Számítástudomány alapjai gyakorlat
villamosmérnök szak, I. évf. 1. félév, 21/24. csoport
8. alkalom - 2007. november 8.
Megoldásvázlatok
90. K4 síkbarajzolható: vegyünk egy háromszöget, a belsejében egy negyedik pontot, majd kössük ezt össze a három csúccsal.
K7 nem síkbarajzolható, mert részgráfként tartalmazza a K5-öt.
K4,5 nem síkbarajzolható, mert részgráfként tartalmazza a K3,3-at.
K7,2 síkbarajzolható. Vegyünk fel 7 pontot egymás mellett, egyet fölöttük, egyet alattuk. A fels® és az alsó pontot kössük össze mind a 7 középs®vel, ekkor pont a keresett gráfot kapjuk.
91. Az élek számae= 16. A gráf 4-reguláris, ígyncsúcs mindegyikéb®l 4-4 él indul ki, azaz4n= 2e, innenn = 8. Ekkor az Euler-féle poliéder-formulából (n+t =e+ 2) a tartományok számat = 10. 92. Ha a pontok száma n = 11, akkor G-ben és G-ben együttesen ¡11
2
¢ = 55 él van (egy gráfhoz a komplementerét hozzávéve teljes gráfot kapunk). Síkbarajzolható gráfokra e ≤ 3n−6 = 27, tehát n = 11 esetén legfeljebb 27 éle lehet a gráfnak, ha síkbarajzolható. Viszont az élszámok összege 55>2·27, tehát Gés Gközül az egyikben 27-nél több él van, így az biztosan nem síkbarajzolható.
Ha11< n, akkor hasonló módon bizonyítható az állítás, hiszen ¡n
2
¢>2·(3n−6) teljesül.
93. Az els® gráf nem síkbarajzolható, mert tartalmaz egyK3,3-mal topologikusan izomorf részgráfot:
töröljünk két élt, majd a bal alsó és a jobb alsó ponton átmen® 2 hosszú utat helyettesítsük egy-egy éllel, így az ábrán látható módon megkapjuk aK3,3-at (a két pontosztály pontjai körök és négyzetek).
A második gráf síkbarajzolható: tekintsük a három bels® pont közül a jobb oldalit, majd ezt húzzuk ki képzeletben jobbra a gráfon kívülre. El®bb-utóbb elérjük, hogy nem lesz keresztez®dés.
A harmadik gráf nem síkbarajzolható, mert tartalmaz egy K5-tel topologikusan izomorf részgráfot:
töröljük a lenti középs® pontból jobbra felfelé mutató élt, majd a két bal oldali pontot (a bel®lük kiinduló élekkel együtt). Végül a lenti középs® ponton átmen® 2 hosszú utat helyettesítsük egyetlen éllel, így megkapjuk aK5-öt (lásd az ábrán).
94. AK8-nakn = 8 pontja és¡8
2
¢= 28 éle van. Tudjuk, hogy síkbarajzolható gráfoknál e≤3n−6, tehát egy 8 pontú gráfnak legfeljebb 3·8−6 = 18 élét tudjuk keresztezés nélkül lerajzolni a síkba.
Ez azt jelenti, hogy ha egymás után húzzuk be aK8 28 élét, az utolsó 10 él mindegyike legalább egy korábbi élt keresztezni fog.
95. Igen. Az élek száma 2·4+6·32 = 13, a tartományok száma t = 8, így az Euler-formula szerint a pontok száman = 7. Egy lehetséges megoldás:
96. Sorrendben: Két pont összekötve annyi éllel, ahány éle a körnek van;K4; Oktaéder; Kocka 97. Az alábbi két gráf izomorf (a bal oldalinál a két párhuzamos él közötti pontot húzzuk ki jobbra, ezzel pont a jobb oldalit gráfot kapjuk).
Viszont duálisaik már nem izomorfak, csak gyengén:
98. Mindennpontú fánakn−1éle van. Kör nincs benne, valamint minden él vágás, hiszen bármely élt elhagyva két részre esik szét a fa. Tehát bármely n pontú fában ami vágás, az vágás a másikban is. Az élek pedig tetsz®legesen megfeleltethet®k egymásnak. Ezzel teljesül a gyenge izomora.
99. Az 1. és4., valamint a 2.és 5.izomorfak, a többi nem, mert vagy a csúcs-, vagy a fokszám nem egyezik. (Itt elvileg össze kell hasonlítani az összes lehetséges párt.) Természetesen amik izomorfak, egyben gyengén is izomorfak. Gyengén izomorf továbbá még a 2., 3. és 5, hiszen például a 3.-at a bal fels® és a jobb alsó csúcs mentén szétszedve, megforgatva és összerakva az 5.-et kapjuk. (Ezeket ellen®rizzük!)
100. A gráf éleinek számae= 20·32 = 30, a csúcsok száman= 20. Ekkor az Euler-féle poliédertételb®l a tartományok számat =e+ 2−n= 12, a duálisban a tartományoknak felelnek meg a pontok, így a duális gráfnak 12 pontja van.
101. Legyen a gráf pontjainak száma n, ebb®l az 5-ödfokú pontok száma x. Ekkor az élszámra felírható a 2e ≥ 5x+ 6(n−x) becslés (hiszen a maradék n−x pont legalább 6-odfokú), továbbá a síkbarajzolhatóság miatt e ≤ 3n−6. A kett®t összevetve 5x+ 6(n−x) ≤ 6n−12, amib®l pont 12≤x-et kapjuk.
102. Induljunk el az 1. csúcstól, majd addig haladjunk el®re, a sorszámokat növelve, amíg nem kell visszalépnünk. Az els® visszalépés a 4. csúcsnál következik be, a következ® a 6.-nál stb. A kapott fa:
