is annál n a g y o b b fontosságú, m e r t Regiomonta- nus azon férfiak sorába t a r t o z i k , kiket halhatatlan e m l é k ű Mátyás k i r á l y u n k maga köré g y ű j t ö t t , s k i k , habár születé- sökre nézve idegenek, tevékenységökre n é z v e a mieink vol- tak s lesznek ezután is.
A haladás, melyet ez időben a m e n n y i s é g t a n b a n észre- v e s z ü n k , különösen a könyvnyomtatás f ö l t a l á l á s a által moz- díttatott elő. A m e r i k á n a k fölfedezése az e m b e r i s é g e t kettős ú j világba vezette. Mindenütt, nemkülönben a tudományban is látjuk az önálló teremtés óriási m u n k á j á t megkezdetni.
Azonban az eszközök, melyekkel a s z á m t a n rendelke- zett, sokkal csekélyebbek voltak, semhogy a szerencsés k e z - d e m é n y e k az ú j pályán t o v á b b fejlődhettek volna. Czélsze- riibb megjelölésnek behozatala a s z á m t a n b a , mely azt addigi tökéletlen a l a k j á t ó l megszabadítsa, általános szükségnek m u - tatkozott. — D e valahányszor az e m b e r e k n é l valódi s z ü k s é g é r e z h e t ő , a n n a k kielégítése n e m szokott távol lenni ; a szellem á t h á g j a azon korlátokat, m e l y e k öt addig g á t o l t á k , és új, szo-
mely kifejezésbea а keblek viszonya független az átmetsző fekvésé- t ő l , miből következik, hogy az á t m e t s z ő négy d a r a b j á n a k viszonya,
ugyanazon kévére nézve , változatlan.
ltí
CORZAN-AVENDANO GÁBOR.
/
katlan ö s v é n y e k e n halad. í g y történt ez itt is. Míg Olaszor- szágban az ú j í t á s t lassan s m i n t e g y léptenként kísérlették m e g , addig F r a n c z i a o r s z á g b a n egy férfiú s z ü l e t e t t , kinek a sors f e n t a r t o t t a , h o g y a s z á m t a n b a n , sőt a mennyiségtan m i n d e n ágában is, tökéletes és a b b a m é l y e n beható átalakulást idézzen elö. Vieta F e r e n c z (szül. Fontenaisbon 1 5 4 0 . ) volt az e l s ő , k i botükkel, mint általános s z á m j e g y e k k e l é l t , és az által e g y általános számtan alapját t e t t e l e , s c s a k ebből eredhetett azon n a g y tökéletesség, m e l y e t azóta a m e n n y i s é g t a n a r á n y - lag oly rövid idő alatt ért el.
Az e r e d m é n y e k , m e l y e k h e z ezen i d ő i g a mértan t e r é n j u t o t t a k , c s a k egyszerű általános m ó d s z e r e k feltalálására szorítkoztak, melyeknek segítségével önálló, elkülönített igaz- ságokat megvizsgálni, és a z o k a t új, általános tételekké e g y - szerűsíteni (igyekeztek. E z e n időtől fogva különösen az össze- téti (syntheticus) mértanban gyors haladás mutatkozik.
T ö k é l e t e s átváltozást tapasztalt a m é r t a n , midőn a szám- tannal összekapcsoltatott. E n n e k megindítója volt D e s c a r t e s ( 1 5 9 6 — 1 6 5 0 ) . Csak most f o g t á k fel fontosságát azon össze-
köttetésnek, mely körül m á r kétezer esztendő óta f á r a d o z t a k . Descartes jutott legelőször azon szerencsés eszméhez, mely szerint a görbe vonalokat, mint p o n t o k n a k bizonyos tör- vényesség szerinti sorozatát, a közönséges nyelvből a s z á m - tani j e l k é p e s nyelvbe átvitte, és mindazon pontoknak f e k v é - sét, melyek ugyanazon t ö r v é n y n e k alá v a n n a k v e t v e , k é t egyenes (x és y) által meghatározta. Descartesnak új m ó d - szere tehát a b b a n állott, h o g y a görbe v o n a l o k a t két változó határozatlan egyenlete által fejezte ki.
E g y g ö r b e vonal e g y e n l e t e ennélfogva magában f o g l a l j a a n n a k m i n d e n sajátságait. E n n e k feltalálásában fekszik D e s -
cartesnak legnagyobb é r d e m e , melyet m a g á n a k a mennyiség- tan körül szerzett.
K ö n n y e n b e l á t h a t j u k , mily nagy és messzeható volt az átalakulás, melyen a m é r t a n e n n e k k ö v e t k e z t é b e n ment ke- resztül. E z e n ú j mértan elemző mértannak neveztetett, m e g - k ü l ö n b ö z t e t é s ü l az összetétitöl, mely számításokkal nem élt.
Az elemző mértan c s a k h a m a r m i n d e n ü t t kedvező f o g a d - tatásban részesült. Francziaországban l e g i n k á b b De Beaune
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 1 1 foglalkozott vele, Németalföldön Schoolen, Vassenaer, Hu-ygens, De Witt, Hudde, és több mások.
Az elemző m é r t a n n a k nagy e r e d m é n y e i egy időre h á t - térbe szorították az összetéti m é r t a n t , m e l y csak l a s s a n k é n t emelkedhetett fel megint. A két módszer ez időtől fogva bizo- nyos tekintetben ellentétet képezett. Mindazonáltal előnyeik folytán egymást kölcsönösen k i e g é s z í t i k , mígnem belölök egy általános módszer f o g alakulni.
Miután Descartes mértana és a végtelennek e l e m z é s e gyors, sőt nem sejtett k i f e j t é s ü k által m á r némileg k i m e r í t v e voltak : az összetéti m é r t a n ismét e m e l k e d n i kezdett, a g ö r ö g m u n k á k szorgalmas t a n u l m á n y o z á s á n a k folytán.
A m é r t a n ezen k é t részének elválása egymástól azon hibás következtetéshez v e z e t h e t n e , m i n t h a a szakadás, mely- ben a t á r g y itt előttünk feltűnik, a t u d o m á n y h á t r a m a r a d á s a volna. D e ezen h á t r a m a r a d á s valóban c s a k látszólagos ; m e r t a tárgy ú j volt, az e l k ü l ö n z é s tehát szükségessé lett, h o g y ké- sőbben a legbensőbb kapcsolatba j ö h e s s e n .
Első és legjelentékenyebb bővítését nyerte az elemző mértan Parent ( 1 6 6 6 — 1 7 1 6 . ) által, ki, körülbelül ötven eszten- dővel D e s c a r t e s után, h á r o m változónak alkalmazása által egy g ö r b e felületet egy egyenlet által fejezett ki. (Mémoires d e l ' A k a d é m i e 1700). A z o n b a n Clairant*) „Traité de c o u r b e s a double courbure" czímii m u n k á j á b a n , melyet már 16 éves korában írt, csak 1731-ben alkalmazta a térbeli összrendezet- tek tanát, mely a kettős görbületü g ö r b é k elméletét megala- pította.
A lángeszű Tschinkusen ( 1 6 5 1 — 1 7 0 8 . ) mértani vizsgála- taiban a r r a törekedett, h o g y a mértan tételeit minél e g y s z e - rűbben és könnyebben állítsa elő, meggyőződve lévén arról, hogy^ a valódi módszernek könnyen felfoghatónak kell len- nie. E s azon a l a p i g a z s á g o k , melyek t u d o m á n y u n k s a r k k ö - veit, k é p e z i k , valóban mindig az e g y s z e r ű s é g és k ö n n y ü s é g jellemét viselik. Azért mi is beleegyezünk Gorgone eme sza-
*) Clairant már 1 2 éves korában a tudományos világ előtt „ A négy m é r t a n i görbék" czímü munkája által lett ismeretessé. (Miscel-
lanea Berolineneia. Tom. I V . anno 1 7 3 4 ) .
1 2 COliZAN-AVKNDANO GAHOK.
vaiba : „nem szabad azon hiedelemben l e n n ü n k , hogy egy el- méletet tökéletesen felfogtunk, míg úgy nem b í r j u k azt, h o g y valakinek ú g y szólván az u t c z á n kevés s z a v a k k a l megma- g y a r á z h a s s u k . "
Kevés esztendővel, m i u t á n Kepler a testek tartalmának meghatározására vonatkozó módszerét k i f e j t e t t e , Camllerie ( 1 5 9 8 — 1 6 4 7 . ) a tudományt az oszthatatlannak mértana által gazdagította meg. Ezen híres e l m é l e t , mely ötven esztendőn keresztül az egészleti (Integrale) elmélet helyét elfoglalta, egy- szersmind kezdete azon k o r s z a k n a k , melybe az ú j k o r nagy haladásai esnek. Azon bámulatos eredményekből, melyekhez a mértan mai napig j u t o t t , l á t j u k , hogy k ü l ö n ö s e n két n a g y eszme volt az, mely ezen e r e d m é n y e k e t szülte : az egyik Ca- vallerie-nek t a n a az oszthatatlanról, és a másik Descartes-nak g ö r b é k r e alkalmazott elemző m é r t a n a . Az előbbi a régi mér- tanhoz csatlakozott, és az ezen módszer által tett találmányo- k a t úgy t e k i n t e t t é k , mint ha a régi mértanhoz tartoznának ;
míg ellenben a m á s i k , mint valódilag elemző segédeszköz, a m é r t a n t egészen új, valódi t u d o m á n y n y á alakította.
D e míg e k k é p a mértan módszerei szerint két részre oszlott, ezek mellett még egy h a r m a d i k irány is fejlődött ki, melyet újabb mértannak neveznek. E n n e k első nyomaira pedig már Exiklidnek P a p p u s által fentartott Porismáiban a k a d u n k . B ő v e b b kifejtést nyert ezen t á r g y de Gua, Cramer, Waring s több m á s o k által ; a jelen század kezdetén pedig leginkább Biot, Möbius, Magnus, Ponçolet stb. által.
Hasonló módon Chasles és Plüker é r e z t é k szükségét a n n a k , hogy az eddigi összrendezeti rendszer bilincsei alól meg kell szabadulni ; — és ez volt az első lépés az elemző mértan m a g a s a b b kifejlődéséhez.
E z e n ú j m é r t a n , mely elvontsága, egyszerűsége s álta- l á n o s s á g a által kitűnik, — és m i n e k példáját m á r Pascal, és Desargues a kúpszeletekről szóló müveikben adták, és me- l y e k n e k segítségével már Monge , Carnot, Chasles, Plüker e század elején messzeható és t e r m é k e n y elveket állítottak fel,
— nem él semmiféle számtani számításokkal sem. É s ámbár az á b r á k mérése viszonyait (metrische Verhältnisse) és azok- n a k a f e k v é s r e való vonatkozását ép oly sikeresen veszi te-
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 1 3 kintetbe, mint D e s c a r t e s n a k mértana : mindazonáltal m é g i s csak bizonyos nemű távolságok oly viszonyaival foglalkozik, melyekhez hosszabb számítások nem k í v á n t a t n a k .
Descartesnak elemző mértana és az ú j a b b mértan k ö z ö t t igen lényeges különbség létezik. Az elsőben a pont k é p e z i az egységet, és azon elemet a kiterjedés többi részeinek m i n t e g y k é p z é s é r e használja. — A z újabb elemző mértanban p e d i g ezen kiindulási pontot az egyenes vonal v a g y sík k é p e z i , ah- hoz képest, a mint a sík-, vagy a térelemzö mértanról v a n szó. A k i t e r j e d é s ezen különböző fölfogási módjai, mint G o r - gone , Ponçolet stb. világosan mutatták, a legnagyobb befo- lyással v a n n a k a mértan további kifejlődésére.
E z e n újabb elemző mértan elvontságát és k ö n n y ü s é g é t az elemző mértani t é n y e k magyarázatára n é z v e , a k ö v e t k e - zőkben f o g j u k megmutatni.
H a az egyenes vonal kifejezéseinek mennyiségeit, me- lyek Descartes rendszerében zérussal hasonlíttatnak össze, egyszerű római s illetőleg görög b e t ű k k e l jelöljük m e g , ú g y hogy
A x - j - B y - j - C xsin<ü-j-ycos«—p vagy
A^-^-Bjy-^-C!! xsin,s4-ycosß—pj helyett r e n d r e M, N, a, ß-t teszünk : a k ö v e t k e z ő , az e g y e n e s vonalokra vonatkozó e g y s z e r ű kifejezéseket nyerjük :
M = 0 , N = 0 , « = 0 , / 3 = 0 (1) minélfogva
M ± m N = 0 , « d b m / î = 0 (2) oly egyenes vonalok, m e l y e k ezen e g y e n e s e k n e k
M = 0 N = 0 s illetőleg
«=0 ß=0 metszési pontján m e n n e k keresztül *).
*) Mert ha valamely mértani helynek egyenlete MrrrO,
másiké p e d i g
N = 0 ,
ltí CORZAN-AVENDANO GÁBOR.
S z i n t ú g y v i l á g o s , b o g y , h a h á r o m v o n a l
« = 0 , / 3 = 0 , y = 0
u g y a n e g y p o n t o n m e g y k e r e s z t ü l , a z o k n a k e g y e n l e t e i b i z o - n y o s á l l a n d ó m e n n y i s é g e k k e l , p l . m, n, p - v e l s z o r o z t a t v á n ő s z - s z e g ü l , z é r u s t e r e d m é n y e z n e k ; a z a z
m a + n / í + p ) ' = 0 ( 3 ) * ) A m o n d o t t a k k ö v e t k e z t é b e n
a—mß=0 ( 4 ) o l y e g y e n e s n e k a k i f e j e z é s e , m e l y
« = 0 é s ß—0
e g y e n e s e k m e t s z ő p o n t j á n m e g y k e r e s z t ü l . A b e n n e f o g l a l t m e n n y i s é g e k a é s ß a z o n f ü g g é l y e s e k e t j e l e n t i k , m e l y e k v a l a - m e l y t e t s z é s s z e r i n t i x y p o n t b ó l e z e n e g y e n e s e k r e
« = 0 é s ß=0
b o c s á t t a t n a k ; m t e h á t a z o n f ü g g é l y e s e k n e k e g y m á s h o z i v i s z o n y á t f e j e z i k i : a z a z
ß '
akkor
M ± m N = 0
oly mértani helyet tüntet elő, m e l y az adott két helynek közös p o n t j a i t tartalmazza. — Mert világos , hogy, ha m állandó mennyiség, akkor azon összrendezettek, m e l y e k ezen két egyenletnek eleget tesznek, az
M + m N = 0 egyenletének is meg fognak felelni.
*) Mert hogy ezen három egyenes vonal
«=0, ß=0, /=0
egy pontún m e n j e n keresztül , szükséges, hogy a z o n összrendezettek, melyek a — t és ß — t zérussal teszik egyenlővé, — a föltét következ- tében — az egyenletnek h a r m a d i k tagját is zérussal tegyék e g y e n - lővé, fLZSLZ ! El k é t egyenes metsző-pontjának összreudezettei egyszers- mind a harmadik egyenesnek is összrendezettei ; minél fogva mind a három egyenes, egy és ugyanazon ponton megy keresztül.
**) Mert h a MN egyenes vonal, melynek egyenlete xcosa-j-ycos/?:=p,
és ha Q azon х , у2 pont, melyből a Q P függélyes bocsátandó: akkor, a mint azt a 2-dik ábra mutatja,
Q P = S T = S K — T K ; de mivel
S K = S R - f R K ,
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 1 5 A (4) a l a t t i egyenlet t e h á t oly e g y e n e s t k é p v i s e l , m e l y az « = 0 , / 3 = 0 által képezett s z ö g e t m v i s z o n y b a n osztja. E b - ből k ö v e t k e z i k , hogy, ha m = l
« — / 3 = 0 (5) az a = 0 és / 3 = 0 e g y e n e s e k á l t a l képezett s z ö g e t felezi. *)
E z e n e g y e n e s e k
« — m / 3 = 0 és m a — / 3 = 0 (6) az « = 0 és / 3 = 0
e g y e n e s e k m e t s z é s p o n t j á n m e n n e k k e r e s z t ü l , és első p i l l a n a t r a l á t j u k , h o g y az első e g y e n e s az « = 0 egyenessel u g y a n - azon szöget k é p e z i , mint a m á s i k e g y e n e s a ß—0 e g y e n e s s e l . É s mivel
« — / 3 = 0 az « = 0 és ß—0 által képezett s z ö g e t felezi, a z é r t az
« — m , 3 = 0 és m a — / 3 = 0 e g y e n e s e k az « — ß — О egyenessel e g y e n l ő s z ö g e k e t k é p e z n e k .
E z t elörebocsátván, k é p e s e k v a g y u n k a következő su- g á r k é v é n e k
« = 0 , / 3 = 0 , a—m/3=0, a—m,/3=0 . (7) ö s s z h a n g z a t l a n viszonyát f ö l k e r e s n i .
Miután t u d j u k , h o g y az előbbiek s z e r i n t (3. á b r a ) a P p s i n P K Q
m ß P p j sin P K M
tehát
Q P = S R - f R K — T K , vagy mivel
SR=y1eos/S, R K = x1c o s a , T K = p ; lesz
Q P = X j cosa-j-у] cos/3 — p azon függélyes, mely х,у[ pontból
x e o s a - | - y c o s / 3 = p egyenesre bocsáttatott.
*) Ha a minus jel helyébe a plus jel lép ; például a - | - m ^ = 0 vagy a - j - / 3 = 0 , akkor az első egyenes az
« = 0 , / 3 = 0
szöget m viszonyban úgy metszi, hogy függélyesei a és ß az egye- nesnek két különböző oldalára esnek , a másik egyenlet pedig az adott szögnek mellékszögét felezi.
l t í CORZAN-AVENDANO GÁBOR.
N n s i n N K Q
e S m' N n , s i n N K M
e z e n s u g á r k é v e ö s s z h a n g z a t l a n v i s z o n y a p e d i g sin P K Q . sin N K M sin P K M . sin N K Q
k ö v e t k e z i k , h o g y n é g y e g y e n e s v o n a l n a k ö s s z h a n g z a t l a n vi- s z o n y a á l t a l f e j e z t e t i k k i . * )
H a a s u g á r k é v e a k k é p v a n ö s s z e á l l í t v a , h o g y lia e g y á t m e t - s z ő á l t a l m e t s z e t i k , v i s z o n y u l minus egyet e r e d m é n y e z : a k k o r
*) H a azon egyenes vonalokat, melyek
« = 0 és ( 3 = 0
metszéspontján keresztül m e n n e k , általában ezen egyenletek á l t a l fejezzük ki :
«—mß=0, a—miß=0,cc—m2/?=0, és a—тз/3=0, akkor ezeknek összhangzatlan viszonyát a következő kifejezés f o g j a meghatározni :
m3— i na m — ma
Mert h a (4. ábra) KM, K N , KP, KQ azon sugárkéve , mely a fennemlített egyenleteknek megfelel ; és ha az illető egyenesnek M, N, P, У p o n t j a i t oly egyenesben veszszük, mely QQ, távolságra / ? = 0 - s a l párhuzamos : akkor, a mint tudjuk,
MMa N Na _ P P2 Q Q ,
111 ~ M M ^, m'— N N , P P , 'т з QQ^
következőleg a felállított viszonyt az egyenlő nevező elhagyása m i a t t így is írhatjuk :
QQ,, _ N N2 М М ц _ N Na
QQ, ' NN, MM, N N , _ QQ,,—XX, MMa—NN,2
QQa P Pa " MM,, P £ a ~ QQ,2—PPo M M j — P Pa
QQ, P P , MM," P P , A tett föltevések szerint azonban
QQa : P Pa : NNa : M Ma= Q S : P S : N S : MS, az említett a r á n y tehát a következőbe megy át :
Q S — N S M S — N S Q S — P S1 M S — P S ' vagy az ábra tekintetbe vétele mellett :
Q N MN Q P ' M P '
D e ezen viszony nem egyéb, m i n t az adott sugárkévének összhangzat- lan viszonya ; miből tehát a felállított tételnek igazsága kitűnik.
AZ Ú J ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 1 7 azt összhangzónak (harmonisch) n e v e z z ü k , ennélfogva a k ö - vetkező s u g á r k é v e :
« = 0 , /3=0, « — m , t f = 0 , « - j - m , / í = 0 összhangzó ; mert
Л Descartesi r e n d s z e r n e k minden a x - ( - b y - | - c = 0
egyenletét a három-vonala rendszerben m i n d e n k o r mint e g y - nemű egyenletet állíthatjuk elő, ú g y hogy :
mM-j-m, M1-j-m,, M,, = 0 (9)
az előbbi egyenesnek kifejezését képezi, lia M, M,, M,, oly h á r o m egyenesnek egyenletei, melyek n e m egy és u g y a n - azon ponton mennek keresztül.
E z e n feladat megoldása teliát nem e g y é b , mint az m
mi mn együtthatók meghatározása. E végett tegyük föl:
M = A x - f B y - f C M , = A , x - f B , y - } - C , M „ = A1 1x + Bny - f Cn
mely egyenletek a tett feltevésnek megfeleljenek. Ha ezen é r t é k e k e t az egynemű egyenletben helyettesítjük, ezt n y e r j ü k : (m A - f m, A, + mn Au ) x - f (mn - ) - m1 B, - f - m , , B , , ) y - j - m C - f
m , C1- | - mnCn= 0
E z e n e g y e n l e t n e k egybevetése a Descartes-i r e n d s z e r r e l , a k ö v e t k e z ő feltéti egyenletet a d j a :
a = m A - j - m , Aj-J-ШцАц b = m B - | - m1B1- | - mnBn
c = m C - j - m , C, -f-m,, Cu
a miből m, m , , és m , , - t k ö n n y e n m e g t a l á l h a t j u k . H a a három egyenes
x e o s t t - j - y s i n « — p = 0 a l a k b a n volna adva, és ezen j e l k é p e k által
n=0, / 3 = 0 , y=0
képviselve : a k k o r az imént származtatottak folytán a. D e s c a r - tes-i rendszer minden más egyenesének egyenlete, ha ezt az
MATHEMAT. É R T E S Í T Ő . VI. 2
ltí
CORZAN-AVENDANO GÁBOR.
adott b á r o m egyenes által k i f e j e z z ü k; v o l n a :
m a + m ^ - f m n ^ O (10)*).
E z által tehát egy, háromoldal összrendezettböl álló r e n d - szert k é p e z t ü n k , melyben e g y pont f e k v é s e három állandó egyenestől való távolsága á l t a l határoztatik meg, és egy egye- nes vonal az ezen távolságok közti e g y n e m ű (homogen) e g y e n - let által fejeztetik ki. M i n d e n egyenesnek egyenlete tehát az említett rendszerben oly t a g o k által kifejezhető m e l y e k megint e g y e n e s vonalakat k é p v i s e l n e k , m i által képesek va- gyunk, a föladatokat m i n d e n közvetlen vonatkoztatás n é l k ü l a pontok összrendezetteire n é z v e , az egyenletek bizonyos sora által megoldani.
E z e n egyneműségben fekszik az új összrendezetti rend- szernek legkiválóbb e l ő n y e . E n n e k tagadhatlan elsőbbsége Descartes rendszere f e l e t t , abból is k i t ű n i k , hogy az utóbbi- ban v a l a m e l y adott f e l a d a t n á l a l e g n a g y o b b egyszerűségnek elérése a k é t tengelynek megválasztásától f ü g g , míg ellen- ben a h á r o m v o n a l u összrendezetti rendszer alkalmazásánál há- rom a l a p v o n a l fölött tetszés szerint rendelkezhetünk.
*) H a az együtthatók meghatározása valamely teljesítendő föltételtől t é t e t i k függővé, a k k o r ezt figyelembe kell venni. Mert h a például a f ö l a d a t úgy volna a d v a , hogy az
m a - j - n i j / 3 - ) - m1, } ' = 0
egyenes k é t ponton , xL yt és хц y2-n menjen keresztül, akkor az egyenleteket következőképen kellene felállítani :
m«! 4 - m j ßx = 0
és m r ^ - j - m j / З ц - { - 1 0 ^ = 0 [<*1 ; ßi ; У\ ; «ï; ßv", 7ч a l a t t rendre a következő mennyiségeket kell érteni :
«л—xt c o s a - j - y j s i n a — p c o s / J - f - y ^ i n j S — p j }'i=XiC08)'-f-.y1siny—Pn
«2— xu e o s r c - J - y j j s i n a — p ßu = = xl 1 cos/S—(—y,, sin,?—P l
7ч =xi i cosy+yi í sinr—Pi i ]
továbbá meg kellene határozni —-és — értékeit és ezeket a (10) m,2 m2
alatti egyenletben helyettesítni, minek folytán volna :
«(ßiiYi—ßirii)+ß(aihi — « п У 1 ) + К « п А —1« i f t i ) = 0 . . . . i l l )
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN TÖRTÉNETI FEJLŐDÉSE. 19 Oly alakú, nem egynemű egyenletet, mint példáiil a kö- vetkező
r = 5 (12) ezen módon tehetünk egynemüvé. H a
« = 0 , ß=0 és y=0,
úgy mint e l ő b b , az alapháromszög egyenes vonalait, a, b, с oldalainak hosszát, és А, В, С szögeit (5. ábra) j e l e n t i k , ak- kor e n n e k kettős területe lesz :
a a - f - b / J + c j - , (13) hol az a, ß, у m e n n y i s é g e k az egy tetszés-szerinti 0 ponttól az
« = 0 , ß=0, y=0
v o n a l o k r a bocsátott függélyeseket jelentik ; ha ezen területet T által j e l ö l j ü k , s az így nyert egyenletet a (12) alatti egyen- lettel s z o r o z z u k , a k k o r az adott egyenletet ezen e g y n e m ű a l a k b a n n y e r j ü k :
r T = 5 ( a « - f - b / ? + cr) (14)
H a az 0 pont a háromszögön kivül fekszik , vagyis ha az alapvonalok e g y i k é n e k ellenkező oldalára e s i k , a k k o r az illető függélyest t a g a d ó l a g kell v e n n i , mi által a (14) alatti egyenlet zárjel-alatti t a g j a i n a k e g y i k e előjelét változtatja.
A (12) alatti egyenletből azt is l á t j u k , hogy egy adott k ü l ö n n e m ü egyenletet az által változtathatunk át e g y n e m ü v é , ha azt csak egy állandóval is szorozzuk.
H a az alapháromszögöt, melyet az új rendszer tengelyei- nek v e s z ü n k , az ismeretes a szokott megjelölési módon m e g n e v e z z ü k , úgy hogy oldalainak irányait
«=0, ß=0, y=Q
hosszait rendre nézve a, b, с ; csúcsait А, В, С ; kettős terü- letét pedig T által j e l ö l j ü k : a k k o r
<*sinA-}-/ísinB-l-}'sinC (15) egy oly állandó k i f e j e z é s , melynek értéke az alapháromszög
s í k j á n a k minden véges összrendezettekkel biró pontjára n é z v e egyenlő
T s Í p A (16) *)
*) A mondottak igazságáról a következő módon győződhetünk meg. T u d j u k , hogy
2 *
ltí CORZAN-AVENDANO GÁBOR.
De « s i n A + p s i n B + y s i n C ^ O . . (17) egyenlet egy oly egyenest képvisel, mely a Descartes-i rend- szer kezdetpontjától véghetetlen távolságban fekszik. Hogy valóban e g y e n e s vonalt képvisel, kitetszik a b b ó l , hogy az egyenes vonal, általános a l a k j á b a n benne foglaltatik. T o v á b b á az említett egyenlet az alapháromszög s í k j á b a n , véges távol- ságban f e k v ő pontokat sem tartalmazhatja, mert egy ily pont összrendezetteire nézve
asinA-f-ßsinB-j-fsinC
mindig állandó és soha sem lehet egyenlő zérussal.
E z e n elmélkedés azon következtetésre v e z e t , hogy a visszás ( p a r a d o x ) egyenlet [miszerint egy állandó m e n n y i s é g egyenlő legyen zérussal] oly egyenest képvisel, mely az össz- rendezetti kezdetponttól véghetetlen távolságban fekszik.
E z e n tantét segítségével képesek v a g y u n k a háromol- dalú összrendezctti rendszer oly egyenesének egyenletét talál- ni, mely v a l a m e l y más egyenessel párhuzamos. M e r t , a mint tudjuk, két párhuzamos v o n a l n a k egyenletei a Descartes-rend- szerben csak egy állandó által különböznek egymástól. H a tehát az adott egyenes ily a l a k b a n volna a d v a :
m a - j ~mi / З Д - т ц ^ ^ О
a k k o r a vele párhuzamos vonal egyenletének ilyen a l a k ú n a k kell l e n n i e :
m«-|-m1;î-f-mn)'-{-K(«sinA-f-/îsinB-[-j'sinC)=:0
mert az adott egyenlettől csakis egy állandó mennyiségben különbözik.
a « - J - b / 3 - | - c 7 i = T . ba/î-4-car vagy a « - ] — — - = T .
a D e mivel
b : a = s i n B : sinA és с : a = : s i n C : sinA azért
. a/SsinB-j-a'/smC
a « - j ; - — T ; sinA
a miből következik, hogy
. . ^ TsinA.
asinA-|-;?sinB-j-7-sinC=
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 2 1 A m o n d o t t a k s e g é l y é v e l k é p e s e k v a g y u n k , a h á r o m o l - d a l ú ö s s z r e n d e z e t t e k k e l a l e g n a g y o b b k ö n n y ű s é g g e l és e g y - szerűséggel t a n t é t e k e t s z á r m a z t a t n i , és e g y é b v i z s g á l a t o k a t tenni. T . i.
I. E g y h á r o m s z ö g s z ö g e i n e k három felező v o n a l a u g y a n - a z o n egy p o n t o n m e g y k e r e s z t ü l .
A h á r o m s z ö g o l d a l a i n a k egyenletei l e g y e n e k :
« = 0 , / 3 = 0 , y = t 0 ;
e k k o r az А, В, С szögök f e l e z ő v o n a l a i n a k egyenletei az ( 5 ) . egyenlet f o l y t á n a k ö v e t k e z ő k l e s z n e k :
/ 3 — y = 0 , у—a—0, a—ß=0 . . . ( 1 8 ) .
D e mivel ezen h á r o m e g y e n l e t n e k összege e g y e n l ő zérussal, a z é r t az á l t a l u k k é p v i s e l t v o n a l o k u g y a n a z o n egy ponton m e n - n e k k e r e s z t ü l .
II. E g y h á r o m s z ö g k é t k ü l s ő s z ö g é n e k felező vonalai a h a r m a d i k s z ö g felező v o n a l á n m e t s z i k e g y m á s t .
T e g y ü k föl, (6. á b r a ) h o g y В és С s z ö g e k k ü l s ő l e g f e - l e z t e t n e k ; e k k o r felező v o n a l a i k n a k egyenletei lesznek :
« - { - / 3 = 0 , « 4 - 7 = 0 ( 1 9 ) K ü l ö n b s é g ü k , / 3 — y = 0 , a m e t s z é s p o n t j u k o n k e r e s z t ü l m e n ő
e g y e n e s t a d j a ; de ezen e g y e n e s e g y s z e r s m i n d az A szögöt felező e g y e n e s ; a mi b e b i z o n y í t a n d ó volt.
I I I . E g y h á r o m s z ö g (7. á b r a ) m a g a s s á g a i egy p o n t b a n metszik e g y m á s t .
Az « = 0 és / 3 = 0 e g y e n e s e k m e t s z é s p o n t j á n k e r e s z t ü l m e n ő e g y e n e s n e k e g y e n l e t e ez : a—m/3=0. D e mivel e n n e k az ellenkező oldalon f ü g g é l y e s e n kell állania, a z é r t az m - n e k m e g h a t á r o z á s a m a g á b ó l e z e n m e g j e g y z é s b ő l k ö v e t k e z i k ; lesz t. i.
_ « s i n D C E _ eosB
m— ß ~ ~ s l n D C Ä ~ H ^ Ä '
a f ü g g é l y e s e k n e k ( P e r p e n d i k e l ) e g y e n l e t e i l e s z n e k tehát : a c o s A — / 3 c o s B = 0 i
/3cosB—ycosC=o' (20).
y c o s C — « e o s A = 0 ^
Miután p e d i g ezen három f ü g g é l y e s n e k összege e g y e n l ő zé- r u s s a l , a z é r t e g y és u g y a n a z o n ponton m e n n e k k e r e s z t ü l .
I V . A z o n v o n a l a k , m e l y e k a h á r o m s z ö g felező p o n t j a i t
22 CORHAN-AVEND ANO GÁliOH.
annak csúcsaival összekötik (7. ábra), u g y a n a z o n pontban metszik egymást.
Az «-—0)
^ С ponton keresztül menő e g y e n e s n e k egyenlete ez :
a—m (3=0.
A föltevés szerint azonban :
a sinB
m /3 sinA' a keresett egyenesek tebát lesznek :
« s i n A — / 3 s i n B = 0 J
/?sinB—)'SÍnC=o( (21) ; y s i n C — « s i n A = 0 ^
de mivel ezeknek összege egyenlő zérussal, azért m i n d n y á j a n egy ponton mennek keresztül.
V. H a egy háromszögben három oly egyenest h ú z u n k , mely e n n e k szögeit felezi, pl. АО, ВО, С О (8. ábra); továbbá a csúcsokon keresztül h á r o m tetszésszerinti egyenest olyképen, hogy egy pontban messék e g y m á s t , pl. А О , , В О , , С О , : ak- kor h á r o m más e g y e n e s , mely a felező e g y e n e s e k k e l u g y a n - azon h a j l á s alatt húzatik, mint АО,, В О , , és СО,, u g y a n a z o n pontban f o g j a egymást metszeni.
Mert azon tetszésszerinti e g y e n e s e k n e k egyenletei, me- lyek egy pontban m e t s z i k egymást, ezek :
m«—kß=0 k / 3 — n / = 0 n j - — m « = 0
azonban azon egyenesek egyenletei, melyek az e l ő b b i e k k e l u g y a n a z o n hajlási szögek alatt húzatnak, mint АО, ВО, СО, а következők :
k«—mß—0 nß—ky=0 т у — n « = 0 vagy
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 2 3
(22)
a miből k i t e t s z i k , bogy m i n d h á r m a n egy ponton mennek k e - resztül.
V I . Határoztassék m e g azon e g y e n e s n e k egyenlete, mely párhuzamosan egy háromszög alapjához ennek egyik csúcspontján húzatik keresztül.
H a 7 = 0 vonalhoz (9. ábra) a párhuzamost keressük, a k k o r azt ezen egyenlet képviseli :
y — k ( a s i n A - j - / ? s i n B - j - ; s i n C ) = 0 . D e mivel ezen e g y e n e s n e k az
k-t úgy kell v e n n i , hogy y és sinC az egyenletből eltűnjék, és e k k o r a keresett egyenlet lesz :
« s i n A - f / ? s i n B = 0 (23).
Első pillanatra l á t j u k , hogy ezen h á r o m egyenes :
« = 0 ; / 3 = 0 ; a s i n A - f - / 3 s i n B = 0 , az
a s i n A — / 3 s i n B = 0 egyenessel — mely e g y oldalnak felezési pontját a háromszög átellenében fekvő oldalával egybeköti — összhangzatos sugárkévét k é p e z . Ebből k ö v e t k e z i k , hogy egy határos távolságú e g y e n e s n e k k ö z é p p o n t j a egy véghetetlen távolságban fekvő p o n t t a l , ezen adott távolság végpontjaira n é z v e , összhangzatosan van e g y b e k ö t v e (harmonisch con- jungirt).
Itt m e g fogjuk mutatni : 1) hogy lehetséges, minden egyenes v o n a l n a k egyenletét más adott egyenletek tagjai ál- tal kifejezni, és 2) m i k é p e n kell egy egyenes vonalt a három- vonalu összrendezetti r e n d s z e r b e n szerkeszteni.
E czélból k é p z e l j ü k m a g u n k n a k , h o g y
három oly egyenes vonal, mely nem egy ponton megy keresz- metszési ponton is keresztül kell mennie, a z é r t
Az egyenesnek szerkesztése.
« = 0 , /3=0; y=0 . • (24)
2 4 COKZAN-AVENUANO GÁHOR.
tiil L e g y e n e k ezek (10. á b r a ) MO, NO, M N ; ezen három egyenes által minden, az á b r á b a n előfordulható vonalt ki fejez- h e t ü n k .
Az M P egyenesnek egyenlete lesz :
m « — m , / ? = 0 (25) mivel az « = 0 ós / 9 = 0 e g y e n e s e k metszéspontján megy ke-
resztül.
Az N Q egyenesnek egyenlete lesz :
m ,/5— m ^ = 0 (26) ugyanazon oknál fogva.
Az Q R egyenesnek egyenlete lesz :
n i « — m | / ? - j - mn) ' = 0 (27)
mivel oly egyenesnek t e k i n t h e t ő , mely
az m , / ? — may = 0
x=0 metszési ponton, valamint az m r e — m , / J = 0 í , ,
^ ponton m e g y keresztül.
O K - n a k egyenlete lesz :
m « — may = 0 (28)
mivel oly egyenesnek t e k i n t h e t ő , mely
az n — 0 ) , . ,
^ Ц metszési ponton, valamint az egyenesnek m « — m , / ? = 0 ) . . .
\ nnnlinn 1« mpffv lrorna-zHil m,/?— may = 0 5 r" -J O J
O R - n e k egyenlete lesz :
т « - | - тву = 0 (29)
m'vel az ^ j p0 nj .o n keresztül megy, és az általuk képezett szöget k ü l s ő l e g felezi ( e z é r t a második t a g n a k előjele tevőle- ges) ; v a g y oly egyenesnek is t e k i n t h e t ő , mely az
m a — m , / 9 - t - m „ r = 0 ) , . , ,
} metszesi ponton keresztül megy.
R K - п а к egyenletét m e g t a l á l j u k , ha m e g g o n d o l j u k , hogy az m« m,|3 0 / c n c s n c]4 metszéspontján, vala- m , 0 — m2y = 0 4 b J
mint az
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 2 5 m a — т , / 3 4 - ш , , ? = 0 ) , . , . , . ,
ponton is keresztül megy ; mind- ß—О I
k é t esetben R K - n a k egyenlete lesz :
m a — 2 ml i3 - } - ma7 = 0 (30).
На az itt talált egyeneseket egybeállítjuk, lesz : I.
1. M Q ; a = 0 2. N O ;
3. К О ; m a — m2/ = 0 4. K O ; m a - j - n v ^ O
II.
1. R Q ; m a — m , / 9 - | ~ тау = 0 2. RM ; / 3 = 0
3. R O ; m a - j - m ^ ^ O
4. R K ; m a — 2 т1/ Ц - п )27 = 0 I I I .
1. K P ; m a — m , / î = 0 2. K Q ; m , / 3 — m , ) = 0 3. K R ; m a — 2 ш1/ Ц - т2у = 0 4. KO ; m a — may = 0
E z e k n e k megtekintéséből látjuk, h o g y négy-négy vonal egy-egy összhangzatos s u g á r k é v é t k é p e z , mivel ugyanazon a l a k k a l b í r n a k , mint a (8) alatt foglaltatott összhangzatos su- g á r k é v e *), mi által egy tökéletes négyszög öszhangzatos tulaj-
donságai v a n n a k elemző úton származtatva.
*) A I I . és III. alatti sugárkévék e g y e n l e t e i t , összhangzatos jellemük k ö n n y e b b felfogása végett, következő a l a k r a is lehet hozni :
(ma—m1/3-}-m( ij') = 0 / 3 = 0
(ma — jS-^-m^-j-m, / 3 = 0 (ma—ш, / Ц - т2 y) — m, / 3 = 0
ltí CORZAN-AVENDANO GÁBOR.
Н а ( 1 1 . á b r a ) az M N O háromszög csúcsaiból, m e l y n e k oldalai r e n d r e
« = 0 , / 3 = 0 , 7 = 0
által v a n n a k m e g j e l ö l v e , oly e g y e n e s e k e t h ú z u n k , m e l y e k egy és u g y a n a z o n К p o n t b a n t a l á l k o z n a k , a k k o r e z e k n e k egyenletei a k ö v e t k e z ő k l e s z n e k :
MM, m , / 3 — m27 = 0 )
N N , ma7 - m « = o ( (31)
O O j m « — m , (3=0^
mivel ezen három, a h á r o m s z ö g csúcsain k e r e s z t ü l menő e g y e - nes u g y a n a z o n pontban t a l á l k o z i k .
M i n d e n az á b r á b a n előforduló e g y e n e s t a k ö v e t k e z ő e g y e n l e t e k által lehet k i f e j e z n i :
A z 04N j v o n a l n a k e g y e n l e t e , mivel m i n d az N
| M
' ^ ma7 — m a = 0 m i n d az
í r = 0
О, ) л ponton k e r e s z t ü l megy, lesz :
( m , / 9 — ш а = 0 v ь
m , ß-\-mrf—m«=0 ( 3 2 ) . Az О , M ; e g y e n e s n e k e g y e n l e t e , mivel az
( 7 = 0 ima—m1ß=0
u = o
[ m , / 3 — ma7 = 0 p on t oko n k e r e s z t ü l m e g y , lesz :
m a — m , (í-)-m( 27=0 (33).
H a s o n l ó k é p e n az M j N , e g y e n e s n e k e g y e n l e t e , mint- hogy az
) a = 0
í m , / ? — m27 = 0 . O!
M,
M,
és ( m a — m , / 9 ) = 0 ( m , / 9 — ma7 ) = 0
( m a — m j /S)-j-(m27—пц ( 3 ) = 0 ( m a - m , / 3 ) — ( ma7 — m j / 3 ) = 0
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 2 7 és N > = °
/ m( iy — m « = 0 p o n t o k o n k e r e s z t ü l megy, lesz :
m « - j - m , ( 3 — 1 ^ 7 = 0 (34).
Az M B e g y e n e s n e k e g y e n l e t e , mivel a z
és
I m , ß-^m^y— m « = 0 p o n t o k o n k e r e s z t ü l m e g y , lesz :
mlß-\-m^y=0 ( 3 5 ) . Az N A e g y e n e s e g y e n l e t e , mivel az
I « = 0 ( 7 = 0 N es
U = 0
) m « — ml/ 9 - | - ma7 = 0 ponton k e r e s z t ü l megy, lesz :
mcc-|-m2y:=0 (36).
Az О С e g y e n e s n e k e g y e n l e t e , mivel az
L = o
}ß=0 és
c\r=0
I m a - j - m , ß — may = 0 p o n t o k o n k e r e s z t ü l megy, lesz :
m « - j - m i j S = 0 (37).
H a v é g t é r e r e n d r e azon e g y e n e s e k e g y e n l e t e i t k e r e s s ü k , m e l y e k az
í m « - ] - me7 = 0 l m ^ 4 - m , 7 = 0
/ / 3 = 0 6 8 ) a = 0
v a g y
A j m « H h m , , c = 0 é s cj m « + m ^ = 0
j ß = 0 ^ 7 = 0 v a g y v é g t é r e a
ltí CORZAN-AVENDANO GÁBOR.
J « = О
pontokon keresztül m e n n e k : a k k o r l á t j u k , hogy m i n d e g y i k esetben u g y a n a z o n e g y e n e s t n y e r j ü k , t. i.
m a - f ~mi ( 3 8 ) ;
a miből k ö v e t k e z i k , h o g y az А, В és С pontoknak e g y és ugyanazon vonalban kell feküdniök, m e l y vonalok e g y e n l e t e a (38) alatti képlet.
H o g y tehát k é p e s e k legyünk , m i n d e n egyenes v o n a l t , mely az
m a - f - m , ß - j - m ^ m O
egynemű a l a k b a n adva van, szerkeszteni, mindenekelőtt azon e g y e n e s e k e t kell k e r e s n ü n k , melyek az M N O alapháromszög OMN, MNO, NOM szögeit rendre ilyen a r á n y b a n osztják :
m, : m2 ; mu : m ; és m : n i j ; ezen e g y e n e s e k azután az
« = 0 , / 3 = 0 és y = 0
e g y e n e s e k k e l találkoznak ; ekkor az clckép nyert m e t s z é s i pontok a keresett e g y e n e s b e n fekszenek. *)
*) Az említett osztást egész egyszerűen véghez vihetjük az ál- tal, hogy p l . az OMN szög valamely p o n t j á b ó l az egyik f ü g g é l y e s t , fflj-t, y=zO ( 1 2 . ábra) v o n a l r a , a másik f ü g g é l y e s t , m2- t , / ï = 0 vonalra b o c s á t j u k , továbbá ezen függélyesek végpontjaiból p á r h u z a - mosokat h ú z u n k az a = O é s / ? = z O vonalakhoz, melyek azután P pont- ban f o g j á k egymást metszeni. MB tehát azon v o n a l , mely az M és P pontokat köti össze ; mert a
/ 3 = 0 /
q / p o n t o n keresztül m e g y
és az adott szöget külsőleg — viszonyban o s z t j a ; egyenlete t e h á t lesz :
mi
vagy
mj / 3 - } - тй7 = 0 Az a d o t t egyenes
m«-)-m1 /3-|~Шоу=0,
melyet az alapháromszög átmetszőjének (Transversale) lehet tekinte- ni, ennek oldalait vagy e z e k n e k meghosszabbításában, azaz külsőleg, vagy csak az egyiket külsőleg , a többit p e d i g belsőleg metszi. Az utóbbi esetben az egyenletnek egy tagja t a g a d ó jellel fog birni. E l -
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 2 9 H a az eddig mondottakat röviden összefoglaljuk, l á t j u k , hogy a k é t , szóban forgó összrendezetti rendszer összehason- lításánál , a Descartes-i rendszernek k é t tengely , az ú j össz- rendezetti r e n d s z e r n e k pedig egy háromszög szolgál a l a p u l ; és hogy ez utóbbiban e g y pont összrendezettei h e l y é b e — mint a Descartes-i rendszerben t ö r t é n i k — azon v i s z o n y l é p , mely azon f ü g g é l y e s e k közt l é t e z i k , melyek az illető pontból az alap-egyenesekre bocsáttatnak. Miután tehát mind- k é t rendszerben egy p o n t meg van h a t á r o z v a , azért m i n d e n egyenes v a g y görbe vonalt pontok sorozatának t e k i n t h e t ü n k , és az összrendezettck függésének törvényeit annak e g y e n l e t e által f e j e z h e t j ü k ki. A Descartes-i r e n d s z e r b e n az e g y e n e s vo- nalnak egy első fokú egyenlet két változó k ö z t , a h á r o m ol- dalú r e n d s z e r n e k egy első fokú egyenlet három változó közt felel meg.
A három-oldalu összrendezetti r e n d s z e r n e k lényeges sa- j á t s á g a továbbá az e g y n e m ű s é g , valamint az is, h o g y ezen rendszer egyenleteinek tagjai oly k i f e j e z é s e k , melyek ma- g u k b a n véve ismét e g y e n e s vonalakat képviselnek ; — míg ellenben a Descartes-i egy és két-oldalu r e n d s z e r b e n , a mér- tani a l a k z a t o k n a k egyenletei látszólag különnemiiek, és e g y e - nesen ( d i r e k t ) a pontok összrendezetteinek vonatkozását fog- lalják m a g u k b a n .
A Descartes-i kifejezéseknek ezen látszólagos k ü l ö n - nemüségét m e g s z ü n t e t j ü k , ha azokba a hosszegységet hoz- z u k be ; legyen ez például z, a k k o r m i n t a Descartes-i r e n d - szer v a l a m e l y egyenes vonalának elemző mértani k i f e j e z é s é t n y e r j ü k :
A x - t - B y - f C z = 0 .
H a ezt a három-oldalu rendszer valamely egyenesének e g y e n - letével
összehasonlítjuk, l á t j u k , hogy
bői látjuk , hogy az egyenletnek szerkesztése akkor sem szenved v á l t o z á s t , h a egy t a g j a tagadó. Ha két v a g y mind a három t a g ta- gadó v o l n a , a k k o r ezeket csak ( — l ) - e l kellene szorozni, h o g y az egyenletet az előbbi esetek egyikére lehessen visszavezetni.
ltí CORZAN-AVENDANO GÁBOR.
A x - | - B y - j - C z = 0
ezen rendszerben valamely e g y e n e s t oly módon képviselhet, ha X, y és z, e g y e n e s v o n a l a k n a k tekintetnek , vagyis ha
x = 0 , y = 0 , 7 — 0 .
De a feltevés szerint z m i n t egység á l l a n d ó mennyiség.
z = 0 tehát oly egyenesnek egyenlete, mely az összrendezetti rendszer k e z d e t p o n t j á t ó l véghetetlen távolságban fekszik.
Ebből kitetszik, hogy a Descartes-i r e n d s z e r egyenletei az általános három-vonalu r e n d s z e r egyenleteinek csak külö- nös a l a k j a i , m e l y e k b e n azok e l ő f o r d u l n a k , h a k é t alapvonal összrendezetti tengelynek v é t e t i k , míg a h a r m a d i k végtelen távolságban f e k s z i k .
Miután a z o n összefüggést kimutattuk, m e l y e két rend- szer között v a n , czélszerünek látom néhány példán megmu- t a t n i , miképen k e l l a görbe v o n a l a k a t ezen rendszerben tár- g y a l n i és m a g y a r á z n i .
Minden m á s o d rendű g ö r b e v o n a l , mely az
« = 0 , ß=0, és >-=0
háromszög k ö r ü l v a n leírva, e z e n egyenlet által képviseltetik :
mßy-\-mlya-\-m2nß=0, ( 3 9 ) mivel a h á r o m s z ö g minden csúcsa
«=0 iß=0 í«=0
ß=0 \y=0 |j=0
n e k i megfelel.
Hogy ezen görbe vonal k ö r l e g y e n , s z ü k s é g e s , hogy)
miután a görbe vonal egyenletében a, ß, y h e l y e t t azoknak eredeti jelentését t e t t ü k , x2 és ya együtthatói e g y e n l ő k , xy együtthatója p e d i g zérussal e g y e n l ő legyen. E n n é l f o g v a föl- téti egyenletekül ezeket n y e r j ü k :
mcos(/3-)-y)-J-m1 c o s ( 7 + n : ) + mac o s ( « - f ß)=0) msin (,5-)-7)-(-m1 sin (r-[-«)-(-m( isin («-}-/?;—Oí '
a melyekből az együtthatók viszonya k ö v e t k e z ő k é p határoz- h a t ó meg :
m, sin(y—a) 1 m ~ ~ s m ( ß —r) ( ma sin(a—ß) / m sin(/9—y)j de mivel
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 3 1 s i n C = s i n ( a — / 3 ) )
s i n A = s i n ( / 3 —7) ( (42)
s i n B = s i n ( j ' — a ) * ) \
hol А, В, С az a l a p h á r o m s z ö g csúcsai, — azért mint a k ö r egyenletét n y e r j ü k :
/9^sinA-)-7asinB-)-ajSsinC=:0^
vagy }'((3sinA-j-«sinB)+a/3sinC=0<j mely kör a háromszög k ö r ü l van leirva.
A k ö r egyenletének utolsó alakjából k é p e s e k v a g y u n k egyszersmind azon é r i n t ő j é n e k egyenletét is származtatni, mely érintő az a l a p h á r o m s z ö g csúcsán m e g y keresztül.
Mert ha az utolsó egyenletben y-t v a g y /ísiiiA-J-resinB- egyenlővé teszszük zérussal, a k k o r m i n d k é t esetben az e g y e n - let így alakúi :
aß—0 ( 4 4 ) , a miből kitetszik, hogy 7 = 0 a kört azon két pontban metszi, a
melyben ez az
« = 0 és ß=0
vonalakkal is találkozik. Hasonlóképen (3sinA-j-«sinB egye- nes is a kört ugyanazon pontokban m e t s z i , a melyekben ez az « és ß egyenesekkel találkozik. De
(3sinA-|-«sinB=0 az « = 0 és / 3 = 0
metszés-pontján keresztül m e g y , ennélfogva a kört csak e g y e t - lenegy pontban t a l á l j a , azaz : a körnek é r i n t ő j e С c s ú c s b a n .
Hasonló módon t a l á l j u k , hogy
«sinC-j-ysinArrrO I ^ és /3sinC-4-7sinB=01
is a k ö r érintői В és A csúcsokban.
H a ezen érintőket ilyen alakban í r j u k :
*) Erről könnyen meggyőződhetünk, h a meggondoljuk, h o g y a és ß azon szögök, melyeket az összrendezetti rendszer k e z d e t p o n t - j á b ó l az alapháromszög oldalaira bocsátott függélyesek az X t e n g e l y -
lyel képeznek. Az ábra világosan m u t a t j a , hogy C = [ l 7 0 ° — • ( « — ß ) ] , ennélfogva
8 ) n C = e i n ( a — ß).
ltí CORZAN-AVENDANO GÁBOR.
- A = o sinB sinA sin A sinO
ß
(46)
sinB s i n C
látjuk, hogy a z o k a háromszög (14. ábra) y—0, ß=0 és « = 0
ellenoklalaival С,, B,, A, pontokban t a l á l k o z n a k , m e l y e k mind oly e g y e n e s b e n fekszenek, a melynek egyenlete :
+ • у . = ° (47).
sinA sinB sinC
Minden másodrendű g ö r b e vonalnak, mely az alapliá- romszögbe b e í r v a legyen, ilyen alakkal kell b i r n i a : m~«2-)-m21 — 2m, m,2/?j»—2mma«y—2mm1 a ß ~ 0 ^
vagy m( i}{m27—2in,ß — 2 m « ) 4 - ( m « — m , / ? )2= 0 . ^ Mert lia azon helyet k e r e s s ü k , m e l y b e n az alaphárom- szög egy o l d a l a , például 7=^0, a görbe vonallal találkozik , azaz lia az a d o t t görbe v o n a l b a n 7 = 0 tétetik , a k k o r lesz :
m V — 2 m m ! « / Ц - mz, / 32= 0 (49).
De mivel ezen e g y e n l e t n e k két egyenlő g y ö k e van, a z é r t 7 egyenes a g ö r b e vonalat k é t , és pedig egybeeső pontban vágja, azaz: a z egyenes a g ö r b e vonalnak érintője. Hasonló módon
ß=0 és « = 0 is érintők.
Az előbbi föltéti egyenletből, 7 e g y e n e s n e k a görbe vo- nallal találkozására n é z v e , k ö v e t k e z i k :
± ( m « — m , ( 3 ) = 0 ,
a miből l á t j u k , hogy azon e g y e n e s n e k , m e l y a találkozási ponton m e g y keresztül, egyszersmind
^ m e t s z é s p o n t j á n is k e r e s z t ü l kell mennie.
Hasonló m ó d o n t a l á l j u k , h o g y azon e g y e n e s e k n e k , m e l y e k a görbe v o n a l a k találkozási p o n t j á n
«=rO és ß = 0
AZ ÚJ ELEMZŐ MÉRTAN l'ÖHTENETI FEJLŐDÉSE. 3 3 vonalakkal, valamint a ßy és ay e g y e n e s e k n e k metszési pont- j á n m e n n e k keresztül, egyenletei lesznek :
m1/ 9 — m! i7 = 0 m гу — m a = 0 .
E b b ő l kitetszik, hogy azon e g y e n e s e k , melyek a csúcs- pontoktól a görbe vonal érintési pontjaihoz húzatnak, e g y m á s t u g y a n a z o n pontban metszik.
Az
m2y—2m, ß — 2 m a = 0 . . . . (50) egyenes s z á m á r a , valamint a k k o r is, ha у—0 tétetik , a tel- j e s négyzetet n y e r j ü k :
( m a — m , /?)'7=0
а miből következik, h o g y а (48) alatti egyenes 2m,/9-}-2m a — may = 0
a g ö r b e vonalat u g y a n a z o n p o n t o k b a n érinti, melyeken az m a - t ű , / 9 = 0
egyenes is keresztül m e g y .
Ugyanazon módon a görbe vonal többi két megfelelő (correspondirend) érintőjét is m e g t a l á l j u k ilyeu a l a k b a n :
2mlß-\-2miy—mcc=0)
2т,гу-\-2тк—m, /?=0Í
E z e n három érintő az alapháromszög ellenoldalaival, 3 m2y = 0
3 m « = 0 3 m , / 9 = 0
olyan pontokban t a l á l k o z i k , melyek mind egy egyenesben f e k s z e n e k , a melynek egyenlete :
m«-J-m, / í - j - m2) ' = 0 .
P é l d á u l : Határoztassék meg az alapháromszög, azon fölté- tel a l a t t , hogy egy m á s o d r e n d ű görbe vonal azon p o n t o k n a k helye l e g y e n , melyekből ha az alapra függélyest bocsátunk, ezen függélyesnek n é g y z e t e állandó viszonyban álljon azon f ü g g é l y e s e k szorozmányához, melyeket ugyanazon pontokból a háromszög többi oldalaira bocsátunk.
T e g y ü k föl, hogy M legyen azon p o n t , mely a tett föl- tevésnek megfelel, úgy hogy :
hol a, ß, y azon e g y e n e s e k , melyek az illető másodrendű vo-
МАТНЕМДТ . Í B T E S Í T í ! , V I . 3
