1. feladat
Legyen adott az ábrán látható 𝐺 = (𝐴 ∪ 𝐵, 𝐸) gráf, ahol 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} és 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.
Létezik-e a gráfban 𝐴-t lefedő párosítás?
Megoldás: Nem létezik, mert pl. az 𝑋 = {2, 3, 4} ⊆ 𝐴 halmaz esetén 𝑁(𝑋) = {𝑎, 𝑐}, ami azt jelenti, hogy létezik olyan 𝑋 ⊆ 𝐴 halmaz, amire |𝑁(𝑋)| < |𝑋|. Tehát nem létezik 𝐴-t lefedő párosítás.
2. feladat
Legyen adott az ábrán látható gráf. Igazoljuk, hogy a gráf páros. Létezik-e a gráfban teljes párosítás?
Megoldás: A párosság igazolására a korábban tanult algoritmust fogjuk alkalmazni. Az előző gyakorlathoz hasonlóan a dokumentumban színekkel érzékeltetem, hogy a jelek hányadik lépésben kerültek a csúcsponthoz:
• 1. lépés
• 2. lépés
• 3. lépés
• 4. lépés
A teljes párosítást az alábbi ábrán színezett élek mutatják:
Def.: (többrészes gráf) A 𝐺 = (𝑉, 𝐸) gráfot 𝑛-részes gráfnak nevezzük, ha léteznek olyan 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 diszjunkt halmazok, melyekre 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = 𝑉 és bármely 𝑖 esetén (𝑖 = 1, … , 𝑛) nem létezik olyan (𝑣1, 𝑣2) ∈ 𝐸 él, hogy 𝑣1 ∈ 𝐴𝑖 és 𝑣2 ∈ 𝐴𝑖.
Megjegyzés: Bármely 𝑛-részes gráf jól kiszínezhető 𝑛-színnel. Ennek következménye, hogy az 𝑛-részes gráf kromatikus száma legfeljebb 𝑛.
Def.: (teljes többrészes gráf) A 𝐺 = (𝑉, 𝐸) 𝑛-részes gráfot teljesnek nevezzük, ha (az előző definícióban használt jelölésekkel) minden 𝑥 ∈ 𝐴𝑖, 𝑦 ∈ 𝐴𝑗 esetén (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸, ha 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖 = 1, … , 𝑛 és 𝑗 = 1, … , 𝑛.
(Tehát ha minden lehetséges – az előző definíciónak nem ellentmondó – él szerepel a gráfban.) 3. feladat
Legyen adott egy teljes négyrészes gráf, amelynél a ponthalmazok elemszámai 10, 3, 7, 10.
Igazoljuk, hogy van benne Hamilton-kör.
Megoldás: Legyenek 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4 a négyrészes gráf diszjunkt ponthalmazai az előző definícióknak megfelelő jelölést használva, úgy, hogy |𝐴1| = 10, |𝐴2| = 3, |𝐴3| = 7 és
|𝐴4| = 10.
Minden 𝑣 ∈ 𝐴1 esetén a pont fokszáma 𝑑(𝑣) = |𝐴2| + |𝐴3| + |𝐴4| = 3 + 7 + 10 = 20.
Minden 𝑣 ∈ 𝐴2 esetén a pont fokszáma 𝑑(𝑣) = |𝐴1| + |𝐴3| + |𝐴4| = 10 + 7 + 10 = 27.
Minden 𝑣 ∈ 𝐴3 esetén a pont fokszáma 𝑑(𝑣) = |𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴4| = 10 + 3 + 10 = 23.
Minden 𝑣 ∈ 𝐴4 esetén a pont fokszáma 𝑑(𝑣) = |𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| = 10 + 3 + 7 = 20.
Mivel |𝑉| = 30, így megállapíthatjuk, hogy minden 𝑣 ∈ 𝑉 pontra 𝑑(𝑣) ≥|𝑉|
2 = 15.
A Dirac-tétel miatt így ebben a gráfban van Hamilton-kör.
4. feladat.:
Határozzuk meg az alábbi gráf kromatikus számát.
Megoldás:
A gráf tartalmaz páratlan hosszúságú kört (az ábrán pirossal jelölt), tehát nem lehet páros gráf.
Természetesen ez a tárgyalt algoritmussal is igazolható. Ez azt jelenti, hogy a kromatikus száma legalább három.
A második ábra pedig megmutatja, hogy három színnel jól kiszínezhető a gráf, tehát a kromatikus száma pontosan 3.
