2. FÉLÉVI HÁZI FELADAT
FURATOS LEMEZ ANALITIKUS ÉS VÉGESELEM MEGOLDÁSA
Szerző: Dr. Szekrényes András
12.
FURATOS LEMEZ ANALITIKUS ÉS VÉGESELEM MEGOLDÁ- SA
Számítsuk ki a12.1 ábrán látható, saját síkjában terhelt furatos lemezben kialakuló feszült- ségmezőt
a. analitikus módszerrel a síkfeladatok alapegyenletei segítségével, b. végeselem-módszerrel az ANSYS szoftver felhasználásával,
majd végül hasonlítsuk össze a kétféle számítás eredményét! A lemez anyaga lineárisan rugalmas, homogén és izotrop.
12.1 ábra. Furatos lemez x irányú normális és minden peremen tangenciális irányú terheléssel.
12.1 Analitikus megoldás
A 11. fejezetben levezettük a síkfeladatok alapegyenletét hengerkoordináta-rendszerben (ld. (11.74) egyenlet):
1 0 1
1 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
4 =
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇
∇
=
∇ χ
ϑ χ ϑ
χ r r r r r r r r ,
(12.1)
ami egy parciális differenciálegyenlet, melyhez dinamikai (feszültségmezőre vonatkozó) peremfeltételek is tartoznak. Tehát egy peremérték-feladatot kell megoldanunk. A feszült- ségek a következő képletek segítségével fejezhetők ki (ld. 11. fejezet):
2 2 2
1 1
ϑ χ σ χ
∂ + ∂
∂
= ∂
r r
r r , 2
2
∂r
=∂ χ
σϑ ,
∂
∂
∂
− ∂
= ϑ
τ ϑ χ
r
r r
1 . (12.2)
A megoldáshoz a Fourier-féle módszert alkalmazzuk, azaz feltételezzük, hogy a megoldás- függvény szétválasztható a változók szerint [1]:
∑
∞=
Φ
=
1
) ( ) ( )
, (
i
i i r R
r ϑ ϑ
χ . (12.3)
Ezt visszatéve a (12.1) alapegyenletbe kapjuk a következőt:
1 0 )
1 ( 1 )
1 ( )
1 ( ) 1 (
4 3
2 Φ + Φ ′′+ Φ =
+
Φ
II IV
r R dr
rdR dr
d R r
r dr r d dr
d r dr
rdR dr
d r dr r d dr
d
r .
(12.4) Az r változó szerinti megoldást hatványfüggvény formájában keressük:
rn
r
R( )= . (12.5)
Ezt a megoldást visszatéve a (12.4) egyenletbe a következőt kapjuk:
0 ]
) 2 [(
) 2
( 2 2 2
2 n− Φ+ n− +n ΦII +ΦIV =
n . (12.6)
a. Tételezzük fel, hogy:
IV
II =Φ
Φ , (12.7)
ami csak úgy lehetséges, ha Φ konstans és lineáris tagok kombinációja:
ϑ ϑ) 1 2
( =C +C
Φ , (12.8)
ahol C1 és C2 konstansok. A (12.6) képlet ekkor a következőre módosul:
0 )
2
( 2
2 n− Φ=
n , (12.9)
ami akkor teljesül, ha n = 0 vagy 2, viszont mindkét gyök kettős gyök a második hatvány miatt. A megoldandó differenciálegyenlet ekkor (12.4) alapján:
0 ) 1 (
) 1 (
=
dr rdR dr
d r dr r d dr
d
r . (12.10)
Integráljuk az egyenletet r szerint:
) 1
1 (
dr c rdR dr
d r dr
r d =
. (12.11)
Osszuk el az egyenletet r-el és ismét integráljuk r szerint:
2 1ln )
1 (
c r dr c
rdR dr
d
r = +
. (12.12)
Most szorozzuk meg r-el és harmadszor is integráljuk:
3 2 2
1 ln r2 c
c rdr r dr c
rdR =
∫
+ + . (12.13)Parciálisan integrálva a jobb oldal első tagját kapjuk, hogy:
3 2 2 2 2
1 ) 2
ln 2 2(
1 r c
r c r r dr c
rdR = − + + . (12.14)
Az eredményt osszuk el r-el és integráljuk negyedszer is:
D r Cr r B Ar r
R( )= 2 + ln + 2ln + , (12.15)
ahol A, B, C és D konstansok. Összefoglalva tehát az a. esetben az alaprendszer elemei:
{
r2,lnr,r2lnr,1}
és ϑ{
r2,lnr,r2lnr,1}
. (12.16)Ezek a függvények azonban nem periodikusak. Feltételezhető, hogy a megoldásfüggvény periodikus, azaz trigonometrikus függvényeket is tartalmaz.
b. A páros deriváltak miatt tételezzük fel, hogy a megoldás trigonometrikus függvények kombinációja:
=
Φ sin( ) ) ) cos(
( ϑ
ϑ ϑ
i
i , (12.17)
és így:
−
=
Φ sin( )
) ) cos(
( 2
ϑ ϑ ϑ
i i i
II ,
=
Φ sin( )
) ) cos(
( 4
ϑ ϑ ϑ
i i i
IV . (12.18)
Ekkor a (12.6) egyenletből a következőt kapjuk:
0 ]
) 2 [(
) 2
( 2 2 2 2 4
2 n− +i n− +n +i =
n . (12.19)
Vizsgáljuk meg, hogy az i paraméter milyen értékeket vehet fel! A (12.19) egyenlet egy másodfokú egyenlet i2-re, melynek megoldásai:
{
[( 2) ] [( 2) ]}
2
1 2 2 2 2
2 n n n n
i = − + ± − − , (12.20)
azaz:
= −2 2
2
) 2 (n
i n . (12.21)
Ha n = 1, akkor mindkét esetben i2 = 1 az eredmény, azaz n = 1 esetén kettős gyökünk van.
Az r szerinti megoldás ekkor R(r) = r, és így az alaprendszer függvényei:
{
rcosϑ,rsinϑ,rϑcosϑ,rϑsinϑ}
. (12.22)A (12.21) képletből fejezzük ki ezek után az n értékét i függvényében:
+
±
= ±
2 i
n i . (12.23)
Vizsgáljuk meg, hogy mely esetekben léteznek kétszeres gyökök! Ha i = 1, akkor n = 1, -1, 3, 1, tehát létezik egy kétszeres gyök, az alaprendszer elemei így R(r) = rn alapján:
= r r r r r
i 1, , ln
, :
1 3 , (12.24)
ahol az utolsó tag a kétszeres gyök miatti negyedik, független tag. Ha i = 2, akkor n = 2, -2, 4, 0, tehát most nincs kétszeres gyök, az alaprendszer elemei tehát:
= 1 , ,1 ,
:
2 2 2 r4 r r
i . (12.25)
A (12.23) képlet alapján belátható, hogy i > 1 esetén már nem létezik kétszeres gyök, azaz a megoldás i > 1 esetén egyszerű szummázással felírható. Foglaljuk össze a megoldás- függvényt [1]!
), , (
sin cos
) ln ln
(
sin ) (
cos ) (
sin ) 1 ln
(
cos ) 1 ln
(
ln ln
) , (
6 5
2 4 2 3 2
1 2
2 4 2 3 2
1 2
2 4 2 3 2
1
14 3 13 12 11
14 3 13 12
11
2 04 2 03 02
01
ϑ χ
ϑ ϑ ϑ
ϑ
ϑ
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
χ
r
r c r
c
r r c r c r c c
i r
b r b r b r b
i r
a r a r a r a
r r b r r b b r b
r r a r r a a r a
r r a r a r a a r
p i
i i i i i i i i i
i i i i i i i i
+
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
=
∑
∑
∞
=
− +
−
∞
=
− +
−
(12.26)
ahol az 1., 6. és 7. sorok a nem periodikus megoldások, a 2-5. sorok a periodikus megoldá- sok i = 1 és i = 2..∞ esetén. A 7. sorban az n = 1 esetén a kétszeres gyök következtében jelentkező megoldáshoz tartozó hiányzó tagokat vettük figyelembe, végül pedig az utolsó tag a partikuláris megoldás függvénye. A (12.26) képlet tulajdonképpen bármely síkfeladat
esetén alkalmazható, abban az esetben, ha hengerkoordináta-rendszerben dolgozunk. Tér- jünk vissza ezek után a konkrét feladathoz! A feszültségi tenzor egy, a furattól megfelelően távol lévő pontban a következő:
=
0 0 0
0 0
0
, ,
t t f
z y x
σ . (12.27)
Transzformáljuk át a feszültségeket az r-ϑ hengerkoordináta-rendszerbe. A HKR bázisvek- torai:
j i
er =cosϑ +sinϑ és eϑ =−sinϑi+cosϑ j. (12.28) A feszültségtranszformációs összefüggés a radiális feszültségre:
[
c s]
tf t sc fc cste
e r
z y x T r
r 2
0 0 0 0
0 0
0
0 2
, ,
+
=
=
∞ = σ
σ , (12.29)
ahol c = cosϑ és s = sinϑ. Felhasználva, hogy cos2ϑ = 1/2⋅(cos(2ϑ)+1) és sin2ϑ = 2⋅cosϑ⋅sinϑ, kapjuk, hogy:
ϑ ϑ
σ (cos2 1) sin2 2
1 f t
r∞ = + + . (12.30)
A tangenciális irányú feszültség, valamint a csúsztató feszültség hasonlóan számítható ki:
ϑ ϑ
σ
σϑ ϑ ϑ (1 cos2 ) sin2 2
1
, ,
t f
e e
z y x
T = − −
=
∞ , (12.31)
ϑ ϑ
σ
τ ϑ ϑ sin2 cos2 2
1
, ,
t f
e e
z y x T r
r∞ = =− + .
Összehasonlítva a (12.30)-(12.31) képleteket az Airy-féle feszültségfüggvényre kapott megoldással, a következő tagok maradnak (12.26)-ból:
, 2 sin ) (
2 cos ) (
ln ln
) , (
24 4 23 2 22 2 21
24 4 23 2 22 2 21
2 04 2 03 02
01
ϑ ϑ ϑ
χ
b r b r b r b
a r a r a r a
r r a r a r a a r
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
=
−
− (12.32)
amely összesen tizenkét konstans együtthatót tartalmaz. Vizsgáljuk meg először csak az első sor tagjait! A feszültségkomponensek ekkor ϑ-tól függetlenek, a (12.2) képletekből kapjuk:
) 1 ln 2 ( 1 2
1
04 2 03
02 + + +
∂ =
= ∂ a a r
a r r
r r
σ χ , (12.33)
) 3 ln 2 ( 1 2
04 2 03
2 02 2
+ +
+
−
∂ =
= ∂ a a r
a r
r r
σ χ .
=0 τrϑ .
Számítsuk ki az alakváltozási jellemzőket a Hooke-törvény alapján síkfeszültségi állapotra a (11.68) képletek alapján:
) 3 1 ( ln
) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 1 ( )
(σ νσ 02 2 ν 03 ν 04 ν 04 ν
ε = − ϑ = + + a − + a − r+a −
a r
E r r ,
(12.34)
) 3 ( ln
) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 1 ( )
(σ νσ 02 2 ν 03 ν 04 ν 04 ν
εϑ = ϑ − =− + + a − + a − r+a − a r
E r .
A fajlagos szögváltozás zérus. Az elmozdulásmező és az alakváltozási jellemzők kapcsola- ta (11.66) alapján:
r u
r ∂
= ∂ ε ,
r
= u
εϑ . (12.35)
Fejezzük ki az u radiális irányú elmozdulást mindkét képletből:
r a
r r a
r r a
a Eu r dr
E u dr
E r 1(1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) ln (1 )
04 04
03
02 ν ν ν ν
ε = =− + + − + − − +
∂
=
∫
∂∫
,(12.36) r a
r r a
r r a
a Eu r
E 1(1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) ln (3 )
04 04
03
02 ν ν ν ν
εϑ = =− + + − + − + − ,
amelyeket összehasonlítva látható, hogy az a04 tag esetén inkompatibilis elmozdulásmezőt kaptunk. Ez az ellentmondás csak úgy oldható fel, ha:
04 =0
a . (12.37)
A többi tag esetén nem lép fel inkompatibilitási probléma. Most számítsuk ki a feszültsé- geket, figyelembe véve a (12.32) képlet összes tagját:
, 2 sin ) 4 6
2 ( 2 cos ) 4 6
2 (
1 2 1
1
2 24 4 22 21 2
24 4 22 2 21
2 03 2 02
2 2
ϑ ϑ
ϑχ σ χ
−
−
−
− + − + +
+
−
+ +
∂ = + ∂
∂
= ∂
r b r b b r
a r
a r a
r a r a
r
r r
(12.38) ϑ χ ϑ
σϑ 1 2 (2 6 )cos2 (2 21 6 22 4)sin2 4
22 2 21 2 03
2 02
2 =− + + + − + + −
∂
= ∂ a a r a r b b r
a r
r ,
ϑ ϑ ϑ
τ ϑ 1 χ 2( 3 )sin2 (2 3 2)cos2
24 4 22 21 2
24 4 22 21
−
−
−
− − − − −
−
=
∂
∂
∂
− ∂
= a a r a r b b r b r
r
r r ,
ahol észrevehetjük, hogy az a23 és b23 tagok kiestek, amely matematikailag azzal magya- rázható, hogy r = ∞ esetén véges feszültséget kell kapnunk. A feszültségképletekben még mindig van nyolc ismeretlen konstans. Ez a nyolc konstans a feladat peremfeltételeiből már kiszámolható. Használjuk fel a (12.30) és (12.31) képleteket, amelyek a furattól végte- len r távolságra lévő pontokban adják meg a feszültségeket:
ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑ σ
σ cos2 sin2 2 2 cos2 2 sin2
2 1 2 ) 1 ,
( f f t a03 a21 b21
r
r∞ = ∞ ⇒ + + = − − ,
(12.39) ϑ ϑ
ϑ ϑ
ϑ σ
σϑ ϑ cos2 sin2 2 2 cos2 2 sin2 2
1 2 ) 1 ,
(∞ ⇒ f − f −t = a03+ a21 + b21
∞ = ,
amely alapján:
f
a 4
1
03 = , a f
4 1
21 =− , b t
2 1
21 =− . (12.40)
További öt ismeretlen konstans a dinamikai peremfeltételből számolható ki. Az r = R he- lyen a furat a ϑ szögkoordinátától függetlenül terheletlen, azaz:
= +
+
−
= +
+
−
= +
= ⇒
1 0 1 4
6
1 0 1 4
2 6 2 0 1 1
0 ) , (
24 2 22 4
24 2 22 4
02 2
b R b R
t
a R a R
f r f a
r Rϑ
σ , (12.41)
=
−
−
−
=
−
−
−
= ⇒
1 0 3 1
2
1 0 3 1
0 2 ) , (
24 2 22 4
24 2 22 4
b R b R
t
a R a R
f
r Rϑ
τ ϑ .
Az egyenletrendszer megoldása:
2
2 02
f R
a =− ,
4
4 22
f R
a =− ,
2
2 24
f R
a = ,
2
4 22
tR
b =− , b24 =tR2. (12.42) A konstansokat visszatéve a feszültségképletekbe kapjuk, hogy:
ϑ ϑ
ϑ
σ (1 4 3 )cos2 (1 4 3 )sin2
) 2 1 2( ) ,
( 4
4 2
2 4
4 2
2 2
2
r R r
t R r
R r
R f
r R r f
r = − + − + + − + ,
(12.43) ϑ
ϑ ϑ
σϑ (1 3 )cos2 (1 3 )sin2 ) 2
1 2( ) ,
( 4
4 4
4 2
2
r t R r
R f
r R
r = f + − + − + ,
ϑ ϑ
ϑ
τ ϑ (1 2 3 )sin2 (1 2 3 )cos2 ) 2
,
( 4
4 2
2 4
4 2
2
r R r
t R r
R r
R r f
r =− + − + + − .
A feszültségmezőre kapott függvények ábrázolásához végezzünk függvényvizsgálatot!
I. ϑ = 90°, ekkor:
f f
R f (1 3) 3
) 2 1 1 2( )
( = + + + =
σϑ , (12.44)
f f f
R f (1 3/16) 39/32 1,22 ) 2
4 / 1 1 2( ) 2
( = + + + = =
σϑ ,
f f f
R f (1 3/256) 531/516 1,037 ) 2
16 / 1 1 2( ) 4
( = + + + = =
σϑ ,
0 ) (R =
σr - dinamikai peremfeltétel.
II. ϑ = 0°, cos(2ϑ) = 1, sin(2ϑ) = 0, azaz:
) 3 4
1 2 ( ) 1 2( )
( 4
4 2
2 2
2
r R r
R f
r R r f
r = − + − +
σ , (12.45)
valamint, ha r = R, akkor σr(r) = 0, ami szintén dinamikai peremfeltétel. Keressük meg σr(r) szélsőértékét:
0 ) ) 4 ( 3 2
4 2 ( 2 2
) (
5 4 3
2 3
2
0
=
− +
⋅ +
=
= r
R r
R f
r R f dr
r d r
ϑ
σ , (12.46)
amibőlr = 1,2R. Ezt visszatéve, és kiszámítva a szélsőértéket:
f f R f
r ) 0,0417
2 , 1 3 1 2 , 1 4 1 1 2( 2) , 1 1 1 2( ) 2 , 1
( = − + − + 2 =−
σ .
(12.47)
Számítsuk ki a zérushely r koordinátáját is:
0 3
4 1
1 4
4 2
2 2
2
= +
− +
− r
R r
R r
R , (12.48)
amibőlr = 1,5R. Végül pedig, har⇒∞, akkor σr = f .
III. A furat kerületén egytengelyű feszültségi állapot van a következők miatt:
0 ) , ( ϑ =
σr R és τrϑ(R,ϑ)=0a dinamikai peremfeltételek miatt, valamint:
ϑ ϑ
ϑ
σϑ (1 3)cos2 2 cos2 2
) 2 ,
( f f f f
R = + + = − , (12.49)
amelynek zérushelye az 1−2cos2ϑ =0egyenletből:cos2ϑ =1/2⇒ϑ =30. IV. Ha f = 0 és csak tangenciális t terhelés van, akkor r = R –nélσr(R,ϑ)=τrϑ(R,ϑ)=0és
ϑ ϑ
σϑ(R, )=−4tsin2 .
Az eredményeket a 12.2 és 12.3 ábrákon ábrázoltuk. Megjegyezzük, hogy a furatos lemez problémáját komplex függvények segítségével is meg lehet oldani, ld. pl. [2,3].
12.2 ábra. Furatos lemezben ébredő tangenciális feszültségek ϑ = 90° esetén és radiális irányú feszültségek ϑ = 0° esetén.
12.3 ábra. Furatos lemez furatában ébredő tangenciális feszültségek x irányú húzás esetén (a) és minden peremen működő tangenciális terhelés esetén (b).
12.2 Végeselem megoldás
Oldjuk meg a 12.4 ábrán látható véges befoglaló méretű furatos lemez feladatot végeselem-módszerrel! Készítsük el az ábrán vázolt lemez végeselem modelljét, majd számítsuk ki a csomóponti elmozdulásokat és a feszültségeket! Rajzoljuk ki a normál- és csúsztató feszültségek eloszlását a szimmetriavonalak mentén!
12.4 ábra. Véges méretű furatos lemez normál és tangenciális irányú terhelés esetén.
Adatok:
A = 80 mm, R = 8 mm, f = 1 MPa, t = 1 MPa, E = 200 GPa, ν = 0,3, v = 1 mm
A végeselem megoldást ANSYS 12 szoftverrel mutatjuk be. Az egyes parancsok a bal ol- dali, illetve a felső, vízszintes menüből érhetők el [4]. A távolságokat [mm]-ben az erőt pedig [N]-ban adjuk meg.
Feladat címének kiírása a képernyőre
File menu / Change Title / Title: “Furatos lemez modellezese sikfeszultsegi allapotban”
- képernyő frissítése az egér görgőjével Analízis típusának megadása
PREFERENCES – STRUCTURAL
Elemtípus kiválasztása – 4 csomópontos izoparametrikus membránelem (PLANE42) PREPROCESSOR / ELEMENT TYPES / ADD/EDIT/DELETE /ADD / SOLID / QUAD
4NODE 42 / OK /
PREPROCESSOR/ OPTIONS / ELEMENT BEHAVIOR K3 – PLANE STRS W/THK / OK / CLOSE
PREPROCESSOR / REAL CONSTANTS / ADD/EDIT/DELETE / ADD / OK / THK=1 / OK / CLOSE - a vastagság megadása
Anyagjellemzők megadása
PREPROCESSOR / MATERIAL PROPS / MATERIAL MODELS / STRUCTURAL / LINEAR / ELASTIC / ISOTROPIC / EX = 200e3, PRXY = 0.3 / OK Kilépés: Material menü / Exit
A geometria elkészítése
PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / AREAS / RECTANGLES / BY 2 CORNERS / WPX = 0, WPY = 0, WIDTH = 20, HEIGHT = 20
- a koordináták megadása a megnyíló ablakban
A jobb oldali ikonok közül kattintsunk a 9., „Fit View” nevű nagyítóra, ezzel mindig az adott objektumhoz méretezzük a képernyőt.
PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / AREAS / RECTANGLES / BY 2 CORNERS / WPX = 0, WPY = 0, WIDTH = 80, HEIGHT = 80 / APPLY
Egy további négyzet elkészítése
PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / AREAS / RECTANGLES / BY 2 CORNERS / WPX = 20, WPY = 20, WIDTH = 60, HEIGHT = 60 / OK
Felületek átfedésének megszüntetése
PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / OVERLAP / AREAS / PICK ALL
Furat elkészítése
PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / AREAS / CIRCLE / SOLID CIRCLE / WPX = 0, WPY = 0, RADIUS = 8 / OK
Furat kivonása a kisebbik négyzetből
PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / SUBTRACT / AREAS - a kisebbik négyzet kijelölése egérrel / OK
- a kör kijelölése egérrel / OK A furat negyedkörívének felezése
PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / DIVIDE / LINE W/OPTIONS / OK /
- körív kijelölése / OK
A furat negyedkörívének felezőpontja és a legkisebb négyszög sarkának összekötése vonal- lal
PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / LINES / LINES / STRAIGHT LINE – - pontok kijelölése egérrel / OK
A legkisebb felület felosztása a 45°-os vonallal
PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / DIVIDE / AREA BY LINE - a legkisebb felület kijelölése / OK
- A 45°-os vonal kijelölése / OK A felületek elkészítésének folyamatát mutatja a 12.5 ábra.
12.5 ábra. Furatos lemez geometriai modelljének elkészítése.
Modell tükrözése az x tengelyre nézve
PREPROCESSOR / MODELING / REFLECT / AREAS / PICK ALL / X-Z PLANE Y / OK
Felületek egymáshoz ragasztása
PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / GLUE / AREAS / PICK ALL
Hálózás
Elemszám beállítása minden vonalon a 12.6 ábra alapján
PREPROCESSOR / MESHING / SIZE CNTRLS / MANUALSIZE / LINES / PICKED LINES / PICK / NO. OF ELEMENT DIVISIONS = a megfelelő szám be- írása, a parancs ismétlése
PREPROCESSOR / MESHING / MESH / AREAS / MAPPED / 3 OR 4 SIDED / PICK ALL
Plot menü / Multi-Plots - elemek, csomópontok megjelenítése
12.6 ábra. Furatos lemez végeselem modelljének részletei.
Modell tükrözése az y tengelyre nézve
PREPROCESSOR / MODELING / REFLECT / AREAS / PICK ALL / Y-Z PLANE X / OK
Felületek egymáshoz ragasztása
PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / GLUE / AREAS / PICK ALL
Átfedő csomópontok megszüntetése a függőleges szimmetriavonalon
PREPROCESSOR / NUMBERING CTRLS / MERGE ITEMS / TOLER Range of coincidence = 0.05 / OK
Terhelés megadása, tehelési esetek
1. eset: f = 1 MPa megoszló erő x irányban Kinematikai kényszerek
PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / APPLY / STUCTURAL / DISPLACEMENT / ON NODES
- a függőleges szimmetriatengely legalsó csomópontjának kijelölése / OK / UX, UY / APPLY
- a függőleges szimmetriatengely legfelső csomópontjának kijelölése / OK / UX / OK
f = 1 MPa megadása
PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / APPLY / STUCTURAL / PRESSURE / ON LINES /
- az x = 40 és -40 mm koordinátájú vonalak kijelölése egérrel, inten- zitás, VALUE Load PRES Value = -1
A terhelés beolvasása load step 1 (LS1) esetként
PREPROCESSOR / LOADS / LOAD STEP OPTS / WRITE LS FILES / LSNUM = 1 A terhelés és kinematikai kényszerek törlése
PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / DELETE / STUCTURAL / PRESSURE / ON LINES / PICK ALL
PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / DELETE / STUCTURAL / DISPLACEMENT / ON NODES / PICK ALL / ALL DOF / OK
2. eset: t = 1 MPa tangenciálisam megoszló erő
PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / APPLY / STUCTURAL / PRESSURE / ON ELEMENTS
- „box” aktiválása, a jobb oldali, felső hosszabbik függőleges peremen az elemek kijelölése box-szal / OK
LKEY = 4, VALUE LOAD PRES VALUE = 1 / APPLY
- „box” aktiválása, a jobb oldali, felső rövidebbik függőleges peremen az elemek kijelölése box-szal / OK
LKEY = 1, VALUE LOAD PRES VALUE = 1 / APPLY
- „box” aktiválása, a jobb oldali, alsó rövidebbik függőleges peremen az elemek kijelölése box-szal / OK
LKEY = 3, VALUE LOAD PRES VALUE = 1 / APPLY
- „box” aktiválása, a jobb oldali, alsó hosszabbik függőleges peremen az elemek kijelölése box-szal / OK
LKEY = 3, VALUE LOAD PRES VALUE = 1 / APPLY
A terhelést a többi peremen ugyanígy elő kell írni 12.7a ábra alapján, ahol minden perem- vonalra megadtuk az LKEY értékét, a terhelés pedig mindenhol egységnyi.
Kinematikai kényszerek, ehhez létrehozunk egy koordinátarendszert, ld. 12.7b ábra.
PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / KEYPOINT / IN ACTIVE CS / x = 0, y = 0, z = 0 / OK
Workplane menü / Local Coordinate Systems / Create Local CS / By 3 Keypoints + - az x = 40 mm, y = 40 mm koordinátájú pont kijelölése - az x = 0, y = 0 koordinátájú pont kijelölése
- az x = -40 mm, y = 40 mm koordinátájú pont kijelölése / OK
12.7 ábra. Az LKEY paraméter megadása a furatos lemez végeselem modelljének peremvonalain (a), a peremfeltételek megadása a furatos lemez modelljének elforgatásával (b).
Megjelenítés a 11-es számú koordinátarendszerben
Workplane menü / Change Display CS to / Specified Coord Sys / KCN = 11 / OK (képernyő frissítése az egér görgőjével)
PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / APPLY / STUCTURAL / DISPLACEMENT / ON NODES
- az x = 0, y = 0 koordinátájú csomópont kijelölése / OK / UX, UY / APPLY
- az x= 2⋅80mm, y = 0 koordinátájú csomópont kijelölése / OK / UY / OK
A terhelés beolvasása load step 2 (LS2) esetként
PREPROCESSOR / LOADS / LOAD STEP OPTS / WRITE LS FILES / LSNUM = 2 Megoldás
SOLUTION / SOLVE / FROM LS FILES / 1 – 2
„SOLUTION IS DONE!”
Az aktív és megjelenítési koordinátarendszer beállítása Workplane menü / Change Active CS to / Global Cartesian Workplane menü / Change Display CS to / Global Cartesian
(képernyő frissítése az egér görgőjével) Terhelési esetek létrehozása, beolvasása és szorzása
GENERAL POSTPROC / LOAD CASE / CREATE LOAD CASE / Results fileból / OK LCNO = 1, LSTEP = 1, SBSTEP = Last / APPLY / OK
LCNO = 2, LSTEP = 2, SBSTEP = Last / OK A terhelési esetek beolvasása
GENERAL POSTPROC / LOAD CASE / READ LOAD CASE 1 – normális teher (f) GENERAL POSTPROC / LOAD CASE / READ LOAD CASE 2 – tangenciális teher (t) Eredmények kirajzolása, listázása
GENERAL POSTPROC / PLOT RESULTS / DEFORMED SHAPE / DEF + UNDEF EDGE kiválasztása / OK
PlotCtrls menü / Animate / Deformed Shape - animálás
Elmozdulások, feszültségek, nyúlások színskálával, csomóponti mennyiségekkel GENERAL POSTPROC / PLOT RESULTS / CONTOUR PLOT / NODAL SOLU /
NODAL SOLUTION: csomóponti megoldások
DOF SOLUTION: UX, UY, USUM elmozdulások megjelenítése színskálával STRESS: normál- és csúsztató feszültségek, főfeszültsé-
gek, egyenértékű feszültségek
ELASTIC STRAIN: fajlagos nyúlások és szögváltozások, főnyúlá- sok, egyenértékű nyúlás
Feszültségek, nyúlások színskálával, elemre számolt mennyiségekkel
GENERAL POSTPROC / PLOT RESULTS / CONTOUR PLOT / ELEMENT SOLU / ELEMENT SOLUTION: elemre vonatkozó megoldások
STRESS: normál- és csúsztató feszültségek, főfeszültsé- gek, egyenértékű feszültségek
ELASTIC STRAIN: fajlagos nyúlások és szögváltozások, főnyúlá- sok, egyenértékű nyúlás
Elmozdulások, feszültségek, nyúlások animálása
PLOT CTRLS / ANIMATE / DEFORMED RESULTS ...
Kiválasztjuk az animálni kívánt mennyiséget (DOF Solution / Stress, stb.), majd megadjuk az animáláshoz használt keretek (Frames) számát és a késleltetési időt (Time delay).
Az y-irányú feszültségek kialakulása az 1. ill. 2. terhelési lépésben a mellékelt animáció- kon látható (pt_anim_12-01.avi, pt_anim_12-02.avi).
Az eredmények megjelenítése hengerkoordináta-rendszerben
GENERAL POSTPROC / OPTIONS FOR OUTP / RSYS Results coord system / Global cylindrical
A feszültségeloszlásokat a 12.8 ábra mutatja az x irányú egytengelyú húzás esetén. Mivel a modell szimmetrikus, ezért csak az egyik felét mutatjuk meg.
12.8 ábra. Furatos lemez végeselem modelljében ébredő feszültségek [MPa]-ban, σx (a) és σy (b) az x-y koordinátarendszerben és σϑ (c) hengerkoordináta-rendszerben.
Elmozdulások, feszültségek, nyúlások eloszlása kijelölt útvonal mentén
GENERAL POSTPROC / PATH OPERATIONS / DEFINE PATH / BY NODES - a függőleges szimmetriatengely kezdő és végső csomópontjának kijelölése / OK /
- Name: ST90
GENERAL POSTPROC / PATH OPERATIONS / MAP ONTO PATH
- STRESS / X-DIRECTION, SX - az x irányú feszültség kiválasztása GENERAL POSTPROC / PATH OPERATIONS / PLOT PATH
- az útvonal megjelenítése fehér vonallal
GENERAL POSTPROC / PATH OPERATIONS / PLOT PATH ITEM / ON GRAPH - az eloszlás megjelenítése
A diagram beállításainak megváltoztatása PlotCtrls menü / Style / Graphs / Modify Axes
(A többi feszültségeloszlás kirajzolásához hasonlón kell eljárni)
A feszültségeloszlásokat a 12.2 és 12.3 ábrákhoz hasonlóan ábrázoltuk a végeselem meg- oldás alapján is. Ezt mutatja a 12.9 és 12.10a ábra.
12.9 ábra. Furatos lemezben ébredő tangenciális feszültségek ϑ = 90° esetén és radiális irányú feszültségek ϑ = 0° esetén a végeselem megoldás szerint.
A 2. terhelési esethez tartozó eredmények a fenti parancsok ismételt végrehajtásával dol- gozhatók fel. Az eredményeket listázni is lehet. Példaképpen nézzük meg a furat kerületén ébredő feszültségek listázását a „t” tangenciális terhelés esetén.
A terhelési eset beolvasása
GENERAL POSTPROC / LOAD CASE / READ LOAD CASE 2 – tangenciális teher (t) Select menü / Entities / Lines / By Numpick / From Full / OK /
- a furat köríveinek kijelölése / OK
Select menü / Entities / Nodes / Attached to / Lines, all / Reselect / OK /
- a körívekhez kötött csomópontok automatikusan kijelölésre kerül- nek
Az eredmények megjelenítése hengerkoordináta-rendszerben
GENERAL POSTPROC / OPTIONS FOR OUTP / RSYS Results coord system / Global cylindrical
Eredmények listázása
List menü / Results / Nodal solution / DOF solution / komponens megadása / Stress / komponens megadása,
SX = σr, SY = σϑ, SXY = τrϑ
/ Elastic strain / komponens megadása / Element solution – elemre vonatkozó megoldások / Reaction solution – reakciók listázása
A tangenciálisan terhelt furatos lemez furatának kerületén ébredő tangenciális σϑ feszült- ség eloszlását mutatja a 12.10b ábra.
12.10 ábra. Furatos lemez furatában ébredő tangenciális feszültségek x irányú húzás esetén (a) és minden peremen működő tangenciális terhelés esetén (b) a végeselem megoldás szerint.
Eredmények leolvasása egérrel
GENERAL POSTPROC / QUERY RESULTS / SUBGRID SOLU – komponens kiválasz- tása
Külön ablakban
GENERAL POSTPROC / RESULTS VIEWER – komponens kiválasztása 12.3 Az analitikus és végeselem megoldások összehasonlítása
A kétféle számítás eredményei a feszültségeloszlások alapján jól egyeznek. A 12.2 ábrán látható analitikus eredmények a 12.9 ábrán bemutatott végeselem számítás eredményeivel összehasonlítva igen kis eltérések jelentkeznek a feszültségeloszlásokban. A radiális irányú feszültség az analitikus számítás szerint előjelet vált r = 1,5R-nél (ld. 12.2 ábra). A végeselem modell szerint azonban nincs előjelváltás (ld. 12.9 ábra), ami azzal magyarázha- tó, hogy a végeselem háló nem elég sűrű ezen a részen. A furat kerületén ébredő, kétféle számítás alapján kapott feszültségeket a 12.3 és 12.9 ábrák mutatják. Az eloszlások görbé- inek zérushelyei mind az analitikus, mind a végeselem számítás szerint egyeznek. A fe- szültségek minimuma és maximuma tekintetében vannak eltérések, ezek azonban nem je- lentősek.
12.4 Bibliográfia
[1] Vörös Gábor, Alkalmazott mechanika előadások, 1978 I. félév. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Műszaki Mechanikai Tan- szék.
[2] L.P Kollár, G.S. Springer, Mechanics of composite structures, Cambridge University Press 2003, Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Cape Town, Singapore Sao Pãolo.
[2] Kozmann György, Változó keresztmetszetű rudak szilárdságtana, Mérnöki To- vábbképző Intézet 1953-54 évi előadássorozatából: 2707, 1954, kézirat.
[4] ANSYS 12 Documentation. http://www.ansys.com/services/ss-documentation.asp.
