A Lucas számok prímosztóinak egy tulajdonságáról.

K I S S P É T E R *

A L U G A S SZÁMOÍC P R Í M O S Z T Ó I N A K EGY T U L A J D O N S Á G Á R Ó L

A B S T R A C T : COn a property of the prime divisors of Lucas numbersJLet be a sequence of Lucas numbers defined by R =0, R =1 and R = A R +BR „ Cn>l>, where A, B are

O * i N N - L N - 2 '

fixed coprime non-zero integers. For a prime p Cp-fB>

r ( p ) > 0 denotes the rank of apparition of p in the sequence, i.e. P l ^r ( p ) but for 0 < m < r ( p > . Ve prove that the mean values of the numbers p/rCp) and r ( p > / p ,

less than C l + e ) ( l o g log x > / l o g x , respect ively, for any c>0 if x is sufficiently large.

L e g y e n R=(R^), n = 0 , l , 2 , . . . , a L u c a s s z á m o k egy s o r o z a t a , m e l y e t az A, B z é r u s t ó l k ü l ö n b ö z ő r ö g z í t e t t e g é s z e k , az

R = A'R . + B * R „ (n>l >

n n-i r> - 2

r e k u r z i ó é s a z R =0, R =1 k e z d ő e l e m e k d e f i n i á l n a k . A o 1

t o v á b b i a k b a n f e l t e s s z ü k , h o g y az R s o r o z a t nem d e g e n e r á l t , v a g y i s CA,B)=1 é s a s o r o z a t n a k n i n c s RQ- t 0 1 k ü l ö n b ö z ő z é r u s e l e m e .

Ismert, hogy ha p egy p r í m s z á m és p+B, a k k o r van az R s o r o z a t b a n RQ- t ó l k ü l ö n b ö z ő p-vel o s z t h a t ó tag. Ha n > 0 é s p | R , d e p+R az m = l , 2 , . . . . n - 1 i n d e x e k r e , a k k o r az n i n d e x e t

r ' rí ' nrt

a p prim e l ő f o r d u l á s i r e n d j é n e k n e v e z z ü k az R s o r o z a t b a n é s r ( p ) - v e l jelöljük. T e h á t ha plB, a k k o r rCp> l é t e z i k é s

* A k u t a t á s t C r é s z b e n ) az O r s z á g o s T u d o m á n y o s K u t a t á s i for which r(p)^x, are greater than and

A l a p 273 sz. p á l y á z a t a t á m o g a t t a .

- 1 6 -

p | Rr ( p ), de pfR^ , i = l , 2 , . . . , r C p ) - l . Az is jól i s m e r t , hogy n i n c s a s o r o z a t b a n p - v e l o s z t h a t ó tag, ha p|B é s CA,B>=1 C i l y e n k o r rCp)=<*> m e g á l l a p o d á s s a l é l ü n k > , t o v á b b á p-fB e s e t é n

r C p ) jjCp - C D / p > 5 ,

ahol D = A2+ 4 B é s CD/p> a L e g e n d r e s z i m b ó l u m C D / p > = 0 a p | D e s e t b e n k i t e r j e s z t é s s e l Clásd pl. D.H. L e h m e r [4]).

Az e l ő z ő e k b ő l k ö v e t k e z i k , hogy r C p ) ^ p - C D / p ) £ p+1, e z é r t n y i l v á n rCp)/p ^ ^ ^ m i n d e n p^B p r i m s z á m esetén. D e Cl]

é s [21 e r e d m é n y e i b ő l k ö v e t k e z i k , hogy r ( p ) / p t e t s z ő l e g e s e n ' kicsi is lehet. 131 — b a n r C p > / p á t l a g é r t é k e i r e a k ö v e t k e z ő k e t k a p t u k : l é t e z n e k c ^ c2, c3, c4 p o z i t i v a b s z o l ú t k o n s t a n s o k ugy, hogy

r t „ R X , rr r C p ) s „ . X C 1> ci T S T ^ < 2 ~P < c2 T ő g ~ x

p^x

< " - 3 - i s r S r < 2 < - v «

r ( p ) í * » m i n d e n elég n a g y x—re. M i v e l az x - n é l nem n a g y o b b p r i m e k

s z á m a a s z i m p t o t i k u s a n x / l o g x és, m i n t ahogy m a j d látni f o g j u k , az rCp? £ x f e l t é t e l t k i e l é g í t ő p r i m e k s z á m a l e g a l á b b C l - e ) x bármely c > 0 e s e t é n , ha x elég nagy, e z é r t C l ) é s C2>

j o b b o l d a l á b ó l c s a k az k ö v e t k e z i k , hogy

r(p>/p

T É T E L . Legyen x egy p o z i t i v v a l ó s szárn é s o ( x ) a z o n p r i m e k s z á m a , m e l y e k r e r C p ) ^ x. E k k o r b á r m e l y c > 0 e s e t é n

( 3 )

h • 5 r f p T > {?. - " ) ' * o ( x )

r ( p )

s á r • 2 < (i • « ) •

f

i ° £

r ha x > x C e } .

A L é t e l ü n k a l a p j á n k ö v e t k e z t e t h e t ü n k a L u c a s s z á m o k p r i m i t i v p r í m o s z t ó i n a k n a g y s á g á r a is. Egy R L u c a s szám p r i m i t i v p r í m o s z t ó j á n a k n e v e z z ü k a p p r í m s z á m o t , ha r ( p ) = n . A t é t e l ü n k b ő l k ö v e t k e z i k , hogy á l t a l á b a n p > r C p i ' l o g x, v a g y i s R^ p r i m i t i v p r í m o s z t ó i r a á l t a l á b a n p > n ' l o g n. A L u c a s s z á m o k l e g n a g y o b b p r i m i t i v p r í m o s z t ó i r a G.L. S t e w a r t [63 h a s o n l ó e r e d m é n y t ért el, m i s z e r i n t m a j d n e m m i n d e n n t e r m é s z e t e s szám e s e t é n R^ l e g n a g y o b b p r i m i t i v p r í m o s z t ó j a n a g y o b b m i n t e C n ) * n * C l o g n )2/ l o g log n, a h o l c ( n ) egy t e t s z ő l e g e s , e ( n ) • 0, ha n • co f e l t é t e l t k i e l é g í t ő f ü g g v é n y . S t e w a r t e r e d m é n y e csak a l e g n a g y o b b p r i m i t í v p r í m o s z t ó r a , a mi e r e d m é n y ü n k pedig m i n d e n p r i m i t i v p r í m o s z t ó r a v o n a t k o z i k .

M e g e m l í t j ü k , hogy a C 3 ) e g y e n l ő t l e n s é g egy g y e n g é b b f o r m á j á t R é v é s z M á r i u s z [5] is b i z o n y í t o t t a , ő a z ^ — ej h e l y e t t egy k o n s t a n s l é t e z é s é t b i z o n y í t o t t a .

R á t é r ü n k a t é t e l ü n k b i z o n y í t á s á r a .

A T É T E L B I Z O N Y Í T Á S A : A t o v á b b i a k b a n f e l t e s s z ü k , hogy x e g é s z szám, továbbá e , c2, ... — v e i pozitív v a l ó s s z á m o k a t j e l ö l ü n k , m e l y e k t e t s z ő l e g e s e n k i c s i k l e h e t n e k , ha x e l é g nagy.

G.L. S t e w a r t 171 b i z o n y í t o t t a , hogy van o l y a n no p o z i t í v e g é s z s z á m ugy, hogy m i n d e n n > n e s e t é n az R^ L u c a s s z á m n a k van p r i m i t í v p r í m o s z t ó j a . v a g y i s m i n d e n nQ — n á l n a g y a b b n e g é s z h e z van o l y a n p prim, m e l y r e r(p)=n. E b b ő l k ö v e t k e z i k , hogy

( 5 ) o C x ) £ x - nQ > Cl - c() x .

- 1 8 -

L e g y e n Pt» P2» ••• a p r í m s z á m o k n ö v e k v ő s o r o z a t a . E k k o r CJCX) d e f i n í c i ó j a a l a p j á n

oc x )

<6> 5 r f p T > x 2 P • 2 Pi '

r C p J ^ x r ( p ) S x i = l

I s m e r t , h o g y

pn > n • l o g n

m i n d e n n ^ 1 e s e t é n é s h a y > 3 t e t s z ő l e g e s v a l ó s s z á m , a k k o r

p y

e z é r t n = o ( x ) é s y = o C x ) * log toCx) h e l y e t t e s í t é s s e l oc x J

I P, * 2 p & Cl - c > • * 2 * log y

i. =1

p

y

2 í j - c3J ' ( o C x ) )2' l o g o C x >

k ö v e t k e z i k . E b b ő l v i s z o n t C 5 ) é s C 6 5 a l a p j á n

2 F ? p T > [ h - • * < * > >

r Cp)ÍK

> [I - c4] c i o g X> * o C X ) a d ó d i k , a m i b ő l C3> m á r k ö v e t k e z i k .

Most r á t é r ü n k C4> b i z o n y í t á s á r a .

Mivel r C p ) ^ p+1 a p + B f e l t é t e l t k i e l é g í t ő p r í m e k r e é s

C 7 ) J ^ = l o g log y + G + 0

p^y [ ~ v | -

a h o l G egy a b s z o l ú t k o n s t a n s , e z é r t Cíi.) f i g y e l e m b e v é t e l é v e l

C S ) 5 <; n c o c x ) ) + I - <

p ^ p r C p ) í x p S ö t x J p ^ O C x 3

ahol n C o C x ) ) az caCx) — n é l nem n a g y o b b p r í m s z á m o k számát.

< 1 1 + «.J* l o gC0 < X >

jelöli. M á s r é s z t p ^ 5 C l + ee) n * log n t e t s z ő l e g e s e o > 0 e s e t é n , ha n > n C eo) , e z é r t

es» 2 - rp p p 2 2- * * * 5 ^ x - n

r C p J ^ x r C p J ^ x p > O C x 5 p > O t x 3

A

a d ó d i k , ahol ]> — azon p p r í m e k r e c i p r o k ö s s z e g é t j e l e n t i , m e l y e k r e

o C x ) < p 5 (1 + c >-oCx)* log o ( x ) . így C 7 ) a l a p j á n

2 ~ £ log log ( c i + e ^ ) « o C x ) • l o g o C x j J - l o g log o C x ) +

De ha y elég nagy v a l ó s s z á m , akkor

log log Cy * log y> = log [log y [l+

f

^

j ] <

< log log y + C l + e7) * i 0f o g0y Y >

e z é r t

é s C8), C 9 ) , C I O ) a l a p j á n

r(p)^x

k ö v e t k e z i k . A z o n b a n az

- 2 0 -

r e o = ififeief-t

f ü g g v é n y c s ö k k e n ő , ha t > e°, e z é r t ( 5 ) é s ^ < ( l + e1 0>

a l a p j á n a

2 < [i * ' „ } ' «c«»- ( i s h f ^ " i S ,

? 1

r C p ) í *

e g y e n l ő t l e n s é g e t k a p j u k , a m i b ő l ( 4 ) m á r k ö v e t k e z i k .

IRODALOM

[13 P. K i s s and B. M. Phong,, On a f u n c t i o n c o n c e r n i n g second o r d e r recurrences,, Ann. U n i v . Sei. B u d a p e s t . E ö t v ö s , 21 C 1 9 7 8 ) , 1 1 9 - 1 2 2 .

[2] K i s s Péter, A L u c a s s z á m o k p r í m o s z t ó i r ó l , A c t a Acad.

Pedag. Á g r i e n s i s , X V I I I / 1 1 (1987), 1 7 - 2 5 .

[33 P. Kiss, On r a n k of a p p a r i t i o n o f p r i m e s in L u c a s s e q u e n c e s , P u b l . Math. D e b r e c e n , 36 C1989), 1 4 7 - 1 5 1 . [4] D.H. Lehmer, An e x t e n d e d t h e o r y of L u c a s ' f u n c t i o n , Ann.

of M a t h . , 31 C 1 9 3 0 ) , 4 1 9 - 1 4 8 .

[53 R é v é s z M á r i u s z , P r í m s z á m o k e l ő f o r d u l á s i r e n d j e L u c a s s o r o z a t o k b a n . D i á k k ö r i D o l g o z a t , T a n á r k é p z ő F ő i s k o l a , Eger, 1988.

[6] G.L. S t e w a r t , O n the g r e a t e s t prime f a c t o r of t e r m s of a l i n e a r r e c u r r e n c e s e q u e n c e , Rocky M o u n t a i n J. o f Math., 1 5 (1985), 5 9 9 - 6 0 8 .

[71 G.L. S t e w a r t , P r i m i t i v e d i v i s o r s o f L u c a s and L e h m e r n u m b e r s , T r a n s c e n d e n c e theory: a d v a n c e s and a p p l i c a t i o n s , e d . by A. B a k e r and D.W. H a s s e r , Acad.

P r e s s , L o n d o n a n d New Y o r k , (1977), 79-92.