PHYSICSBUDAPEST INSTITUTE FOR* RESEARCH CENTRAL S^xiri^axian S4cademi^ of (Sciences щ

щ

K F K I - 7 1 - 3 3

( # KÖNYVTARA * J

P . H a s e n f r a t z

C O N S T R U C T I O N O F T H E E F F E C T IV E L A G R A N G I A N O F P I O N I C P R O C E S S E S

F O R A R B IT R A R Y S U ( 2 ) x S U ( 2 ) B R E A K IN G

S ^ x ir i^ a x ia n S 4 c a d e m i^ o f ( S c ie n c e s

C E N T R A L R E S E A R C H

I N S T I T U T E F O R * P H Y S I C S

B U D A P E S T

KFKi-71-33

CONSTRUCTION OF THE EFFECTIVE LAGRANGIAN OF PIONIC PROCESSES FOR ARBITRARY SU (2)xSU (2) BREAKING

P , H a s e n f r a tz

C e n tr a l R esearch. I n s t i t u t e f o r P h y s ic s o f t h e H ig h E n erg y P h y s ic s D ep artm en t

ABSTRACT

By assu m in g t h a t t h e SU (2)xSU (2) symmetry i s b ro k e n b y t h e i s o s c a l a r e le m e n t o f t h e r e p r e s e n t a t i o n (Я Д ) e f f e c t i v e L a g ra n g ia n s r e p r o d u c in g t h e r e s u l t s o f c u r r e n t a l g e b r a and t h e PCAC a s s u m p tio n can be c o n s t r u c t e d

by a d i r e c t m ethod s u g g e s te d by R. D ashen and M. W e in s te in r2] . I t i s shown t h a t th e sy m m e try -b re a k in g p a r t s o f th e s e L a g ra n g ia n s a r e t h e s o l u t i o n s / i n c lo s e d f o r m / o f th e d i f f e r e n t i a l e q u a tio n f o r th e b r e a k i n g p a r t s i n W ein b e rg ’s fo rm a lis m [31 , an d t h u s t h e c o n n e c tio n b etw een t h e two ap­

p ro a c h e s i s e s t a b l i s h e d .

РЕЗЮМЕ

П р едп о л агая , что изоскалярны й элем ент п р ед ст а в л ен и я (г. > 0 нарушает симметрию s u ( 2 ) x s u ( 2 ) , непосредствен н ы м м етодом , предложенным Р . Дашеном и М. Вейнштейном можно за п и с а т ь эффективные функции Л агранж а, которые при­

в о д я т к тем же самым р е зу л ь т а т а м как и в сл у ч а е и с п о л ь зо в а н и я токовой а л ­ гебры и ’предполож ения РСАС. П о к азан о, что нарушающие симметрию ч асти э т и х функций Лагранжа представляю т с о б о й решения (в закрытом в и д е ) дифференци­

ал ь н о го ур авн ен и я для нарушающих ч а с т е й в формулировке В е й н б ер га L3J , а также с о з д а н а с в я зь между двумя приближениями.

KIVONAT

На f e l t é t e l e z z ü k , hogy az ( t ,£ ) . r e p r e z e n t á c i ó i z o s k a l á r eleme meg­

t ö r i az SU (2)xSU (2) s z i m m e t r i á t , a k k o r az R. D ashen és M. W e in s te in [2]

á l t a l j a v a s o l t d i r e k t m ó d s z e rr e l e l ő á l l i t h a t ó k a z e f f e k t i v L a g r a n g e - f ü g g - v é n y e k , am elyek újból, az á ra m a lg e b ra és a P O A C -feltev és f e l h a s z n á l á s á ­ v a l k a p o tt eredm ényekhez v e z e tn e k . M egm utatjuk, hogy e L a g ra n g e -fü g g v é n y e k s z im m e t r i a - t ö r ö r é s z e / z á r t a l a k b a n / a W e in b e rg - fé le fo rm a liz m u s 131 я я 1 т - m e t r i a - t ö r ö r é s z é r e f e l í r h a t ó d i f f e r e n c i á l e g y e n l e t m e g o ld á sá t a d j a , és e z ­ z e l b e b i z o n y í t o t t u k , hogy a k é t f é l e k ö z e l í t é s k ö z ö t t k a p c s o l a t v a n .

I . INTRODUCTION

R. D ash en and M. W e in ste in I I I , [2] h a r e p o in te d o u t t h a t t h e m ost l o g i c a l e x p l a n a t i o n f o r th e s u c c e q ^ o f t h e PCAC h y p o th e s i s i s t h a t th e r e a l w o rld s a t i s f i e s an a p p ro x im a te SU2xSU2 sym m etry.

The symmetry i s r e a l i z e d b y th e a p p e a ra n c e o f m a s s le s s p io n s /G o ld s to n e b o s o n s / , th e vaccuum i s n o t i n v a r i a n t .

Many g e n e r a l th e o re m s have b e e n p ro v e d i n [2] w ith t h e h e lp o f a n i d e n t i t y w hich g iv e s th e m a tr ix elem en t <a + n ir|s |ß > i n term s o f m a tr ix e le m e n ts o f tim e - o r d e r e d p r o d u c ts o f v e c t o r and a x i a l v e c t o r c u r r e n t s . S t a r t i n g from t h i s i d e n t i t y th e a u t h o r s c o n s t r u c t e d i n th e SUxSU2 sym m etry case th e e f f e c t i v e L a g r a n g ia n , w h ich i n t h e t r e e a p p ro ­ x im a tio n r e p r o d u c e s th e r e s u l t s o f t h e j o i n t a s s u m p tio n s o f PCAC and c u r r e n t a l g e b r a .

f o l l o w i n g t h i s a p p ro a c h , I h a v e lo o k e d f o r th e e f f e c t i v e L a n g ra n g ia n i n th e case o f any ty p e o f symmetry b r e a k in g a n d any ty p e o f d e f i n i t i o n o f th e p i o n i n t e r p o l a t i n g f i e l d , I s h a l l d i s c u s s th e c o n n e c tio n w i t h W e in b e rg 's r e s u l t s [31 « and t h u s com plete t h e connec­

t i o n betw een t h e above m e n tio n e d d e f i n i t i o n o f PCAC and W e in b e rg 's

p h e n o m e n o lo g ic a l L a g ra n g ia n f o r m a lis m . I s h a l l t h e n d i s c u s s how one c a n o b t a i n th e g e n e r a l form o f t h e ’ c o v a r i a n t d e r i v a t i v e i n t h i s way, an d p ro v e t h a t t h e symmetry—b re a k in g p a r t s o f th e L a g ra n g ia n s a r e th e s o l u ­ t i o n s i n c l o s e d form o f th e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n d e te r m in in g th e b r e a k ­

i n g L a g ra n g ia n i n W einberg s f o r m a lis m .

C u r r e n t a l g e b r a , w ith th e a i d of th e a p p ro x im a te symmetry- a s s u m p tio n , d e te r m in e s t h e a m p litu d e s on th e m ass s h e l l , b u t a t a n o n - p h y s i c a l p o i n t /w h e re a s t h e u s u a l PCAC te c h n iq u e d e te r m in e s th e S m a t r i x e le m e n t o f f t h e mass s h e l l / . I s h a l l make some rem ark s a b o u t t h i s i n c o n n e c tio n w i t h th e тгтт a m p litu d e .

- 2 -

I I . THE EFFECTIVE LAGRANGIAN I E THE CASE OF ARBITRARY TIRE OF SYMMETRY BREAKING

The e f f e c t i v e L a g ra n g ia n s can b e c o n s t r u c t e d i n c lo s e d form f o r a n a r b i t r a r y t y p e of s y m m e try -b re a k in g from one o f Dashen a n d Wein­

s t e i n ' s i d e n t i t i e s t 2 j . They a r e ;ju st t h e W e in b e rg 's p h e n o m e n o lo g ic a l L a g ra n g ia n s i n t h e c a s e of g e n e r a l p io n f i e l d d e f i n i t i o n . The m e n tio n e d i d e n t i t y i s t

<a + V W1 + 2 (p2 )+ ” - 'ra O n ^ S |ß> = f ? < a |^ n ) ( 'P l 'P 2 '- * * pn ) l 3>n

/1/

w ith ( P1 fP2 • • d e f in e d t o be t h e c o e f f i c i e n t o f f " i n t h e e x p a n s io n o f th e e x p o n e n ti a l

T^exp |± J d 4x X (x) ^ / 2/

I n / 2 / <C(x.) i s i n g e n e r a l a sum o f two p a r t s , w hich we can o b t a i n from

\

I f , \

fTjd u « ex p - i f ffu j d 3x G ( f 2) f .A ° ( x ) ^Эу ( с ( ^ 2) ^ ) А у ( у ) | е х р | ^ и | н 3г G ( f 2) f .A^jjj

+ fir[du ' exp [ - i f 7ru [ d 3x g(* 2) ^ .A ° (x) ^G (f2) f . Эу Ay (y)) exp | i f iru jd 3z G^P2) f .A°(z)j /3 / i f i n t h e r e s u l t i n g e x p r e s s io n we r e p l a c e t h e term s э f .A , f . a Ay / l i n e a r i n ^f(x) / w i t h ayf .A y , ^.э^А , Here ^f(x) i s a c num ber i s o v e c t o r f u n c t i o n :

n i p .x

£.(*) “ I e 3 /4 /

j =1 3

where _e^ i s an i s o v e c t o r a l l o f whose com ponents e x c e p t i t s —th component a r e e q u a l t o a e r o , a n d o n ly t h o s e te rm s o f t h e r e s u l t i n g e x p r e s s io n sh o u ld be k e p t f o r w h ic h a l l t h e P j arp d i s t i n c t , a p(x)

/ i = l , 2 ,3 / a r e th e a x i a l v e c t o r c u r r e n t s e n c o u n te re d i n t h e t h e o r y o f weak i n t e r a c t i o n s , a n d th e b a r r e d q u a n t i t i e s a re d e f i n e d a s b e i n g e q u al t o th e c o r r e s p o n d in g u n b a rre d q u a n t i t y w ith th e p io n p o l e rem oved,

G (>?2) s t a n d s f o r a n a r b i t r a r y f u n c t i o n ojP * f2 .

e rfo rm in g t h e o p e r a tio n s i n th e f i r s t term o f ( 5 ) , we g e t s i n f . Gf / ч , . c o s f G f-1

^ --- - К (‘f ) + ---- ^ r - --- ^ 2“--- /5 /

- 3 -

wh e r e

к(*> = f 3G

э7 f 1тг f—

s i n f GfTT f 2

/6/

L e t |a> = |8> = |o> i n ( 1 ) . I n th e lo w e s t o r d e r we g e t c o n t r i b u t i o n s fro m d i r e c t an d p o le te r m s . L e t u s lo o k f o r t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e d i r e c t p a r t . From th e f i r s t te rm i n (3 ) we o b t a i n a p a r t w h ich i s sec­

ond o r d e r i n p io n momenta:

i < ° | j p C - i ) 2 (x) <£(y))d4x d 4y | 0 > } | n / 7 / I n th e c a s e o f th e d i r e c t d iag ram we can p u t a c a r e t ab o v e th e a x i a l v e c t o r c u r r e n t s i n ( 5 ) , w hich g i v e s

{ (

P

d 4x d 4y 2J '(Э l . £ ) f e ( x) s i n f ^ Gf

K (f) + Э f у a(x)

K(vf)+ s i n £ ^ 3v f ß ( y) <o|t(ÄJ; a£ ) |o> _/8/ , , f n

■>' TT Here

< ° |t(aJ A g ) |o>

-

ъ

C le a r l y we o b ta in t h e same r e s u l t b y p u t t i n g £ (x ) — *-tt(x) i n ( 8 ) , sa n d w ic h in g i t b e tw e e n n p io n s , a n d c a l c u l a t i n g th e d i r e c t d ia g ra m . Thus t h e k i n e t i c p a r t o f th e e f f e c t i v e L a g ra n g ia n i s

where

- ■ H ТГ (x ) D ТУD TT (x )

s i n f Git __

D TT 2 --- 3 TT + — v--- ---- K (tt)

у ír у — it v '

( 5y H ) l

191

I Ю /

L e t us compare t h i s w ith th e g e n e r a l form o f t h e c o v a r i a n t d e r i v a t i v e o f W einberg [3 ] *

я T h ere i s a m i s p r in t i n th e e x p r e s s io n o f d^jt and v ( n 2 ) i n 131

- 4 -

D TT = --- ---^Л~Н) Э ТТ + — ^----- ~ ( f ' (тт2 ) + ivjTT.a тт2 / 1 1 /

"■ v ~ £2( ” 2 ) +” 2 V 2 ' ~ м_

w here

v ( , 2 ) - - Ф 2 ) - И т ф * £ 1^ 1 - , £ . ( , . 2 ) 1 ä i i i ! 2

тт2 dir

I t can be s e e n im m e d ia te ly t h a t t h e two e x p r e s s io n s a r e t h e same, a s ­ sum ing

s i n f Gtt = --- ---TTT~ Д 2 /

’ ( f 2 ( , 2) ♦ , 2) 1 /2

To f i n d th e s y m m e try -b re a k in g p a r t o f th e L a g ra n g ia n assum e t h a t th e s t r o n g i n t e r a c t i o n H a m ilto n ia n can b e decom posed a t any t tim e i n t o two p a r t s

и = Ho ( t ) + e Ht ( t ) I Hx( t ) = ] ^ ( х ) а 3х

w here HQ(t) p o s s e s s e s a c h i r a l sym m etry, a n d eH-^t) tr a n s f o r m s a s some sum o f i r r e d u c i b l e t e n s o r s u n d er t h e SU2xSU2 g r o u p . The f i r s t o r d e r te rm I n € comes from

< 0 | ~ ( - i ) | d 4x oC(x) | o > / 1 3 /

I t s v a lu e c a n be o b ta in e d by e v a l u a t i n g th e s e c o n d p a r t o f ( j ) . H ere we m ust make a g e n e r a l c h i r a l t r a n s f o r m a t i o n on th e Ay ( y ) o p e r a t o r , assu m in g t h a t th e s y m m e try -b re a k in g o p e r a t o r I s th e i s o s c a l a r e le m e n t o f th e r e p r e s e n t a t i o n ( l , z ) . I s o s c a l a r and i s o v e c t o r . . . e le m e n ts a - r i s e from t h e t r a n s f o r m a t i o n , b u t b e c a u s e o f ( 1 3 ) we m ust lo o k o n ly f o r

t h e c o e f f i c i e n t o f i s o s c a l a r p a r t . T a k in g i n t o a c c o u n t t h a t

<0 | € (O) | 0 > =

2

hlir 3

4 f2 21(21+2 )

1 IT

/1 4 /

one can se e t h a t th e s y m m e try -b re a k in g p a r t o f t h e e f f e c t i v e X a g ra n g ia n i s

X( b 4 x ) = i f ir l ( 2 l + \ ) ( 2 l + 2 ) [ du ( п , 2ш)

Í (x)-mt(x ) / 1 5 /

- 5 -

I n /1 5 / d e n o te s th e r e p r e s e n t a t i o n o f th e SU2 g e n e r a t o r and D ^ ( n f 2a>) t h e m a tr ix f o r th e r o t a t i o n 2ш = 2 ( - f f ^ Gu) a b o u t th e a x i s n = I o f ( 2£+ l) d im e n sio n s / s e e A p p e n d ix /.

We f i n d from t h e known [41 form o f 2

' \ x ) = —2 Ц 2Л+1 ) (2£+2 ) [c o s (2 n fTT ■ 1]

TT

/ n = l /2 i f

| f ( х ) ч - Т Г ( х )

i s h a I f i n t e g e r /

/ 1 6 /

W ith t h e a i d o f /1 2 / we g e t

(A,U(x) = co n st . Re 3--- f^£+1

q - 1 ' + c o n s t ' /1 7 /

w here q = - - -я" " - тг- , a n d th e c o n s t a n t s may h e o b ta in e d b y f (tt ) - i f f

dem anding t h a t t h e T a y lo r s e r i e s o f Л ^'^(т т 2 ) s t a r t w it h ^ mjj ‘”2 • L e t us sum m arize o u r r e s u l t s i n th e f o ll o w i n g theorem *

I n t h e lo w e st o r d e r of momenta and e th e p io n * s a m p litu d e s a r e c o r r e c t l y c a l c u l a t e d b y u s in g t h e e f f e c t i v e L a g ra n g ia n / i n th e c a s e o f (i. Д ) - t y p e sy m m e try -b re a k in g /

X (x) - - j D^tt . Dp tt + X ^ ' l \ x ) /1 8 / w here d^tt(x) , L ^ ' ^ x ) a re d e f i n e d by ( 1 0 ) / o r ( l l ) / and (1 6 ) / o r ( 17 ) / r e s p e c tiv e ly ^ c a l c u l a t i n g a c c o r d in g t o th e u su al. Feynman r u l e s b u t s u b j e c t t o th e r e s t r i c t i o n t h a t one k e e p s o n ly t r e e d ia g ra m s . I n t h i s way t h e c o n n e c tio n b etw een t h e p o i n t of. v ie w o f b r o k e n symmetry and W einberges p h e n o m en o lo g ica l L a g r a n g ia n fo rm a lis m Ъ есо тев c o m p le te . Namely, X ^ '^ ^ x ) i s th e s o l u t i o n o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n :

2 , 2 ( 1 ( , 2) +, 29 ( , 2 ) ) 2 х ( г ' ^ ( . 2) +

+ (f (п2)+ п2д ( и 2)) ^3f (n2 )+ir2g (» 2 )+2ii2 ( f (ii2)+i,2g ( » 2) ) 1 * (24+Я ‘% 2)‘

= c o n s t.

1 + 2 f (tr2 ) f ' (tt2 )- f { - 2 ) - 2тг2 f ' ( i r 2 )

/ 1 9 /

- 6 -

I I I . THE ТПТ AMPLITUDE

The u s u a l m eth o d g iv e s t h e o ff -m a s s s h e l l a m p litu d e a s [5 ] :

<irv ÍP])17« (4 ) Is I "ß (k )irő(P2)> q 2=k2=0 = - i ( 2 1T'J164 ( p 1+ q -p 2- k ) 4 f 2 . s=mf+2P iq

t= °2 u=m‘ - 2p !q

[ 2 ( P i q ) ( 6oi6öYß ‘ 6c r A ß ) + i<7ryCPl) )17Т6<Гр2>>]

w here

/2 1/

za g (q ) = J d 4x e ÍC^X 6(xo) [a° (x) , 9yA j(0 )] / 2 2 / W ith r e g a r d t o th e A d le r s e l f - c o n s i e t e n c y c o n d i t i o n , Bose s t a t i s t i c s a n d c r o s s i n g sym m etry, i f -v <5^ ’/ a s i t i s i n th e a m o d e l/, we g e t

M1 - - 4 f 2 ( t - ™2 ) M2 - - 4 f J ( u - mj ) и 3 = - l f j ( s - m j ) / 2 3 /

/a b o u t t h e p o i n t s=u=m2 , t = О / E x t r a p o l a t i n g t h i s up t o t h e t h r e s h o l d / h e r e t h e PCAC a s s u m p tio n e n t e r s

i n t o th e gam e/ we o b t a i n t h e known s c a t t e r i n g l e n g t h s .

On t h e o th e r ‘h a n d , w ith t h e b ro k e n sym m etry m ethod we g e t t h e a m p litu d e on th e mass s h e l l . I n d e e d , l e t us c o n á id e r th e e x p r e s s io n

w hich g i v e s th e s y m m e try -b re a k in g L a g r a n g ia n i n W e in b e rg ’s m e th o d , a s we can c o n v in ce o u r a e l v e s by d i r e c t s u b s t i t u t i o n . The o t h e r s o l u t i o n s

/ i + i \

o f ( l 9 ) a r e ^ im j f w h ic h a re s i n g u l a r when т г =0 , an d we d i s ­ r e g a r d them

In th e s p e c i a l c a se o f f( ir 2 ) = - - Л - ( l - f2 tr2 ) we g0tx

^ C l / 2 , 1 / 2^ 2 ) , , 2 1 , * , 20. ,

1 * f ; *

4 „2

i ('1 , 14 »2) - -$■ Ч2 --- Ц - Т Г 2 . / 20Ь/

2 ( l + t 2J Y

/_ 0. m2 . - 1 - 6 / 5 f 2Tr2 + f 4ir4

i ( 2 ’ 2V ) = £ , 2 ' » ' , 20с /

t 1 + Ф )

2 0 / fi i s th e o n ly c l o s e d s o l u t i o n w hich was d e m o n s tra te d by W einberg tjl*

- 7 -

<7Ту(р1) -

< % (P i) I {т ( эа ( q ) 3ß ( - k jKlq ) T( Aa (q ) 3 ß (“k ) + ( - i k v) т (9а ( q )Aß C~k )) + + ( % ) ( - i k v ) T ( < ( q ) Ag ( - k) ] I*6 ^P2 ) >

T (9a (q ) 9g(-k)) = j d 4x d 4y e iq x e _iky Т ^ А ^ ( х ) 3vAg ( y ) ) and so^on P u l i i n g a l l d e r i v a t i v e s th r o u g h th e tim e - o r d e r e d i n s t r u c t i o n , s e p a r a t i n g o f f a l l term s c o r r e s p o n d in g t o th e p io n - p o l e d ia g r a m s , we g e t i n lo w e st o r d e r o f th e momenta q , к a n d o f t h e e y m m e try -b re a k in g p a r a m e te r e *

<*Y( P l) 1Ta Cq)|s|TT3 Ck)TT6 ( p 2 )> ( q 2=IV k2=nV “ i-C2 " ) 4 6 4( P l + q - p 2- k )

4 f j[ 2 ( p ,q ) C « a6 «Yß - 6с г Д з ) ‘ i < 1TY(p l ) l l:a ß C q ) l’T6CP2) >] ' 25' H ere К , n a r e u n s p e c i a l i z e d v a r i a b l e s w hich were f i x e d when we e x t r a c t ­ ed t h e p io n - p o le term s* L é t u s compare t h i s w ith e x p r e s s i o n ( 2 1 ) , We o b s e rv e t h a t t h e r e th e e ig n o f th e 2 com m utator i s o p p o s i t e , t h e two e x p r e s s io n s a r e d i f f e r e n t . However, t h i s i s u n d e r s ta n d a b le , s i n c e th e y d e te r m in e th e S m a tr ix e le m e n t a t d i f f e r e n t v a lu e s o f t h e i r v a r i a b l e s * Of c o u r s e , th e A d le r s e l f c o n s is te n c y c o n d i t i o n , w h ic h i s an o ff -m a s s s h e l l s ta t e m e n t, d o es n o t make any r e s t r i c t i o n on ( 2 5 ) , On t h e o t h e r h a n d , we can d e te r m in e th e I co m m u tato r’ s m a trix e le m e n t i n o u r a p p ro ­ x im a t i o n . L et us c o n s id e r t h e i d e n t i t y

j d 4x e ip x T^3y (x>e3t1 ( o ) j = - ( i p ^ ) |d 4x e ip x T (a p (xjetf^ ( o ^ - J d 4x e i p x 6(x o) |a° ( x^e'3j(o)j

/2 6/

S andw iching i t b e tw e e n < o |__ |тт6 (р 2)> » s e p a r a t i n g ó f f th e p i o n - p o l e . t e r m s , we g e t i n t h e case o f p+o and i n f i r s t o r d e r o f e :

<nY( p l) l Za ß (q ) I V P 2>> 2 2 2=- 1баЗ Le * l f ° ) l ^ ( P 2) > 2 2 2 =

P ^ Pz^ ti P l“P

*' -16 . 6, ..milOt 3 Y 6 TT 9 9

The l e f t - b a n d s i d e o f (25) i s in d e p e n d e n t from q , к i n t h e c a s e o f any £ » 'I • T h is p r o p e r t y m ust a l s o h o ld a f t e r th e a p p r o x im a tio n , and t h i s g iv e s a r e s t r i c t i o n on £ , n * I f we choose c = v = ^ ( q + J ^ p ^ p j ) и = x =• (qk), th e n w ith th e a i d o f ( 2 5 ) , ( 2 7 ) ,

Ml (q2 = k " = " V V' x = ° ) - "V

M2 (q 2 -= k2 * v , x= o) * - 4 f ^ ( - v ) / 2 8 /

- 8

M3 (q2=k2=m^, v, x = o ) « - 4 f 2 v /2 8 /

2 2 2 2 2 2

S in c e q =k =m , x=0 , t h e r e f o r e s=m + v , u=mw- v , t=2m • Be спив*»

o f Вова s t a t i s t i c s and c ro s s in g - s y m m e tr y , we f i n d fr o m (28) t h a t around th e on-m ass s h e l l p o i n t s=u=m2 , t= 2m2

M, я) - 4 f 2 ( t - m 2 ) M. « - 4 f 2 ('u-m2 ) M, - 4 f 2 ( s- m2 ) / 2 9 /

w hich i s i d e n t i c a l w ith W ein b e rg ’s r e s u l t e x t r a p o l a t e d t o th e m ass s h e l l .

\

APPENDIX

I f х ± a n d y i / 1 = - £ , . . 0 , . Л / a r e th e r e p r e s e n t a t i o n s Of th e two in d e p e n d e n t SU2 g e n e r a t o r s , th e n

* 1 Д ) = xk yk А Л

L e t u s b e g in w ith th e sec o n d te rm o f ( 3 ) . B ecause

3^Ay (x ) = - i F5 , e ( x ) j A .2

we g e t

, Í Г i - i u f 4G ( f 2J ^ (y lF 5 - i u £ , G ( f 2) J ( y ) F 5

- l e f , GW2) J d u [ l ( y ) F 5 ,e ’ * £ ' * > & ) e•* J l ' - J Ä.3

О

where t h e ő3( x - z ) a p p e a r in g i n th e e q u a l tim e co m m u tato rs h a s b e e n u se d t o ex ch an g e a°-*-f5 . With t h e a i d of A .l

e LaC^ F- , L - l ' i - l ™ .

■ * k ( ^ ° ( ü . “ ) y t " * k D‘ ( a ' 2 “ > k t a. 5

/ s = Gu/

where DA(n,u>) i s t h e m a tr ix o f th e r o t a t i o n ш- s f a b o u t th e a x i s n = |-in (2 £ + l) d im e n s io n s . L e t u s s u b s t i t u t e A .5 i n A .3 ,

1

- ie f ^ G ^ du xk i f № , е(А)(п, 2ш) | +— у Ь A. 6

о •'

d e n o tin g by J (T ) th e r e p r e s e n ta tio n o f th e SU2 g e n e r a t o r . We m ust lo o k fo r th e i s o s c a la r elem en t from A .6 , b e c a u s e o f (1 3 )* I t i s th e t r a c e tim e s 2 T f i • t b e ° t h e r h an d

- 1 0 -

<o| e T f | ' \o)|o> - Щ 21+2Т 4í;

a n d so we o b t a i n

П Т 2 Ш Х 2

Ш du Ч 1 5 ^ % - 2“))| £-*тт (x )

A . 8

The r e l a t i o n b etw een n , 2 ш and t h e a p p r o p r i a t e E u l e r a n g l e s i s , Ф1+Ф2 , Ф2"Ф1"

COSüJ-i % siníü

0 1 2

c o s e 4 i s i n ^ - e 0 2

Ф2 -Фх , Ф1+Ф2 4—У

• ^3 COSCU+l—T- s inw

• T

i s i n | e 0

c o s 2 1 2

e sinio

A . 9

The e x p r e s s i o n a. 8 i s a n i s o s p a l a r , so we can p r o c e e d i n a s p e c i a l c o o r ­ d i n a t e sy ste m : £ = ( o , o , f ) '* 0=o , Then i t i s e a s y t o see t h a t

(ф1 , 0 , ф 2)) = I ^ n . f

l - 1 п ( ф 1 +ф2 )

A . 1 0

By A. 8 a n d A .9 we g e t ( l 6) . On t h e o t h e r h a n d

Jl £

^ У c o s ( 2 n f G'f), = I Re ( c o s f G'P+i s i n f Gf)

n= l 11 n«=l v v ‘

(n=l / 2) ( n - 1 / 2)

2n ф-*тг

A . 1 1

Prom ( 1 2 ) we g e t

( c o s f ^ G * + i s i n f ^ G f ) 2" = ЧП A. 12

- 1 1 -

S u b s t i t u t i n g a. 12 i n A. 11 we o b t a i n ( 1 ? ) , b e c a u se

Re --- 3 — - = c o n s t . A. 13 q - 1

- 1 2 -

REFERENCES

[1] R . Dashen.Pb.yB .Rev, 183 1245 /1 9 6 9 /

[2] R . D ashen, U. W e in s te in P h y s.R ev . 185 1261 / 1 9 6 9 / [3] S . W ein b e rg ,P h y s.R e v . 166 1568 /1 9 6 8 /

[4] И.М. Гельфанд, P .A . Минлос, З . Я . Шапиро, П редставления г р у п ­ пы вращений и группы Л оренца, их применения

[5 ] S . W ein b e rg ,P h y s.R e v . L e t t . 17 61€> /1 9 6 6 /

*

t

£ 4 . У з г .

K i a d j a a K ö z p o n ti F i z i k a i K u ta t ó I n t é z e t F e l e l ő s s z e r k e s z t ő : K iss D ezső, a KFKI

N a g y e n e r g iá jú F i z i k a i Tudományos T an á c sá n a k e ln ö k e S zakm ai l e k t o r i F r e n k e l A ndor

N y e lv i l e k t o r : T im othy W ilk in s o n P é ld á n y sz á m : J I O T ö rz ssz ám : 71-5728

K é s z ü l t a KFKI s o k s z o r o s í t ó ü ze m é b en , B u d a p e st