SZEMLE
Dixon képzeletbeli világának gazdagsága, szellem essége és érdekessége legfeljebb a mai élővilág g a zdagságához és érdekességéhez fogható.
D o u g a l D ixo n : Az e m b e r után. A jö vő zo o ló g iá ja . P ark K iadó, B u d a p e s t, 1991. 124 o ld a l, 890 Ft.
G ALÁNTAI ZOLTÁN
Hajós György
matematikai emlékverseny az ELTE-n
H ajós G yörgy p ro fe sszor* 1912. február 20-án született. S zo m o rúa n korán (1972. III.
17-én) bekövetkezett haláláig az ELTE G eom etriai Tanszékének vezetője volt. Az é vfo rd u ló tiszteletére a Tanszék m atem atikai em lékversenyt rendezett két kategóriában:
I. Nem m atem atikus szakos ELTE hallgatóknak, II. M atem atikus szakos ELTE hallgatóknak.
- Kerestük a nem közism ert geom atriai feladatokat. A nagyszám ú résztvevő szerint e tö re kvé sün k eredm ényes volt.
- Mivel korosztályi m egkötés nem volt, igyekeztünk olyan feladatokat kitűzni, h o gy egy I. és egy V. éves hallgató esélyei között ne legyen nagy különbség. (Ezt d ö n tse el a T. O lvasó.)
- A verseny időtartam a 3 óra volt, írott segédeszközt nem lehetett használni.
Az I. kategória feladatai
1. Egy „a" oldaiú négyzetbe két nem m etsző körlapot helyezünk. M ekko ra lehet leg följeb b a területük összege?
2. A dottak a síkon az A, B, C pontok. Mi azon X p o nto k m értani helye, am elyekre bárm ely A-n és B-n átm enő kör m etszi az összes C -n és X-en átm enőt? (É rintés vag y egybeesés nem számít m etszésnek.)
3. A dott a síkon 5000 pont, hárm anként nem illeszkednek egy egyenesre. M utassuk meg, hogy kijelölhető 1000 konvex, diszjunkt négyszöglao, m elyeknek az adott p o n to k csúcsai.
4. Egy derékszö g ű triéderben (térnyolcad) az r sugarú körlap úgy m ozog, h o gy közben m ind h á rom lappal egyetlen közös pontja van. Mi a kö zé p p o n tjá n a k m értani helye?
A II. kategória feladatai
1. A zo n os az l/4-es feladattal.
2. Legyen P egy konvex poliéder a 3-dim enziós euklideszi térben. P két h a tá rp o n t
jának távolsága az őket ö ssze kö tő P határán haladó le g rö vid e b b út hossza (M int ism eretes ez m indig létezik.)
Nagy örömünkre a műszaki főiskolák hagymányos matematikai versenye is ezt a nevet viseli.
64
SZEMLE
M utassuk m eg, h o gy ha X és Y két lehető legtávolabb fe kvő határpontja P-nek és legalább az egyikő jük nem csú csa P-nek, akkor X és Y között legalább 2 leg rö vid e b b út halad.
3. Legyen T a sík tetszőleges három szöge, to vá b b á legyen Pn a sík egy tetsző le g es n p o n tb ó l álló részhalm aza. Bizonyítsuk be, hogy Pn-nek létezik u és v p o ntja úgy, hogy te tszőleges T-vel egyállású és hasonló három szög, am ely tartalm azza az u és v
n + 5
p o n to kat a Pnnek legalább —g— pontját lefedi.
H ogy m eg ne fo sszu k az O lasót a g o n d o lko d á s öröm étől, csak egy feladatnak, a m indkét feladatsorban szereplő l/4-esnek közöljük kivonatos m egoldását. A ve rs e n y zőktől teljes m e g old á st erre a feladatra nem kaptunk.
1/4 megoldása
Legyen a triéder az x, y, z derékszögű koordinátarendszer első té rnyolcada. A K középpontú, r sugarú kör síkja az xOy ... síkokat az NxNy ... egyenesekben m etszi, a kör az egyeneseket az E', E” , E” ’ p ontokban érinti (1. ábra).
z
z
1. ábra
65
SZEMLE
Értékelés:
A versenyzők neve, évfolyam a után zárójelben föltüntetett szám ok rendre a teljesen, a lényegében jól, a kis hibával m e g old o tt feladatok számát, végül az elért ré sze re d m é nyek szám át jelölik.
Az I. kategóriában
1-2: B o d or A ndrás I. fiz. (2,1,0,0)
Pirity Tamás G ábor IV. m at.-fiz.-szám .tech. (2,1,0,0) 3.: H orváth Róbert III. m at.-fiz.-ábr.geom . (1,0,1,2) A II. kategóriában
1.: Fleiner Tamás III. mát. (1,1,0,1) 2.: K ecskés Kornél IV. mát. (1,1,0,1) 3.: H ausel Tamás III. mát. (1,0,1,1)
Kiegészítés
Ha a kedves O lvasó nem tudja eldönteni, vajon jók-e elképzelései az I. kateg ó ria feladatainak m egoldására, akkor vesse egybe azokat az alábbiakkal:
11/1. A köröket addig m ozgatjuk, növeljük, amíg a négyzet oldalai és a m ásik kör ezt m eg nem állíítják. E kkor a nagyo b b a t to vá b b növeljük a kiseb b rovására, m ert ez az összterület növekedésével jár. Végül a beírható körhöz és valam elyik s a ro kb a n egy kis körh öz jutunk, ez a leg jo bb elrendezés.
I/2. Ha A, B, C kollineárisak, akkor könnyen belátható, hogy X csak ezen az egyen e se n lehet. E kkor a m értani hely vagy két félegyenes, vagy az AB szakasz aszerint, h o g y C elválasztja A-t és B-t vagy sem.
A m ásik esetben tekintsük az A, B, C p o nto kon átm enő k kört. Egy erre nem ille szke dő P po nt nem lehet jó, mert C -bő l k-t addig nagyítva, míg P-n átmegy, egy k-t nem m etsző körh öz jutunk. A k pontjai közül viszont a C-t nem tartalm azó AB ív pontjai adják a m egoldást.
I/3. Az 5000 pont véges szám ú (legföljebb £ -5 0 0 0 -4 9 9 9 ) k ü lö n b ö z ő egyene sá llá st határoz meg. Egy m ind e g yiktő l kü lö n b ö ző állású egyenessel p á rhu za m o san szeletel- getve 1000 db, öt-öt po nto t tartalm azó sávhoz juthatunk. Öt általános helyzetű p o n tb ó l viszon t m ind ig kiválaszthatók egy konvex n égyszög csú csa i (nézzen utána!), tehát a keresett 1000 n é gyszög így előáll.
C S Ó K A G É ZA
F o lyóiratszem le
Számítógépes nyelvtanulás
A szám ítógépet sok m ó d on lehet oktatási célra felhasználni: lehet tanári segédeszköz;
jutalm azhatjuk vele a jól teljesítő diákot; m egtörhetjük vele az órák fárasztó rutinfolyását;
kitölthetjük vele a m aradék időt; a játék- és szim ulációs p ro gra m o kn ak pe dig lehet az az elsődleges célja, hogy idegen nyelvű (szöveg)környezetet biztosítson a diák szám ára.
R.A. M orrey egy korábbi cikkére hivatkozva a következő négy célt fo galm azza m eg:
1 A szám ítógép a szókin csb ő vítés és nyelvtani g yakorlás alternatív e szköze lehet.
66
