DIE SCHNELLE BESTIMl\1UNG DER
STROM OBERWELLEN
ÜBER DREHSTROMSTELLER GESPEISTER ASYNCHRONMASCHINENVon
P. MAGYAR und A. KARPATI
Lehrstuhl für Automatisierung, Technische Universität, Budapest Eingegangen am 26 April 1976
Vorgelegt von Prof. Dr. F. Csäki 1. Einführung
Die Kenntnis der Stromoberwellen über Drehstromsteller gespeister Asynch- ronmaschinen ist eine grundsätzliche Bedingung für die Berechnung der Netzrück- wirkungen (Netzspannungsverzerrung). Die genaue Berechnung erfordert gro~en
Arbeitsaufwand, weil die Zeitfunktionen der Ströme durch ein transzendentes, von den Maschinenparametern und Arbeitpunktgrößen abhängiges Gleichungssystems bestimmt werden. Die Berechnung wird wesentlich einfacher, wenn als Ausgangspunkt der Strol11führungszustand gewählt wird, und die Arbeitspunktgrößen mit dessen Hilfe berechnet werden [3]. In diesem Falle kann man aber die Analyse des gewünsch- ten Arbeitspunktes eventuell nur durch mehrstufige Iterationen durchführen. Dadurch werden die Vorteile der expliziten Berechnung vermindert. Deshalb wurde das Aus- arbeiten einer Berechnungsmethode zum Ziel gesetzt, mit deren Hilfe annähernde Ergebnisse hinreichender Genauigkeit schnell erhalten werden [4].
Das Wesentliche der vorgeschlagenen Methode ist, dar~ die Lösungen des die von Drehstromsteller gespeiste Maschine beschreibenden Gleichungssystems in Form einer vorausberechneten Kurvenschar angegeben werden.
Die Ausgangsdaten sind die Arbeitspunktgrößen (das Drehmoment und der Schlupf). Hilfsparameter sind die den Stromführungszusrand angebenden Daten.
Als Ergebnis erhält man die Stromoberwellenkomponenten und die Verzerrungsfak- toren des Netzstromes und der Neztspannung. Zur Bestimmung der obenerwähnten Größen ist nur ein einfaches Zeigerdiagranml zu konstruieren.
Die Kurvenschar wird mit Annahme der Kenngrößen einer "Durchschnitts- maschine" berechnet. Der Statorwiderstand, die Statorstreuinduktivität, die auf die Statorseite reduzierte Rotorwiderstand- und Rotorstreureaktanzwerte sind:
R =3s 0/0' / .
x
oS = 100/0' / . ./lr V'= 100/ /0' (1) Der Einflu~ der Magnetisierungsreaktanz auf die Oberwellen wird vernach- lässigt, d. h. es wurde eine unendlich gro~e Magnetisierungsreaktanz angenommen.Es wurde auch angenommen, daß die Verzerrung der Netzspannung in folge der drehstromstellergespeisten Maschine genügend klein ist, d. h. die Klenmlen- 5*
68 P. ,'fAGYAR UND A. KARPATI
spannung der Drehstromstellers als sinusförmig betrachtet werden kann. Um die Verzerrung der Netzspannung relativ einfach zu berechnen, wurde angenommen, daß die Impedanz des speisenden Netzes rein induktiv ist (Xh). Diese, in der Starkstrom- technik übliche Näherung liefert im unteren Frequenzbereich gute Ergebnisse.
Bei einer durch DrehstromsteHer gespeisten Asynchronmaschine sind die fol- genden Stromführungszustände möglich: periodische zweiphasig-dreiphasige Über- gänge (2F-3F), rein zweiphasiger Zustand (2F), periodische zweiphasig-nullphasige Übergänge (2F-OF).
Die angegebenen Kurvenscharen sind für den 3F-2F-Bereich, bzw. für den 2F -Grenzbereich gültig. Der Bereich 2F -OF hat keine praktische Bedeutung, weil in diesem Falle das Drehmoment des Motors sehr klein ist. Um die allgemeine An- wendbarkeit zu sichern, wurden relative Größen benutzt. Die Bezugsgrößen sind die Nennphasenspannung UN , der Nennphasenstrom !'v, der Nennwiderstand RN= UNI IN und das Nennscheindrehmoment MN=3UNIN /I1'j' Die Thyristoren des Drehstrom- steHers wurden als verlustlos angenommen.
2. Das Prinzip der Berechnung der Oberwellen
Die durch den Drehstromsteller gespeiste Maschine (s. Abb. 1) wurde nach [1, 2, 3] auf Grund des in Abb. 2 angegebenen Ersatzschaltbildes untersucht. Die komplexen Vektoren im Ersatzschaltbild sind Parksche Vektoren.
Auf Grund der in der Einführung angegebenen Näherungen werden die Ver- hältnisse durch die untenstehenden Gleichungen beschrieben. Die fiktive Klemm- spannung wird in der folgenden Form angegeben:
(2 wobei z der Zündwinkel, gemessen vom positiven Nulldurchgang der fiktiven Phasen spannung, ist. Den Strom erhält man auf Grund der Abb. 2 a in der folgenden Form
. U. [ j(,-,:2-r) j , , · , I · sinT . . (
)1
1= Z e " 'e +] r sm z-cp
etg 'P -cos T J
(3)
wobei r=2'7/6, (4)
der Taktzeit entsprechender elektrische Winkel ist. Die Zeitdauer des 3F-Zustan- des ist 0, die des 2F-Zustandes
c=r-o
(5)ist.
Den Zusammenhang zwischen den für den Stromführungszustand kennzeich- nenden
BESTIMIl!fUNG DER STROMOBERWELLEN 69
K
Abb. 1. Der Schaltkreis des untersuchten Systems
Xh K Rs Xs X~ R~/s"
1
Uh1
UkI
Us -=-!> iXh K - - ! > i
I
uhJu I
Um Z = R -r jX = ZeN'T T
Abb. 2. Das Ersatzschaltbild zur Berechnung des Stromes
Winkeln gibt folgende Gleichung an:
sin (s) tg (\/.-ep)= __
6_[
sin2(,;)cos (f)+etgp 2- etg p -cos ,;
cos ,; ] (6)
Die Grundwelle der Maschinenspannung ergibt sich aus folgender Gleichung [3]:
z7 m 1=
U[l-~
~ (s_e-j(2,,-e) . SinS)] . (7) Die komplexen Vektoren der 3F- bzw. 2F-Stromführungszustände werden durch die Gleichungen (8) und (9) angegeben.(8)
~ - Re{~ej:r/6} e-h /6
12F- 1 . , (9)
70 P. MAGYAR UND A. KARPATI
120 [~
cf: \l, 110
100
90 80 70 60 50
"' r.
2 3 1; 5 Tl
40 [
30L" ____ ~ ____ ~ __ ~ ____ ~ ____ ~
o
Abb.3. Kurvenschar zur Bestimmung des fiktiven, Zündwinkels a in Abhängigkeit von It/U und Rr
Mit deren Hilfe lassen sich die Stromoberwellen in der folgenden Form schreiben:
(10) Vr: 1
und
(11) Führt man die Bezeichnung 1.=
li:1
ein, so ergeben sich der Verzerrungsfaktor [5] des Stromes zuV Z1;
"" _ v
lJ;--1-
1
- ' (Vr: 1) (12)
,
15
'I 7
U i , 6
!
i 5 4 1---'--/-3 2
10-7 7 6 5 -.
3 2
--j-;-
BESTLMlvfUNG DER STR01.[OBERfVELLEr.- 71
Ja-' L!.-.-.---L...:...--~~_'---~--'-~
40 50 60 70 80 90100 110 o C - AM. 4. Kurvenschar zur Bestimmung der fünften Stromoberwelle in Abhängigkeit von Cl und R;
und der Verzerrungsfaktor der Netzspannung zu
(VF 1) (13)
Auf Grund der angegebenen Gleichungen können die notwendigen (13) Daten am einfachsten mit Hilfe eines Digitalrechners berechnet werden. Werden die C<- und o-Wene angesetzt, können die gesuchten Größen unmittelbar, ohne Iterationen berechnet werden. Die Ergebnisse der Berechnungen wurden in den Abb. 3-8 an- gegeben. Um die Kurven zu benutzen, sind die Ie und U-Werte erforderlich. Mit deren Hilfe kann der Stromführungszustand (C<, 0) zum angegebenen R~ bestimmt werden. Die Eingangsgröße der Ergebniskurven ist der fiktive ZÜDdwinkel c<, der Parameter ist der Rotorwiderstand. Die abgelesenen Ergebnisse müssen der fiktiven U-Spannung entsprechend korrigiert werden. Die zwei Schlüsselgrößen zur Benutzung der Kurvenschar können aus den Arbeitspunktdaten bestimmt werden.
72 P. MAGYAR UND A. KARPATI
10U
_!2
J t
~r-~--~~~A-~~~~~~~~~~~--~--~
4
3r---+---~--~+---~--~~----~--~--~~----
2
7 6 5
4 ~~~~~·---~e~---i-~-+--- ~----~----~--- 3~+~----~----f,----t-·---}-_·_----~--·_-~---
2 H---+
40 50 60 70 80 90 100 Im r X - '
Abb. 5. Kurvenschar zur Bestimmung der siebenten StromoberwetIe in Abhängigkeit von C( und R;
3. Die Verbindung mit den Arbeitspunktgrößen
Auf Grund der Abb. 2 lassen sich die Grundwelle der Motorspannung und das Motordrehmoment in der folgenden Form schreiben:
(14
und
(15) und daber
(16)
BESTIM1"fUNG DER STROAJOBERWELLEN 73
171 U
t
6 54
.~~-T--~---~---
3 2
0,10 0,03
!
3 2
10-2 ~ ____ ~L-____ ~ ____ ~ __ ~ __________________________ ___
1;0 50 6D '70 30 90 100 110 u:
Abb. 6. Kurvenschar zur Bestimmung der elften Stromoberwelle in Abhängigkeit von ()( und Rr
D. h. die Funktion M(s) ist eine Hyperbelschar. mit dem Parameter I~R;. (Abb. 9).
In der Abb. wurden auch die natürlichen Drehmomentkurven für U,I= 1 angegeben.
Zeichnet man in dieser Kurvenschar die Kennlinien von beliebigen Belastungen (z. B.
einer Pumpe) ein, so kann man zu allen Arbeitspunkten die I~R; - Werte ablesen.
Dadurch erhält man bei gegebenem R~ den Grundwellenstrom 11,
Um die Nomogramme benutzen zu können, braucht man noch den Wert U, der auf Grund des Zeigerbildes für die Grundwellen (Abb. 10) bestimmt werden kann.
Das Zeigerdiagranh"tl wurde auf Grund von Abb. 2 bei Berücksichtigung des in Anhang abgeleiteten Zusammenhanges
ü;l=f1R;(1-S1)/SI (17)
gezeichnet. Den gesuchten Spannungsvektor erhält man also aus der folgenden Gleichung:
(18)
74 Ja U
7 6
5 1 - - - - 41---/-·_---1-·
3
3 2
P. k[AGY AR UND A. KARPATI
-,-2 '-'--_ _ _ --1... _ _ - ' -_ _ - ' - _ - - ' -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - '
50 60 70 80 90 100 110 r X -
Abb. 7. Kurvenschar zur Bestimmung der dreizehnten Stromoberwelle in Abhängigkeit von C( und R~
Den Absolutwert von i7 könnte man mit Hilfe der in Abschnitt 2 angegebenen Zu- sammenhänge berechnen. So würde sich eine Kurvenschar U= lül=f(~) mit zwei Pa- rametern (R~ und s) ergeben, deren Anwendung aber wegen der notwendigen Iteratio- tionen umständlich ist. Man kommt schneller zum Ziel, wenn man das Zeigerbild für die Grundwellen zeichnet und aus diesem den Wert U abliest.
Bei der Konstruktion des Zeigerdiagramms fängt man zweckmäßig mit den Vektoren I,R;(l-s,)/s, und I,Zeh an, Im Endpunkt des resultierenden Vektors wird auf die Richtung von
f
l eine Senkrechte gestellt. So erhält man die Richtung der Thyristorgrundwellenspannung. Es folgt daraus, daß die Thyristoren verlustlos sind.Die so erhaltene Richtung schneidet man durch einen Kreis mit dem Radius U,:, So erhält man den Vektor ük ' Der gesuchte Vektor ergibt sich durch die Konstruktion
BESTHf.!'v[UNG DER STROMOBERWELLEN 75
1,2
0,8
0,4
D
40 50 60 70 80 90 fOO 110 c<: - -
GO '70 80 90 100 110 c( - - > -
Abb. 8. Kurvenscharen zur Bestimmung des Verzerrungsfaktors des Stromes (J i und der Klemmen- spannung u" in Abhängigkeit von (X und
R;
4. Beispiel
Es sind die wichtigeren Stromoberwellen und die Verzerrungsfaktoren des durch Drehstromsteller gespeisten "Durchschnittsmotors" im Arbeitspunkt M = 50%
und sl=30% zu bestimmen, wenn R;=25%, Xh=3% und die Klemmspannung 110%
(U/,:= 1,1) sind.
Aus der Abb. 9 ergibt sich IfR; zu 0,15. Dementsprechend ist 11=0,775. Die zur Konstruktion des Zeigerdiagramms notwendigen Daten sind:
Z=0,344; rp= 35,5°;
76
1;
1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 D,8 0,6 0,4 0,2
o
0,2P. MAGYAR UND A. KARPATl
_ _ _ _ _ 0,15 - _ _ _ _ -==0,10 0,05
R' r
0,4 0,6 0,8 1,0 S ---
Abb. 9. Abhängigkeit des Drehmomentes der "Durchschnittsmaschine·' von dem Schlupf s, dem Rotonviderstand R; und der Leistung IfR;
Abb. 10. Zeigerdiagramm zur Bestimmung der fiktiven Klemmenspannung ii
BESTI,~IMUNG DER STROMOBERWELLEN 77 Aus dem Zeigerdiagramm ergibt sich der folgende Wert:
lüi =
U=0,855. Aus der Abb. 3 erhält man zu den Werten /1/U=0,9 und R;=0,25 rx zu 101°. Mit Hilfe der berechneter Werte erhält man schließlich für die Stromharmonischen :/1=66,3%; /5=37,6% /7= 15,4%; /11= 17,1%; /13=9,4%; O'i=47,9% und
0'1/= 1,95%.
5. Anhang
Der reduzierte schlupf abhängige Rotorkreiswiderstand in Abb. 2 a kann in wei Teile getrennt werden, d. h.:
(20) Der Schlupffür die v-t Oberwelle ergibt sich auf Grund der GI. (21)
vwo-w
S,=---= , vW 1-(I-s1)/v o
(21) in der folgenden Form:
(22) wenn die Bedingungen in (23) oder (24) erfüllt sind d. h.:
(23) oder
(24) Die durch GI. (24) angegebene Bedingung wird für alle Oberwellen erfüllt, weil die Ordnungszahlen der Oberwellen 1'=61<:+1,1<:=0, ±1, ±2, ... sind. Die kleinste Ordnungszahl ergibt sich somit zu - 5, wodurch die angegebene Näherung auch bei kleinen Schlupf werten annehmbar ist. So hat der Rotorwiderstand für die Oberwellen den folgenden Wert:
R' -~R;.
s"
Für die Grundwelle ist aber sein Wert:
(25)
(26)
78 P. lvIAGY AR UND A. KARPATI
Das Ergebnis kann auch so gedeutet werden, daß die Spannung am Widerstand R;'(l-sj)/Sj nur durch die Grundwelle hervorgerufen wird. So kann bei gegebenem Strom dieser Widerstand durch einen Grundwellenspannungsgenerator mit einer Spannung
(27) ersetzt werden.
Das Ersatzschaltbild in Abb. 2b ergab sich unter Anwendung der folgenden Bezeichnungen:
Die Oberwellenanalyse kann also durch die Analyse eines passiven R, L-Stromkreises durchgeführt werden, wenn ü aus den Arbeitspunktkenngrößen bestimmt wird.
~usaD1D1enfassung
Der Beitrag gibt eine Kurvenschar an, die mit den Kenndaten eines "Durchschnittsmotors"
berechnet wurden. Mit deren Hilfe erhält man bei Drehstromstellerspeisung ohne Iteration die wichtigsten Stromoberwellen, außerdem die Verzerrungsfaktoren des Statorstromes und der Klemm- spannung mit hinreichender Genauigkeit. Die Berücksichtigung der Netzspannungsschwankungen und der Netzreaktanzen ist möglich. Als Ausgangspunkt der Berechnung dient die M(s)-Kennlinie des Motors.
Literatur
I. RAcz, 1.: Oszillographische Aufnahme und harmonische Analyse von Dreiphasen-Vektoren.
Periodica Polytechnica EI. Eng. 8 (1964) 4.325-363.
2. RAcz, 1.: Betrachtungen zu Oberwellenproblemen an Asynchronmotoren bei Stromrichterspei- sung. Periodica Polytechnica EI. Eng. 11 (1967) I. 29-57.
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4. BiVlE Aut. Tsz. Munkaközössege: A tirisztoros hajtässzabälyozäsok villamos üzemviszonyai.
Zär6jelentes 11. Budapest, 1975.
5. eSAKT, F. (ed): Power electronics. Akademiai Kiad6, Budapest, 1975.
Dr. Attila , KARPATI}H 1-21 B d - ) U apest Dr. Peter MAGYAR
