A többcélú bayesi döntésekről

A TUBBCÉLÚ BAYESI DÓNTESEKRÓL

DR. MOLNÁR SÁNDOR — DR. SZIDAROVSZKY FERENC

A gyakorlati alkalmazások során gyakran merül fel olyan optimalizálási prob- léma, amelyben bizonyos paraméterek bizonytalansággal terheltek. Ezeket a bi- zonytalan paramétereket általában valószínűségi változóként kezeljük. Az egysze—

rűség kedvéért tegyük fel. hogy az optimalizálási probléma lehetséges halmaza

nem függ a sztochasztikus paraméterektől, csak a feladat célfüggvénye sztochasz—

tikus. Az általánosabb eset — amikor a lehetséges halmaz is sztochasztikus — a jelen dolgozatban bemutatott módszer módosításával vizsgálható, amikor a szto—

chasztikus feltételeket valószínűségi szintekkel. a sztochasztikus programozás ,.chance constrained" módszerével kezeljük (1).

Egyetlen sztochasztikus célfüggvény esetén a bayesi döntéselmélet módszerét szokták alkalmazni. amikor a sztochasztikus célfüggvény várható értékét képezik, és az így nyert determinisztikus feladatot oldják meg. Matematikailag ez az eljárás a

következőt jelenti.

Legyen c valószínűségi változó, ekkor az

x EX /1—1/

f(x l?) —— max sztochasztikus problémát a determinisztikus

x 6 X

/1-2/

f(x) : E[f(x !?)1 _. max

feladattal helyettesítik. és azt oldják meg a sztochasztikus probléma helyett. A c valószínűségi változó eloszlását ismertnek tételezzük fel, hiszen enélkül a várható érték képzése nem végezhető el. Tehát. ha ;o jelöli az /1. ?] feladat egy optimális megoldását, akkor az xo döntést tekintik az [1.1/ feladatmegoldásának is. Mint- hogy az X lehetséges halmazc——től független, tetszőleges c érték mellett xo lehetsé—

ges megoldása /1. 1/- nek.

Minthogy a c paraméter ,,pontos" értékét nem ismerjük az /1.1/ feladat ,,pon-

megoldása helyett az xo döntést fogadjuk el. Az xo általában nem optimális egyidejűleg c valamennyi lehetséges értéke mellett. Jelölje xíc) rögzített c :: c

érték mellett /1.1/ optimális megoldását, ekkor az ;, döntésből eredően az

"

tos

n Go ! c) : fm?) lc) — f(xo 1?) Mi

150 DR. MOLNÁR SÁNDOR - DR. SZIDAROVSZKY FERENC;

veszteséggel kell számolnunk. A ? bizonytalan ismeretéből adódó várható veszte-

séget pedig ennek a kifejezésnek a várható értéke adja meg (2):

BAVV : am?) i?) — fo?o 18] /1.4/

Nyilvánvaló. hogy /1.2/ bármely optimális megoldása esetén [1.4/ értéke min-

dig ugyanaz. Ennek az alapvető tulajdonságnak az az alapja. hogy optimális meg—

oldások esetén a célfüggvény mindig azonos (optimális) értékű.

Többcélú programozási feladatok esetén optimális megoldás általában nem létezik, mint azt a következő egyszerű példa illusztrálja.

1. példa. Tekintsük az

xi: x2 ; 0

M "l" Xz § 1 /1-5f

hm, x2) : xi

lexi: X2) : Xrl' 2X2

feladatot. Az f1(x1, xz) célfüggvény az (1, 0) pontban veszi fel maximumát, a máso—

dik célfüggvény szempontjából pedig a (0.1) pont optimális. Minthogy mindkét célfüggvény optimális megoldása egyértelmű és egymástól különböző. nem tudjuk

egyszerre optimalizálni mindkét célfüggvényt.

Több célfüggvény esetén optimális megoldások helyett általában efficiens megoldásokkal dolgozunk (3). '

Tekintsük az

x 6 X

G(x)—max (íz—1, .... n) [1.6/

többcélú programozási feladatot. Egy x* 6 X lehetséges megoldást efficiensnek

mondunk. ha nem létezik olyan x 6 X, amelyre f (x) ; f(x') és? (X) 75 f (x*), ahol f : : (fi, . . . , fn ). Az alkalmazások során az X lehetséges halmaz helyett az általában

kisebb dimenziójú

H : (f(x) ! x 5 x; /1-7/

ún. lehetséges kifizetőhalmazt szokták tekinteni. A H halmaz bevezetésének az

adja szükségességét, hogy általában H sokkal kisebb dimenziójú, mint az X lehet- séges halmaz. A H halmaz úgy is felfogható. mint az X halmaz kifizetőfüggvények

általi transzformáltja. Az efficiens megoldásokhoz tartozó H-beli vektorokat effi—

ciens pontoknak hívjuk. A lehetséges kifizetőhalmaz és efficiens pontok meghatá—

rozását illusztrálja a következő példa.

2. példa. Az 1. példa esetén

fi : xi, íz : xl—l—2x2, amelyből

xi : fi

x2 : fz — fi

2

A BAYESI DUNTÉSEK 151

Ha ezeket a kifejezéseket [1.5/ feltételeibe helyettesítjük, akkor az fi ; 0.

rZ—f1 ; ()

f2—l"f1 § ?

feltételeket kapjuk. Az ezeket kielégítő pontok az 1. ábrán besatírozott tartományt

alkotják. Nyilvánvaló. hogy az (1.1) és (0.2) pontokat összekötő szakasz adja az ef—

ficiens pontok halmazát, és a hozzájuk tartozó efficiens megoldások:

xfzt, x02———1—t (ogtgi)

Nyilvánvaló továbbá az is. hogy különböző efficiens megoldások esetén kü-

lönböző célfüggvényértékeket kapunk.

1. ábra. Az /1.5/ feladat lehetséges kifizetőhalmaza

fz

0 7 f,

Az /1.6/ többcélú programozási feladatok megoldására számos módszer isme—

retes. A módszerek túlnyomó többségének az az alapja. hogy alkalmas preferen-

ciákat kielégítő n változás 9 hasznossági függvényt konstruálnak, és a többcélú

feladatot az egyetlen célfüggvénnyel rendelkező

x 6 X

9010!)- ..., fu (X)) -* max /1-3/

problémával helyettesítik (3). Minthogy az /1,8/ feladat már nem többcélú, szto—

chasztikus esetekben _a szokásos sztochasztikus programozási és bayesi döntésel- méleti módszereket alkalmazhatjuk.

Ennek az eljárásnak és koncepciónak azonban van egy nagy hátránya, ugyanis módszerorientált. azaz a megfelelő determinisztikus probléma és a bizonytalan—

ságot mérő BAVV mennyiségek is függenek a választott módszertől. Éppen ezért fontos elméleti problémát jelent a bayesi döntéselmélet többcélú, módszerektől független kiterjesztése.

.

Jelen dolgozatunkban a bayesi döntéselmélet két alapfogalmával foglalko-

zunk több célfüggvény esetén. Az /1.2/ feladat többcélú általánosítását, majd ez

152 DR. MOUNÁR SÁNDOR — DR. SZlDAROMSZKY FERENC

alapján az optimalizálási probléma paramétereinek bizonytalan ismeretéből adódó

várható veszteség [1.4/ tipusú, többcélú általánosítását vezetjük be.

Tekintsük most a sztochasztikus c paramétertől függő x 6 X

/2-1/

f (x l?) —— max

többcélú programozási feladatot. Ha /1.2/-höz hasonlóan képezzük a célfüggvé- nyek várható értékét, akkor az

x E X [2.2]

?, (x) : E[f,- (xl81 _, max

determinisztikus többcélú programozási feladatot nyerjük, amely nyilvánvaló álta- lánosítása az [1.2/ problémának. Minthogy az /1. 2/ feladat célfüggvényét gyakran bayesi kockázatnak is nevezik. a /2. 2/ célfüggvényvektorát bayesi kockázatvektor-

nak hívjuk.

Jelölje ezután x_o a [2.2/ determinisztikus feladat egy efficiens megoldását, va-

lamint H0(c) a /2.1/ feladat rögzített És c melletti efficiens pontjainak a halmazát,

azaz

H0(c) : (f(x l c) lx efficiens megoldása /2.1/—nek). /2.3/

Legyen továbbá

V(;(0lc) : (fo—rGoic) Ho e H0(c) és r0 ; f(;0lc)) /2.4/

Ekkor Vőrolc) pontjai az :(0 döntésből adódó veszteségek halmazát adják meg. Mint- hogy V(xolc) nem negatív vektorokból áll. csak azokat az fo efficiens megoldásokat vonjuk be az összehasonlitásba, amelyek minden célfüggvényben javítást eredmé-

nyeznek. Vegyük észre. hogy ha iro efficiens c : c mellett. akkor a V(x—0lc) halmaz

tartalmazza a zéró vektort.

Legyen végül i : 1 n esetén:

77,— (xgic):inf ti,-Huj, un) evúolc); /2.5/

A 77i(X—0lC) mennyiségek értelmezése a következő: i : 1, . . . , n esetén morblc) adja azt a lehetséges legkisebb javítást az i—edik célfüggvényben, amely mellett az összes többi célfüggvény is javul, vagy nem romlik. Vegyük észre azt is, hogy rögzitett xo mellett 77,(x0lc) a valószínűségi vóltozóból egyszerű transzformációvalc adódik.

A ; bizonytalanságából eredő várható értékvektort a [2.5/ mennyiségek

alapján a következőképpen értelmezhetjük:

BAwdo) :(Ermúo !?)1. . . .. E Mn de !?)1) /2.6/

Az n : 1 egycélú esetben /2.ó/ pontosan megegyezik az /1.4/ kifejezéssel, hi-

szen ez esetben Ho(c) az f(xlc) célfüggvény optimális értékével azonos, így 17(x0lc) az optimumtól való eltérést jelenti. Tehát a [2.6/ kifejezést az egycélú eset közvetlen általánosításaként értelmezhetjük.

A /2.6/ kifejezés konkrét alkalmazását a következő példa illusztrálja.

A BAYESI DUNTESEK 153

3. példa. Tekintsük most a kétcélú sztochasztikus feladatot:

Xi! Xz ; 0

xi —l—x2 § 1 [2.7/

X1 és Xi—l'a2 -b max.

ahol ? egyenletes eloszlású (: [0.4] intervallumban. A [2.6/ mennyiség kiszámításá—

nak első lépéseként az efficiens pontok halmazát kell meghatároznunk. A lehet- séges kifizetőhalmaz pontjait jellemezzük először. Legyen c : c esetén

fi : Xi. /2-3/

íz : Xt—l'CX2

amelyeket a /2.7/ feladat feltételrendszerébe helyettesítve az

f1 ; 0. /2-9/

fz— ft ; 0—

f2"l'(c""1)f1 § C

egyenlőtlenségeket kapjuk. Az ezeket kielégítő pontok halmazát a 2. ábrán a satí- rozott tartomány jelöli. Vegyük észre. hogy .c § 1 esetén (1.1) az egyetlen effi—

ciens pont. amelyhez tartozó efficiens megoldás [2.8/ alapján (1.0). A c)1 esetben

a (1.1) és (0, c) pontokat összekötő szakasz valamennyi pontja efficiens, és 0 hoz—

zájuk tartozó efficiens megoldások: (t, 1—t), ahol egg.

2. ábra. A /2.7/ feladat lehetséges kifizetőhalmaza

6 f,

ۤ1 637

2— 2.

§

7— (17) 7 (7.7)

5

I — l

a 1 f, 0 1 ;,

Tekintsük ezután a [2.7/ feladathoz tartozó determinisztikus /2.2/ típusú mo—

dellt:

xi! x2 ; 0!

Xi'l—Xz § 1 /2-10/

xi és x1—l—2x2—max.

amely pontosan megegyezik az [1.5/ feladattal. és amely lehetséges kifizetőhalma-

zát az 1. ábra illusztrálja.

154 DR. MOLNÁR SÁNDOR — DR. szmmaovszxv FERENC

A 2. példában meghatároztuk az efficiens megoldásokat:

i.,:(t, 1—0.

A Vömlc) halmaz meghatározása jelenti a következő lépést. Két esetet kell meg- különböztetnünk c értéke szempontjából.

Tegyük fel először, hogy Cál. ekkor

vo?0 1 c) : ((1 _— z,), 1 _ c— (1 _ cm [2.11/

hiszen az (1.1) pont az egyetlen efficiens megoldás. Ha c)1, akkor ;0 efficiens meg- oldás. így ekkor

van ! c) : ((o. 0); 12.121

Minthogy VM)! c) mindkét esetben egyetlen pontból áll, _ 1 — t, ha c § 1

m (Xn ! C): [2.13/

0 egyébként

* (1—t)(1—c), ha c§1

772 (Xn [ C):

egyébként

Ennek alapján pedig

Eináíolcn :: E[1—tlc §11-P(c § 1H—E[Olc )1]-P(c ) 1) 2 %(1—0. /2.14/

'

es

517260ch ::E[(1 -—t)(1—c) lc §11'P(c § l)—l—E[O ! c )1]-P(c )1): %(1—0, [2.15/

0202

BAVV(t) : (17 (1 _ t), ; (1 — t)) [2.16/

Ezzel az ko : (t. 1—t) döntésből és a? paraméter bizonytalanságából eredő vár- ható veszteséget mint vektort meghatároztuk. Vegyük észre, hogy [216] értéke függ

attól, hogy melyik xO efficiens megoldást választjuk. Ha t : 0, akkor

BAVV(0) : (%. %) [2.17/

és t : 1 esetén

BAVV(1) : (0, 0) [2.18/

A BAVV(t) értékek közvetlenül felhasználhatók a legmegfelelőbb efficiens meg- oldás kiválasztására. hiszen ha további preferenciákat nem teszünk, akkor t leg-

alkalmasabb értékét a BAVV(t) komponenseinek minimalizálásával kaphatjuk meg.

Esetünkben ez a t : 1 választásnak felel meg. Konkrét számpéldánk esetén a

A BAYESI DUNTESEK 155

BAVV(t) vektorértékű függvény rendelkezett optimális megoldassal. Ha optimális megoldás nem létezik. akkor egy újabb többcélú programozási feladatot kell meg- oldanunk a legalkalmasabb efficiens megoldas kiválasztására.

IRODALOM

(713 7Charíwdes, A. — Cooper, W. W.: Chance constrained programming. Management Science. 1959. évi 1. sz. — 9. o .

(2) de Groot. M. H.: Optimal statistical decisions. McGraw Hill Book Comp. New York. 1970. 412 old.

(3) Szídarovszky Ferenc —— Szabadkai Attila: Döntéselőkészítési módszerek alkalmazása. Mezőgazda- sági Kiadó. Budapest. 1983. 328 old.

(4) Molnár Sándor — Szidarovszky Ferenc: Többkritériumú értékfűggvényekről, Szigma. 1983. évi 3.

sz. 197—207. old.

TÁRGYSZÓ: Döntéselmélet, Bayes-féle becslés

PE3lOME

ABTOPH pacnpocrpanmor Hecxonbxo ocuoeuux, nomnm'i Teopnu pemei—mü Eei'tca Ha cnyuan MHoroueneaux sanau nporpaMMuposar—mn. Bcnyuae neTepMuHucrcnoü suauaanem- Hoü npoőneMu omnnaeMme norepu, nsmepmoume mmm-me MHoroueneaux " Heonpene- neHthx napaMeTpoa. Tome HMeIOT aemopnbiü xapakrep. ABTOpbl omocmenbno pacnona- rammeú p.symn u.eneabmm cpyuxuunmn uucnoaoü saga-m KOHerTHblM oőpaaoM AeMOHCTpH- thOT ssenenubie HMM Hoeme noi-mmm

SUMMARY

The study deals with the generalization of some elements of the Bayesion type decision theory for multiabjective programming tasks. ln the case of multiobjective deterministic eauiv- olent problem the expected losses measuring the effect of uncertain parameters have vector values. The article shows the newly introduced concepts in the special case of a numerical task having two objective functions.