Véletlenek a valószínűségek tükrében

VÉLETLENEK A VALÓSZlNÚSÉGEK TUKRÉBEN

FRESCHL GYÖRGY

Az eddig felhasznált több milliárd lottószelvény azt bizonyítja, hogy játékos nép vagyunk.

A játék szabályai könnyűek, és ha szerencsénk van, még nyerhetünk is. Persze kevesen vannak a kiválasztottak, hiszen ahhoz, hogy valaki x találatot elérjen, átlagosan

(950) (53) (i)

szelvényre1 van szükség, ami a gyakorlatban a következő értékeket adja:

x : 1 esetén 4,34

x : 2 esetén 44,5 x : 3 esetén 1 231 x : 4 esetén 103 410 x : 5 esetén 43 949 268

Mint látni fogjuk, egy ilyen egyszerű játék is vezethet problémákhoz, ha komolyabban utánanézünk a felmerülő kérdéseknek.

Nem különösképpen nevezetes esemény az a pont, ahol megállunk, az 1260. húzás.

Talán az ad némi érdekességet ennekka számnak, hogy átlagosan hetven húzás esik egy-egy számra:(1260-5) :90 : 70. Szeretnénk egy kicsit a páros és páratlan vagy a kis és nagy számok egyszerű arányain túl tekinteni. A felhasznált matematikai apparátus nem terjed túl a kombinatorikán, valamint a valószinűségszámitás és a matematikai statisztika néhány alapvető összefüggésén.

Elemzésünk két sikon mozog: mennyiségi és időbeli elemzéseket végzünk. A mennyiségi elemzéseken a következőket értjük:

— a számok kihúzásának gyakorisága és eloszlása;

—— a számpárhúzások eloszlása;

——- a számok különbségének és mintateriedelmének eloszlása;

— a számok mint rendezett mintaelemek eloszlása;

-— a számok összegének vizsgálata.

Az időbeli elemzések szükségessé teszik a számok korának, ,,öregse'gének" definiálását.

Sokan úgy gondolják, hogy az előző héten kihúzott számok újrahúzásának esélye kisebb mint a többié, holott ez nyilvánvalóan nincs így (például előfordult már, hogy egy számot

: _l (

(Z) : 'mnl—A—W' ahol n! : 1—2'3— '(n—1)-n, n különböző számból ennyiféleképpen választhatunk ki k számot.

négy egymás után következő héten kihúztak), de igaz ez a már régen kihúzott, ,,öreg"

számokra is, hiszen volt rá eset, hogy egy szám majdnem három évig nem került a nyerő- számok közé. Az időbeli elemzések során ilyen problémákat érintünk.

Az a törekvésünk, hogy a tapasztalati értékeket egybevessük az elméletileg meghatáro- zott értékekkel, talán elősegíti néhány egyszerűbb valószínűségi eloszlás- és sűrűség—

függvény gyakorlati megismerését. _

Levezetéseink abból az alapfeltevésből indulnak ki, hogy az egyes sorsolások egymástól független események, vagyis a számok előző élete nem befolyásolja a legújabb húzási ered- ményt, és így a kihúzott számok milyensége teljesen véletlen esemény. Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban jelöljük a kihúzott számokat növekvő sorrendben al-gyel, ag-vel, ag-mal, 04—gyel és as-tel (rendezett minta).

1. A számok kihúzásának gyakorisága

Kiindulásként nézzük meg, hogy az egyes számokat hányszor húzták ki.

1. tábla

Az egyes számok kihúzásának előfordulása az 1260 lottóhúzás során

1 2 3 4 5 6 7 8 , 9 10 11 12 1 3 14 1 5

69 56 98 62 62 77 77 67 65 77 59 81 84 73 78

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

60 66 79 72 66 72 79 82 73 73 60 56 63 78 48

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 '45

55 64 71 79 76 74 70 70 60 59 70 84 63 64 75

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

73 82 67 79 67 aa 68 75 V61 61 87 63 58 67 73

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

62 57 54 75 72 72 74 59 79 64 'en 69 75 71 93

76 77 78 79 80 81 82' 83 84 85 86 87 88 89 90 ,

66

84 65 65

58 72 69 67

79 59 89 69 55 67 72 Egy-egy számra, mint láttuk, átlagosan hetven húzás esik, de téves dolog lenne azt hinni, hogy egyenletesen, minden számra szoros hetven körüli húzási értéket kell várnunk.

A számok kihúzásának mennyisége ugyanis binomiális eloszlást követ.

Ennek az állításnak a belátásához jelöljük bij-vel azt az értéket, amely azt mutatja, hogy az i-edik húzás (esetünkben i : 1260) után hány, számot húztak ki j-szer.

; Kezdjük el előállítani a bi,- értékek várható értékeit a lottójáték kezdetétől (í : 0;

] : 0). (Lásd a 2. táblát.)

A 90 számnak 5/90-ed részét tehát kihúzzák az első sorsoláskor, 85/90-ed részét nem húzzák ki, és ezt a gondolatmenetet folytatjuk. Tehát

0 ha i€j

,,577 j ha íz]

9o(90)

5 85 . .

bi_1,j,_1—9—ö"*'b;_1'j—9—o ha ,) ] % O.

2. tábla

Néhány bí]- érték természetes előállítása

i ] 0 7 2 3 . . .

0 9.0

, gi X 5

szorzok !?,0 * 55

l

7 85 xó'

! X

, - ;; 5 — x195x 5

szorzok sp x'sTö es [55 x%.

2 810 27 ; ; DX27

" ! ! IXX I XX

X

sza/':o'k 293: 5 §.5. Xi. ' 85 xi

sp * 90 Biga saf'llsa 90

' X V x

5 71'5,878 73,580 ű,78'7 0,075

. !

A megadott összefüggésekkel előállíthatók a bij értékek:

bo,0 : 9o "

es 5

bm : %%?) bm : 9o(§:Ó—)

852 5 es a

b2,0:90(§ö-) b2,1:9o(9—0)(9:0)2 b22:90(950)

85 3 5 85 2 5 85 5 3

bg," _ %(W) b3 1 _ 9066) (96) 3 ha 2 : 39o(9—o—) (96) %S : 9065)

így már látható az összefüggés:

5 ' 85 5—1

b":90(l l(9o) (56) '

ami éppen a binomiális eloszlás jellegzetes alakja. Az egyszerűsítések elvégzése után:

175 f b:9o(;) 18,

Például b1260_70 : 4,4106 értéket kapunk, tehát 1260 húzás után csupán négy-öt olyan szám várható a 90—ből, amelyet hetvenszer húztak ki, a tapasztalati érték pedig csak három.

Az illeszkedés a tapasztalati bi,— értékek diszkrét volta miatt sem lehet tökéletes. Jobb illeszkedést tapasztalunk, ha az eloszlásfüggvényeket vetjük egybe. (Lásd a 2. ábrát.)

A binomiális eloszlás alapján a bij-k várható értéke

, 5

mi,.) : '96' ,

így

E(b1260.1) — 1260 :: _ 70 950

mint azt várhattuk is. A bij-k szórásnégyzete

.535_

"9690'

tehát

Baba) :

D(b12601.7) :

V17-1260 13

% 8,13.

1. ábra. A bi, (i : 1260) tapasztalati és elméleti

5 ma,]

(nem normált) sűrűségfüggvénye

50

I !

40 50 50

l ! .

1117 ]

Megjegyzés. Bár : binomiális eloszlás diszkrét, az elméleti függvényt (nem normált sűrűségfüggvényt) folytonos vonallal reprezentáltuk : könnyebb áttekinthetőség mint: (a továbbiakban is ezt az eljárást alkalmazzuk).

J.

ZÚ ma,!

ha 90

2. ábra. A Man,; tapasztalati és elméleti (nem normált) eloszlásfüggvénye

BU —

70—-

sa—

20—

70—

/

M 80 90

1

700 770

Mivel a binomiális eloszlás nagy i értékek és nem túl kicsi húzási valószínűség esetén (az i : 1260, és az 5/90 valószínűség ilyennek tekinthető) a normális eloszlás jó közelítését adja, az

(E(b1260,j)_3D(b1260.]); E (bl260, ]) *" 3D(bl?60 j))

intervallumon belül kell elhelyezkednie kb. 89 szám kihúzási gyakoriságának. Ez teljesül is, mivel a 45,61; 94,39 intervallumon kívül csupán a 3-as szám áll, 98-szoros húzási értékével.

További következménye a binomiális eloszlásnak az, hogy a várható érték és a szórás csak i-től függ, így az E(b,-j) várható érték húzásról húzásra 1/18-dal nő, és várhatóan az idő múlásával VT—vel arányosan nő a legkevesebbszer és a legtöbbször kihúzott számok távol- sága. (Tehát egyesek elvárásával ellentétben, szó sincs a várható érték köré való tömö- rüléséről.)

2. A számpárhúzások vizsgálata

Mivel sorsolásonként 90-ből öt számot húznak ki, ez azt jelenti, hogy a lehetséges

90 5

( 2 ) : 4005 különböző számpárból (2) : 10

kerül kihúzásra. Hasonló logikai úton, mint a tanulmány előző részében belátható, hogy a számpárhúzások száma is binomiális eloszlású.

Legyen gij az az érték, amely megmutatja, hogy az i-edik húzás után várhatóan hány számpárt húztak ki j-szer:

i 10 ! 3995 6—1

gif : 4005 ( j) (a?) (mi?) '

ami az egyszerűsítések elvégzése után:

i Zi 7995"?

gű : 4005 (j) W.

A számpárok alakulása két dimenzióban egyszerűen nyomon követhető, így itt is tudjuk közölni az elméleti sűrűségfüggvény értékei mellett-a tapasztalati értéket.

3. tábla

A 81260, ; elméleti és tapasztalati értékei*

Az A Az A

, elméleti tapasztaiati !. elméleti tapasztalati

érték érték

O.. 171,6 172 7.. 104.0 114

1 . . 541,3 577 8. . 40,76 47

2. . 8529 830 9. . 14.19 11

3. . 8953 882 10. . 4,444 8

4. . 704,2 698 11 . . 1,264 0

5. . 4429 430 12. . 03294 1

6. . 231 ,8 235

*Négy értékes jegyre.

Úgy vélem, nem sokan gondolták volna, hogy még van 172 olyan számpár (az elmélettel nagyon jó egybeesésben), amelyet még nem húztak ki. Csak példaképpen, ilyen az (1; 90) páros, mig a (13; 75) számpár már 12—szer szerepelt a kihúzott számok között.

Nézzük meg, mennyi idő múlva várható, hogy például csupán egy ki nem húzott számpár legyen; tehát a g;, 0 : 1 egyenletet kell i-re megoldani:

- 0_ i _

4oos( ' ) 313 : 1 : ( 799 ) 1 : i(lg 799—lg 801) : ——lg4005

0 9013 66? :: 4005

amiből

! Ig 4005 N

. : ___—Ig 80143 799 N 3318.

Ez pedig nagyjából még további negyven évi játékidőnek felel meg.

A számpárok esetében a várható érték és a szórás:

10 , 10 3995

HMM) : 126031—665 : 3,146 es mami) .. Vneo mm)—s' .. 1,7715

Itt említhető még, hogy számhármasokra is kiterjeszthető ez a logika, deazok nyomon követése már csak számítógéppel oldható meg, másrészt pedig, hogy jellegzetes vonásai kidomborodjanak, jóval több húzási eredményre lenne szükség.

3. A kihúzott számok mint rendezett mintoelemek eloszlásai

Az alábbiakban kiderül, hogy az egyes számok — l-től 90—ig —— az 01 . . .a5 kihúzott számsorozatban, melyik pozícióban milyen valószínűséggel helyezkednek el.

Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy a, : x legyen

P(al : x) : %i (l : 1,2,3,4,5)

(950) (IÉXÉSS-H)

Vagyis például annak valószínűsége, hogy a nagyság szerinti harmadik szám egy sorsolás alkalmával éppen a 45 legyen

44 45

( z ) ( z )

90

( s )

mely értéknek 1260-szorosa — jelöljük ezt A3(x)-szel —— megadja annak elméleti várható értékét, hogy az 1260 húzás alatt a 45-ös szám hányszor volt harmadik a számsorrendben.

Az alábbi ábrákon 1260 húzás után az egytől ötödik helyekre húzott számok tapasztalati értékeit és várható elméleti értékeit (folytonos vonallal) rajzoltuk fel (A,(x) : P(a, : x)1260).

(Lásd a 3. ábrát.)

Az elméletileg meghatározott függvényeket elemezve nyilvánvaló, hogy A1(x) és A5(x),

illetve A2(x) és A4(x) az x : 45,5 egyenesre nézve egymás tükörképei. így elegendő az

A1(x), A2(x) és A3(x) vizsgálata:

P(a3 : 45) : : o,0213,

-—-— az A1(x) függvény az x : 1 helyen értelemszerűen a 70-es értéket veszi fel, hiszen az 1—es szám mindig első a sorban és minden szám várható húzásainak száma 70:

— az A2(x) függvény az x : 23 helyen veszi fel maximumát, az x : 45 helyen pedig inflexiós pontja van:

— az A3(x) az x : 45.illetve az x : 46 helyeken veszi fel maximumát, az x : 20 és az x : 71 helyeken van inflexiós pontja.

3. ábra. Tapasztalati és elméleti gyakoriságok a rendezett mintaelemekre

Az (x) 174 (x)

50 50

aa - 40--

30 "

204

70

4

Ág/X)

40

30

217— '

70

, nlll,

ll

í ! !

ll

Én..,p _

l

5 m za 30 40 50 50 70 80 68

47/4') 450)

80 50

l :

70 70

60— 60—

50— 50—

40- 40—

30 330-

l

20— 20

m-

,,lgllwlm,

ll

; ! mi

w

!, ! _A_lll

ll ll

) : X

1 10 20 50 40 50 50 70 en es 5 70 za aa 40 sa sz; m 817 ga 4. A számok differenciáinak és a minta terjedelmének eloszlásai

A húzott számok különbségeinek vizsgálata is az előző fejezet eloszlásaihoz vezet. Jelöljük (12, 1-gyel az 02—01 különbséget. Keressük annak a valószínűségét, hogy d2,1 :: y legyen, ahol y : 1, 2, 86. Tekintsünk először néhány példát. '

A 4. tábla alapján

90—(3/4—1) k

2 ( a )

P(dz,1 : Y) : "__—

90 )

( 5

Azon ismert összefüggést felhasználva, hogy

,É,(£):(Zíll

adódik:

( 9 Y ) P(dz,1—— Y) : "T

(5)

A lehetséges értékek száma

4. tábla

Az "1 l Az az Az 03, a. és 05 lehetséges

lehecséges értékei értékeinek száma

ee ... 1 87 (90387) : G)

85.—... 1 86 (90386) : G)

2 97 (905787) : (3)

1 85

84 ...

3 87

(

2 86 (

(

Az előzőhöz hasonlóan használjuk a továbbiakban a dhd— : ah—aj jelölést, ahol h :]

(h : 2, . . . , 5; j : 1,2,3,4). A dal-nél felhasznált meggondolások alapján

usw—k) _(907)

90 90) '

( s ) ( s

amely egyben a P(d4,3 : y)-nal is egyenlő a szimmetrikus elhelyezkedés miatt.

Hasonló okból P(d2,1 : y) : P(d5,4 : y). Tehát

(90—y ) 4

P(dhua : y) : ——%——

(s)

2

90-(v-F2) ( k

P(da,z :y) : M

ahol

y:1,2,...,86

A P(dh,,- : y) értékeit vizsgáljuk meg most h—j : 2 esetben. Tekintsünk most is a

dgyl : 03—01 lehetséges előfordulásaira néhány példát, amikor is y : 2,3, . . ., 87.

Az 5. tábla alapján

90—(y—l—l) k

(y:—1) 2 (2)

k:2

(?)

P(d3,1":7):

amelyből

(y—1)(9o;*y )

90)

( 5

5. tábla ,

Néhány példa d s, , : 03—01 lehetséges előfordulására P(d3,1:)'):

Az, a2 lehiíséges Az 323223 ,

, "I'Élféiifes éfgiggigek "a'Él'fáiífes éfgigfggek

87. . 1 86 es (§)

l 1 87 (§)

86... l ; 85 es (§)

1 86 (;)

85-—- 2 84 87 (§)

3 88 (§)

Nyilvánvalóan ugyanez adódik a d4 2 és d5,3 esetekben is, így

(y—1)(

90—y

3 )

li" )

yzzmunw.

P(thJ. : Y) : ¹

ahol

A h—j : 3 és h—j : 4 (mintaterjedelem) eseteket is figyelembe véve, és az összes esetet egybevetve azt kapjuk, hogy

y—1 90—y )

(h—i—1) (S—h-H'

(950)

"db,; : Y) : ^,

ahol

y : (h—j), (h—H—1), . . ., (h—j—l—BS).

A h—j : ! helyettesítéssel ez a sűrűségfüggvény egybeesik a rendezett mintaelemek sűrűségfüggvényével.

A 4. ábrában a szomszédos számok (h—j : 1), valamint a mintaterjedelem tapasztalati értékeit vethetjük egybe az elméletileg várható értékekkel. Az 1260 P(dhd- : y) : Ah,j()') jelölést használjuk.

4. ábra. A szomszédos számok differenciói és a mintaterjedelem

Auf!) 13330)

80 80

7a- 70—

60— 504

50'* 50—

40 40—

aa— 30—

204 za—

m— 70—

y ' J'!

m 20 50 aa 50 50 70 30 aa m az aa 40 50 aa ra az: es

Am M A 5,4 M

50 , aa

71? * " 70—

60—

50—

M—

304 20—

md

:( y

ab 52 M is

5. A számok összegének vizsgálata

5

A a,- összeg várható értéke

j : 1

a 90 szám áthgának ötszöröse.

Ha az összegek megoszlását akarjuk vizsgálni, akkor a

5

F( Z a,) : 5 j: 1

valószínűségeket kell megállapítanunk, ahol 15 § S§ 440. Ehhez azt kellene tudni, hogy az S összeg hányféleképpen állítható elő öt különböző, 1 és 90 közé eső számból. Jelöljük

ezt az értéket K§0(S)-sel. Ezen K(S) értékek kiszámítása különböző rekurziós formulák

segítségével történhet. Az ilyen típusú, ún. particionálási probléma ugyan amatematikai irodalom tárgyát képezi, de közvetlenül használható képletekkel csak részben szolgál.

S természetes számot, ha összeadandókra akarjuk bontani, és azok az 1, 2, . . ., z érté- keket vehetik fel (azokat az előállításokat, amelyek csak az összeadandók sorrendjében térnek el, nem tekintjük különbözőknek), akkor ez Ulm—féleképpen lehetséges, amikor is

m$) : nz—1(S)Jrn2(s—z); (z § 5)

Ha a 2 nem szerepel a felbontásban, akkor 1, 2, . . ., z — 1 számokból állíthatjuk elő S—et,

ez Hz"'1(S) eset, ha pedig szerepel, akkor (S—z)-t kell előállítanunk az 1, 2, . . ., z számokból,

ez HZ(S—z) esetet szolgáltat. Továbbá definíció szerint

[P(O) : 1

Hl($) : 1.

Hasonló az eset, ha az összeadandók csak mind különbözők lehetnek:

m$) : Kz"1(S)-l—Kz—1(S-—z) Kz(0) : 1.

Ezeknél az Összefüggéseknél azonban akár az összes 2 számot felhasználhattuk S előállí—

tásához. A lottó esetében azonban csak r : 5 számot húznak ki egyszerre a z : 90-ből.

A H és aK alsó indexekéntjelöljük azt, hogy hány szám összegeként akarjuk S-et előállítani.

A K§0(S) partíciós értékek előállításához még további észrevételekre van szükség. Ezek

kimondása helyett tekintsük át a 6. táblában S néhány alacsony értékére a particionálás lehetőségeinek számát.

A szaggatott vonal fölé írt számokat tekintve2 látható, hogy

" r r—l

n;(s— 2 k) :Kí (S—l— 2 k); 5 § Z k-l-z,

]: : 1 k : H—l lc : 1

ahol esetünkben z : 90, r : 5, továbbá S § 100 : 1—l—2-l—3-l—4-l—90. (Az S : 101 esetben összeadandóként már a meg nem engedett 91 is beléphetne.)

Továbbá bármelyik sort tekintve látható, hogy

k) : jÉI H; (S_kÉ1 k),

K7(S——

k:1'i1

például

KgOaS) : mao—5) : 1:7:194rz7 : 54

tehát a 6. táblában dőlt számokkal szedett adatok.

2 Természetesen a heurisztikus észrevételen túlmenően ez a képlet, valamint a további felhasznált összefüggések is matematikai precizitással bizonyíthatók.

6. tábla S particionálási lehetőségeinek száma*

"? 5 5 5 5 f § ;: a

5 J, J, J, J. J, J, J. J. J, ;:

§: §. §; ? §; §; §; %; §" V

r: e e 5 !: e e e ná ?

15 ... 1 o o o o 1 1 1 1 1

16 ... 1 o o o o 1 1 1 1 1

17 ... 1 1 o o o 1 2 2 2 2

13 ... 1 1 1 o o 1 2 3 3 3

19 ... 1 2 1 1 o 1 3 4 s 5

20 ... 1 2 2 1 1 1 3 5 6 7

21 ... 1 3 3 2 1 1 4 7 9 10

22 ... 1 3 4 3 2 1 4 8 11 13—

23 ... 1 4 s s 3 1 5 10 15 13

24 ... 1 4 7 6 5 1 5 12 18 23

25 ... 1 s s 9 7 1 6 14 23 30

26 ... 1 s 10 11 10 1 6 16 27 ""—37————

27 ... 1 6 12 15 13 1 7 19 ' 34____ 47

28 ... 1 e 14 18 18 1 7 21"""" 39 57

29 ... 1 7 16 23 23 1 ' "é""" 24 47 70

30 ... 1 7 19 27 30 """1""""" s 27 54 84

* Egyforma számok megengedésével (II) és csak különböző számokból (K).

Folytassuk az eljárást kevésbé általánosan. Ha 101 §. S § 187, akkor az összeadandók között lehet már olyan szám is, amely 90—nél nagyobb, így ezeket az eseteket ki kell szűrni:

5 S

Kgm) : 2 11320(s,—15)— Z K§0(S——91).

j ; 1 : : 101

Ha pedig 188 § S § 227, akkor már két 90-nél nagyobb szám is lehet 5 particionálásában, mely eseteket az előző korrekcióval így már kétszeresen figyelembe vettük, tehát a feles- legesen kiszűrt esetek számát, amely

8—182

j; K%"(J)H§0($—180—J)

újra hozzá kell venni. Összesítve az eddigieket, a szimmetria miatt

1635) : K§0(4SS——S)

és

HMS—15) (15 § s § 100)

S

! ngO(s—15)— ; K§0(j-—91) (101 § s § 187)

K§0(S) : í ] : 101

S 8—182

ngO(s—15)— Z K§0(j—91)-1- ; K§0(j)-1130(S—180——-j) (188 gs § 227)

. j : 6 _ .

73101

Ezek után a számok összege várható megoszlásának képlete 1260 húzás után

5 K90 s

1260 F( 2 a]- :s) :1260 gé)

izt

( 5 )

Az 5. ábrában bemutatjuk a tapasztalati értékeket, a 7. táblában pedig kiemelve néhány

S-re a K§0(S) számértékét, valamint a várható darabszámokat.

5. ábra. A számösszegek tapasztalati gyakorisága

db

20

W

. . . 14.111. i u .. ; .l. ].ll;lll.l !. liniilihllllmlillli'lllll ,lllll MMM!!! Mill"! HINNI" H'] i 1! lm! 5

H I I

7520 40 álá 847 700 7217 Til/ű 75; 750 200 220

0

701 "tl

im IIIW lhli MMM M! MMM tllI illlllilltllllílilll hm..

, m !

lmi": "g.: 1. . , , . . ! _

240 200 200 300 520 540 300 300 400 020 040

7. tábla

A szómösszegek várható gyakorisága néhány kiemelt S-re

5 5

s K§0(S) 1260 P ( 2 a,. : s) s K§0(S) 1260 P ( 2 aj : s)

1 : 1 :] : 1

20 ... 7 0,0002 130 ... 75 618 2,1679

30 ... 84 00024 140 ... 100 098 2,8697

40 ... 377 0,0108 1 50 ... 127 743 3,6623

50 ... 1 115 00320 160 ... 157 637 45194

60 ... 2 611 00749 170 ... 188 529 5,4050

70 ... 5 260 0,1508 180 ... 218 837 6,2739

80 ... 9 542 0,2736 190 ... 246 648 7,0712

90 ... 16 019 04593 ' 200 ... 269 947 7,7392

100 ... 25 337 07264 210 ... 287 108 8,2312

110 ... 38 154 1,0938 220 ... 297 007 85150

120 ... 54 887 1,5736 227 ... 299 260 8,5796

Az eddigiekből adódóan további matematikai érdekesség, hogy

227

(950) : 2 s ;15 K§0($).

Továbbá megiegyezhetiük még, hogyaK§0(S) függvénynek S : 167 és S : 168 között

inflexiós pontja van.

6. A számok kora és az ,,örökifjúság"

Mint a bevezetőben is említettük, előfordult olyan eset, hogy egy számot közel három év elteltével, a 155. sorsoláskor húztak ki újra. Általánosságban azt tapasztaljuk, hogy a

7 Statisztikai Szemle

nem olyan régen kisorsolt számokat gyakrabban húzzák ki, és esetleg ezekhez társul egy—

két már régebben kihúzott szám. Azt várhatjuk, hogy az előző heti nyerőszámokból kerül a legtöbb a következő húzás során, hiszenilyen egyhetes korú számból mindig öt van, ' tehát a lehetséges legtöbb.

Állapítsuk meg, hogy az i : 1260 számsorsolás alatt várhatóan hányszor fordul elő olyan eset, hogy egy számot n hét után húznak ki újra, és jelöljük ennek várható számértékéa E(Tf,)—vel. Most is abból a feltételezésből kell kiindulni, hogy a számok húzása teljesen véletlenszerű, vagyis az egyes számok szempontjából közömbös, hogy előtte hány olyan sorsolás volt, amikor nem húzták ki.

Mondjuk azt, hogy k szám (k : 1, 2, ...,90) nk hetes korú az i-edik húzás után, ha _ utoljára az (i—n)-edik sorsolásnál húzták ki. A számok öregségének várható értéke E(nk) : 90/5 : 18, hiszen a 90 számból ötöt húznak ki egyszerre.

Továbbá definiáljuk az i-edik húzás utáni időmennyiség fogalmát, jelöljük ezt, Ti-vel.

90

T" : 90i—— ; nk;

km].

"(1260 : 90-1260—1577.

Ez a számérték azt mutatja, hogy a kilencven szám mennyi időt töltött ki az i-edik húzással. Várható értéke E(T" ):90i—9O E(nk) : 90(í—18). Legyen

w a Ti: 2 Ti,

"___1

a gyakorlatban n értéke véges szám, idáig nmax : 155.

A lottójáték megindulásakor minden szám egyes öregséggel indult, ezért a 90 szám elso kihúzásáig eltelt időket (rk) nem vesszük figyelembe számitásainkban, mivel ezek meghamisítanák eredményeinket. Ha a számok első kihúzásakor mért öregségeket össze-

90

gezzük, É 'rk : 'E', akkor 17 : 1718 értéket kapunk. Ezt figyelembe véve

k : 1

Ti : Z Tán-P:; Tf : 5i—90.

":1

Tehát a Ti, értékeknek 5í—9O pozíciót kell betölteniük. Mivel a húzás véletlenszerű egy szám következő sorsoláskor valókihúzásának valószinűsége 5/90,i gy Tl' várható értéke

. 5 i

sm) : '9—67! _ 56—54).

Hasonlóképpen

. . 5 17

EU?) : [T'—END] 35 : EUí) "1-5

"1—ka

(—)(——-—)(— )

Vagyis az E(Tf,) értékek olyan mértani sorozat elemei, amelyben a hányados (; : 17118.

. 17

m;) : [r'—EUD—Enm % : E(Ti)( )

Egy számot vagy kihúznak a következő sorsoláskor (ennek valószínűsége 1/18), vagy valamikor később húzzák ki (17/18 valószínűséggel). Igy az a természetes feltétel, hogy

. 1

__ T" 374— 1 T,, : 17—17"

k:n4l*1 k 18

legyen, nyilván teljesül, ha í _— oo,hiszen a nevezőre a mértani sor összegképletéből

hm Tt : T,; ___,7 : 17 T;

""ookglll " H 17 1.___

18

adódik. Azi : 1260 már elég nagy szám ahhoz, hogy n : 80 esetén ennek az értéknek jó közelítését kapjuk.

Feltéve, hogy valamely k szám egy bizonyos nk öregséget megért, ettől kezdve további élettartamának megoszlása megegyezik eredeti élettartamának megoszlásával. Ez az ún.

,,örökifiúság" tulajdonság az exponenciális eloszlás jellemzője, melynek eloszlásfüggvénye P(nk : x) : 1——e*M sűrűségfüggvényeAPmk : x) : leüt.

Mivel E(nk) : 18 : 1/7X az exponenciális eloszlás esetén, ezért 1 : 1/18.

Ugyanez az eloszlás jellemző az E(T,f) értékekre, hiszen az egyes sorsolások esetén ki- húzott öt szám öregsége exponenciális eloszlást követ, és a T,; ezekből az n öregségekből

épül fel húzásról húzásra. Ha megpróbáljuk ábrázolni a T,?GO elméleti és tapasztalati értékeit,

akkor helyproblémával kell küszködnünk, hiszen

1260 17 n—1 17 n—1

1260 __ kw_ ,_ : _ _

EU" )"5( 18 lllwl mlm)

amiből például E(T§250) : 345 és E(T'11g80) : 1,203 adódik. Ezért inkább logaritmusaikat

tekintsük:

ln E(T,§260) : ln 3454—(ln 17—ln 18) (n—1).

6. ábra. A T,?GO várható és tapasztalati értékei

lllmiliw ",

l

, l i ,

70 20 50 40 50 60 70l7 70 720 730 140 75ű

7;

Mivel

xe-Mz—l—l) 1

heti;— : Zrí—

diszkrét esetben az egyes x értékek valószínűségeinek sorozata egy mértani sorozat, melyben (; : 1/ex. Az E(T,f) sorozatban g : 17/18, így az l/ex : 17/18 egyenletet k-ra

megoldva, )x : In 18—ln 17 adódik, vagyis

P(T; : x) ; (ln1B—ln17)e(1"17"'"18)x : (ln18——ln17)(—1—;—)x (x 21)

7. Elemszámok az egyes öregségeken belül

Az eddigiek során előfordult olyan eset, hogy az egy alkalommal kihúzott öt szám közül a rákövetkező 21 hét alatt egy sem került a nyertes számok közé. Felmerülhet a kérdés, hogy ilyen eset milyen valószínűséggel következik be (0,002 876 adódik), vagy általánosabban, az egyes öregségeken belül, hány szám, milyen valószínűséggel tartózkodhat?

Legyen pg), annak a valószínűsége, hogy az i-edik húzás után az n öregségű számokból rvan, ahol n : 1,2, ...r:0,1. ...,5.

Továbbá jelölje Rá', azt a valószínűségi változót, amely az n öregségű számok mennyiségét mutatja az i-edik húzás után.

Mivel 1 öregségű szám mindig őt van, így pís : 1, továbbá az is nyilvánvaló, hogy

5

2 pa, : 1.

:0

Az R:; várható értéke pedig:

5

Emil): Z Pf.,rr-

r : 0

A pi," és így az Rá, várható értéke is láthatóan független i-től, ezert ezt az indexet a

továbbiakban elhagyjuk.

xsw

1.... 1 O 0 0 0 0 5

a. tábla A p", , értékei

3 2 1 o sua")

2 (ma:) seg)

" (1?) (10) (10) (10) (10) (10) 90

a.. (0)(5)(3)(855) _ 4332

Az E(R,,) : 5(17/18)""1, míg a pm, értékek további előállításához egy rekurzív képletet adhatunk meg:

"" ] 90—i

ZWAJk—Jk—UHÖ

: jar

Pmr 90

(s)

A 1)", , képletét például r : O-ra és r : S-re kifejtve, a kÖVetkezők adódnak:

: Pn-1,1 ZPn—m Pn-m Pn—m Pn—1.5

PM MMM— 18 * 801 *11749'l' 511o3s"*'43949268

_(3644613 )n—1

"5_ 4883252

7. ábra. Az n öregségű számok számának valószínűségi előfordulásai

prim w

M

f'zű ülő—

U,7 — I'vő

05" 5

(25'

ha

Fa.? P:?

(J,/I —

U,.i -

E?—

41—

! !

70 20 50 40 M 60 70 50 90 700 770 720 7.417 74'0 7510 lév

8. Az öregségek korának vizsgálata

Mint láttuk, az egyhetes öregségű számokból való újrahúzás valószínűsége a legnagyobb.

Mégis volt rá eset, hogy az ilyen ,,friss" számok mindegyike 15 héten át tovább öregedhetett.

Milyen gyakorisággal következhet be egy ilyen esemény, vagyis mi a valószínűsége egy öregség ,,halálának"!

Jelölje t,, azt az időt, mely eltelik két n öregség kihúzása között. Ha ennek várható értékét E(t,,)-nel jelöljük, az E(R,,) E(t,,) : 18 egyenlőségnek teljesülnie kell. Ezért

Ea"): 18 18 (NY—1.

mm;?"—

¹⁷

Ha azt akarjuk vizsgálni, hogy hányszor fordult elő az " sorsolás alatt, hogy egy n öregséget t,, idő eltelte után húztak ki újra, akkor jelöljük ennek elméleti számértékét din-vel.

Teljesülníe kell annak a feltételnek, hogy egy öregség kihúzása, illetve ki nem húzása

valószínűségeinek aránya állandó, vagyis

dá'ía— _HÉ'L—g: __ : L,; :D'

* _ - ; i n '"

l—dlln '—(d1n'1'd2n) i— É din

f" : 1

legyen. Egy ilyen feltétel pedig mértani sorozat elemeire áll fenn, ezért

din : din—l cin-

Az n : 1 esetben a következő egyenletrendszernek kell fennállnia:

áll-id'ixalldll alid'il nil :í

. . . 18

dáx'1'2d'11 (hd-34131 aí'l'4díx GÉ-l— - . — : "*S*,-

mivel E(t1) : 18/5, ebből

13 . 5 _

91 : "1? ' dn ": Tg' és így

,, 13 t.—1 5 ,

d" — (75) Tá '—

Általános esetben az egyenletrendszer:

. 18" .

dán-ndi" gn—l—Bdín 45—i— ... :: 37717 .,

melynek megoldásaként

_1 __§_ 17 n—1 5_5

%— 18 (Tá) ' lríí

17)n—1, (18 "

5 17 6—1 5 17 n—*1 tn—l

: ___ __ ___ __ .

dt"— 18 (13) [1 18 (18, ] "

6- A számok öregségeinek összegéről

m— n —. on *4

Az már az eddigiekből nyilvánvaló, hogy a kihúzott számok öregségeinek várható értéke 90. Természetesen ez az érték elég ritkán adódik, az eddigi összeghatárok, a 13 és a 288

pedig arról tanúskodnak, hogy itt is nem szimmetrikus eloszlásfajtáról lehet szó.

Az előzőkben me8állaPítottuk, hogY az nk értékek exPonenciális eloszlást követnek.

Most vizsgálni akarjuk az egyes alkalmakkor kihúzott számok öregségeinek összegét.

Legyen na] a j-edik kihúzott szám öregsége. Mivel nal, nag, . . ., n,,5 független, exponenciális eloszlású, azonos paraméterű változók, ezért összegük

5 N': 2 Haj

):1

gamma eloszlást követ. Azt tudjuk, hogy )x : 1/18, továbbá, hogy N legkisebb értéke 5 lehet (ez az az eset, mikor az előző héten kihúzott öt számot újra kihúzzák). Ezeket figyelembe véve a gamma eloszlásfüggvény a következő lesz:

a:

1 5 5 4

lííl "* ) _ a

P (N : x) : 4! (e 1118)! 5 át,

5

melynek kifejtéséből (parciális integrálással)

(x—5)4-i—72 (x_syuaesa (x—5)2—4—139 %s (x—SH—Z 519 424 2 519 424 eve—W

P(N:x):1—-

adódik. A sűrűségfüggvény pedig a következő alakban írható le:

(X-—-5)4

"" : X) : 45 349 632 eve—5)!18

A sűrűségfüggvény megfelelő deriváltiaiból az olvasható le, hogy ez a függvény maxi—

mumát az x : 77 helyen veszi fel, az x : 41 és azx : 113 helyeken pedig inflexiós pontja

van.

8. ábra. Az öregségösszegek várható gyakorisága 1260 húzás után

iíőűP/ll/rx)

20

117 —

mfl max //7/'/ !

l

5 247 45 50 170 700 IIF [40 750 780 250 220 240 2677 230 300

9. ábra. Az öregségösszegek tapasztalati gyakorisága 1260 húzás után

20-

70-

5 20 40 60 80 100 720 740 750 780 200 220 2410 260 280

Az összeg várható értéke:

szórása :

melyek i-től független értékek.

Természetesen számos egyéb elemzésre lenne még mód, de úgy vélem, a legérdekeseb- beket áttekintettük. Az elméletileg számított és a tapasztalati értékek igen jó egybeesése ismét bizonyítja a statisztikai módszerek megalapozottságát, használatuk jogosságát.

IRODALOM

Vincze István: Matematika statisztika ipari alkalmazásokkal. Műszaki Könyvkiadó. Budapest. 1968. 352 old.

Denkinger Géza: Valószinűségszámitás. Tankönyvkiadó. Budapest. 1978. 284 old.

Rényi Alfréd: Valószinűségszámitás. Tankönyvkiadó. Budapest. 1968. 510 old.

PE3l-OME

Aarop c pasnmnbix rouen sperma paccma'rpuaaer peaynsraru 1260 posurpumeü novo.

C nOMoutbio cpencrs KoMőuHeTopi—mn u annapa'ra maTeMarnueCKoü c-rarucrmm nponzsogm ananus lnacmoro n apemem—roro noeeAer—mn uncen.

l'iokaasieae'r, uro a o'rHomem—m HaCTO'l'bl sunrpsrmumx uucen 14 nap uncen neücmu—

Teanbl SGKOHH ÖHHOMHHaanOI'O pacnpeaenennn. Pacnpenenenne me paannuuü amen axenaanemno pacnpenenenmo uncen KEK sneMer—rros ynopnAoueHHoü suöopnu. C Mercato- poii nomombw 'reopm—r uncen npuxoam' K onpeAener-rmo omnmaemoü uacroru CYMM uncen no poaslrpbrwam.

Bpemei—moü ananns nonaaan, uto c'rapenue uncen nponcxognr a cooraercraun : ancno- HenunaanuM pacnpenenermeM. Aarop nccneAyer aepanmocn noatopeumi oAHaxmm yme asmrpaemero uncna. CYMMa crapenun yme (purypwposmnx uncen cxnanusaercn : com- aercrsm—i c raMma—pacnpeAeneHueM.

CpasHer—me cpakmuecxux u nonyueum—ix Teopermecmm nyreM senmnu noATaepxmaer oőocnosanuocrs ctamcrmecmx METOAOB.

SUMMARY

The author analyses the results of 1.260 state lottery drawings by several aspects. He investigates the freauency and the time pattern of lottery numbers using the apparatus of combinatorics and mathematical statistics.

lt is painted out that the freauency of drawing numbers and pair of numbers follows binomial distribution. The distribution of the differences of numbers is eguivalent to the distribution of the numbers as systematic sample-elements. Relying on number theory the author comes to the determination of the expected freauency of the sum of numbers by drawings.

The analysis of the changes in time showed that the ,.aging" of numbers (time elapsed since the last drawing) follows exponential distribution. The author estimates the probability of re—drawing a number which was drawn long ago. The sum of the aging of numbers drawn follows gamma distribution.

The comporison of the values provided by the practice or determined theoretically proves the sound foundations of the statistical methods.