Algoritmuselmélet 11. el ˝oadás

(1)

Katona Gyula Y.

Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz.

I. B. 137/b

kiskat@cs.bme.hu

2002 Március 26.

(2)

Kruskal módszere

Mindig a legkisebb súlyú olyan élet színezzük kékre, ami még nem alkot kört az eddigi kék élekkel.

=⇒ A kék élek végig egy erd ˝ot határoznak meg, akkor van kész, ha feszít ˝ofa lesz.

=⇒ Az új kék él az eddigi erd ˝o két komponensét fogja összekötni.

Kezdetben n komponens, egy él színezésével eggyel csökken a komponensek száma.

procedure Kruskal (G: gráf; var F, H: élek halmaza);

begin

F := ∅; H := E;

while H 6= ∅ do begin

Töröljük a H minimális súlyú (v, w) élét.

Ha F ∪ {(v, w)}-ben nincs kör

(azaz a v, w pontok különböz ˝o kék fákban vannak), akkor F := F ∪ {(v, w)}

end

end=⇒ Ha a (v, w) él kört eredményez, akkor piros él, ha pedig nem, akkor kék éle.

(3)

Tétel. A Kruskal-algoritmus eredményeként végül F a G gráf egy minimális költség ˝u feszít ˝ofájának éleit tartalmazza.

Bizonyítás: ez is piros-kék algoritmus JAVA animáció: Kruskal

Implementáció:

• élekb ˝ol kupacot építünk → O(e log e) lépés

• éleket el ˝ore rendezzük → O(e log e) lépés

Hogyan döntjük el, hogy a kiválasztott él kört alkot-e az eddigi kiválasztottakkal?

=⇒ Tartsuk nyilván az aktuálisan egy kék fába tartozó csúcsokat mint halmazokat.

Kell: UNIÓ, HOLVAN

(4)

Az UNIÓ-HOLVAN adatszerkezet

Legyen adott egy véges S halmaz. Ennek egy partícióját szeretnénk tárolni

→ U₁, . . . , U_k ⊆ S

Adott egy n elem ˝u S halmaz, és ennek bizonyos U₁, . . . , U_m részhalmazai, melyekre U_i ∩ U_j = ∅ (i 6= j) és U₁ ∪ . . . ∪ U_m = S (vagyis az U_j részhalmazok S egy partícióját adják).

M ˝uveletek:

UNIÓ(U_i, U_j) = ({U₁, . . . , U_m} ∪ {U_i ∪ U_j}) \ {U_i, U_j} (az U_i, U_j halmazokat U_i ∪ U_j helyettesíti).

HOLVAN(v) eredménye (itt v ∈ S) annak az U_i halmaznak a neve, amelynek v eleme.

Kruskalban:

annak megvizsgálása, hogy milyen szín ˝u legyen az új (u, v) él

=⇒ Ha HOLVAN(u) 6= HOLVAN(v), akkor kék, különben piros.

Új él színezése =⇒ UNIÓ(HOLVAN(u),HOLVAN(v))

(5)

Implementáció fákkal

U_j → gyökeres, felfelé irányított fa

U_j elemeit a fa csúcsaiban tároljuk, egy szül ˝omutatóval.

Egy részhalmaz neve legyen az ˝ot ábrázoló fa gyökere. A gyökérben nyilvántartjuk még a fa méretét is.

• UNIÓ: U_i ∪ U_j fáját a következ ˝oképpen készítjük el:

Tegyük fel, hogy |U_i| ≤ |U_j|. Ekkor az U_j fa x gyökeréhez gyermekként hozzákapcsoljuk U_i gyökerét.

B

B B B B

L L L L L L L

xq

U_i U_j

B

B B B B

L L L L L L L

xq

U_i U_j

U_i ∪ U_j

A

A A A A A A A A A A A A A A A AA t

1B B B BB M

3

@

@ I

vn

x

v

6

• HOLVAN: A v ∈ S elemet tartalmazó részhalmaz nevét, azaz a megfelel ˝o fa gyökerét a szül ˝okhöz men ˝o mutatók végigkövetésével találhatjuk meg.

(6)

Az UNIÓ hívásakor az U_i és U_j halmazok a gyökerükkel adottak

=⇒ költség: O(1)

HA egy v csúcs új gyökér alá kerül, akkor egy szinttel lesz távolabb a

gyökért ˝ol, míg az új fájának a mérete legalább az eredeti duplájára változik.

=⇒ Egy csúcs legfeljebb log₂ n-szer kerülhet új gyökér alá

=⇒ szintszám ≤ log₂ n

=⇒ HOLVAN költsége O(log n)

Tétel. A Kruskal-algoritmus költsége O(e log e).

Bizonyítás: 2e HOLVAN, és n − 1 UNIÓ m ˝uveletet jelent. Ezek id ˝oigénye O(e log n + n) = O(e log n), vagy ami ugyanaz: O(e log e).

(7)

A HOLVAN gyorsítása: útösszenyomás

Egy pontról többször is megnézzük HOLVAN, mindig log n lépés

=⇒ Az els ˝o alkalommal, minden ˝osét kössük közvetlenül a gyökérbe

A

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A u

1B B B B BB M

3

@

@@ I

v

@

@@ I

x₁ x₂

x₃ x₄

6

*

@

@ I

H HH H HH HH HH Y

x₄

@

@@

x₃I

x₂ x₁

v gyökér

PP PP

PP PPP

PP PP

PP PPP

!!

!

gyökér

-

q pr

r r

s

s s qr r

Tétel. Legyen |S| = n, és tegyük fel, hogy kezdetben mindegyik U_j

egyelem ˝u. Ha egy olyan utasítássorozatot hajtunk végre (útösszenyomással), melyben n − 1 UNIÓ és m ≥ n − 1 HOLVAN szerepel, akkor ennek az

id ˝oigénye O(mα(m)).

(8)

A korlátban szerepl ˝o α : Z⁺ → Z⁺ függvény az inverz Ackermann-függvény.

α(m) a végtelenhez tart, ha m → ∞, de nagyon lassan, lassabban mint a logaritmus k-szori önmagába helyettesítésével adódó log log · · ·log m

függvény (k ∈ Z⁺ tetsz ˝oleges).

Pl. α(m) ≤ 4, ha m < 2⁶⁵⁵³⁶

A normális méret ˝u feladatoknál tehát α(m) állandónak (≤ 4) tekinthet ˝o.

Tétel. Ha az élek rendezésével kapcsolatos teend ˝ok O(e) id ˝oben

megoldhatók, akkor a Kruskal-algoritmus O(eα(e)) id ˝oben megvalósítható.

Manipuláció a súlyokkal =⇒ Yao (1975): O(e log log n)

Véletlen módszerek =⇒ D. R. Karger, P. N. Klein, R. E. Tarjan, (1994):

várhatóan O(e)

On-line változatban is m ˝uködik a piros-kék algoritmus: színezzük az új élet élet kékre; ha emiatt kialakul egy kék kör, akkor abból töröljünk egy maximális súlyú élet.

JAVA animáció: Kruskal

(9)

Maximális párosítás páros gráfokban

Definíció. A G = (V, E) gráfot párosnak nevezzük, ha V csúcshalmaza felosztható két diszjunkt részre – V₁-re és V₂-re – úgy, hogy minden él ezen két halmaz között fut, vagyis (x, y) ∈ E esetén x ∈ V₁ és y ∈ V₂ vagy

fordítva.

Definíció. Legyen G = (V, E) egy tetsz ˝oleges gráf. Az E élhalmaz E⁰ ⊆ E részhalmaza G egy párosítása, ha a G⁰ = (V, E⁰) gráfban minden pont foka legfeljebb egy.

Definíció. A G gráf egy E⁰ párosítása maximális, ha G minden E⁰⁰ párosítására |E⁰⁰| ≤ |E⁰|.

A probléma: Adott egy G = (V₁, V₂; E) páros gráf. Határozzuk meg G egy maximális párosítását.

Definíció. Legyen G egy tetsz ˝oleges gráf, és E⁰ a G egy párosítása. Egy

G-beli utat E⁰-alternáló útnak hívunk, ha felváltva tartalmaz párosított és nem párosított éleket.

Definíció. Legyen E⁰ a G = (V, E) gráf egy párosítása. Ekkor egy olyan

E⁰-alternáló út, melynek mindkét végpontja párosítatlan, E⁰-re nézve javító út, vagy röviden E⁰-javító út.

(10)

Tétel. Legyen G = (V, E) egy tetsz ˝oleges gráf és E⁰ egy párosítása. Ha E⁰-re nézve nincs javító út G-ben, akkor E⁰ a G egy maximális párosítása.

B B

u X

⁰

v

⁰

w v X

t w

⁰

A M

A

2k. szint: V₁ azon még fel nem vett pontjai, melyek egy párosított, azaz egy E⁰-beli éllel elérhet ˝ok egy 2k − 1. szintbeli pontból; ezen éllel együtt.

...

(12)

Tétel. A G = (V₁, V₂; E) páros gráfban akkor és csak akkor van az E⁰

párosításra nézve javító út, ha az E⁰-hez tartozó alternáló erd ˝oben valamelyik páratlan szinten megjelenik egy párosítatlan pont.

Bizonyítás: Ha találtunk páratlan szinten párosítatlan utat, akkor a gyökér felé vezet ˝o út javító út

√

Fordítva:

Megmutatjuk, hogy a V₁ párosítatlan csúcsaiból (ezek vannak az erd ˝oben a nulladik szinten) alternáló úton elérhet ˝o pontok mindegyikét beválasztjuk valamikor az alternáló erd ˝obe.

Tegyük fel, hogy v₀, v₁, . . . , v_k egy alternáló út, és v₀ ∈ V₁ egy párosítatlan csúcs; i szerinti indukcióval megmutatjuk, hogy v_i bekerül az erd ˝obe.

Ha i = 0

√

Az út v_2j csúcsa V₁-ben van és a (v_2j, v_2j₊₁) él párosítatlan. =⇒ ha v_2j-t beválasztottuk, akkor v_2j+1 is bekerül

Az út v_2j₋₁ csúcsa V₂-ben van és (v_2j₋₁, v_2j) ∈ E⁰. Így v_2j₋₁ után v_2j is sorra kerül, ha korábban ez még nem történt meg.

(13)

Tegyük fel, hogy G-ben a v és w csúcsok egy javító út végpontjai.

v ∈ V₁ párosítatlan =⇒ w ∈ V₂

w elérhet ˝o alternáló úton v-b ˝ol =⇒ valamikor beválasztjuk

De V₂-beli csúcsokat csak páratlan szintekre veszünk fel =⇒ w is itt lesz Lépésszám: Alternáló erd ˝o építése: O(e), össze lépésszám: O(ne)

Karp (1973): O(e√ n)

(14)

Maximális folyamok hálózatokban

JAVA animáció: Ford-Fulkerson algoritmus

Ha minden kapacitás egész és a maximális folyam értéke f, akkor legfeljebb f javítással megkapjuk a maximális folyamot.

s (1) t

a a

¹⁰

) 1(10

¹⁰

)

1(10

¹⁰

) 0(1)

Ha az élkapacitások racionális számok =⇒ véges lépés

Ha irracionális kapacitásokat is megengedünk =⇒ lehet, hogy nem ér véget véges sok lépésben, s ˝ot lehet, hogy nem is jó értékhez konvergál

(15)

Edmonds–Karp algoritmus

A folyam növelésére mindig a legrövidebb – vagyis a legkevesebb élb ˝ol álló – növel ˝o utak egyikét válasszuk.

Tekintsük a G_f javító gráfot; legyen benne π egy legrövidebb növel ˝o út.

Ennek hosszát (élszámát) jelölje l.

Szélességi kereséssel osszuk szintekre =⇒ D[v]

(1) Egy él legfeljebb egy réteggel mehet el ˝ore.

A G_f egy x → y élét nevezzük vastagnak, ha D[y] = D[x] + 1.

(2) Az l hosszúságú s t utak csupa vastag élb ˝ol állnak, és nincs l-nél rövidebb s t út.

⇐= Legrövidebb útnak muszáj mindig feljebb menni Mi történik, ha javítunk π mentén?

Legalább egy él telít ˝odik és elt ˝unik a javító gráfból.

Legfeljebb l darab új él jelenik meg a G_f0-ben (π élei ellenkez ˝o irányítással, ha eddig még 0 folyt át rajtuk).

=⇒ a következ ˝o növel ˝o út sem lehet rövidebb l-nél.

(16)

Hányszor adódhat egymás után l hosszú növel ˝o út?

Minden javítás után eggyel kevesebb vastag él lesz (legalább egy kritikus él törl ˝odik).

Addig lesz l élb ˝ol álló növel ˝o út, amíg marad vastag élekb ˝ol álló s t út.

Tétel. Az Edmonds–Karp-heurisztika szerinti növelésnél a növel ˝o utak hosszai nem csökken ˝o sorozatot alkotnak. Ebben a sorozatban egy adott úthosszúság legfeljebb e-szer fordulhat el ˝o. Következésképpen legfeljebb e(n − 1) növelés lehetséges. A heurisztika alkalmazásával O(e²n) elemi lépésben kapunk maximális folyamot.

Bonyolultabb algoritmusok Dinic: O(en²)

Goldberg, Tarjan: O(en log(n²/e))

(17)

Hálózatok alsó korlátokkal

Tegyük fel, hogy a c(u, v) kapacitások mellett (fels ˝o korlát) alsó korlátok is vannak az f(u, v) mennyiségekre. =⇒ k(u, v) ≤ f(u, v) is teljesüljön a G minden u → v élére.

=⇒ (G, s, t, c, k)

Van-e egyátalán ilyen folyam?

s 0, 1 2, 3 t

Belátjuk, hogy ez a hagyományos folyamproblémára visszavezethet ˝o.

(18)

H = (G, s, t, c, k) → H⁰

• Új forrás: S, új nyel ˝o: T

• Régi éleken új kapacitás: c⁰(u, v) := c(u, v) − k(u, v)

• 2 új él minden pontra: S → v és v → T c⁰(S, v) := P

(u,v)∈E k(u, v) és c⁰(v, T ) := P

(v,w)∈E k(v, w)

• Új T → S él ∞ kapacitással

t s

s 1, 3 2, 3 0 1 2 1 t

2

1 2 0

S

T

∞

(19)

Tétel. A H = (G, s, t, c, k) hálózatban akkor és csak akkor létezik folyam, ha a H⁰ hálózat (S-b ˝ol T-be men ˝o) maximális folyamának az értéke

P

(u,v)∈E k(u, v).

Ha a T → S él kapacitást d-nek választjuk =⇒ ugyanígy megkaphatjuk, hogy van-e legfeljebb d érték ˝u folyam

=⇒ algoritmus alsó korlátos folyamokra

(20)

Egy ütemezési feladat

Tegyük fel, hogy egy légitársaság a J₁, J₂, . . . , J_m járatokat szeretné üzemeltetni, és d darab azonos típusú repül ˝ogépe van erre a célra.

Minden J_i, J_j járatpárra ismert, hogy van-e elég id ˝o arra, hogy a J_i teljesítése után egy gép felkészüljön a J_j repülésére.

Ha J_i, J_j-re a válasz igenl ˝o, akkor azt mondjuk, hogy J_j követheti J_i-t.

Gráf:

Egy J_i légijáratnak =⇒ két csúcs, i és i⁰ és egy i → i⁰ él

Ha J_j követheti J_i-t, akkor vezessünk irányított élet i⁰-b ˝ol j-be.

Vegyünk még fel egy s forrást és egy t nyel ˝ot, és adjuk a hálózathoz az s → i és i⁰ → t éleket (1 ≤ i ≤ m).

Az összes él kapacitása legyen 1. Az i → i⁰ alakú élek alsó korlátja legyen 1, a többi élé pedig 0.

Tétel. A J₁, J₂, . . . , J_m járatok akkor és csak akkor teljesíthet ˝ok legfeljebb d géppel, ha a hálózathoz van olyan g folyam, amelyre |g| ≤ d.

Algoritmuselmélet 11. el ˝oadás

kiskat@cs.bme.hu

Kruskal módszere

Az UNIÓ-HOLVAN adatszerkezet

Implementáció fákkal

A HOLVAN gyorsítása: útösszenyomás

Maximális párosítás páros gráfokban

B B

u X

v

w v X

t w

A M

A

v X u X

u

v

Javító út keresése alternáló erd ˝ o építésével

√

√

Maximális folyamok hálózatokban

s (1) t

a a

b

(10

) (10

)

(10

) (10

)

s 1(1) t a

a

b 1(10

)

1(10

) 0(10

)

0(10

)

s t

a a

b 1(10

)

1(10

) 1(10

)

1(10

) 0(1)

Edmonds–Karp algoritmus

Hálózatok alsó korlátokkal

s 0, 1 2, 3 t

t s

s 1, 3 2, 3 0 1 2 1 t

2

1

2 0

S

T

∞

Egy ütemezési feladat

J

J

J

0, 1

0, 1

0, 1

0, 1 0, 1

0, 1

0, 1

0, 1 0, 1 0, 1

0, 1 0, 1

0, 1

0, 1

1, 1 1, 1

1, 1 1, 1

1, 1

S T

J

J

Hirdetmények