A számítástudomány alapjai
Gyakorlatvezető: Reinhardt Gábor (reinhardt@cs.bme.hu ; http://www.cs.bme.hu/~reinhardt/
1. Tekintsük a lenti ábra bal oldali gráfját! Határozzuk meg (lépésenként) a) a gráf élsúlyozatlan változatában a BFS
b) az élsúlyozott gráfban Dijkstra algoritmusával a legrövidebb utat B
2. Tekintsük a fenti ábra jobb oldali gráfját! Határozzuk meg (lépésenként) a Ford ból az összes csúcsba!
3. Keressünk maximális folyamot az alábbi hálózatokban! Keressünk minimális vágást is!
4. Határozzuk meg a maximális folyam értékét az x paraméter függvényében!
5. Igazak-e a következő állítások?
a) Ha egy hálózatban minden él kapacitása páratlan, akkor a minimális vágás páratlan.
b) Ha egy hálózatban minden él kapacitása páratlan, akkor a maximális folyam értéke páratlan.
c) Ha egy hálózatban minden él kapacitása
d) Ha egy hálózatban minden él kapacitása irracionális, akkor a maximális folyam irracionális.
6. Adott két hálózati folyam, melyekben a minimális vágás értéke c
értéke abban a hálózatban amit a két folyam soros illetve párhuzamos kapcsolásával kapunk?
A számítástudomány alapjai
4. gyakorlat 2008. szeptember 30.
reinhardt@cs.bme.hu ; http://www.cs.bme.hu/~reinhardt/
Tekintsük a lenti ábra bal oldali gráfját! Határozzuk meg (lépésenként)
a) a gráf élsúlyozatlan változatában a BFS-algoritmussal a legrövidebb utat A-ból az összes csúcsba!
b) az élsúlyozott gráfban Dijkstra algoritmusával a legrövidebb utat B-ből az összes csúcsba!
Tekintsük a fenti ábra jobb oldali gráfját! Határozzuk meg (lépésenként) a Ford-algoritmussal a legrövidebb utat A
Keressünk maximális folyamot az alábbi hálózatokban! Keressünk minimális vágást is!
g a maximális folyam értékét az x paraméter függvényében!
a) Ha egy hálózatban minden él kapacitása páratlan, akkor a minimális vágás páratlan.
b) Ha egy hálózatban minden él kapacitása páratlan, akkor a maximális folyam értéke páratlan.
c) Ha egy hálózatban minden él kapacitása páratlan, akkor a maximális folyam értéke minden élen 0 vagy páratlan.
d) Ha egy hálózatban minden él kapacitása irracionális, akkor a maximális folyam irracionális.
Adott két hálózati folyam, melyekben a minimális vágás értéke c1 illetve c2. Mekkora lesz a értéke abban a hálózatban amit a két folyam soros illetve párhuzamos kapcsolásával kapunk?
reinhardt@cs.bme.hu ; http://www.cs.bme.hu/~reinhardt/)
ból az összes csúcsba!
ől az összes csúcsba!
algoritmussal a legrövidebb utat A-
b) Ha egy hálózatban minden él kapacitása páratlan, akkor a maximális folyam értéke páratlan.
páratlan, akkor a maximális folyam értéke minden élen 0 vagy páratlan.
d) Ha egy hálózatban minden él kapacitása irracionális, akkor a maximális folyam irracionális.
. Mekkora lesz a maximális folyam értéke abban a hálózatban amit a két folyam soros illetve párhuzamos kapcsolásával kapunk?
A számítástudomány alapjai
Gyakorlatvezető: Reinhardt Gábor (reinhardt@cs.bme.hu ; http://www.cs.bme.hu/~reinhardt/
7. A G gráf csúcshalmaza legyen V = {1,2, páratlan és 2, ha a páros. Mekkora az 1-ből a 2k 8. Az alábbi gráf élei közül 3-3 élre írjunk 1
folyam értéke a lehető legnagyobb illetve a lehető l
9. Mekkora a maximális folyam az alábbi hálózatban?
10. Hányszorosan pont- illetve élöszefüggőek az alábbi gráfok?
a) egy n hosszú út b) egy n hosszú kör
11. Bizonyítsuk be, hogy egy k-szorosan összefüggő gráfnak
12. Tegyük fel, hogy a G(V,E) gráfban bármely két pont között létezik legalább három pontidegen út. Vegyünk fel egy új x pontot és kössük össze G három különböző pontjával. Mutassuk meg, hogy a kapott
bármely két pontja között van legalább három pontidegen út!
13. Egy kisváros úthálózata csupa egyirányú utcából áll. A frssen megválasztott polgármester programjában vállalta, hogy minden hétköznap reggel úgy megy autójával a munkába, hogy egy héten nem megy
az utcán. (Így a város minden bajáról értesül.
ismerve az úthálózatot – képtelenség, de senki nem hitt neki. Hogyan tudta volna meggyőzően bizonyítani állítását?
14. Legyen G egy összefüggő gráf és v1, v
három pont közül valamelyik kettő között vezetnek pontja.
a) Bizonyítsuk be, hogy található G-ben olyan x és y pont, hogy min
b) Mutassuk meg, hogy nem feltétlenül található egy olyan x pont, amelyen minden H
15. Bizonyítsuk be, hogy ha egy gráfból elhagyunk egy élt, akkor az összefüggősége legfeljebb eggyel csökken!
A számítástudomány alapjai
4. gyakorlat 2008. szeptember 30.
reinhardt@cs.bme.hu ; http://www.cs.bme.hu/~reinhardt/
1,2,…,2k}, élhalmaza pedig E = {(a,b)|1≤a<b≤2k}. Az ( ből a 2k-ba menő maximális folyam értéke?
3 élre írjunk 1-es, 2-es és 3-as kapacitást úgy, hogy a keletkező hálózatban a maximális folyam értéke a lehető legnagyobb illetve a lehető legkisebb legyen!
Mekkora a maximális folyam az alábbi hálózatban?
illetve élöszefüggőek az alábbi gráfok?
b) egy n hosszú kör c) Kn d) Kn,n e) Km,n
szorosan összefüggő gráfnak legalább kn/2 éle van!
rmely két pont között létezik legalább három pontidegen út. Vegyünk fel egy új x pontot és kössük össze G három különböző pontjával. Mutassuk meg, hogy a kapott
két pontja között van legalább három pontidegen út!
Egy kisváros úthálózata csupa egyirányú utcából áll. A frssen megválasztott polgármester programjában vállalta, hogy minden hétköznap reggel úgy megy autójával a munkába, hogy egy héten nem megy
Így a város minden bajáról értesül.) A választásban alulmaradt ellenfele kezdettől fogva állította, hogy ez de senki nem hitt neki. Hogyan tudta volna meggyőzően bizonyítani állítását?
, v2, v3 a G-nek három pontja. Jelölje H az olyan utak halmazát, melyek ezen három pont közül valamelyik kettő között vezetnek. Tegyük fel, hogy bármely két H-beli útnak van közös belső
ben olyan x és y pont, hogy minden H-beli út átmegy az egyiken!
b) Mutassuk meg, hogy nem feltétlenül található egy olyan x pont, amelyen minden H-beli
Bizonyítsuk be, hogy ha egy gráfból elhagyunk egy élt, akkor az összefüggősége legfeljebb eggyel csökken!
reinhardt@cs.bme.hu ; http://www.cs.bme.hu/~reinhardt/)
. Az (a,b) él kapacitása 1, ha a
kapacitást úgy, hogy a keletkező hálózatban a maximális
rmely két pont között létezik legalább három pontidegen út. Vegyünk fel egy G’ gráfra is teljesül, hogy
Egy kisváros úthálózata csupa egyirányú utcából áll. A frssen megválasztott polgármester programjában vállalta, hogy minden hétköznap reggel úgy megy autójával a munkába, hogy egy héten nem megy végig kétszer ugyanazon
A választásban alulmaradt ellenfele kezdettől fogva állította, hogy ez – de senki nem hitt neki. Hogyan tudta volna meggyőzően bizonyítani állítását?
nek három pontja. Jelölje H az olyan utak halmazát, melyek ezen beli útnak van közös belső beli út átmegy az egyiken!
beli út átmegy!
Bizonyítsuk be, hogy ha egy gráfból elhagyunk egy élt, akkor az összefüggősége legfeljebb eggyel csökken!
