Kalkulus informatikusoknak II.

Írta:

GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY

KALKULUS

INFORMATIKUSOKNAK II.

Egyetemi tananyag

LEKTORÁLTA: Dr. Molnárka Győző, Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kar Mechatronika és Gépszerkezettan Tanszék

Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)

A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszt- hető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható.

TÁMOGATÁS:

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0008 számú, „Tananyagfejlesztés mérnök informati- kus, programtervező informatikus és gazdaságinformatikus képzésekhez” című projekt kere- tében.

ISBN 978-963-279-505-8

KÉSZÜLT: aTypotex Kiadógondozásában FELELŐS VEZETŐ: Votisky Zsuzsa

AZ ELEKTRONIKUS KIADÁST ELŐKÉSZÍTETTE: Juhász Lehel

KULCSSZAVAK:

végtelen sor, hatványsor, többváltozós függvény, folytonosság, határérték, differenciál, területi integrál, közönséges differenciálegyenlet,z-transzformált

ÖSSZEFOGLALÁS:

A jegyzet aKalkulus informatikusoknak I.c. jegyzet folytatása, a Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Karán oktatott Matematikai analízis II. kurzus anyagának összefoglalása informatikus és villamosmérnök hallgatók részére. Az olvasó megismerkedhet a végtelen sorok és hatványsorok fogalmával, a többváltozós függvények differenciálszámításával, a területi integrállal és közönséges differenciálegyenletek néhány egyszerűbb típusával. Egy információátviteli probléma kapcsán ismertetésre kerül az-transzformált fogalma és fontosabb tulajdonságai.

Tartalomjegyzék

Bevezetés 5

1. Végtelen sorok 6

1.1. Végtelen sorok konvergenciája . . . 6

1.2. A geometriai sor . . . 7

1.3. Műveletek konvergens sorokkal . . . 8

1.4. A konvergencia szükséges feltétele . . . 8

1.5. Abszolút és feltételes konvergencia. . . 9

1.6. Konvergenciakritériumok . . . 9

1.7. Hatványsorok . . . 13

1.8. Az összegfüggvény tulajdonságai. . . 16

1.9. Taylor-sor, Taylor-polinom . . . 17

1.10. Taylor tétele . . . 18

1.11. Nevezetes hatványsorok . . . 19

1.12. Komplex hatványsorok . . . 20

2. Egy információátviteli probléma 22 2.1. Jelsorozatok átvitele. . . 22

2.2. Az-transzformált fogalma . . . 23

2.3. Az-transzformált tulajdonságai . . . 24

2.4. A jelátviteli probléma vizsgálata . . . 25

3. Többváltozós függvények differenciálszámítása 28 3.1. Azp-dimenziós euklideszi tér . . . 28

3.2. Pontsorozat konvergenciája . . . 29

3.3. Környezetek, pontozott környezetek . . . 29

3.4. Nyílt, zárt és korlátos ponthalmazok . . . 29

3.5. Többváltozós függvények. . . 31

3.6. Határérték és folytonosság . . . 31

3.7. Differenciálhatóság . . . 33

3.8. Az irány menti derivált, parciális deriváltak . . . 34

3.9. A láncszabály . . . 37

3.10. Középértéktétel . . . 38

3.11. Schwarz tétele . . . 38

3.12. Abszolút és lokális szélsőértékhelyek . . . 39

4. Területi integrál 42 4.1. A terület fogalma . . . 42

4.2. A területi integrál fogalma . . . 45

4.3. A területi integrál tulajdonságai. . . 46

4.4. A területi integrál kiszámítása . . . 47

5. Differenciálegyenletek 51 5.1. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet . . . 51

5.2. Szeparábilis differenciálegyenlet . . . 53

5.3. Másodrendű lineáris homogén egyenlet . . . 54

5.4. Másodrendű lineáris inhomogén egyenlet . . . 55

Irodalomjegyzék 59

Bevezetés

Ez a jegyzet a „Kalkulus informatikusoknak I.” című jegyzetünk folytatása, és a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A program keretében készült. A Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Ka- rán éveken át tartott „Matematikai analízis II.” kurzusunk anyagát foglaltuk össze benne.

Ezzel szertnénk segíteni az informatikus és villamosmérnök hallgatókat a sikeres vizsgára való felkészülésben. A jegyzetben tárgyaljuk a végtelen számsorok és hatványsorok fonto- sabb tulajdonságait, a többváltozós függvények differenciálszámítását, a területi integrált és skaláris differenciálegyenletek néhány egyszerűbb típusát. Külön hangsúlyt fektettünk az- transzformált fogalmára, amely egy információátviteli probléma kapcsán nyer alkalmazást.

A jegyzet nem tartalmaz bizonyításokat. Célunk a szakmai tárgyakban előforduló mate- matikai fogalmak és azok fontosabb tulajdonságainak összefoglalása volt. A tárgyhoz külön gyakorlatok vannak előírva, amelyekhez feladatgyűjtemény is készült. Ez az oka annak, hogy a jegyzet csak mintapéldákat tartalmaz, gyakorló feladatokat nem. A vizsgára való sikeres felkészüléshez és a tananyag jobb megértéséhez elengedhetetlennek tartjuk az előadások lá- togatását, ahol további példákat és egyszerűbb bizonyításokat is bemutatunk. A kihagyott bizonyítások és további alkalmazások iránt érdeklődő hallgatóknak az irodalomjegyzékben szereplő tankönyveket ajánljuk. Ismételten kifejezzük köszönetünket Hartung Ferenc kollé- gánknak a jegyzet megírása során nyújtott segítségéért.

Veszprém, 2011. január 31.

Győri István és Pituk Mihály

Végtelen sorok

1.1. Végtelen sorok konvergenciája

LegyenNa nemnegatív egész számok halmaza,N⁺pedig a pozitív egészek halmaza. A valós számok halmazát azR, a komplex számok halmazát pedig aCszimbólummal jelöljük.

1.1.1. Definíció. Legyen adva egy{a_k}^∞k=0 valós sorozat. A

∑∞ k=0

a_k =a₀+a₁+a₂+. . .

végtelen összegetvégtelen sornak nevezzük. Az s_n =

∑n k=0

a_k =a₀+a₁+· · ·+a_n

összeget a∑_∞

k=0a_k sor n-edikrészletösszegének mondjuk. Ha az{s_n}^∞n=0 sorozat konver- gens, akkor a∑_∞

k=0a_kvégtelen sort iskonvergensnek mondjuk, az s = lim

n→∞s_n

véges határértéket pedig asor összegének nevezzük, és ugyancsak a

∑∞ k=0

a_k

szimbólummal jelöljük. Tehát

∑∞ k=0

a_k= lim

n→∞

∑n k=0

a_k.

Ha az{s_n}^∞_n=0 sorozat divergens, akkor a∑_∞

k=0a_ksort isdivergensnekmondjuk.

1.2. A GEOMETRIAI SOR 7

Haa_n ≥ 0mindenn ∈ N-re, akkor a részletösszegek {s_n}^∞_n=0 sorozata monoton növe- kedő. Tehát egy nemnegatív tagú sor éppen akkor konvergens, ha az{sn}^∞n=0 sorozat felülről korlátos.

Legyenm ∈N⁺és{b_i}^∞i=megy valós sorozat. A

∑∞ i=m

b_i =b_m+b_m+1+b_m+2+. . .

végtelen sor azonos azN-en indexelt

∑∞ k=0

b_k+m

sorral, és összege:

∑∞ i=m

b_i = lim

n→∞

∑n i=m

b_i,

feltéve, hogy a limesz létezik és véges.

1.1.2. Példa.

∑∞ k=1

1

k(k+ 1) = lim

n→∞

∑n k=1

1

k(k+ 1) = lim

n→∞

∑n k=1

(1 k − 1

k+ 1 )

= lim

n→∞

(

1− 1 n+ 1

)

= 1.

1.1.3. Példa. A∑_∞

k=0(−1)^ksor divergens, mert a részletösszegek s_n=

{

1, hanpáratlan 0, hanpáros sorozata divergens.

1.2. A geometriai sor

1.2.1. Definíció. Legyena∈Résq∈Radott. A

∑∞ k=0

aq^k =a+aq+aq²+aq³+. . .

sortgeometriai (mértani) sornak nevezzük. Azaszám a sor első tagja, aqszám pedig a sor kvóciense (hányadosa).

A ∑n k=0

aq^k =

{a¹⁻_1−q^qn+1, haq ̸= 1ésn ∈N, (n+ 1)a, haq = 1ésn ∈N,

reláció, valamint a{qⁿ}^∞n=0geometriai sorozat konvergenciatulajdonságaiból adódik a követ- kező:

1.2.2. Tétel(A geometriai sor konvergenciája). Legyena ∈ R\ {0}ésq ∈ R. A∑_∞

k=0aq^k geometriai sor pontosan akkor konvergens, ha|q|<1, és konvergencia esetén összege a

1−q.

1.3. Műveletek konvergens sorokkal

1.3.1. Tétel. Ha a∑_∞

k=0a_k és ∑_∞

k=0b_k sorok konvergensek és összegük s illetve t, α és β pedig valós számok, akkor a∑_∞

k=0(αa_k+βb_k)sor is konvergens, és összegeαs+βt, azaz

∑∞ k=0

(αa_k+βb_k) =α

∑∞ k=0

a_k+β

∑∞ k=0

b_k.

1.3.2. Példa. Az előző tételből és a geometriai sor konvergenciatuladonságaiból következik, hogy

∑∞ k=0

2^k+ 3^k 5^k =

∑∞ k=0

((2 5

)k

+ (3

5 )k)

=

∑∞ k=0

(2 5

)k

+

∑∞ k=0

(3 5

)k

= 5 3 +5

2 = 25 6 .

1.4. A konvergencia szükséges feltétele

1.4.1. Tétel(A konvergencia szükséges feltétele). Ha a∑_∞

k=0a_ksor konvergens, akkor lim

n→∞a_n= 0.

1.4.2. Példa. A

∑∞ k=1

k k+ 1 sor divergens, mert

n

n+ 1 = 1

1

n+ 1 −→1̸= 0, han→ ∞. 1.4.3. Definíció. A

∑∞ k=1

1 k sortharmonikus sornak nevezzük.

Be fogjuk látni, hogy a harmonikus sor divergens annak ellenére, hogy 1

n → 0. Tehát a

nlim→∞a_n = 0feltétel szükséges, de nem elegendő feltétele a∑_∞

k=0a_k sor konvergenciájának.

1.5. ABSZOLÚT ÉS FELTÉTELES KONVERGENCIA 9

1.5. Abszolút és feltételes konvergencia

1.5.1. Definíció. A∑_∞

k=0a_ksortabszolút konvergensnek mondjuk, ha a

∑∞ k=0

|a_k|

sor konvergens.

Ha a ∑_∞

k=0a_k sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkorfeltételesen konver- gensnek nevezzük.

A konvergens és abszolút konvergens sorok között a következő a kapcsolat.

1.5.2. Tétel. Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is.

A tétel megfordítása nem igaz. Be fogjuk látni, hogy a

∑∞ k=1

(−1)^k1 k sor konvergens, de mivel

(−1)^k1 k

= 1

k, k ∈N⁺, és a∑_∞

k=1 1

k harmonikus sor divergens, ezért a∑_∞

k=1(−1)^k1_k sor nem abszolút konvergens.

Tehát a∑_∞

k=1(−1)^k1_k sor feltételesen konvergens.

1.6. Konvergenciakritériumok

Elegendő feltételeket adunk végtelen sorok konvergenciájára vagy divergenciájára. Megfo- galmazásukhoz szükségünk van a következő fogalmakra.

1.6.1. Definíció. At ∈R=R∪ {+∞,−∞}számot az{a_n}^∞n=0sorozattorlódási pontjának nevezzük, ha az{a_n}^∞n=0sorozatnak van olyan{a_nk}^∞k=0 részsorozata, amelyre

klim→∞a_nk =t.

Be lehet bizonyítani a következő tulajdonságot.

1.6.2. Tétel. Bármely valós{an}^∞n=0 sorozat torlódási pontjai közöttR-ban van legnagyobb és legkisebb is.

1.6.3. Példa. A{(−1)ⁿ}^∞n=0sorozat legnagyobb torlódási pontja1, legkisebb torlódási pontja pedig−1.

A{(−1)ⁿn}^∞n=0sorozat legnagyobb torlódási pontja+∞, legkisebb torlódási pontja pedig

−∞.

1.6.4. Definíció. Az{a_n}^∞_n=1sorozat legnagyobb (legkisebb) torlódási pontját a sorozatlimesz szuperiorának (limesz inferiorának) nevezzük, és a

lim sup

n→∞ a_n (

lim inf

n→∞ a_n )

szimbólummal jelöljük.

Nyilvánvaló, hogy

lim inf

n→∞ a_n ≤lim sup

n→∞ a_n. Azt is be lehet látni, hogy lim

n→∞a_npontosan akkor létezikR-ban, ha lim inf

n→∞ a_n=lim sup

n→∞ a_n. Az ígért konvergenciakritériumok a következők:

1.6.5. Tétel(Hányadoskritérium). Tegyük fel, hogy|a_n|>0véges számú kivétellel. Ha lim sup

n→∞

|a_n+1|

|a_n| <1, akkor a∑_∞

k=0a_ksor abszolút konvergens.

Ha

lim inf

n→∞

|an+1|

|a_n| >1, akkor a∑_∞

k=0aksor divergens.

Speciálisan, ha az

L= lim

n→∞

|a_n+1|

|a_n|

határérték (véges vagy végtelen) létezik, akkorL <1esetén a∑_∞

k=0a_ksor abszolút konver- gens,L >1esetén pedig divergens.

Hangsúlyozzuk, hogy ha

nlim→∞

|a_n+1|

|a_n| = 1, akkor a ∑_∞

k=0a_k sor konvergenciatulajdonságainak meghatározására a hányadoskritérium nem hasznáható.

1.6.6. Példa. A

∑∞ k=1

k^k k!

sor divergens, mert

(n+1)ⁿ⁺¹ (n+1)!

nⁿ (n)!

= (n+ 1)⁽ⁿ⁺¹⁾n!

nⁿ(n+ 1)! =

(n+ 1 n

)n

= (

1 + 1 n

)n

−→e >1, han→ ∞.

1.6. KONVERGENCIAKRITÉRIUMOK 11

1.6.7. Tétel(Gyökkritérium). Ha

lim sup

n→∞

√n

|a_n|<1,

akkor a∑_∞

k=0a_ksor abszolút konvergens.

Ha

lim inf

n→∞

√n

|a_n|>1, akkor a∑_∞

k=0a_ksor divergens.

Speciálisan, ha az

L= lim

n→∞

√n

|an|

határérték (véges vagy végtelen) létezik, akkorL <1esetén a∑_∞

k=0a_ksor abszolút konver- gens,L >1esetén pedig divergens.

Ha

nlim→∞

√n

|a_n|= 1, akkor a ∑_∞

k=0a_k sor konvergenciatulajdonságainak meghatározására a gyökkritérium nem hasznáható.

1.6.8. Példa. A

∑∞ k=1

k 2^k sor konvergens, mert

n

√n 2ⁿ =

√n

n

2 −→ 1

2 <1, han → ∞.

1.6.9. Tétel (Integrálkritérium). Legyenf : [0,∞) → (0,∞)folytonos, monoton csökkenő és pozitív. Ekkor a

∑∞ k=0

f(k) sor akkor és csak akkor konvergens, ha az∫_∞

0 f improprius integrál konvergens.

Az állítás igaz marad akkor is, ha a0számot tetszőlegesm ∈N⁺számra cseréljük.

1.6.10. Példa. A

∑∞ k=1

1 k harmonikus sor divergens, mert

∫ _∞

1

1

t dt= lim

x→∞

∫ _x

1

1

t dt= lim

x→∞lnx=∞. Ugyancsak az integrálkritérium segítségével látható be:

1.6.11. Tétel. Haα >1, akkor a

∑∞ k=1

1 k^α sor konvergens, ha pedigα ≤1, akkor divergens.

1.6.12. Definíció. A

∑∞ k=1

1

k^α, α∈(0,1)∪(1,∞) sorthiperharmonikus sornak nevezzük.

1.6.13. Tétel(Összehasonlító kritérium). Ha

|a_k| ≤b_k véges számú kivétellel, és a∑_∞

k=0b_ksor konvergens, akkor a ∑_∞

k=0a_ksor abszolút konvergens.

Ha

a_k ≥b_k ≥0 véges számú kivétellel, és a∑_∞

k=0b_ksor divergens, akkor a∑_∞

k=0a_ksor is divergens.

Az összehasonlító kritériumból könnyen levezethető az alábbi:

1.6.14. Tétel. Hab_k>0véges számú kivétellel és valamelyL∈(0,∞)számra

klim→∞

ak

b_k =L, akkor a∑_∞

k=0a_kés ∑_∞

k=0b_k sorok közül vagy mindkettő konvergens, vagy pedig mindkettő divergens.

1.6.15. Példa. A

∑∞ k=0

k+ 2 k²+ 2k+ 5 sor divergens, mert

k+2 k²+2k+5

1 k

= k(k+ 2)

k²+ 2k+ 5 −→1, hak → ∞,

és a ∑∞

k=0

1 k (harmonikus) sor divergens.

1.6.16. Definíció. Legyen{a_k}^∞_k=0egy pozitív tagú sorozat. Ekkor a

∑∞ k=0

(−1)^kak és

∑∞ k=0

(−1)^k+1ak

sorokatváltakozó előjelű soroknak nevezzük.

1.7. HATVÁNYSOROK 13

Elegendő csak az első sort vizsgálni, mert a második az elsőnek−1-szerese.

A váltakozó előjelű sorok konvergenciájáról szól a következő:

1.6.17. Tétel(Leibniz-féle kritérium). Ha{a_k}^∞k=0 pozitív tagú, monoton csökkenő sorozat, éslim_k→∞a_k= 0, akkor a

∑∞ k=0

(−1)^ka_k váltakozó előjelű sor konvergens.

1.6.18. Példa. A Leibniz-kritériumból aza_k = 1

k (k ∈N⁺) választással kapjuk, hogy a

∑∞ k=1

(−1)^k1 k sor konvergens. Később be fogjuk látni, hogy

∑∞ k=1

(−1)^k1

k =−ln2.

1.7. Hatványsorok

1.7.1. Definíció. Legyen adva egyx₀ ∈Rszám és egy{a_k}^∞_k=0valós sorozat. A

∑∞ k=0

ak(x−x0)^k =a0+a1(x−x0) +a2(x−x0)²+. . .

függvénysortx0 körüli hatványsornak nevezzük. Az x0 szám a hatványsor középpontja, x pedig a valós változó.

1.7.2. Definíció. A hatványsorkonvergenciatartományán a K =

{

c∈R a

∑∞ k=0

a_k(c−x₀)^kszámsor konvergens }

halmazt értjük.

Nyilvánvaló, hogyx0 ∈K, tehátK ̸=∅. Célunk a konvergenciatartomány leírása. Ennek szempontjából alapvető fontosságú a következő:

1.7.3. Tétel(Abel-féle lemma). Ha valamelyc̸=x₀szám esetén a

∑∞ k=0

a_k(c−x₀)^k

számsor konvergens, akkor minden olyand-re, amelyre|d−x₀|<|c−x₀|a

∑∞ k=0

a_k(d−x₀)^k számsor abszolút konvergens.

Az Abel-féle lemmából következik az alábbi:

1.7.4. Tétel. LegyenK a∑_∞

k=0a_k(x−x₀)^khatványsor konvergenciatartománya, és r =sup{ |c−x0| |c∈K} ∈[0,∞].

Har= 0, akkorK ={x0}. Har = +∞, akkor mindenc∈Resetén a

∑∞ k=0

a_k(c−x₀)^k

sor abszolút konvergens, és így K = R. Ha pedigr ∈ (0,∞), akkor minden olyan c-re , amelyre|c−x₀|< r(|c−x₀|> r) a

∑∞ k=0

a_k(c−x₀)^k

sor abszolút konvergens (divergens), s ezért

(x0−r, x0+r)⊂K ⊂[x0−r, x0 +r].

Mivel a hatványsor konvergenciatartománya az r = 0esettől eltekintve intervallum, a konvergenciatartomány helyett akonvergenciaintervallum elnevezés is használatos.

1.7.5. Definíció. Az előző tételben szereplőrszámot a∑_∞

k=0a_k(x−x₀)^khatványsorkonver- genciasugarának nevezzük.

A konvergenciasugár meghatározása szolgál a következő:

1.7.6. Tétel(Cauchy–Hadamard-képlet). Legyenr a∑_∞

k=0ak(x−x0)^khatványsor konver- genciasugara, és

ρ=lim sup

k→∞

√k

|a_k|. Ekkor

r=









0, haρ= +∞ 1

ρ, haρ∈(0,∞) +∞, haρ= 0

.

1.7.7. Példa. A

∑∞ k=1

(x+ 1)^k k

−1körüli hatványsor konvergenciasugarar = 1, mivel ρ=lim sup

k→∞

k

√1

k = lim

n→∞

1

√k

k = 1.

1.7. HATVÁNYSOROK 15

A hatványsorK konvergenciatartományára teljesül a (−2,0)⊂K ⊂[−2,0]

reláció. Mivel azx= 0-ra adódó

∑∞ k=1

1 k sor divergens (harmonikus sor), és azx=−2-re adódó

∑∞ k=1

(−1)^k1 k

sor konvergens (a Leibniz-kritérium szerint), ezért K = [−2,0).

A hatványsor konvergenciatartományának meghatározására gyakran jól használható a kö- vetkező:

1.7.8. Tétel. Legyenra∑_∞

k=0a_k(x−x₀)^khatványsor konvergenciasugara. Tegyük fel, hogy a_k ̸= 0véges számú kivétellel, és valamelyλ∈[0,∞]számra

klim→∞

|a_k+1|

|a_k| =λ.

Ekkor

r=









0, haλ = +∞ 1

λ, haλ ∈(0,∞) +∞ haλ = 0

.

1.7.9. Példa. A

∑∞ k=0

x^k k!

0körüli hatványsor konvergenciasugarar = +∞, mert

λ= lim

k→∞

1 (k+1)!

1 k!

= lim

k→∞

1

k+ 1 = 0.

Ezért a konvergenciatartományK =R.

1.8. Az összegfüggvény tulajdonságai

1.8.1. Definíció. LegyenK a∑_∞

k=0a_k(x−x₀)^k hatványsor konvergenciatartománya. Az s(x) =

∑∞ k=0

a_k(x−x₀)^k, x∈K,

képlettel definiálts:K →Rfüggvényt a∑_∞

k=0ak(x−x0)^khatványsorösszegfüggvényének mondjuk.

Az összegfüggvényt fontosabb tulajdonságait írják le a következő tételek.

1.8.2. Tétel(Az összegfüggvény folytonossága). Ha egy hatványsor konvergenciasugara po- zitív, akkor a hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciaintervallumán.

1.8.3. Tétel (Tagonkénti differenciálás). Ha∑_∞

k=0a_k(x−x₀)^k hatványsorr konvergencia- sugara pozitív, akkor a hatványsors összegfüggvénye akárhányszor differenciálható a kon- vergenciaintervallum belsejében, és n-edik deriváltja a hatványsorn-szeri tagonkénti diffe- renciálásával kapható meg, azaz

s^′(x) =

∑∞ k=1

a_kk(x−x₀)^k−1,

s^′′(x) =

∑∞ k=2

a_kk(k−1)(x−x₀)^k−2, ...

s⁽ⁿ⁾(x) =

∑∞ k=n

akk(k−1). . .(k−n+ 1)(x−x0)^k−n,

valahányszor|x−x₀|< r.

1.8.4. Példa. Korábban már beláttuk, hogy a

∑∞ k=1

(x+ 1)^k k

hatványsor konvergenciaintervalluma a[−2,0)intervallum. Ezért az s(x) =

∑∞ k=1

(x+ 1)^k

k , x∈[−2,0), függvény differenciálható a(−2,0)-n, és itt

s^′(x) =

∑∞ k=1

(x+ 1)^k−1 =−1 x,

1.9. TAYLOR-SOR, TAYLOR-POLINOM 17

a geometriai sor összegképlete alapján. Mivels(−1) = 0, a Newton–Leibniz-szabály szerint mindenx∈(−2,0)esetén

s(x) =s(−1) +

∫ _x

−1

s^′(t)dt=−

∫ _x

−1

1

t dt =−[ln|t|]^x₋₁ =−ln|x|. Azsfüggvény−2-ben jobbról folytonos, ezért

∑∞ k=1

(−1)^k1

k =s(−2) = lim

x→−2+s(x) = −ln2.

1.8.5. Tétel (Tagonkénti integrálás). Ha a ∑_∞

k=0ak(x −x0)^k hatványsor konvergenciasu- gara pozitív és[a, b]része a hatványsor konvergenciaintervallumának, akkor a hatványsors összegfüggvénye tagonként integrálható[a, b]-n, azaz

∫ _b

a

s(x)dx=

∑∞ k=0

∫ _b

a

a_k(x−x₀)^kdx=

∑∞ k=0

a_k

[(x−x₀)^k+1 k+ 1

]b a

.

1.9. Taylor-sor, Taylor-polinom

Tegyük fel, hogy azffüggvényx₀körüli hatványsorba fejthető, azaz létezik egy∑_∞

k=0a_k(x− x₀)^khatványsor úgy, hogy a hatványsorrkonvergenciasugara pozitív, és

f(x) =

∑∞ k=0

ak(x−x0)^k, valahányszor|x−x0|< r.

A tagonkénti differenciálásról szóló tételből következik, hogy ekkorfakárhányszor differen- ciálható, és mindenk ∈Nesetén

a_k= f^(k)(x₀) k! .

(Definíció szerint0! = 1.) Ez a tény motiválja a következő sor bevezetését és vizsgálatát.

1.9.1. Definíció. Tegyük fel, hogy azffüggvény akárhányszor differenciálható azx₀ ∈D(f) helyen. A

T(x) =

∑∞ k=0

f^(k)(x0)

k! (x−x₀)^k

hatványsort azf függvényx₀körüli Taylor-sorának nevezzük. A hatványsorn-edik T_n(x) =

∑n k=0

f^(k)(x₀)

k! (x−x₀)^k

részletösszegét az f függvényn-edikx₀ körüli Taylor-polinomjának mondjuk. Azx₀ = 0 esetben használatos aMacLaurin-sorilletveMacLaurin-polinomelnevezés is.

Az

R_n(x) = f(x)−T_n(x)

különbséget azf függvényn-edikx₀ körüli maradéktagjának mondjuk.

1.9.2. Példa. Mindenk ∈Nesetén exp^(k) =exp. Ezért az exp függvény0körüli Taylor-sora T(x) =

∑∞ k=0

x^k k!.

Korábban már beláttuk, hogy ez a hatványsor a számegyenes minden pontjában abszolút kon- vergens.

1.10. Taylor tétele

Taylor tételének megfogalmazásához szükségünk van a következő jelölésre.

1.10.1. Definíció. Bármelyx₀,x∈R,x̸=x₀ esetén [x₀;x] =

{

[x₀, x], hax₀ < x [x, x₀], hax < x₀. Hasonlóképpen definiáljuk az(x₀;x)nyílt intervallumot.

1.10.2. Tétel (Taylor tétele). Legyen x₀, x ∈ R, x ̸= x₀. Ha valamely n ∈ Nesetén f⁽ⁿ⁾ folytonos az[x₀;x]intervallumon és differenciálható az(x₀;x)-en, akkor létezikc∈ (x₀;x) úgy, hogy

R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n+ 1)!(x−x₀)ⁿ⁺¹.

Megjegyezzük, hogy azn= 0esetben Taylor tétele Lagrange tételébe megy át.

1.10.3. Definíció. AzR_n(x)maradéktagnak Taylor tételében szereplő alakját amaradéktag Lagrange-féle alakjának nevezzük.

Taylor tétele gyakran jól használható függvényértékek közelítő számítására.

1.10.4. Definíció. Bármelyn∈Nesetén az exp függvény0körülin-edik Taylor polinomja T_n(x) =

∑n k=0

x^k k!. Ezért ha aze=exp1szám értékét a Taylor-polinom

T_n(1) =

∑n k=0

1 k!

értékével helyettesítjük, akkor Taylor tétele szerint létezikc∈ (0,1)úgy, hogy aze =exp1 pontos értéke és a „közelítő”Tn(1)érték közötti különbség az

exp(1)−T_n(1) =R_n(1) = e^c (n+ 1)!

1.11. NEVEZETES HATVÁNYSOROK 19

alakban írható. Mivelc <1, ezért e^c

(n+ 1)! < e

(n+ 1)! < 3 (n+ 1)!.

Ezért ha azt szeretnénk, hogy a valódi és a közelítő érték közötti távolság kisebb legyen10⁻²- nál, akkor aznszámot elegendő úgy választani, hogy

3

(n+ 1)! < 1 100, vagyis 4-nél nagyobbnak. Tehát

T₅(1) = 1 + 1 2+ 1

6+ 1 24+ 1

120 = 2,71¯6 már10⁻²pontossággal közelíti azeszámot.

1.11. Nevezetes hatványsorok

Taylor tétele jól használható arra is, hogy bizonyos függvényeket hatványsorba fejtsünk. Tay- lor tételének egyik következménye:

1.11.1. Tétel. Legyen(a, b) ⊂ R. Tegyük fel, hogyf akárhányszor differenciálható(a, b)-n és létezikM ∈(0,∞)úgy, hogy mindenn ∈N-re|f⁽ⁿ⁾| ≤ M az(a, b)-n. Ekkor bármelyx, x₀ ∈(a, b)esetén

f(x) =

∑∞ k=0

f^(k)(x₀)

k! (x−x0)^k.

Az előző tételből könnyen megkapható néhány nevezetes hatványsor.

1.11.2. Tétel(Az exp függvény hatványsora). Bármelyx∈Resetén expx=

∑∞ k=0

x^k k!.

1.11.3. Tétel(A sin függvény hatványsora). Bármelyx∈Resetén sinx=

∑∞ k=0

(−1)^k x^2k+1 (2k+ 1)!.

1.11.4. Tétel(A cos függvény hatványsora). Bármelyx∈Resetén cosx=

∑∞ k=0

(−1)^k x^2k (2k)!.

1.12. Komplex hatványsorok

Komplex sorozatok és sorok konvergenciájának, valamint a komplex hatványsorok konver- genciatartományának a definícióját úgy kapjuk, hogy a valós sorozatok, sorok, illetve hat- ványsorok megfelelő definíciójábanR-etC-re cseréljük. A sorozatok határértékszámításának szabályai és a sorok konvergenciakritériumai a monotonitási és rendezési relációkra hivatko- zókat leszámítva átvihetők a komplex esetre is. Hasonló a helyzet a komplex hatványsorok konvergenciatartományával is. Ha{c_k}^∞k=0 komplex számok sorozata ész₀ ∈C, akkor a

∑∞ k=0

c_k(z−z₀)^k

komplex változójú hatványsor konvergenciatartományát hasonlóképpen jellemezhetjük, mint a valós hatványsorokét. Pontosabban, ha

ρ =lim sup

k→∞

√k

|c_k|, akkor a∑_∞

k=0c_k(z−z₀)^khatványsor konvergenciasugara r=









0, haρ= +∞ 1

ρ, haρ∈(0,∞) +∞ haρ= 0

,

azaz ha|z−z|< r, akkor a∑_∞

k=0c_k(z−z₀)^ksor abszolút konvergens, ha pedig|z−z₀|> r, akkor divergens.

Az exp, sin és cos függvények hatványsor alakjáról szóló eredmények lehetőséget adnak ezen függvények komplex számokra való kiterjesztésére.

1.12.1. Definíció. Bármelyz ∈Cesetén legyen expz =

∑∞ k=0

z^k k!, sinz =

∑∞ k=0

(−1)^k z^2k+1 (2k+ 1)!, cosz =

∑∞ k=0

(−1)^k z^2k (2k)!.

A valós exp függvényhez hasonlóanz ∈Cesetén is használatos az expz =e^z jelölés.

Végül ismertetünk három a komplex exp, sin és cos függvényekre vonatkozó nevezetes azonosságot.

1.12.2. Tétel(Euler-formulák). Bármelyz∈Chelyen e^iz =cosz+isinz, sinz = e^iz−e^−iz

2i , cosz = e^iz+e^−iz

2 .

1.12. KOMPLEX HATVÁNYSOROK 21

Az első Euler-formulát a komplex szám trigonometrikus alakjával kombinálva kapjuk a z ̸= 0komplex számexponenciális alakját:

z =re^iφ, aholr =|z|,φpedigz argumentuma.

Egy információátviteli probléma

2.1. Jelsorozatok átvitele

Legyen adva egy üzenetátviteli rendszer, amelyben az üzeneteket két alapjel – mondjukaés b– segítségével kódoljuk és továbbítjuk. Egy üzenet formája azaésbalapjelekből álló vala- mely véges hosszúságú sorozat, például: abaabbb. Ilyen rendszer a telegráf vagy a binárisan kódolt adatátviteli rendszerek (fax, internet, stb.).

A rendszerben az aalapjel átviteléhezk₁,míg ab alapjel átviteléhezk₂ időegységre van szükség (k₁ésk₂ pozitív egész). Tegyük fel a határozottság kedvéért, hogyk₂ ≥k₁. Felme- rül a kérdés: hány olyan egymástól különböző üzenet (jelsorozat) van, amelyek átviteléhez pontosannidőegység kell?

Jelölje s_n mindazon egymástól különböző üzeneteknek a számát, amelyek pontosann idő- egység alatt vihetők át. Ekkors_nteljesíti a

s_n =s_n−k1 +s_n−k2, n≥k₂+ 1

rekurzív összefüggést, hiszen csak két különböző eset fordulhat elő: ha az utolsó átvitt alapjel k₁hosszú volt, akkor előtte összesens_n−k1 db különbözőn−k₁hosszú jelsorozat lehetett, ha pedig az utolsó átvitt alapjelk₂ hosszú volt, akkor előtte összesens_n−k2-félen−k₂ hosszú jelsorozat lehetett. Ez a rekurzív képlet akkor határozza meg egyértelműen az{s_n}sorozatot, ha megadjuk a sorozat elsők₂ db kezdeti értékét:

s1 =u1, s2 =u2, ..., sk2 =uk2.

Speciális eset: Legyen az a = ·jel átviteléhez szükséges idő egy egység, azaz k₁ = 1, és a b = − jel átviteléhez szükséges idő két egység, azaz k2 = 2. A szemléltetés kedvéért táblázatba foglaltuk az{s_n}sorozat első néhány tagját és a hozzájuk tartozó jelsorozatokat:

n s_n lehetséges jelsorozatok

1 1 ·

2 2 · ·; −

3 3 · · ·; · −; − ·

4 5 · · · ·; · · −; · − ·; − · ·; −−

2.2. AZ-TRANSZFORMÁLT FOGALMA 23

Az{s_n}sorozatot ebben az esetben az

s_n = s_n−1+s_n−2, n≥3, s₁ = 1, s₂ = 2,

rekurzió határozza meg.

Az információelméletben az áteresztő csatorna kapacitását, jeleC, a C = lim

n→+∞

log₂s_n n formulával definiálják [3].

Felmerülnek a következő kérdések:

• Mi lehets_nképlete?

• Hogyan számolható ki az áteresztő csatornaC kapacitása, és hogyan változikC k₁ és k₂függvényében?

A kérdéseket a következő részben bevezetettz-transzformált segítségével fogjuk megvá- laszolni.

2.2. A z-transzformált fogalma

2.2.1. Definíció. Legyen adva egy komplex számokból álló{x_n}^∞n=0 sorozat. Az {x_n}^∞n=0

sorozatz-transzformáltját az

X(z) =

∑∞ n=0

x_n zⁿ

képlettel definiáljuk minden olyanz ∈C-re, amelyre a jobb oldalon szereplő komplex szám- sor konvergens. Jelölés: X =Z{x_n}.

AzX =Z{x_n}függvény (ha létezik) komplex változójú és komplex értékű. Haw= 1 z, akkor

X(1/w) =

∑∞ n=0

x_nwⁿ

egy komplex hatványsor, tehát az-transzformált vizsgálata során felhasználhatjuk a komplex hatványsorokra vonatkozó eredményeinket. Eszerint ha

R =lim sup

n→∞

√n

|x_n|,

akkor|z|> Resetén a

∑∞ n=0

x_n zⁿ sor konvergens,|z|< Resetén pedig divergens.

2.2.2. Definíció. Az

R =lim sup

n→∞

√n

|x_n|, 0≤R≤ ∞,

számot azX =Z{x_n}z-transzformáltkonvergenciasugarának nevezzük.

2.2.3. Tétel (Egzisztencia tétel). Legyen adva egy {x_n}^∞n=0 komplex sorozat. Ha az X = Z{x_n}z-transzformáltRkonvergenciasugara véges, akkorXértelmezve van minden olyan z ∈Chelyen, amelyre|z|> R.

2.2.4. Tétel(Unicitás tétel). Legyen{x_n}^∞n=0és{y_n}^∞n=0két komplex sorozat. Tegyük fel, hogy azX =Z{x_n}ésY =Z{y_n}z-transzformáltak konvergenciasugarai végesek, továbbá

X(z) = Y(z), ha|z|elég nagy.

Ekkorx_n =y_nmindenn ∈N-re.

2.3. A z-transzformált tulajdonságai

2.3.1. Tétel(Linearitás). Legyen{x_n}^∞n=0 és{y_n}^∞n=0 két komplex sorozat. Tegyük fel, hogy aZ{x_n}ésZ{y_n}z-transzformáltak konvergenciasugarai végesek, ésa,b ∈C. Ekkor

Z{ax_n+by_n}(z) = aZ{x_n}(z) +bZ{y_n}(z), ha|z|elég nagy.

2.3.2. Tétel (Eltolás). Legyen adva egy {x_n}^∞n=0 komplex sorozat. Ha az X = Z{x_n} z- transzformáltRkonvergenciasugara véges, akkor bármelyk ∈N⁺ esetén

Z{xn+k}(z) =z^kX(z)−

k−1

∑

j=0

xjz^j−k, ha|z|> R.

2.3.3. Tétel(Konvolúciós tétel). Legyen{x_n}^∞n=0és{y_n}^∞n=0két komplex sorozat, és defini- áljuk az{u_n}^∞n=0sorozatot az

u_n =

∑n j=0

x_n−jy_j, han∈N

képlettel. Ha azX =Z{x_n}ésY =Z{y_n}z-transzformáltR₁, illetveR₂ konvergenciasu- garai végesek, akkor azU =Z{u_n}z-transzformált konvergenciasugara is véges, és

U(z) =X(z)Y(z), ha|z|elég nagy.

2.3.4. Definíció. Az előző tételben szereplő{u_n}^∞_n=0sorozatot az{x_n}^∞_n=0és{y_n}^∞_n=0sorozat konvolúciójának nevezzük.

Néhány konkrét sorozatz-transzformáltját a következő táblázat tartalmazza:

2.4. A JELÁTVITELI PROBLÉMA VIZSGÁLATA 25

x_n X(z) = Z{x_n}(z)

1 z

z−1

aⁿ z

z−a

naⁿ az

(z−a)²

n²aⁿ az(z+a)

(z−a)³ n³aⁿ az(z²+ 4az+a²)

(z−a)⁴ n^kaⁿ (−1)^kD^k

( z z−a

)

; D=z d dz aⁿsin(nω) azsin(nω)

z² −2azcosω+a² aⁿcos(nω) z(z−acosω)

z² −2azcosω+a² (a,b,ω ∈Résk ∈N⁺) A továbbiakban szükségünk lesz a következő tételre:

2.3.5. Tétel. Legyenk ∈ N⁺, a₁, . . . , a_k ∈ R, és{b_n}^∞_n=0 egy komplex sorozat. Tegyük fel, hogy{xn}^∞n=0 olyan komplex sorozat, amelyre

x_n+k=a₁x_n+k−1+a₂x_n+k−2+· · ·+a_kx_n+b_n, han ∈N, továbbá

lim sup

n→∞

√n

|bn|<∞. Ekkor

lim sup

n→∞

√n

|xn|<∞.

2.4. A jelátviteli probléma vizsgálata

Tekintsük a2.1. szakaszban definiált információátviteli probléma s_n=s_n−1+s_n−2, han≥3,

s₁ = 1, s₂ = 2, speciális esetét. A problémát írhatjuk az ekvivalens

s_n+2 =s_n+1+s_n, han≥0, s₀ = 1, s₁ = 1,

alakban is. LegyenS =Z{s_n}. Ha vesszük mindkét oldalz-transzformáltját és alkalmazzuk az eltolási tételt, azt kapjuk, hogy

z²S(z)−z²s₀−zs₁ =zS(z)−zs₀+S(z).

A kezdeti értékeket behelyettesítésével:

(z² −z−1)S(z) =z²,

azaz

S(z) = z² z²−z−1.

BontsukS(z)-t parciális törtekre úgy, hogy egyzszorzótényezőt meghagyunk a számlálóban:

z²

z²−z−1 = z²

(z−z₁)(z−z₂) =z ( A

z−z₁ + B z−z₂

) ,

ahol

z1 = 1 +√ 5

2 , z2 = 1−√ 5 2 . Ezt végigszámolva azt kapjuk, hogy

A= 1

√5z₁ és B =− 1

√5z₂,

tehát

S(z) = 1

√5z₁ z

z−z₁ − 1

√5z₂ z z−z₂.

Innen

sn= 1

√5 (

1 +√ 5 2

)n+1

− 1

√5 (

1−√ 5 2

)n+1

2.4. A JELÁTVITELI PROBLÉMA VIZSGÁLATA 27

minden n ∈ N⁺-re. Ha erre a sorozatra kiszámítjuk a csatorna áteresztő képességét, azt kapjuk, hogy

C = lim

n→+∞

log₂s_n n

= lim

n→+∞

log₂ [

√1 5

(1+√ 5 2

)n+1

− ^√1₅(

1−√ 5 2

)n+1] n

= lim

n→+∞

log₂ [

√1 5

(1+√ 5 2

)n+1

( 1−

(1−√ 5 2 1+√

5 2

)n+1)]

n

= lim

n→+∞

log₂ ^√1₅ +log₂ (1+√

5 2

)n+1

+log₂ (

1−(

1−√ 5 1+√

5

)n+1)

n

= lim

n→∞

log₂ √¹ 5

n + lim

n→+∞

(n+ 1)log₂ ¹⁺₂^√5

n + lim

n→+∞

log₂ (

1−(

1−√ 5 1+√

5

)n+1)

n

= 0 +log₂ 1 +√ 5 2 + 0.

Tehát

C =log₂ 1 +√ 5

2 ≈0,7.