A heteroszkedaszticitás diagnosztizálása

A HETEROSZKEDASZTICITÁS DIAGNOSZTIZÁLÁSA

PINTÉR JÓZSEF

A regresszióanalízis technikáját alkalmazók gyakran kerülnek szembe a homoszkedasz—

tícitás,1 heteroszkedaszticitás dilemmájával. A heteroszkedaszticitás jelenlétével különösen gazdasági idősorok esetén számolhatunk. Sok lehetséges formája van, és általában nem tud- ható, hogy egy konkrét esetben melyikre kell számítani. A jelenség felismerésével, hatásai- nak enyhítésével nagyon sok szakkönyvben, kézikönyvben találkozhatunk. Tulajdonképpen sok felhasználó a bőség zavarával megküzdve, az egyszerűbb ellenállást választja: nem fog- lalkozik a jelenséggel. Ez azonban számos olyan következménnyel járhat, amely végül a statisztika felhasználói bizalmának elvesztését is okozhatja.

Jelen dolgozatban — terjedelmi korlátok miatt — nem vállalkozom a témakör részletes kifejtésére. Célom csupán az, hogy a sokféle diagnosztizálási módszer közül néhány jellegze- tesnek, elterjedtnek ítélt eljárást megemlítsek, javaslatot tegyek egy-egy próba alkalmazá- sára. Már itt szeretném megemlíteni, hogy az összetett, komplex vizsgálatot lehetővé tevő próbákra2 nem térek ki. Nem titkolom azonban azt sem, hogy a többféle próba felvonulta- tásával inspirálni szeretném a regressziós technika alkalmazóit a rendszeres használatra.

Erre különösen alkalmasnak vélem a Szroeter—féle próbát. A heteroszkedasztikus modell esetén követendő felhasználói megoldásokat csak futólag említem meg.

A Szroeter—féle próba verifikálását két számpélda is alátámasztja; az egyik heteroszke- dasztikus, a másik homoszkedasztikus modellt reprezentál. Végül - csupán jelzésszerűen —- szólok a heteroszkedasztícitás kivédésének módszereiről. Témám kifejtése során mindenkor támaszkodni kívánok a hazai szakirodalomra, feltételezve annak ismeretét.

A HETEROSZKEDASZT'ICITÁSRÓL ÁLTALÁBAN

Köztudott, hogy a lineáris regressziós modell3

PXBH, /1/

ahol:

y - a függő változó (nX l) oszlopvektora, X — a magyarázó változók (nXm) mátrixa,4

:; — véletlen változó, hibatényező (nX l) oszlopvektora, ,? — a becsülni kívánt paraméterek (mx 1) oszlopvektora.

lA görög—latin szóeredet közvetlen jelentése: egynemű, egyenlő terjedelem.

' Az olvasó alapos képet kaphat ezekről a próbákról (U)-ből.

! Magyar nyelven jó áttekintést ad a témakörről (18).

'Az m oszlop k darab magyarázó változót és l-esekből álló oszlopvektort jelöl, m : k—t—l.

PINTÉR: A HETEROSZKEDASZTICITÁS 17 A lineáris regressziós modell feltételrendszerében nagyon fontos szerepet játszik az alábbi összefüggés :

E(68')'—'U*I, /2/

ahol 1 egy (an) rendű egységmátrix.

A /2/ azt jelzi, hogy a hibatényező nem autokorrelált és varíanciája konstans. A hibaté- nyező valószínűségi változó, amelynek eloszlásáról feltételezzük a normális eloszlást. A felté- telrendszer kibővítve:

9(X):m (m4 n; X állandó) /3/

E(X'e) : o.

A magyarázó változót tartalmazó X mátrix elemei nem valószínűségi változók; a ma- gyarázó változók lineárisan függetlenek, értékük rögzitett, mérési hibát sem tartalmaznak, és nem korrelálnak a hibatényezővel. Az ilyen modelleket hívjuk ún. klasszikus lineáris regressziós modellnek.

Vizsgálódásunk érdekeinek megfelelve vonatkoztassunk el az autokorreláció jelenségé- től.

Szinte valamennyi ökonometriai kézikönyv (például (18), (13), (16)) a fogyasztás és a jövedelem kapcsolatának témaköréből hoz olyan példát, amikor a konstans varianciájú hibatényezőre vonatkozó feltevés tarthatatlan. Könnyen belátható, hogy nagyobb jövede- lemmel rendelkező háztartások, egyének fogyasztása tágabb intervallumban szóródik, mint a kisebb jövedelemmel rendelkező társaiké. A fogyasztás varianciája sztochasztikus kapcso- latban van a jövedelem nagyságával. így — értelemszerűen — a fogyasztással összefüggő jövedelemrugalmasság-szórása a magasabb jövedelmi sávokban nagyobb. E jelenséget, amely az irodalomban a heteroszkedaszticitás nevet kapta, a modell reziduális változójának segít- ségével is megfigyelhetjük. Ilyen esetekben a változók kapcsolatát kifejező regressziós mo- dellt heteroszkedasztikusnak nevezzük, míg homoszkedasztíkusnak tekintjük a modellt, ha a szóródás konstans voltára vonatkozó feltevés igazolódik be.

A heteroszkedaszticitás ,,veszélye" elsősorban a keresztmetszeti (és panel—) adatok fel—

használása esetén nagy. Mindez azonban nem jelenti azt, hogy az idősorokon alapuló becs- lések védettek vele szemben.

A heteroszkedaszticitást előidéző okok nagyon sokfélék lehetnek. Csupán illusztráció—

ként említünk meg közülük néhányat: a vizsgált jelenség önmagában heteroszkedasztikus jellegű (például a már említett fogyasztási példa mellett szólhatunk egy-egy munkafolyamat vizsgálatánál tapasztalható sajátosságról, nevezetesen a gyakorlati idő növekedésével ará- nyosan csökken a megmunkálási idő szórása stb.); a modellt nem az eredeti adatsorokkal, hanem azok átlagával számszerűsítjük ún. csoportosított adatokból számolunk; helytelenül választjuk meg a függvényformát; kihagyunk releváns változókat a modellből; változik a jelenség struktúrája stb.

A fentiekből látható, hogy a heteroszkedaszticitás gyakorta specifikációs hiba ered- ménye. Mindez felveti a megoldások között a modellspecifikáció revízióját is, amely fontos szerepet játszik a heteroszkedaszticitást elímináló technikai módszerek mellett.

A heteroszkedaszticitás csoportosítására többféle út nyílhat. Élhetünk valamilyen konk—

rétan specifikált függvényszerű a priori feltevéssel a heteroszkedaszticitásról, míg más eset- ben csupán csoportosítással segítjük a diagnosztizálást. Az első esetben ún. funkcionális, a második esetben ún. csoportos heteroszkedaszticitásról beszélhetünk. Természetesen a je—

lenség lokális kimutatására funkcionális esetben van nagyobb lehetőség.

A bevezetőben már láttuk, hogy a standard lineáris regressziós modell változóira vo—

natkozó feltevések hipotetikus jellegűek, ezért magától értetődik, hogy a varianciára vonat- 2

18 pm'rÉn JÓZSEF

kozó feltételt az /1/ modell esetében hipotézisek formájában fogalmazzuk meg:

H., más...—eaz /4/

nullhipotézist a

Hl :a'gaea? (i zef), ahol í,j:1, ..., n, vagy tömörebben

H1 : ;! íkjE (1, ...,n; ota; a;

alternativ hipotézissel szemben.

A /4/—ben a H() nullhipotézis a homoszkedaszticitás, mig a H! hipotézis a heteroszke—

daszticitás feltételezését szimbolizálja.

Felmerül a kérdés, hogy milyen hátránnyal jár az, ha eltekintünk a heteroszkedaszticitás jelenségének vizsgálatától, de alkalmazzuk a paraméterek becslésére a legkisebb négyzetek

hagyományos módszerét.

Elmondhatjuk, hogy a paraméterek becslése ebben az esetben is torzítatlan lesz:

E(b)-——:5, /5/

mivel E(e):0, ugyanis továbbra is feltesszük, hogy a hibatényező várható értéke nulla.

Eközben azonban a paraméterek varianct'ájára vonatkozó becslés nem lesz hatásos,5 és a paraméterek kovariancíamátríxának becslése és így természetesen a variancíáké is torzí—

tott lesz.

Amennyiben fennáll a /2/ feltétel, tehát a modell homoszkedasztíkus, kétváltozós esetet feltételezve a regressziós együttható varianciája, mint közismert

var (bozazlzbcc — i)'/[Z'(xt —í)212)- /5/

Tudjuk, hogy a heteroszkedaszticitás jelensége esetén a /2/—ben felírt összefüggés módosul

E(ee'):azü, /7/

ahol, az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy (2 egy (n Xn)-ed rendű mátrix, amelynek csu- pán főátlói különböznek nullától a következő módon

1...O

(DI .

a: ' __1._

m, .

l

0 ... w,

Ekkor a kétváltozós heteroszkedasztíkus modell regressziós együtthatójának varianciája, feltéve, hogy a becslés a KLNM-rnela történt, (16) VI. 7. old. alapján:

02 KEL) (Éxüz— 2n(2._a.£_1_ x,) (ÉxJ—l—n2 (E'—a!; x,)z]

m' /s/

[Em — 56212

var (bi) :

'5 Az általános legkisebb négyzetek módszerével (ÁLNM) jóval hatásosabb becslést kapunk.

' A klasszikus legkisebb négyzetek módszerét a továbbiakban KLNM—mel röviditjük, ami az angol OLS (ordinary least sguares) szóhasználatnak felel meg.

A HETEROSZKEDASZTICITÁS 19

Látható, hogy a /8/ és a /6/ kifejezés csak számlálóban különbözik egymástól, ami

azonban elég jelentős is lehet. Nem ritkán 50 százalékkal is eltérhetnek a KLNM-mel becsült heteroszkedasztikus modell varianciái a tényleges értékektől. Mindez jelzi ilyen esetben a becslés bizonytalanságát, megkérdőjelezi a standard hibákat, és a segítségükkel elvégzett próbák is hamis képet adnak, a t- és F—próbák torzítottak lesznek.

Természetesen van mód a heteroszkedaszticitás okozta ,,veszély" elhárítására. Az ÁLNM-mel, a változók transzformálásával, a konzisztens kovariancia-mátrix becsléssel igen jó eredményeket érhetünk el. Nem szabad azonban elfeledkezni arról sem, hogy a jelen- ség nem mindig (csupán) technikai probléma, és néha a ,,terápia" során ,,Vissza kell nyúlni"

a speciükációhoz.

A HETEROSZKEDASZTICITÁS FELISMERÉSE GRAFIKUS MÓDSZERREL

A heteroszkedasztikus modellt legegyszerűbben a reziduális változó értékeinek grafikus ábrája segítségével ismerhetjük fel. A grafikus ábrázolás felhívja a figyelmet a heteroszke- daszticitás tényére, segítségével következtethetünk a jelenség természetére, de segít észre- venni a modell összeállításakor elkövetett specifikációs hibákat is.

A grafikus módszer feltételezi, hogy egy körültekintően megválasztott becslési mód- szerrel előzetesen meghatározzuk a modell paramétereit, és segítségükkel előállítjuk a rezi- duum-vektort. Természetesen feltesszük, hogy az így előállított reziduumok (e,) mint a rezi—

duális változó elemei az a véletlen, látens változó jó proxy-jának tekinthetők, jól reprezen- tálják a hibatényezőt.

Az 1. ábra néhány tipikus esetet mutat be; a reziduális változó négyzetét X, illetve/))vál—

tozók függvényében ábrázoltuk. Amennyiben a regressziós modell csak egy magyarázó változót tartalmaz, a kétféle ábrázolási mód megkülönböztetésének nincs jelentősége (a pont- diagramok hasonlók). Többváltozós modell esetén viszont az ? függvényében ábrázolt re- ziduumok a modell egészéről — és/vagy az eredményváltozó természetéről — adnak informá—

ciót; a tényezőváltozók szerint elkülönített ábrázolás a mélyebb megismerést hivatott elősegíteni.

1. ábra. A becsült reziduumok négyzetének sematikus pontdíagramja

2 2 2 2

e e e e

x,? x.? x,?

X,? . .

0 (c) 0 (d)

0 (a) 0 th)

Amennyiben egy adott modell segítségével az (a) típusú pontdiagrarnot állíthatjuk elő, nagy eséllyel feltételezhetjük, hogy a modell homoszkedasztikus. A ( b), (c) és (d) a hete- roszkedaszticitás tényére hívják fel a Hgyelmet, illetve arról tudósítanak, hogy specifikációs hiba történt, például lényeges változó maradt ki a modellből (c), helytelen a megválasztott függvénytípus (d). E két esetben a változó (k) és a reziduumok négyzete közötti össze- függés a funkcionális heteroszkedaszticitás analíziséhez ad támpontot; a (c) eset a reziduális változó négyzete, valamint a változó (k) közötti lineáris, míg a (d) eset egyfajta négyzetes összefüggésre utal. Ezek a felismerések olyan transzformáláshoz vezethetnek, amelyek segítik a probléma megoldását.

23

20 PINTÉR JÓZSEF

NÉHÁNY GYAKRABBAN HASZNÁLT PRÓBA

A homoszkedaszticitás jelenségét reprezentáló nullhipotézist valamennyi próba során azonosnak tekintjük, amit a könnyebb kezelhetőség érdekében ismét bemutatunk:

Ho arj—_— ...zaí. /9/

A /4/-ben megfogalmazott alternativ hipotézis eléggé általános ahhoz, hogy a továbbiak—

ban hivatkozhassunk rá, de némely próba a jelenség konkrétabb, részletesebb felírását igényli, ilyenkor a hipotézist átfogalmazzuk.

Ebben a részben a különféle próbákat csupán vázlatosan ismertetjük, de feladatunk- nak tekintjük, hogy egyes — általunk fontosnak vélt — előnyös vagy hátrányos tulajdonsá- gaikat kiemeljük.

A Goldfeld—Guandt—próba

S. M. Galdfeld és R. E. Ouandt részletesen leírták a homoszkedaszticitás igazolásának vagy elvetésének kétféle próbáját (19). Úgy találták, hogy a paraméteres próba ereje a meg—

győzőbb, és végül ez terjedt el" A próba a csoportos heteroszkedaszticítás feltárásának el—

terjedt módszere.

A/9/-ben definiált nullhipotézis ,,párja", az alternatív hipotézis általánosan:

Hl za? %a; (Def), /10/

ahol í,j:l,. . .,n.

Feltételezve, hogy a reziduális szórást nem ismerjük, de a magyarázó változó(k) négy- zetével arányosan változik a hibatényező négyzete [például az 1. ábrán (b), (d) ], az alter- natív hipotézis:

Hl : E(s?):azX12,. /11/

ahol X,, a j—edik magyarázó változó í—edik értéke.

A próba a következő hat lépésből áll.

1 . A heteroszkedaszticitásban feltételezhetően meghatározó szerepet játszó X, magya—

rázó változó értékeit növekvő sorrendbe állítjuk. Ennek függvényében írjuk fel a többi vál- tozót is. Valójában a hibatényező (ismeretlen) szórása szerint kellene sorba rendezni, de csupán a proxy-változó szerinti rendezésre van mód.

2. Kiválasztunk c számú középső értéket, amelyeknek megfelelő változókat kihagyjuk a további számításokból. (Általában célszerű, ha például 30 megfigyelés esetén az elhagyott megfigyelések száma nem haladja meg a 8-at.)

3. A KLNM—mel az első (n —c)/2 és az utolsó (n —c)/2 megfigyeléshez külön-külön reg—

ressziós függvényt illesztünk. (Vigyázzunk, hogy ha az előző pontnak nem is tudunk megfe—

lelni, a megfigyelések száma nagyobb legyen a becsült paraméterek számánál!) 4. Kiszámítjuk a két regressziófüggvény reziduális négyzetösszegét

(n—c)/2 2 n 2

8122 et, a: 2

'21 izmuíc-t—l

ahol i követi az X, növekvő sorrendjét.

" Leírását magyar nyelven lásd (m)—ban.

A HETEROSZKEDASZTICITÁS

2 1

5. A próbafüggvény :

F: sá/st, /12/

ahol a számláló és a nevező szabadságfoka egyaránt (n —c —2m)/2.

6. Amennyiben a kiszámított F—érték nagyobb, mint egy a szignifikanciaszinthez tar- tozó Fal—érték, a /9/ H0 hipotézisünket elvetjük, és a modellt heteroszkedasztikusnak tekint-

jük /10/ alapján. (A számítógépes programcsomagok gyakran azt adják meg, hogy a /12/—

vel számított F-érték milyen valószínűségi szinthez tartozik. Ilyenkor a nullhipotézist elvet- jük, ha a valószínűség kisebb a választott szignifikanciaszintnél.)

A próba néhány tulajdonsága:

— a próbafüggvény nem függ a reziduális szórásoktól (nullad fokú homogén függvény);

-— F független a becsült paraméterektől;

— a próba ereje c és n függvénye.

(Nyilvánvaló, hogy a próba ereje nő, ha n növekszik és c csökken,de ez utóbbi csökkentése ellentmondásos, kisebb lesz a két négyzetösszeg közötti arány, ami a próba erejét ronthatja.

A leghatározatlanabb középső értékek elhagyásával a besorolás bizonytalanságát csökkent- jük, ami azt jelenti, hogy a proxy-változó középső értékeinek különbözősége egyben c ér- tékét is meghatározza. Mindez természetesen nagyszámú megfigyelés esetén játszhat sze- repet.)

A próba — amint ezt sok kísérlet is igazolja — eredményesen képes feltárni a heteroszke—

daszticitás tényét, de jelentős hibája a c érték rossz megválasztásából fakad.

A Breusch—Pagan-próba

T. S. Breusch és A. R. Pagan az előbbiekben felvázolt próbánál sokkal általánosabb megállapításokból indult ki (2), amit termékenyítően befolyásolt A. C. Harvey (12) elkép—

zelése is az összetettebb, szorzatszerű heteroszkedaszticitásról. Az alternatív hipotézis kissé általánosabb formában:

Hl : E(e?):02[h(za 4— v)], /13/

ahol:

11 — a reziduális változó függvénye,

Z — a heteroszkedaszticitást magyarázó változók (nXs) mátrixa, a — a véletlent becslő modell (nx 1) típusú paramétervektora, v — (nX 1) típusú véletlen elemeket tartalmazó vektor (E(v):0).

Meg kell említeni, hogy a Z mátrix tartalmazza a magyarázó változó(ka)t, illetve néha a becsült eredményváltozót. A /13/—ban felírt alternatív hipotézis értelemszerűen magában foglalja a /11/—es kifejezést is, ugyanakkor a függvény alakja lehet polinom vagy exponen- c1ális függvény.

A /13/ hipotézis ellenőrzése azonban kisebb előzetes átalakítást igényel, előzetes becs—

lést kíván.

Az ellenőrzés lépései az alábbiak:

! . Az eredeti modell paraméterbecslését végezzük el KLNM—mel, és az eredmények alapján becsüljük meg a reziduális szórásnégyzetet:

?: Z ef/n. /14/

i———1

22 PINTÉR JÓZSEF

2. A /l4/—ben meghatározott varianciával végigosztjuk a becsült reziduális változók

négyzetéből készített adatsort, és az így képzett adatokat jelöljük B.-ve1:

B; geg/32. /15/

3. A /15/-ben kiszámított Változók segítségével felírhatjuk a heteroszkedaszticitást jel- lemző ún. belső regressziós modellt:

BzXa—i—v. /16/

a paramétervektort a KLNM-mel határozhatjuk meg, amely lehetőséget ad § becsült érté- kek kiszámítására. (A paramétervektor elemeinek szigniükanciája már a heteroszkedasz- ticitást jelzi.)

4. A ,,tényleges" és a becsült B változók különbségének négyzetösszege az ún. hiba négyzetösszegét számszerűsítí:

n

Zum—Boz. /17/

ize!

5. A /17/—es összefüggés alapján képzett próbafúggvény

2 1 " A ! 3

X z—z—Zwa—B.) NXp, /187

i :l

aszimptotikusan XZ eloszlású, szabadságfoka (p) a heteroszkedaszticitást magyarázó válto—

zók (Z) számával egyezik meg. Az eredeti modellt /l/ heteroszkedasztikusnak tekintjük, ha /18/ próbafüggvény értéke nagyobb egy adott szigniükanciaszinthez tartozó táblabeli értéknél. Természetesen itt is mód van — a számítógépek nyújtotta előnyök alapján — /18/ ki-

fejezés függvényértékének, illetve szignifikanciaszintjének meghatározására; amennyiben ez kisebb egy elvárt szintnél, a modellt heteroszkedasztikusnak tekinthetjük.

A próba előnye általános jellegéből adódik. Ugyanakkor egy pozitív értékelés (a null—

hipotézis elfogadása) még nem jelent egyértelműen végső eredményt, hiszen a próba nagy- mértékben függ a kiinduló feltevésekből, a ,,belső" függvény meghatározásától.

Az irodalom a heteroszkedaszticitás Lagrange-multiplikátor próbájaként tartja számon a Breusch—Pagan-próba Godfrey-féle változatátf amely robusztusabb az eredeti próbafügg- vénynél, és tulajdonságait a reziduális változók normalitásának hiánya esetén is megőrzi.

A próba alapfeltétele, hogy a h függvény lineáris. A pótlólagos regressziós modellt

a /l4/—ben megfogalmazott szórásnégyzet segítségével az alábbi módon írjuk fel:

Kzae? áfa. / 19/

A pótlólagos regresszió:

K : Za -l— v. /20/

A próbafüggvényt a nem korrigált R2 felhasználásával képezzük:

xzanzuxg. /21/

A heteroszkedaszticitást magyarázó változók kiválasztása általában a priori információ- kat igényel. Mindezek hiányában a magyarázó változók (vagy azok egy része) a magyarázó

' Magyar nyelven lásd (U)—ben.

A HBTEROSZKEDASZTICITÁS 23 változók négyzete és keresztszorzatai (ez már a később említendő White-próbára hasonlít) szerepelhet a regressziós modellben.

A Glejser-pro'ba

H. Glejser (7) már korán felvetette a heteroszkedaszticitás összetettebb jellegét, amire az előbbi próba során is utaltunk. A próba menetét, a próbafüggvényt az előzőknél konkré- tabban írta fel, feltételezve, hogy a reziduális változó szórásnégyzete, illetve szórása bizonyos exogén változók pontosan meghatározható függvénye.

Az alternatív hipotézis megegyezik az előző tesztnél megfogalmazottakkal:

Hl :E(6§):02[h(ZaJrv)1-

Amennyiben a reziduális változó variancz'ájának értékeiről feltesszük, hogy az exogén változók szórásának függvényében változnak, az alábbi pótlólagos regresszió írható fel:

egzao-i-alXu-l-ang—t-...lapogi-vg. /22/

A regresszió paramétereinek együttes szignifikanciája a hagyományos globális F-próba (szabadságfok: p és n—s) segítségével vizsgálható (ahol: szp-l— 1).

Amennyiben az exogén változók függvényei a szórások, a pótlólagos egyenlet:

let] :ao JrazIXu 4-a2X2, 'i- iapxp, 4- v,. /23/

A paraméterek együttes szignifikanciavizsgálatához itt is felhasználható az F-próba, de mód van a külön—külön történő tesztelésre is, t-próba segítségével. Különösen értékes megál- lapításokat tehetünk, ha a magyarázó változókat elkülönítve számolunk pótlólagos regresz—

szíókat, amivel ún. lokális tesztelést végzünk:

[ellzao-Faan—t—vi, /24/

ahol X,, a j—edik magyarázó Változó í—edik értéke.

Az az() és al paraméterek szigm'hkáns voltát a t—eloszlás segítségével, a paraméterek stan—

dard hibái ismeretében ellenőrizhetjük.

Érdekes megállapításokat tehetünk a két paraméter vizsgálata során.

1 . Amennyiben a1 és a., nem szignifikáns, az eredeti modell /1/ homoszkedasztikus.

(Meghatározó szerepe az az1 együtthatónak van!)

2. Ha ao nem szignifikáns, de al szigniükánsan eltér nullától a klasszikus Goldfeld—

Ouandt-feltevés igazolódik:

Em?) : na?-",

ahol d:1/2, 1, —1/2, —-1.

3. Ha ao és a; egyaránt szignifikánsan eltér nullától, akkor feltesszük, hogy a heteroszke- daszticitás szerkezete:

E(s?):az(aoia1X;-b*.

A Glejser—féle próba ereje nagyjából azonos a Goldfeld—Ouandt-próba erejével. Gyakor- lati kifogásként emlithetjük meg, hogy a X,, érték nem lehet túl kicsi (abszolút értékben kisebb mint 1), a változónak nagy szórással kell rendelkeznie (nagyobb legyen X,. szórása, mint átlaga), és 30-nál nagyobb elemszám esetén várható csak megbízható eredmény.

24 PIN'I'ÉR JÓZSEF A Glejser-típusú próbákkal kapcsolatban meg kell említeni, hogy létezik szimultán egyenletrendszerre általánosított alakjuk is.

A White—próba

H. White a konzisztens kovariancia-mátrix becslésének megkonstruálása során ,,talált rá" egy érdekes, és a heteroszkedaszticitás összetettségét is nyomon követő próbára (22).

Most is a jól ismert /9/ nullhipotézisből indulhatunk ki, amelyhez annyi kiegészités

járul, hogy nyomatékosan feltételezzük a véletlen változónak (s) a tényezőváltozóktól (X,) valóf üggetlenségét, és a korrekt modellspeciükációt, valamint azt, hogy a reziduális változók csúcsossága nem extrém. (Az utóbbi megállapítás a változók normalitásának egy- fajta igényét fejezi ki.)

Az alternatív hipotézis:

H1 $$$)va (i: 1,. . .,n), /25/

szBJre

nem korrektül specifikált modell.

Amint a fenti hipotézisvizsgálat logikájából kitűnik, a White-próba a heteroszkedaszti- citás vizsgálatán túl a modellspeciükációról is informál, ugyanakkor nem igényli a heteroszke- daszticitás explicit formájának megfogalmazását. Az alternatív hipotézist egy kis módosi- tással az alábbi formában írhatjuk fel, ami jól reprezentálja a feltételezés összetett voltát, de egyben a próba megértését is elősegíti:

H, :E(s€)zaze? /26/

ahol, mint tudjuk, el a KLNM-mel becsült hibatényező értéke.

A becsült reziduális változó és a heteroszkedaszticitást feltehetően előidéző tényező—

változók, valamint azok kombinációi között egy pótlólagos regressziós függvényt az alábbi formában definiálhatunk:

k k ,

egzao—t—aleXg—l-azXí—l—GBXg—t- -l—a(k(k_,,1),2)XjX.-4— v, :ao—t— Z ZaszXi—t— v;, /27/

f:! i:1

ahol s : l,. . . ,(k(k %1)/2).

Természetesen a kiinduló modellünket homoszkedasztikusnak tekintjük, ha fennáll az a kiegészítő hipotézis /26/-ra, amely szerint

H,, :alnazz...:ak(kn);220. /28/

H, : Elsa, a,!eO

A /27/ pótlólagos regresszió más formában:

k k k

ef: 00 'l'Z GJXn-l— 2 2 GJIngXII'i'Vg.

f:! ]:l is!

Belátható, hogy a magyarázó Változók számának növekedésével a regressziószámítás

—— és ezáltal a próba — nagyon gyorsan elvégezhetetlenné válhat.

A pótlólagos regressziós függvényre /27/, illetve az utóbbi formulával kiszámított többszörös determinációs együttható (R?) segitségével képezhető próbafüggvénnyel ellen- őrizhető a nullhipotézis.

A HETEROSZKEDASZTICITÁS 2 S A próbafüggvény:

X'anz, /29/

szabadságfok: (k(k 4— 1)/2) —- 1.

A fenti pótlólagos egyenletek gyakorta tartalmazhatnak redundáns változókat (a ma- gyarázó változók közötti összefüggések miatt). A felesleges változókat ki kell hagyni a pót- lólagos modellből. Megjegyzendő, hogy ez a technikai regressziós modell mindig tartalmaz konstans tagot. A változók redundanciáját a szabadságfok meghatározásánál is figyelem—

be kell venni.

A próba alkalmas a regressziós modell egészére tett homoszkedaszticitási feltevés ellen—

őrzésére, de segitségével felkutathatók a jelenséget előidéző vagy hordozó tényezők is, vala- mint kontrollálható a specifikáció. A próba ,,erénye", hogy nem igényli a megfigyelések elő—

zetes átrendezését.

A HETEROSZKEDASZTICITÁS DIAGNOSZTIZÁLÁSA SZROETER-FÉLE PRÓBÁVAL

A heteroszkedaszticitás felismerése a reziduálís változók vizsgálatához kötődik, csakúgy,

mint az autokorreláció vizsgálata. Ezt a ,,rokon" jelleget a /2/ és /3/ alatt közölt feltételek is

jelzik. A J. Szroeter által felvázolt (21), M. J. Harrison és B. P. M. McCabe (9), J. Har- rison ((10) és (II)), M. L. King tanulmányaiban (14) elemzett eljárás ,,gyökereiben" nagyon szorosan kötődik J. Durbz'n és G. S. Watson igen népszerű próbáihoz (3), (4), (5). A próba alapvetően a heteroszkedaszticitás globális vizsgálatát célozza meg.

Elöljáróban megjegyezzük, hogy ennél a próbánál a

H., zaj?-"Fv: /30/

nullhipotézist a

H! :aís...5zr§

hipotézissel szemben ellenőrizzük (ahol legalább egy esetben teljesül az egyenlőség9).

A fentiekből kézenfekvőnek tűnik, hogy a heteroszkedaszticitás próbája során az autokorrelációs vizsgálatból induljunk ki. Közismert a Durbin—Watson-féle próbafüggvény, amely a KLNM-mel előzetesen nyert reziduális változó becsült értékeire (ei) épit:

201" el A),

d:!ífl— : e'Ae , [31/

" , e'e es

izt ahol:

1 —1 0 0 0

—l 2 ——1 O O

0 —-1 2 O O

A: - - —

o ó 6 i -i

0 O 0 ——l l

' Természetesen a varianciák csökkenő sorozata is elképzelhető.

26 PIN'I'ÉR Józsa:

Az A mátrix egy technikai elemeket tartalmazó, (n Xn)—ed rendű mátrix. Az A mátrix sajátértékei egy olyan sorozatot alkotnak, amely az alábbi képlettel fejezhető ki:

A, :20 ——cos [(i— Dir/ni), /32/

ahol A, az i-edik sajátérték, és i: l, ..., n, valamint DSLS 4.

A további mondandónk szempontjából szerepe lesz a regressziós technikából ismert M mátrixnak.

A KLNM—mel becsült reziduumvektor:

e: Y" y : y—Xb

: y—X(X'X)'1X'y *

: [I— X(X'X)*1X']y

:My

feltéve azonban, hogy YzXő -l- s,

e: [I —- X(X'X)'1X'] [XB-l—e], amiből átalakítás után következik

e : Ma. /33/

Tehát a tapasztalati reziduumok a ,,megíigyelhetetlen" véletlen hibák lineáris függvé- nyeként írhatók fel.

A fenti összefüggésekbenI egy (n X n)-ed rendű egységmátrix,M egy (n x n)-ed rendű tech- nikai mátrix, amelynek sajátos jegyei: szimmetrikus és idempotens, azaz

MM' : MM: M2 : M

Az M mátrix a /3 1/ módosított felírását is lehetővé teszi:

e'MAM e e'M e '

d:

/34/

Az MAM mátrixnak (n —m) darab sajátértéke azonos értéket vesz fel, mint az A saját—

értékei. (A nullától eltérő számértékek darabszáma m—mel — a becsülendő paraméterek számával -— csökken, amit M mátrix nyoma indokol.) A sajátértékek rangsorba állításával, valamint egy ortogonális transzformációval nyerték J. Durbin és G. S. Watson autokorrelá- ciós mérőeszközüket.

Mint a fejezet bevezetőjében utaltunk rá, az autokorreláció jelenségének mérésétől nem esik távol a heteroszkediszticitás statisztikai próbájának felépítése.

Képezzük az alábbi hányadost, amelyről feltesszük, hogy a heteroszkedaszticitás jelen—

ségének jó mérőeszköze lesz:

e* H e e' MHM 6

h: /35/

e'e a' M s

ahol: H egy (n Xn) méretű diagonális mátrix, amelynek elemei hi-k.

Legyen továbbá P egy (n X(n —m)) nagyságú ortogonális mátrix , amelyről tudjuk, hogy PP'zM és P'P:I(,._ m)-

A PHP mátrix sajátértékei (a zéró gyökök nélkül):

Alsxzs...sx,_m.

A HETERO SZKEDA SZTICITÁ S

Az ortogonális transzformáció alapján felírható az elméleti h mutató

w e ii . .

amely l35/—nek felel meg, és ahol:

A, — a PHP sajátértékei, amelyek egyben az MHM mátrix nullától különböző sajátértékei is, u, -— a standard normális eloszlású valószínűségi változó N(0, 021"- m).

Poincaré szeparációs tétele alapján képezhetünk egy egyenlőtlenséget:

[115115 11044"), /37/

ahol h. a H mátrix elemeit jelöli.

Mivel mi egyetlen mérőszámmal, egy hányadossal kívánjuk mérni a heteroszkedaszti- citás jelenségét, a fenti összefüggés módosul:

htsishv, /38/

ahol:

n—m n—m

Z hiu? Z 'la-m)"?

hL::_L__- hv: iz! __

n—m 2 ' n—m 2

2 "a- Z ui

iz] i:l

A /30/-ban megfogalmazott nullhipotézist elvetjük, amennyiben h )hv.

A fenti elméleti kitérő után nézzük a próba gyakorlati hasznosithatóságát.

A /36/—ban megfogalmazott próbafüggvény tulajdonképpen a /35/ ö sszefüggés alapján

jól becsülhető (természetesen az empirikus reziduális változó, a reziduumok segítségével).

A A, sajátértékek pedig a H mátrix diagonális elemei, emelkedő sorrendben. Ezeket a diago- nális elemeket közvetlenül meghatározhatjuk az alábbi módon:

h;:2[1—cos (in/n-l— l)]. /39/

A h; értékekből álló sor főbb jellemzői:

lim h, :4,

ian:

lim h,:O.

i—— 0

A sor összege: Zn, átlaga: 2.

A /35/ próbafüggvényt felírhatjuk az alábbi — praktikus — módon is:

n

21118?

h: El

. /40/

24?

izl

Könnyű belátni, hogy bevezetve gi se?/Zef relatív gyakoríságokat, h :Zgihb ami egy- ben azt is jelenti, hogy a reziduumokból képzett súlyszámok segítségével átlagoljuk a _/39/—

28 PINTÉR JÓZSEF ben definiált h; értékeket. Amennyiben a h, kifejezésben a cos-függvény előtt %- jelet irunk, egy csökkenő szórású alternativ hipotézist tesztelhetünk, ami ellentéte a /30/-ban megfogal- mazott Hl hipotézisnek. A próba értelemszerű átalakítással ekkor is használható.

A statisztikai próbafüggvény /35/, illetve /40/ immár rendelkezésre áll, meg kell azonban

találni a kritikus értékeket is. Erre többféle megoldás is létezik.

Kritikus érték a Durbín—Watson-táblábo'l

A H mátrix diagonilis elemei (hi-k), illetve a mátrix sajátértékei csak elhanyagolható mértékben térnek el a Durbin—Watson-statisztikához felhasznált A mátrix sajátértékeitől.

Mindezek alapján kézenfekvőnek tűnik a Durbin—Watson-féle táblázat használata is. Ezt már J. Szroeter is felismerte (21), és a tábla segítségével az alábbi módon javasolta a kritikus értékek meghatározását:

hL24—dv(,,4.1, 541),

/41/

hv:4_ "(u—x: Hi),

ahol k a magyarázó változók száma.

A /30/—ban megfogalmazott hipotézisre a fenti kritikus értékek birtokában a döntési szabály:

ha h) ki;, a H0 hipotézist elvetjük, ha h( hal', a H') hipotézist elfogadjuk, ha hűs hs há], bizonytalanok vagyunk.

ügyelni kell arra, hogy itt egyoldalú próbáról van szó, amit a 2. ábra is szemléltet.

2. ábra. A heteroszkedasztícitás próbájának döntési szabálya

elfogadási tartomány

bizonytaiansági tartomány

visszautasitási tartomány

/

!. h" 4

! l l l I I

!

! I l l l

! 0 h

A próba használata igen hatékony lehet, de a bizonytalansági tartomány jelentősen ronthatja a próba erejét.

Kritikus értékek Béta—eloszlású közelítéssel

A bizonytalansági tartomány léte negatívan befolyásolhatja a h-próba felhasználását.

Ezt már korán felismerve, M. J. Harrison és B. P. M. McCabe, valamint M. J . Harrison a

Béta—eloszlás felhasználását javasolták (9), (10), (11). Külön említést érdemel M. L. King,

A HETEROSZKEDASZ'I'ICITÁS 29

aki szakított a tesztelés néhány megszorításával (14). Ennek kapcsán kell szólni a regressziós konstans figyelembevételének kérdéséről. A konstans tag ügyelembevétele vagy elhagyása a gyakorlatban nem okoz számottevő eltérést. Tekinthetjük a konstans taggal rendelkező modellt egy ,,speciális" dummy változót tartalmazó modellnek, és megszorítás nélkül hasz- nálhatjuk a teszteket. Természetesen a valamely változó függvényében rendezett reziduális változó a próba alkalmazásának fontos előfeltételét képezi.

E rövid kitérő után nézzük a Béta-függvény felhasználását!

Tudjuk, hogy a kétmomentumos Béta valószínűségi változót (5) a 0 és 1 intervallumban p és a függvényében jól kifejezhetjük:

EG): P , Vart):———E————.

pta § (P"HIWP'I'a'i'l)

Vegyük a h mutatószámnak a nem nulla sajátértékekkel (MH mátrixból) definiált intervallumát, ami A és l,,_ ,, számok által határolt. Ebben az esetben transzformálhatjuk h-t Béta-eloszlású valószínűségi változóvá:

Á,...m—h

;:

rpm—11 ^/42/

Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy A,,_ m : 4 és A, : 0, ekkor /42/ valószínűségi változó módosul:

a:—————:1——, /43/

amiből közvetlenül adódik

h:4—4§:4(1—-§). /44/

A /43/ és a /44/ összefüggés lehetővé teszi, hogy áttérjünk a Béta-eloszlásra, illetve ennek

az eloszlásnak a segítségével definiáljuk a kritikus értékeket.

A standardizált Béta-eloszlású változókból kiindulva felírhatunk h-ra két fontos momentumot:

E(h):2, 8(n—— k—l— 1)

V h : ———————-———— .

ar( ) 3(n—k-— 1) (n—k—t—Z)

Az összefüggések — p és 11 figyelembevételével, célszerű átalakítások után — az alábbi fontos kifejezést adják:

MÉJL _{. /45/}

4(n— k-t- 1) 2

P242

A KLNM-mel nyert becslés után előállíthatjuk a h mutatószámot, amely /43/ segítségé-

vel Béta-eloszlásúvá transzformálható. Ahhoz, hogy a két momentumos Béta-eloszlásfügg- vényt használhassuk, szükségünk van /45/-ből a p és a :] értékekre is. Ezek után az eloszlás- függvénybe behelyettesítűnk, és a következő döntési szabály szerint értékelhetünk: elvetjük a Ha hipotézist, amennyiben a kapott valószínűség kisebb, mint a, azaz egy előre meghatá- rozott szignifikancia-szint. Más próbákkal összehasonlítva látni kell, hogy itt egy fordított alapállású próbáról van szó, elvetjük Ho-t, ha a számított Béta értéke kisebb a táblabeli értéknél.

30 PINTÉR JÓZSEF Béta-eloszlásból származtatott kritikus értékek

Az előző részben látott /44/ összefüggés sugallja azokat a megoldásokat, amelyek elő-

zetes táblázatokat eredményeznek, vagy annak megfelelő ,,könnyű kezelhetőséget" ígérnek.

M. J. Harrison (ll) Béta-eloszlású megközelítéssel táblázatot közöl a kritikus értékekről, de hasonló megközelítést máshol is találhatunk (például M. L. Kingnél (l4)).

A heteroszkedaszticitás diagnózisát kereső szerzők körében már viszonylag hamar - ,,népszerű" lett a (9)-ben található Béta-eloszlás közelítése F-eloszlás segítségével. Az F-tábla

óriási előnye, hogy közismert és könnyen hozzáférhető.

Egy a szígnifikancia-szintnek megfelelő Béta-eloszlás közelítése az F—eloszlásból:

sa: MFt, ,)1-1, /46/

ahol r:2p :24.

Ennek ügyelembevételével és /44/ felhasználásával közvetlenül adódik az alábbi kri—

tikus érték:

h0:4(l —-§a). /47/

A döntési szabály: ha 11 )ha, a Ho hipotézist elvetjük.

Heteroszkedaszticitás dinamikus szimultán egyenleteket tartalmazó modell ben

A szimultán ökonometriai modellekben a heteroszkedaszticitás diagnosztizálása az elő—

zőkben felsorolt módszerekkel vagy azok módosításaival egy alapvetően fontos feltétel hiányába ütközik. Az eddigiek során feltételeztük, hogy a magyarázó Változók nem sztochasz- tikus változók, rögzített értékekkel bírnak. Kézenfekvő, hogy ez a feltétel egy szimultán modell esetében, amely egyidejű endogén változókat is tartalmaz, nem áll fenn. Ugyancsak hasonló a helyzet, ha egy egyegyenletes modell sztochasztikus magyarázó változót, például mérési hibákkal terhelt változót vagy késleltetett endogén változót stb. tartalmaz. A feltéte—

lek hiánya sok esetben ,,megrettenti" a felhasználót, és lemond a heteroszkedaszticitás felde—

rítéséről. Természetesen az ilyen Összetett esetekben is van mód a vizsgálódásra; a szimultán ökonometriai modellekben a Glejser-típusú próbák alkalmazása nyert polgárjogot.

Amennyiben azonban ,,nagyvonalúbban" kezeljük a környezeti elemeket, és csak na- gyon hozzávetőleges eredményt, eligazodást várunk, ún. aszimptotikus próbát alkalmazunk, és ennek megfelelően az alábbi módszert használhatjuk, amely a h mutató ,,kiterjesztésének"

tekinthető.

A próbafüggvény:

h— 2

g: " ""(úml—WM * 48

[2 Eau—mum ' '

is!

(A ht-k 2-től mért eltérése érthető, ha arra gondolunk, hogy E(h):2.)

A próbafüggvény értékét összevetjük a standard normális eloszlásnak megfelelő kri- tikus értékkel (ua), és amennyiben a ennél nagyobb, elvetjük a szokásos nullhipotézist, és a modellt nagy valószinűséggel heteroszkedasztikusnak tekintjük.

KÉT SZÁMPÉLDA

A dolgozatban felsorolt próbák gyakorlati alkalmazására, összehasonlitására álljon itt két számpélda.

A HETEROSZKEDASZTICITÁS 3 ] I . példa

Egy kereskedelmi vállalatnál vizsgáltuk az önkiszolgáló üzletek éves forgalma (Y) és az elárusítóhelyek alapterülete (X) közötti összefüggést. Az elemzés homogenitása érdeké—

ben 37 üzletre terjed ki a vizsgálat.

Az előzetes specifikációnak megfelelő lineáris regressziós függvénym:

?: 9604,933 $171,6383 x (3883,3) (25,56)

R2:0,563 D W: 2,456.

A két változó közötti korrelációs kapcsolat közepesnél erősebbnek mondható; F—próbá- val vizsgálva, a paraméterek együttes szignifikanciája értékelhető modellt jelez: 94,14)4,12 (az utóbbi szám a táblabeli érték 1 és 35 szabadságfok mellett); a paraméterek egyenként szignifikánsan különböznek nullától; a DW mutató értelmezése ugyan keresztmetszeti adatok esetén (az elemek sorrendje nem adott) vitatható. Itt azonban, mivel értéke a kritikus érték- nél (d:2,47) kisebb, a specifikáció korrektségét támasztja alá. A reziduumok négyzetét a magyarázó változó függvényében ábrázolva (lásd a 3. ábrát) azonban felmerül a hetero- szkedaszticitás "gyanúja".

3. ábra. A reziduumok négyzete az alapterület függvényében 4000

3000

a,

§,

3

C

Ézooo

:

?:

§

!!

1000 '*'

4.

*

* *- 4. 4— *

0 ?,1itet4ee.tfeeff%1—ee. effet-MH? ?.t . !

47.000 69.000 89.000 151,000

Alapterület (négyzetméter)

A példa lehetőséget ad arra, hogy a dolgozatban korábban bemutatott valamennyi próbával elvégezzük a homo—, illetve a heteroszkedaszticitás vizsgálatát. Az eredményeket az 1. táblában foglaltuk össze (értelemszerűen a lehetőséghez képest a szigniükancia—szinteket

is feltüntettük, amit a jelöl).

Az 1. táblából kitűnik, hogy mindegyik próba szignifikánsnak minősíti a modellben a heteroszkedasztícitást.

A Goldfeld—Ouandt— és a Breusch—Pagan-próbák alapvetően a heteroszkedaszticitás tényének feltárását hivatottak segiteni. A Glejser-próbák további kiegészítő megállapítások megfogalmazását is megengedik, eszerint a modellben al mindkét esetben szignifikánsan eltér nullától, de ez ao paraméterre nem mondható el, ami alapján azt is gondolhatjuk, hogy a hibatényező és a magyarázó változó között egy ,,egyszerűbb", például E(s§):a2X§, kap-

1" A paraméterek alatt, zárójelben a standard hibákat közöljük.

32 PINTÉR JÓZSEF csolat áll fenn. Ez hasznos információt nyújthat a jelenség kezeléséhez, és a további becslési módszer helyes megválasztásához.

1. tábla

A heteroszkedaszticitás próbáz'nak értékei*

Szígniliktmcia-

A próba A próba értéke A kritikus érték ságú

Goldfeld—Ouandt (F) ... 5,5729 2,4O 0,0009 Breusch—Pagan (xz)

hányadossal ... 389195 3,84 O különbséggel ... ] 1,4600 3,84 0,0007 Glejser

reziduumok négyzete

a0(t) ... —— 1,305 2,03 0,2 al(t) ... 3,965 2,03 0,0003 reziduumok abszolút értéke

a0(t) ... l,0376 2,03 O,3065 a1(t) ... 4,3725 2,03 0,0001 White (X!) ... 13,53l 5,99 0,0011 Szroeter

D W ... 3,2699 2,41 — Béta ... 0,1825 O,3867 0 ha ... 3,2699 2,6488 —-

'Önkiszolgáló üzletek éves forgalma és az elárusítóhely területe.

Megjegyzés: Béta—eloszlásnál a -—-p :26.

Összetett diagnózisát adja a jelenségnek a White-próba, amely egyben a specifikációról is informál.

A h mutatóval végzett vizsgálatok is egyértelműen jelzik, hogy heteroszkedasztikus mo- dellel van dolgunk. Esetünkben a DW—tábla segítségével elvégzett próba is egyértelmű vá- laszt adott, de itt is hangsúlyozni kell, hogy amennyiben a próbafüggvény értéke a bizonyta- lansági tartományba esik, ha vagy a Béta-módszerrel kaphatunk pontosabb választ. Termé—

szetesen — a személyi számítógépek korában — a Béta-eloszlás közvetlen használata sem különleges igény. Végül szólni kell arról is, hogy a Béta-eloszlás F—eloszlással való közeli—

tése is jó eredményt adott.

A Szroeter-féle próba — amint láttuk — a heteroszkedaszticitás globális szemléletű megál—

lapítását teszi lehetővé. Amennyiben a próba alapján a modellt heteroszkedasztikusnak minősítjük, érdemes a változók különböző csoportosítása mellett más próbákkal (például Glejser-próba) további vizsgálatokat végezni. Az ilyen típusú próbák a parciális analízist segítik.

2. példa

Az előző példa változóinak elemszáma motiválta, hogy csupán 37 megfigyelésre terjesz- szük ki itt is a Vizsgálatunkat. Egy gazdasági körzet 37 mezőgazdasági termelőszövetkeze—

tének műtrágyázott területe (X) és a felhasznált műtrágya-hatóanyag (Y) tonnában mért mennyisége képezte az adatbázist.

A regressziós függvény:

§: -—181,4603—l—0,4978 x (31,14) (o,oos7)

R2 : O,989 D W: l,926.

A HETEROSZKEDA SZTICITÁ S

33

A regressziós modell a paraméterek mind együttes, mind külön—külön történő vizsgá- lata alapján korrekt, a specifikációt is elfogadhatónak tekinthetjük.

A modellt homoszkedasztikusnak tekinthetjük a 2. táblában bemutatott próbák ered—

ményei alapján.

2. táblu

A heteroszkedaszticitás próbáínak értéke?

Szignifikancia-

A próba A próba értéke A kritikus érték szőtt

Goldfeld-Guandt (F) ... 1,167 2,40 0,385 Breusch—Pagan (x:)

hányadossal ... O,9532 3,84 0,3289 különbséggel ... 1,177 3,84 0,2779 Glejser

reziduumok négyzete

ao(t) ... 1,045 2,03 0,303 a! (t) ... 1,072 2,03 0,291 reziduumok abszolút értéke

ao(t) ... 2,813 2,03 0,008 a1(t) ... 1,195 2,03 0,2399 White (x?) ... 3,426 5,99 O,1803 Szroeter

D W ... 2,l 519 2,41 — Béta ... 0,4620 0,3867 0,2925 hal ... 2,1519 2,6488 —-

' Felhasznált műtrágya-hatóanyag és a műtrágyázott terület.

Megjegyzés: Béta—eloszlásnál (1 :p a 26.

Az egynemű képet csupán az egyik Glejser—próba a0 paramétere ,,zavarja" meg, mindez azonban nem túl jelentős, ha arra gondolunk, hogy a regressziós modellben a konstans nem bír meghatározó jeggyel.

A homoszkedaszticitást szemlélteti a 4. ábra is, amely a terület függvényében mutat—

ja a reziduumok négyzetét.

4. ábra. A rezíduumak négyzete a terület függvényében 3000

22000 4.

3

§

s

3

§

E

1000 7 * * *

ő- * *

4. 1'

4-

4- "" ** *

1- ... ** * '*4—

"..,T...-rf.*f .,T,.J.-. ?, *. ".

1 167,00 zogapo 3002th 466 t,oo

Terület (hektár)

34 PINTÉR JÓZSEF

BECSLÉS HETEROSZKEDASZTIKUS MODELL ESETÉN

'A feltárt, diagnosztizált heterOszkedaszticitás módot ad a jelenség hatásának közömbö- sítésére, a modell újraspecifikálására vagy olyan becslési módszer megválasztására, amely—

nek eredményeként a paraméterek varianciáját is hatásosan tudjuk becsülni.

A, legtöbb esetben a szórásokról semmilyen információval sem rendelkezünk, csupán megközelítő feltevéseink vannak. A teljesség igénye nélkül néhány elterjedt vagy jó hatás- okkal h—asználható módszerre hívjuk fel a figyelmet. A /7/—ben közölt feltétel:

E(ee*) 2029. /49/

A diagonális Ö mátrix elemeinek elrendezése az alternatív hipotézisekben fogalmazódik

meg. A jól felderített heterószkedaszticitás ismerete az ALNM segítségével végzett para- méterbecsléssel hasznosul:

b: (xm —1X)—1 X'o —1y. /50/

Az () mátrix előállításához egy transzformációs mátrixot (T) szoktak segítségül hivni:

például amennyiben feltesszük, hogy (2 : ( x§,...,x§ ) , akkor T : ( l/x1,...,l/x,. )stb. A

becslés ezek után az általános legkisebb négyzetek módszerével végezhető el.

K. Messer és H. White (17) egyik vizsgálata szerint, amint azt már H. White próbá- jában feltételezte, §.) : ( e§,...,e;'í ) , ahol — mint azt tudjuk —, a reziduumokat egy előzetes KLNM—mel történő becslésből nyerjük. Mivel heteroszkedaszticitás esetén a paraméterek kovariancia—mátrixának becslése torzított, a standard hibák sok esetben meghatározha- tatlanok. Létezik azonban a paraméter-becslés kovariancia-mátrixának White-féle konzisz- tens becslése, amely a hatásosság veszteségét kivéve a heteroszkedaszticitás káros követ- kezményeit automatikusan kiszűri. Messer és White háromlépéses megoldást javasoltak.

Első lépésben KLNM-mel meg kell becsülni e. értékeit; a második lépésben a változókat el kell osztani a becsült reziduális változó értékeivel (ei), továbbá instrumentális változók generálhatók a reziduumok és a magyarázó változók szorzataiból; a harmadik lépés az instrumentális változók legkisebb négyzetével (ILNM) történő becslés. Zéró értékű rezi—

duumok a generálás során nehézséget okoznak. A szerzőpár ennek a problémának a fel—

oldására javasolt egy olyan mesterséges változót, amely az X(X*X)X, mátrix diagonális elemeiből nyerhető.

Habár a módszerrel automatikusan jó eredménnyel lehet becsülni a heteroszkedasztikus modellt is, mindez nem ment fel a próbákkal történő ellenőrzés kötelezettsége alól.

A multiplikativ heteroszkedaszticitás esetén a paraméterek becslésére A. C. Harvey (12) egy többlépéses technikát, illetve a maximum—likelihood módszert javasolta.

A zavaró heteroszkedaszticitás — különösen ha az eredményváltozó szórásában jelent- kezik, illetve ennek a változónak (mint előidéző tényezőnek) tulajdonítható —— néhány egy- szerűbb modellben kisebb transzformáció árán csökkenthető. A G. E. P. Box és D. R. Cox (1) által javasolt eljárás különösen az idősorkutatásban vált közkedveltté. Nincs azonban

olyan indok, amely megkérdőjelezné a Box—Cox-tranSZTormáció használatát heteroszke-

dasztikus modellben. A transzformáció széles körben elterjedt formája:

A bakit) ,

A— y

u )" log y hal : 0. /51/

Alapvetően fontos a l paraméter értékének a meghatározása, amelynek módozatai J . Spitzer cikkében (20) vannak jól összefoglalva. A gyakorlatban azonban sokszor kielé- gítő eredményt ad ÁsO feltételezése, azaz a logaritmizált változó alkalmazása. A számítási procedúra eredménye egy féllogaritmikus (szemilogaritmikus) regressziós függvény:

lnYza-i—BX—tu, /52/

A HETERO SZKEDASZTICITÁS 35 illetve

Yzea-i-BX-l-u,

E két összefüggés világosan jelzi, hogy a Box—Cox—transzformácíó után használhatók a KLNM-re, és a paraméterek becslése hatásos lehet. A transzformáció kizárja a negativ Y értékeket, a görbe az Y tengelyt e" pontban metszi, a [3 regressziós paraméter az eredmény—

változó relativ változását számszerűsiti. Természetesen e megállapítások több tényezővál- tozó esetére is kiterjeszthetők.

Végezetül a 3. táblában összefoglaltuk az 1. példában szereplő modellnek a különböző újrabecslések során nyert értékeit.

3. tábla

Az I . példa különböző módon újrabecsült paramétereinek jellemzői

Becslési módszerek Megnevezés

KLNM ÁLNM ILNM Box-Cox

Paraméterek

.Bo ... 9604,933 9914,58 9604,933 9,7729 (51 ... l71,638 171,775 171,638 0,0029 t—statisztikák

[30 ... 2,473 2,37 1,839 76,0

,8, ... 6,715 3,301 3,074 3,514

h-statisztika ... 3,269 l,473 2,0 2,36

Belátható, hogy valamennyi alkalmazott módszer sikeresen csökkenti a heteroszke- daszticitás ,,Veszélyét" a modellben. Ki kell emelni, hogy az ILNM esetén a paraméterek becsült értéke azonos a KLNM—mel becsült értékekkel, de az instrumentális becslés során erőteljesen nőnek a standard hibák. Közvetlenül nem hasonlítható az előzőkhöz a logarit- mizáláson alapuló módszer eredménye, de az így újraspecifikált modell is elfogadható.

A féllogaritmikus függvény 13 paramétere alapján megállapíthatjuk, hogy a bolti alapterület 1 négyzetméterrel történő növelése várhatóan O,29 százalékkal növeli a havi átlagos forgal—

mat (feltéve a körülmények változatlanságát).

*

A heteroszkedaszticitás jelensége gyakorta megnehezíti a regressziós modellek hasz—

nálóinak és felhasználóinak munkáját. Nem kell azonban ,,sorscsapásnak" tekinteni jelent- kezését, hiszen kivédésére, hatásának tompítására sokféle becslési módszer a'll rendelke- zésre. Ahhoz azonban, hogy a megfelelő becslési eljárást használhassuk a jelenség felderí- tésére, pontos diagnosztizálására van szükség. A kutató a statisztikai irodalomban a hetero- szkedaszticitás témakörét tárgyaló írások tucatjaival találkozik, szinte a ,,bőség zavarával"

küzd. A modellezők a gyakorlatban azonban nem mindig élnek a lehetőségekkel.

E sorok írójának az volt a szándéka, hogy összefoglalja az alkalmazottlegelterjedtebb diagnosztikai módszereket, és hogy felhívja a figyelmet egy könnyen kezelhető, hatásos és gyors próbára: a Szroeter által javasolt h—mutató használatára.

IRODALOM

( l) Box, G. E. P.—Cox, D. R.: An analysis of transformations. Journal of the Royal Statistical Society. Series B.

1964. évi 2. sz. 211—243. old.

(2) Breusch, T. S.——Pagan, A. R.: A simple test for heteroscedasticity and random coefficient variation. Econometrica.

1979. évi 5. sz. 1287—1294. old.

(3) Durbín, J.—Watson, G. S.: Testing for serial correlation in least sguares regression. Biometrica. 1950. évi 37. sz.

409—428. old.; 1951. évi 38. sz. 159—178. old.

3*

36 PINTÉR: A HETEROSZKEDASZTICITÁS

(4) Durbin, J.: Testing for correlation in systems of simultaneous regression eouations. Biometrica. 1957. évi 44. sz. 370—377. old.

ás) Durbin, J.: Testing for seria] correlation in least souares regression when some of the regressors are lagaed depen ent variables. Economem'ca. 1970. évi 3 sz. 410—421. old

(6) Farebrother, R. W: The Durbin—Watson test for seria! correlation when thereIS no interceptm the regression.

Economeirica.1980 évi 6. sz. 1553— 1555. old.

7) Glejser, H.: A new test for heteroscedasticity. Journal of the American Statistícal Association. 1969. évi 1. sz.

316—3 3. old.

8) Gujoratl, D.: Basic econometrics. McGraw Hill Book C. New York. 1978. 462 old.

59 Harrison, M. J.-McCabe, B. P. M.: A test for heteroscedasticity based on ordinary least souares residuals. Journal ofthe American Statistical Association. 1979. évi 6. sz. 494—499. old.

(10) Harrison, M. J.: The small sample performance of the Szroeter'bounds test for heteroscedasticity and a simple test for use when Szroetefs test is inconclusive. Oxford Bulletin ofEconomícs and Stalisrics. 1980, évi 3. sz. 235—250. old.

(ll) Harrison, M. J.: Tables of critical values for a Beta approximation to Szroeter's statistics for testing of hetero- scedasticity. Oxford Bulletin of Economics and Staristics. 1982. évi 2. sz. 159—167. old.

12) Harvey, A. C.: Estimating regression models with multiplicative heteroscedasticity. Econometria. 1976. évi 3. sz. 61—465. old.

(13) Judge, G.G—Hill, R.C—GrWiths, W. E —Lütkepohl, H. —Lee, T. C..- Introduction to the theory and practice of econometrics. John Wiley and Sons Inc. New York. 1982. 839 old.

315 32(;4) King, M. L: A note on Szroeters bounds tests. Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 1981. évi 3. sz

— . old.

(15) Kőrösi Gábor—Mátyás László—Székely István: Gyakorlati ökonometria. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó.

Budapest, 1990. 481 old.

16 Langaskens, Y.: Introduction a l'économétrie. Librairie Droz. Geneve, 1975.

1 Messer, K.—White, H.: A note on computing the heterosoedasticity consistent covariance matrix using instru- mental variable technioues. Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 1984. évi 2. sz. 181—185. old.

(18) Mundruczo' György: Alkalmazott regressziószámitás. Akadémiai Kiadó. Budapest. 1981. 258 old.

19) Cuandt, R. E.——Goldfeld, S. M.: Some tests for heteroscedasticity. Journal of the American Statistical Association.

1965. vi 2. sz. 539—547. old.

3 3 ](20) Spitzer, J. J.: A primer on Box—Cox estimation. The Review of Economics and Statistics. 1982. évi 2. sz. 307—

1 . 0 d.

21) Szroeter, J.: A class of parametríc tests for heteroscedasticity in linear econometric models. Economezrico.

1978. vi 6. sz. 1311—1327. old.

(22) White, H.: A heteroscedasticity. Consistent covariance matrix estimator and direct test for heteroscedasticity.

Econametricu. 1980. évi 4. sz. 817—828. old.

TÁRGYSZÓ: Matematikai statisztika. Regressziószámitás.

PESIOME

ABTOp noone onpenenennn nonemu rerepocrcenacm'inocm ocrananmaercn na xapaicrepe—

n paamepe ee Bpennoro BJII'IHH'HH. B nansneümem nemoncrpnpyer n onennnaer paannnnme 06 IIICK3BCCTHBIC npoöu (npoőm Fonmbenna Knanm'a, Bpexyma —— Harana, Tneüaepa — Vail-ra).

ABTOp ocoöoe Bnnmxnne ynemer npoőe U.Iporepa, ocranaBnnBaeTcn Ha ee romecxom crpoemm n paarm'mmx npaxrmrecxnx npvmenennnx.

ABTOp nomepxnsae'r npenmymecTBa, sarcmonaiomnecn B nerpynoemcocm npnmenennn noxasa'renn h.

B saionotm-renbnoü 'laCTB cnoero oaepxa anrop oőoapeBaer merozxonorn'recxne zanam, KO- ropbre (menyer ocymecmn'rs B cnyriae namam rerepocxenacmnnocm. Agrop oőpamaeT nnn—

Mamae Ha npnmenenne merona onenicn Koncncrenmoü Koaapnanrnoü ManlIHLI n Bone-Kom:

npeoöpazonannn.

SUMMARY

Having defined the phenomenon of heterosoedasticity, the study discusses its disturbing effect and extent. Further on the author shows and assesses the different well-known tests (Goldfeld—

Ouandt test, Breusch—Pagan test, Glejser and White test) of heteroscedasticity.

The study discusses in details the Szroeter test, its logical construction and possible practical realization.

The author also stresses the advantages arising from the easy handling of the application of h—indicator.

The concluding part of the study reviews the methodological tasks to be achieved in the case of heteroscedasticity. The author directs attention to the estimation procedure of the consistent covariance matrix and to the use of Box-Cox transformation.