BEITRAG SOWJETISCHER FORSCHER ZUR ENTWICKLUNG DER REGELUNGSTHEORIE

BEITRAG SOWJETISCHER FORSCHER ZUR ENTWICKLUNG DER REGELUNGSTHEORIE

Von

F. CSAKI

Lehrstuhl für Automatisation. Technische Universität Budapest (Eingegangen am 23. Kovember 1967)

1. Einleitung

Die Regelungstechnik - und ihre Grundlage, die Regelungstheorie - gehört zu den jüngeren Disziplinen, vermag sie doch erst auf eine Vergangen- heit von kaum einigen Jahrzehnten zurückzublicken. In dieser kurzen Zeit hat sie jedoch eine gewaltige Entwicklung durchlaufen und auch heute zählt sie zu jenen Wiesenschaftszweigen, die in ständiger rascher Umwälzung begriffen sind. An dieser rasanten Entwicklung waren die sowjetischen Forscher maß- geblich beteiligt. So bildet beispielsweise das von PONTRJAGIN und lVIitarbeitern erarbeitete lVIaximum-Prinzip eine der Grundlagen der optimalen Lenkung, die zum zentralen Thema unserer Tage geworden ist. Zum Teil greifen die sowjetischen Forscher in ihren Arbeiten auf russische Forschungsergebnisse zurück. Ein Beispiel hierfür stellt das Verfahren des russischen Akademikers LJAPul'ioW zur Untersuchung der Stabilität nichtlinearer Systeme dar, das 1892 veröffentlicht wurde und das eine bedeutsame Fortentwicklung durch so·wjetische Forscher erfahren hat.

Der engc Rahmen eines kurzen Beitrags macht es unmöglich, von den Resultaten der so·wjetischen Forscher auch nur eine skizzenhafte Übersicht zu gcbcn, weshalh sich dic hier folgendcn Ausführungen auf eine mosaikartige Darlegung ciniger wichtigerer Verfahren beschränken müsscn.

2. Einige Ergehnisse auf dem Gehiet der linearen Systeme

Einen der wichtigsten Problemkreise der stetigen linearen Systeme mit konzentrierten Parametern hildet die Stabilität. MIHAJLOI-V formulierte das Stahilitätskriterium 1938 ·wie folgt: Setzt man in das charakteristische Polynom

T/-( ) _ Tl ^{r Tl-I r r r} ( > 0)

.L\.. S - Uo s --, U I S --, • . . --, Un - 1 S ..,. Un ^Uo

statt S den ,"Vert j (!) und läßt man die Kreisfrcquenz co den Bereich 0 (!)

<=

durchlaufen, so ist das System dann und nur dann stabil, wenn die Ortskurve

KU

^(!)) eben n Viertel der komplexen Zahlenehclle durchqucrt (d. h. wenn sie

1 Periodica Polytechnica EI. XIIi.:!.

130 F. CSAKI

den Nullpunkt eben durch n Viertelebenen hindurch umgibt). Ist für irgendeine Kreisfrequenz ())k die Beziehung K(j ())k) = 0, dann entsteht im System ein mit dieser kritischen Kreisfrequenz verharrende Sckwingung.

Eine andere "wichtige Methode der Stabilitätsprüfung stellt die D-Tren- nung dar, die nicht nur die Entscheidung über die Stabilität, sondern auch die Bestimmung des zulässigen Bereichs eines Parameters - in der Regel desjeni- gen der Kreisverstärkung - gestattet.

Dieses von NEUl\iARK stammende Verfahren verdankt seine Verbreitung MEJERow. Es bezeichne D(p." [, l') eine Koeffizienten- oder eine Systempara- metermenge, der ja negative realteilige Wurzeln, l Wurzeln mit dem Realteil gleich Null und v positiv realteilige Wurzeln der charakteristischen Gleichung n-ten Grades zugeordnet sind (n

=

ja l v). Um entscheiden zu können, ob die Stabilität gegeben ist, muß man feststellen, ob es eine Menge D(n, 0, 0) gibt und bejahendenfalls um welche es sich handelt, d. h. welchen Koeffizi- enten- bzw. Parameterbereichen sie zugeordnet "werden kann.

Eine einfache Stahilitätspriifung liegt nur dann vor, "wenn sich ein einziger Koeffizient oder ein einziger Parameter P frei ändern kann. In solchen Fällen geht die charakteristische Gleichung

m die Form oder ^III die Form

K(s) =

°

Q(s)

+

^{PR(s) =}

°

P = _ Q(s) R(s)

üher. Obgleich der Parameter P im allgemeinen nur eine reale Zahl sein kann, ist es zulässig, ihm auch elllC'!l komplc:s:en W crt zuzuordncn. Mit der Substi- tution s

=

j (J) hat man

P(jw)

=

^Q(jw)

R(jco )

Während die Kreisfrequenz den Bereich -

= <

^(I)

<":>..

durchläuft.

kommt es im Grunde genommen zu einer konformen Abbildung der imaginären Achse der komple:s:en Zahlenebene s auf die Kurve P(j w) der komple:s:en Zahlen ebene P(s). Da die linksseitige Halbebene s, wenn man auf der imagi- nären Achse in Richtung des wachsenden ^(I) fortschreitet, links von der Achse zu liegen kommt, haben überhaupt nur die linke Seite der Kurve P(j co), u. zw. die von ihr eingeschlossenen innersten linksseitigen Bereiche Anspruch darauf, als die Menge D(n, 0, 0) bezeichnet zu werden. Ob diese Bereiche in der Tat jene Werte des Parameters P bestimmen, der die Stabilität gewähr- leistet, oder oh man es lediglich mit der Mcnge

Deu,

^l, v) zu tun hat, die den

BEITRAG SOWJETISCHER FORSCHER ZUR REGELUNGSTHEORIE 131

größten linksseitigen Wurzelwert ,u liefert, kann mit einem angenommenen geeigneten P-Wert und durch anderweitige Untersuchungen entschieden

·werden.

Aus dem von der Kurve

PU

üJ) umschlossenen Stabilitätsbereich gehen auch die zulässigen Höchst- und lVIindestwerte des Parameters P hervor.

1947 untersuchte lVlEJEROW die strukturelle Stabilität von Mehrschleifen- systemen. Hierbei stellte er beispielsweise fest, daß sich in einem starr rück- gekoppelten System, das aus Verzögerungsgliedern mit der Übertragungsfunk- tion IC/(1

+

sTi ); (i = 1,2, ... , n) besteht, durch ein nachgebendes Stabili-"

sierungsglied mit der Übertragungsfunktion sT/(1 sT) höchstens die Zwi- schenrückkopplung zweier Verzögerungs glieder verwirklichen läßt, sofern der resultierende Übertragungsfaktor der betreffenden beiden Glieder beliebig zu vergrößern ist. Selbstredend setzt die Sicherung der Stabilität auch die Erfül- lung einer Reihe anderer Bedingungen voraus. Auf Grund eingehender Unter- suchungen mehrerer Systeme hat MEJEROW für diese die Stabilitätsbedingun- gen festgelegt. Sie finden sich in seinem auch in deutscher, englischer, ungari- scher Sprache erschienen einschlägigen Buch.

Von ZYPKIN und BROl\IBERG wurde 1945 der Begriff des »Stabilitätsgrades{i eingeführt. Auf Grund des RouTH-HumvITzschen Stabilitätskriteriums legten sie die Bedingungen fest, die gegeben sein müssen, damit sich keine der Wurzeln der linken Seite der charakteristischen Gleichung K(s) = 0 der imaginären Achse auf einen geringeren Abstand als (; nähert. Dies besagt, daß auch jene Komponente des Übergangsprozesses, die die langsamste Dämpfung erfährt, dem Nullwert mindestens ebenso zustrebt 'wie das e^Oi, oder mit anderen Worten:

selbst die größte Zeitkonstante des Systems ist kleiner als T = 1/0.

Dieser Problemkreis bildet bereits einen Übergang zur qualitativen Untersuchung der linearen Systeme. Große Bedeutung hat für diese SOLO- DOWNIKOWS TrapeZl'egel erlangt, die er in Artikeln aus den Jahren 1945 und 1948 publizierte und die es gestattet, die Übergangsfunktion aus dem Frequenz- gang reehnerisch zu ermitteln. Bei Approximation des Realteiles Re

WU

(j)) der Frequenzkennlinie

WU

üJ) des geschlossenen Kreises mit Trapezen sei die Gleichung der i-ten Trapezapproximation

o

Re W(jw) = I'_i

[1 -

_(_o_--=-_--=-

2J;

üJi-.d i ,

OJ

Die i-te Komponente der Ühergangsfunktioll hat In diesem Fall die Form

') I

hi (tj

=

~

;./

lSi (%t)

7C

1*

1 [Si (t) 1-%

cos t -t cos ^{%t ]} ,} Si (% t)

+ ---

132 F. CSAKI

wobei x

=

(Wi - ili)!(Wi

+

^ili)

=

^{Wi -} ili' sofern Wi

+

^ili

=

¹ gesetzt wird, 'während Si (x t) für die sogenannte Integralsinusfunktion

"

f

^{sin wt}

Si (y.t)

=.

--w- dw steht.

Nach der von WORONOW (1952) statt der Trapezapproximation ange- wandten Dreiecksapproximation ist x = 0 und die i-te Komponente der Über- gangsfunktion

h_i (t) =

~

^{)'i [} Si (t) _ 1 ^tCOS t ].

Die Überprüfung auf Güte und die Optimalisierung wird häufig auf Grund von Integralkriterien der Form

I

S

F(x(t),t)dt=NIin o

vorgenommen. HARKEVITSCH, FELDBAU~I und KRASOWSKI schlugen zeit- belegte lineare und allgemeine quadratische Integralkriterien vor.

Neuerdings spielen in der Regelungstechnik die intermittierend arbei- tenden Abtastregelungen und die digitalen Systeme eine zunehmend 'wichtige Rolle. Auf diesem Gebiet hat hesonders ZYPKI~ eine bemerkenswerte Tätigkeit entfaltet.

NIehr und mehr treten auch die statistischen Untersuchungs- und Bemes- sungsverfahren in den Vordergrund. Von den auf diesem Gehiet tätigen zahl- reichen sowjetischen Forschern seine hier besonders SOLODOW~IKOW, PUGAT- SCHOW und KASAKOW erwähnt.

Die Erarbeitung des sogenannten Invarianzprinzips hat eine eigene sowjetische Schule entstehen lasscn. Die Methodc prüft die Möglichkeiten der völligen Ausschaltung gewisser Störungen aus Regelkreisen. Als prominente Vertreter dieser Schule sind KULEBAKI~, PETROW, KUCHTJEl'\KO, TSCHIl'\AJEW bekannt ge"worden.

Im Zusammenhang mit den mit veränderlichen Parametern arheitenden Systemen muß der Name SOLODOWS hervorgehohen werden, während auf dem Gehiet der Systeme mit verteilten Parametern LERl'\ER, BUTKOWSKI, JEGOROW hahnbrechende Leistungen vollbracht hahen.

Nach dieser flüchtigen Übersicht über die auf dem Gebiet der linearen Regelungstheorie erzielten sO'wjetischen Ergcbnisse sollen nun einige Hinweise auch auf eine Anzahl hcmerkens'werter Erfolge auf dem Gebict der Unter- suchung nichtlinearer Systeme gegehen "werden.

BEITRA.G SOWJETISCHER FORSCHER ZUR REGELUl,GSTHEORIE 133

3. Einige Resultate im Zusammenhang mit dem Ljapunowschen Stabilitäts- prüfverfahren

Das wichtigste Problem von Regelungssystemen bildet die Stabilität.

Auf nichtlineare Systeme läßt sich das vom russischen Akademiker LJAPUNOW noch vor der Jahrhundertwende entwickelte Verfahren anwenden.

Dieses Verfahren beurteilt die Stabilität bzw. die asymptotische Stabi- lität des Systems anhand einer z. B. positiv definiten LJAPUNOWschen Funk- tion und auf Grund der Frage, ob es sich bei der abgeleiteten Funktion um eine negativ definite oder um eine negativ semi-definite handelt.

Der Stabilitätssatz - T verweist auf das Transponieren - , lautet:

Läßt sich für das in der Form der Vektor-Differentialgleichung dx _ - _ f() f - (f f, )T

- - x - X, - 1 " ' " n ,

dt

(-wenn x

=

0, dann ist f

=

0)

geschriebene nichtlineare System n-ter Ordnung eine stetige und ableitbare definite Funktion V

=

V(x) so ltählen, daß ihre Ableitung nach der Zeit

W(x)

= dV~~~) =

V(x)

=

(V_x V)T x

=

(V_x V)T f,

(

a a

^T

V

= - - .... , - -

x 8x

1 . 8X

n )

gleichfalls definit ist, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen erscheint, dann ist das System in dem um den Nullpunkt gelegenen kleinen Bereich asympto- tisch stabil. Ist die Funktion W(x) bloß semi-definit, dann ist das System zwar stabil, aber nicht asymptotisch stahil. (Dagegen ist die Lösung wie dies BARBASCHIN und KRASOWSKI nachgewiesen haben - asymptotisch stabil, sofern W(x) semi-definit und V-ex)

=

0 keine Trajektorie der Differential- gleichung

x ⁼

fex) ist.) Globale Stabilität bzw. globale asymptotische Stabi- lität besagt, daß die hinreichenden Bedingungen im gesamten Phasenraum erfüllt sind.

Der Labilitätssatz lautet: Kann für ein nichtlineares System n-ter Ordnung eine LJAPuNowsche Gleichung V(x) gefunden werden, die stetig und deren Ableitung nach der Zeit negativ definit ist, dann ist das System a) labil in jenem endlichen Bereich, in dem V(x) nicht positiv semi- definit ist, während

b) die Auslenkung des Systems mit fortschreitender Zeit über alle Grenzen hinaus anwächst, sofern V(x) global nicht positiv semi-definit ist

134 F. eS.iKI

Inz,~ischen sind zahlreiche Varianten dieses Verfahrens bekannt gewor- den. Sie betreffen die Beurteilung der Stabilität im kleinen und im großell.

Die schwierigsten Probleme ergeben sich eben aus der Aufstellung der LJAPU- NO'Yschen Funktionen V(x). Hierfür sind bezüglich der autonomen Systeme mehrere Methoden bekannt geworden. Relativ wenige Sätze betreffen die nichtautonomen Systeme. Aus der überaus umfangreichen Literatur über das LJAPuNowsche Verfahren seien hier die Autoren AJSERMAN, BARBASCHIN, TSCHETAJEW, DUBOSCHIN, JERUGIN, KRASOWSKI, LETOW, LURJE, lVIALKIN, MOISSEJEW, NEMYZKI, PERSIDSKI, RASUl\UCHIN, RUl\IJANZEW und SUBOW genannt.

Für autonome linear Systeme, für die

x

⁼ Ax, ist die Wahl der LJAPU- Now-Funktion verhältnismäßig einfach. In solchen Fällen wählt man die positiv definite quadratische Form

in der P eine positiv definite symmetrische Matrix bezeichnet. Die Ableitung yon V(x) kann in die Form

W(x) =

gebracht werden, in der

W(x) ist negatiy definit, wenn und nur wenn

Q

eine positiY definite symmetri-

"che Matrix ist.

Für nichtlineare Systeme der Form

:i =

f(x) ist der allgemeinste Satz derjenige von KRASOWSKI. Die LJAPuNowsche Funktion für diese Systeme hat die positiv definite symmetrische quadratiEche Form

V(f) = fT B f

mit der Ableitung in der quadratischen Form W(f) = - fT Cf,

III der

- C =JTB +BJ, während

J

f(\7_x)T mit (\7,)T =

(_8_, ... ,_8_)'

8x₁ 8x_n

die JAcoBIsche Matrix darstellt. Die quadratische Form W'(f) ist dann und nur dann negativ definit, wenn C eine positiv definite Matrix ist.

HEITRAG SOWJETISCHER FORSCHER ZUR REGELL"YGSTHEORIE 135

Vielfach leistet das Verfahren von AJSERMAl' gute Dienste. Ist

x

= Ax

+

g(x)

die Differentialgleichung des nichtlinearen Systems und läßt sich eine Matrix K finden, für dercn sämtliche Elemente

g(x) Kx,

dann vereinfacht sich die Aufgabe nach AJSERl\IAl'S Vermutung zu emer Untersuchung des linearen Systems

x

= (A

+

^K)x

nach dem für linear autonome Systeme bereits beschriebenen Verfahren.

Eine wichtige Rolle spielt in der Untersuchung der Stabilität nicht- linearer Systeme die LURJESche erste kanonische Form. Die Systemgleichungen

der Form

x

= Ax

+

^hg(a)

a =cTx

lassen sich mit Hilfe der Koordinatentransformation x=Lz

m die erste kanonische Form

Sz e g(a) mit

überleiten. Hierbei ist die Transformationsmatrix so zu wählen, daß man einer- seits

L-1AL

=

S

=

diag [Sl' 52. " . . , Sn],

andererseits

e;mite=(I,I, ... ,I)T

erhält, wobei s1' 52' ••• , Sn die einfachen, von Null verschiedenen \\Furzeln der charakteristischen Gleichung JA - 51!

=

0 sind.

Schließlich kann für

die LJAPul'owsche Funktion (unter Vernachlässigung emes beliebig niedrig anzusetzenden Gliedes) in der Form

v

= ^ZTPZ

136 F. CSA.KI

herangezogen werden, in der sich das Element Pik der lVIatrix P zu

Pi!i=

schreibt. Hierin sind ai' ak (i, k = 1,2, ... , n) Koeffizienten, die vorläufig nicht bestimmt werden können. Die A.bleitung der LJAPuNow-Funktion läßt sich unter Berücksichtigung der kanonischen Form in die Gestalt

PS)z ag(a)

+

[cx^T z

+

2e^T pz] g(a)

bringen.

V

wird negativ definit, wenn der in den eckigen Klammern stehende lVIultiplikationsfaktor von g(a) gleich Null ist. Auf dieser Grundlage erhält man das quadratische Gleichungssystem

n a.k

Xi - 2ai

2' ---

^{= 0 ;}

k=1 Si S"

(i

=

1,2, ... , n).

$

Die hinreichende Bedingung der globalen asymptotischen Stabilität besteht darin, daß die den reellen (komplexen) Wurzeln Si zugehörigen Lösungen ai gleichfalls reell (komplex) sein müssen. LURJE und LETow haben auch mehrere andere, dem beschriebenen ähnliche sogenannte sekundäre Stabilitätskriterien abgeleitet.

4. Resultate auf dem Gehiet der optimalen Lenkung

Auf diesem Gebiet haben FELDBAU!\!, LERNER, PONTRJAGIN und lVIitarb., ferner BOLTJANSKI, GAl\lKREILIDZE, lVlIscHENKo bahnbrechende Leistungen vollbracht.

Selbst eine auch nur einigermaßen eingehendere Behandlung der ein- schlägigen lVIaterie würde weit über den Rahmen dieser Ausführungen hinaus- gehen, weshalb hier lediglich auf die Ahnlichkeit zwischen der Formulierung des PONTRJAGINschen lVIaximum-Prinzips und den in den HAMILToNschen Gleichungen niedergelegten Formulierungen mechanischer Gesetze hingewiesen wird.

Die Differentialgleichung (n l)-ter Ordnung für das System laute dx = f(x, u),

dt

wobei f und x Säulenvektoren mit der Komponentenzahl (n

+

1), u hingegen einen Säulenvektor mit der Komponentenzahl T bezeichnen soll.

BEITRAG SOWJETISCHER FORSCHER ZUR REGELU"GSTHEORIE

Es sei weiterhin

H(p, x, u) = pT fex, u) die Hamilton- Funktion mit

dx _ V H' dt - P ,

dt

dp =-VxH;

worin T auf das Transponieren hinweist.

137

Schließlich sei u(t), 0

<

t

<

T ein zulässiger Richtungsvektor, der die Sicherheit bietet, daß die Trajektorie x(t) vom Punkt x(O) aus in den Punkt x(T) gelangt. Die notwendige Voraussetzung dafür, daß u(t) und x(t) optimal werden, ist die Existenz einer von Null verschiedenen Vektorfunktion pet) mit der Komponentenzahl (n 1), die eine Funktion von u(t) und x(t) ist, wobei

1. für jeden Zeitpunkt t(O T) die Hamilton-Funktion H(p, x, u) bei u E U den lVIaximumwert

H[p(t), x(t), u(t)] = lvl[p(t), x(t)]

annehmen und

2. zum äußersten Zeitpunkt T

Po (T)

<

0; M[p(T), x(T)]

>

0

erfüllt sein muß. (Im allgemeinen ist die Bedingung unter 2. nicht nur für den Zeitpunkt T, sondern auch für jeden anderen Zeitpunkt 0

<

^{t T}

erfüllt.)

Hierzu die Bemerkung: In den obigen Vektorgleichungen figuriert die Optimalisierungsbedingung

in der Form

T

J

r

fo[x(t), u(t)] dt = Xo ⁼ l\Iin ö

fo[x1 " " ,xl1,u(t)].

Ist beispielsweise fo = 1, dann ist die kürzeste Durchgangszeit gesucht.

J

=

T

=

lVIin.

Das Pontrjagin-Prinzip liefert eine ganz allgemeine Formulierung der Opti- mumprobleme der Regelungstechnik. Und hier geht es nicht nur um Systeme mit optimaler Einstelldauer, vielmehr kann es sich auch um andere, etwa um

138 F. CS.·[KI

optimale Systeme, die irgendein Integralkriterium minimalisieren oder um Systeme sonstiger Art handeln.

Das PO:c'(TRJAGLN-Prinzip ist verhältnismäßig neu. Dennoch kann die Zahl der Publikationen in der Faehliteratur, die sich mit ihm befassen, schon jetzt auf mehrere hundert beziffert werden. Sie haben vornehmlich die Zeit- Optimum-Systeme und nur zum geringeren Teil die der anderweitigen Opti- mum-Systeme zum Gegenstand. Die größte Bedeutung scheint man eben der Frage beizumessen, inwieweit es gelingen wird, die Schaltungshyperfläche auch iD. geschlossener Form anzugeben, wenn es sich um einen relativ kompli- zierten Funktionsausdruck handelt, wenn es also fraglich wird, ob die physika- lische Realisierung möglich ist. Deshalb setzten sich denn auch die Unter- suchungen teilweise das Ziel, klarzustellen, wie diese Schaltungshyperflächen durch praktisch einfacher realisierbare Ebenen oder Flächen angenähert wer- den können.

Zahlreiche Artikel der Fachliteratur weisen auf die engen Wechsel- beziehungen zwischen Maximum-Prinzip, klassischer Variationsrechnung und dynamischer Programmierung hin. (Hierzu sei besonders die Artikelreihe in Automatik und Telemechanik yon RosE:c'(AuER hervorgehohen.) Das Maximum- Prinzip und die dynamische Programmierung bilden die Grundlage für eines der wichtigsten Kapitel der Regelungstechnik, mit Recht steht also zu erwar- ten, daß in den kommenden Jahren zu diesem Prohlemkreis noch zahlreiche

Publikationen und Artikel erscheinen ·werden.

5. Einige anderweitige Resultate

Die niehtlineare Regelungsteehnik hat eine Reihe yon Verfahren ent- ,\·ickelt, die - ohgleich sie mit der Lehre yon den nichtlinearen Schwingungen in enger Verwandtschaft stehen - ihre eigentliche Entfaltung erst in der Regelungstechnik erfahren hahen. Um ein solches Verfahren handelt es sich beispiels·weise bei der :Methode der harmonischen Linearisierung, die KRYLOW und BOGOLJUBOIY zu yerdanken ist. Dieses Verfahren der harmonischen Linearisierung oder - wie es aueh genannt wird - der Beschreibungs- funktionen setzt hekanntlieh am Eingang des nichtlinearen Gliedes sinus- förmige Sch·wingungen yoraus, während sie am Ausgang des nichtlinearen Gliedes die harmonischen Oberschwingungen yernachlässigt und nur die Grundharmonischen berücksichtigt. Da die sonstigen linearen Teile des Rege- lungssystems für gewöhnlich den Charakter von Tiefpässcn tragen, führt die genannte Approximation häufig zu auffallend guten Ergebnissen, hesonders soweit es die Beurteilung der Stabilität bzw. des Grenzzyklus hetrifft. Die große Verhreitung der harmonischen Linearisierung ist dem Umstand zuzu- schreiben, daß sie im Grunde genommen das Rechnen mit einem gleichwertigen

BEITRAG SOWJETISCHER FORSCHER ZeR REGELU,'-GSTHEORIE 139

linearen System gestattet und damit die Anwendung der gut bekannten und sicheren lVlethoden der linearen Regehmgstechnik auf nichtlineare Systeme ermöglicht.

Es laute die Funktion des nichtlinearen Gliedes Xa = f(Xe) , worin X_a das Ausgangs-, ^Xe hingegen das Eingangssignal bezeichne. Handelt es sich bei diesem um ein harmonisches Signal im Sinne von

Xe (t) = B sin wt, dann hat man für das Ausgangssignal

Xa (t) ⁼ A_o

+ JE

^{(An cos nwt}

+

B n sin nwt) ,

n=l

wobei A_o; A,,, B_n (n = 1,2, ... ) die Koeffizienten der Fourierreihe bezeichnen.

Die harmonische Linearisierung berücksichtigt nur die konstante Komponente und die Grundschwingungen.

Das Ausgangssignal läßt sich mithin mit dem Ausdruck q(B) B sin wt q' (B) B cos 0Jt

annähern, in dem

ist.

f(B sin wt) dw! ,

q(B) = -I-Sf(B sin wt) sin wt dwt, nB

q' (E) ¹ nB

o

f(B sin 0Jt) cos wt dmt

Die Beschreibungsfunktion selbst schreibt sich zu N(B) = q(B)

+

^{j q'(B) .}

Auch die Methode der Beschreibungsfunktionen hat eine ausgedehnte Literatur, und selbst in jüngster Zeit werden immer neuere Artikel publiziert, die einzelne Varianten des Verfahrens behandeln. (Beispiele bilden die Büchel' von Popow und PALTOW.)

Die sogenannte statistische Linearisierung bildet bei der Linearisierung im Zeitbereich eine ähnlich stark verbreitete Methode wie bei der harmoni- schen Linearisierung. Dieses Verfahren geht von der Annahme eines statisti-

140 F. CSAKI

schen Eingangssignals aus, welches in der Regel als im Gaußschen Sinne normal verteilt angesehen wird. Eine normale Verteilung liegt auch beim Ausgangs- signal vor, und auf Grund der beiden Signale läßt sich beispielsweise ein gleich- wertiger linearer Verstärkungsfaktor für das nichtlineare Glied bestimmen.

Naturgemäß können auch andere Kennwerte definiert werden, am häufigsten wird jedoch der linearisierte Übertragungsfaktor gebraucht.

Es sei (im einfachsten Fall) die Funktion Xa ⁼ f(x c) des nichtlinearen Gliedes unpaar und eindeutig, das Eingangssignal xe(t) hingegen ein stationäres stochastisches Signal mit dem voraussichtlichen Wert Null:

ltI[x_e (t)] = O.

Das reelle stochastische Signal xa(t) kann mit einem idealen Signal Xi(t) so angenähert werden, daß die mittlere quadratische Abweichung zwischen den beiden Signalen ein Minimum wird:

Nach der Methode der statistischen Linearisierung ist Xi (t)

=

K_S Xe (t)

und der gleichwertige Übertragungsfaktor

K_s = - - - -

worin bei stationärem Ablauf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x_e) des Eingangssignals xe(t) von der Zeit unabhängig ist. Um die statistische Linearisienmg hat sich in erster Linie KASAKOW verdient gemacht.

Ein weiterer Themenkreis der nichtlinearen Regelungstechnik, der eine beachtliche Entwicklung aufzuweisen hat, ist die Extremalregelung oder mit einem anderen Namen die Optimumansuche. Hier handelt es sich im Grunde genommen um das Auffinden des Extremwertes einer nichtlinearen Ziel- funktion. Die Aufgaben lassen sich in zwei Gruppen aufteilen, einerseits in die verschiedenen Methoden zur Bestimmung der Gradienten, andererseits in die Schritte zum Extremum hin. Diesen letzteren Teil der Aufgabe nennt man oft auch die »Bergsteigermethode«. Am häufigsten bedient man sich des Gauß- Seidelschen, ferner des Gradientenverfahrens sowie der Methode des steilsten Falles. Die Literatur zu diesem Problemkreis ist überaus umfangreich. Sie gibt

BEITRAG SOWJETISCHER FORSCHER ZUR REGELUNGSTHEORIE 141

nicht nur über grundsätzliche Erwägungen, sondern auch über die Möglich- keiten der praktischen Venv'irklichung Auskunft. Im Zusammenhang mit diesem Themenkreis sei hier auf die Tätigkeit von FELDBAUM, KRASOWSKI und anderen hingewiesen.

Die Methoden der Optimumsuche stellen eine der Untergruppen der adaptiven, d. h. der Systeme mit veränderlicher Struktur dar. Eben dieser Themenkreis ist es auch, der im Mittelpunkt der Aufmerksamkeit auf diesem Fachgebiet steht, 'wie dies aus der großen Zahl von Fachpublikationen über die adaptiven Systeme hervorgeht. Als Vertreter der sowjetischen Forschung hat neuerdings ZYPKIN beachtenswerte Resultate erzielt.

6. Schluß

Die vorangehenden Ausführungen mußten sich - unter Verzicht auf Vollständigkeit - wegen des knappen Raumes notwendigerweise auf eine kurze Übersicht über einige wichtigere Resultate sowjetischer Forscher auf dem Gebiet der Theorie der linearen und nichtlinearen Regelung beschränken.

Ein günstiger Einfluß auf die Entwicklung der Regelungstheorie in Ungarn ist dem Umstand zu verdanken, daß Lehrkörper und Hörer der Budapester Technischen Universität Gelegenheit hatten, Vorträge der Herren Professoren KULEBAKIl'i - Mitglied der Sowjetischen Akademie der Wissen- schaften und Ehrendoktor der Universität - , lVIEJEROW, FELDBAUl\I, LERNER, ZYPKIN, SOLODOWNIKO"\V, FATJEJEW und \VORONO"\V anzuhören und mit ihnen Konsultationen zu pflegen.

Die sO'wjetisch-ungarischen Beziehungen 'werden sich ganz gewiß auch auf dem Gebiet der Regelungstheorie, diesem ,,-ichtigen Zweig der modernen Technik, weiter yertiefen und neue Früchte tragen.

Zusammenfassung

Im Rahmen des Yortrages werden die Arbeiten und Ergebnisse der bedeutendsten sowjetischen Wissenschaftler il;' Bereich der linearen und nichtlinearen Regelungstechnik zusammenfassend besprochen. L nter anderen werden die Stabilitätstheorie von LJAPuI'iOW.

das lIIa:ximumprinzip yon P02\TRJAGI:X mit dessen Hilfe die Aufgabe der optimalen System- steuerung gelöst werden kann. ferner die Stabilitätstheorie yon MIHAJLO,y_ Arbeiten Yon :lIEJERO"\V, ;lie neuesten Ergebnisse von ZYPKI:X usw. behandelt. .

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Prof. Dr. Frigyes es.ho, Budapest, XL Egry J6zsef u. 18-20. Ungarn