Véletlengráf-generálás multifraktállal

A multifraktál alapú véletlengráf-generálásnak három fő fázisa van: Elsőként definiálunk egy ún. generáló mértéket az egységnégyzeten, majd ezt egy rekurzív eljárás keretében néhány iteráción keresztül önhasonló módon áttranszformáljuk a konkrét élbekötési való-színűségeket megadó mértékké. Végül legyártjuk a véletlen hálózatot az adott élvalószí-nűségek mellett, hasonló módon, mint ahogy azt az 5.1. alfejezetben vázoltuk az L(x, y) függvény esetén. A generáló mérték megadásánál az egységnégyzet x ésy tengelyeit meg-egyező módon felosztjuk m darab, nem feltétlen egyforma méretű intervallumra. Ezáltal az egységnégyzetet m² darab téglalapra bontottuk, melyek a főátlóra szimmetrikusan he-lyezkednek el. Minden egyes téglalaphoz hozzárendelünk egy pij valószínűséget, ahol az i, j∈[1, m] indexek a téglalapok sor- és oszlopindexeinek felelnek meg. E p_ij valószínűsé-gekre kikötjük, hogy normáltak és szimmetrikusak legyenek, azaz a P

p_ij = 1ésp_ij=p_ji azonosságoknak teljesülnie kell.

Az élvalószínűségi mérték előállításánálq darab iteráción keresztül minden egyes négy-zetet rekurzívan megszorzunk magával a generáló mértékkel, ahogy azt az 5.1. ábra szem-lélteti. Ennek révén a kapott élvalószínűségi mérték ekvivalens a generáló mérték q-adik tenzoriális hatványával. Az eredményül kapott, m^2q téglalapból álló élvalószínűségi mér-téknél minden esetben összesen q tényező szorzata adja meg az adott mezőhöz társított valószínűséget a

p_ij(q) = Yq

h=1

p_ihjh (5.3)

formában, ahol természetesen a szorzótényezők mind a generáló mértéknél megadott pij

valószínűségek valamelyikének felelnek meg. Azt, hogy pontosan melyiknek, az i_h és j_h indexek határozzák meg az

i_h=

$(i−1)Qh−1

r=1◦modm^q−r m^q−h

%

+ 1 (5.4)

alakban, ahol⌊a/b⌋aza/begész részét jelöli, valamint Qh−1

r=1◦modm^q−r azm^q−r-nel való osztás maradékának kiszámítását jelenti rekurzívan ismételve. (Pl. h= 1 esetén az (5.4) kifejezés azi_h=⌊(i−1)/m^q−1⌋+1összefüggéssé egyszerűsödik.) Látható, hogy aq= 1eset magának a generáló mértéknek felel meg, és természetesen egy, az (5.4) kifejezéssel teljesen analóg formula írható fel j_h-ra is.

Ez az eljárás teljesen megegyezik egy multifraktál előállításával, melynek során megál-lunk aq-adik iterációnál. Az 5.1a ábrán látható, egyre durvuló felület esetén minden mező a generáló mértékben megadott mintázatot követve bomlik kisebb téglalapokra a következő iteráció során. Ennek megfelelően ezen kisebb téglalapokhoz társított valószínűségek meg-egyeznek a kiinduló mezőhöz tartozó valószínűség és a generáló mérték megfelelő elemének szorzatával. (Ezzel párhuzamosan az új kisebb téglalapok és a kiinduló mező területének aránya szintén a generáló mérték megfelelő mezőjének területével azonos). Ez a konstrukció egyfelől biztosítja, hogy a kialakuló struktúra önhasonló legyen, másfelől azt eredményezi,

5.2.Véletlengráf-generálás multifraktállal

5.1. ábra. A multifraktál alapú véletlengráf-generáló eljárás szemléltetése. a) Egy, az egy-ségnégyzeten definiált,m×mtéglalapból álló generáló mértékből indulunk ki, mely az ábra bal oldalán látható. A bemutatott példábanm= 2, a téglalapok oldalhosszait megadó in-tervallumokl₁ ésl₂, a téglalapokhoz társítottp_ij valószínűségeket a téglalapok fölé rajzolt hasábok magassága és a színe kódolja. A generáló mértékkel rekurzívan megszorzunk min-den téglalapotq iteráción keresztül, így áll elő azm^q×m^q téglalapból álló élvalószínűségi mérték. A hasábok magasságának szórása nő az iterációk számával, ezért az élvalószínű-ségi mérték egy egyre durvuló felülethez hasonlít, mely ugyanakkor végig szimmetrikus és önhasonló marad. b) Minden csúcs kap egy véletlenszerűen választott koordinátát a [0,1]

intervallumon, és egy adott I, J csúcspár összekötésének valószínűsége az élvalószínűségi mértéknek a két koordináta által meghatározott helyen felvett értékével egyenlő. (Az ábra forrása a [T8] publikáció.)

hogy az egyes mezőkhöz társított élbekötési valószínűségek szórása az iterációk számával egyre nő, azaz a kapott „felület” egyre durvább.

A véletlen gráf generálásának utolsó lépése megegyezik az 5.1. alfejezetben említett, két-változós szimmetrikusL(x, y)függvényen alapuló hálózatgenerálással: minden egyes csúcs kap egy, a [0,1]intervallumon véletlenszerűen választott koordinátát, majd a csúcspárokat a megfelelő koordinátáknál található p_ij(q) valószínűséggel kötjük össze. Ezt szemlélteti az 5.1b és az 5.2. ábra. Továbbá az 5.3. ábrán bemutatunk egy 500 csúcsból álló véletlen gráfot, melyet ezzel a módszerrel generáltunk, a hozzá tartozó multifraktállal együtt.

Módszerünk még általánosabbá tehető, ha a „standard”, mezőnként konstans multifrak-tált lecseréljük egy szimmetrikus, az egységnégyzeten értelmezett0≤L(x, y)≤1függvényre, és ennek képezzük a k-szoros tenzoriális szorzatát. (Erre a lehetőségre Lovász László hív-ta fel a figyelmet). Bár az eredményül kapott L(x₁, ..., x_k, y₁, ..., y_k) függvény értelmezési tartománya [0,1]^2q a szokásos[0,1]² helyett, ez a probléma könnyen áthidalható egy mér-tékmegőrző bijekcióval a[0,1]és a[0,1]^q között. Ennek révén lényegében ugyanúgy lehetne véletlen gráfokat generálni a tenzorszorzat eredményeként kapott függvénnyel, mint a fent bemutatott multifraktállal.

Fontos megjegyezni, hogy az általunk javasolt konstrukcióban a generált hálózat átlagos fokszáma a

formulával adható meg, ahola_ij(q)azi, jindexekkel rendelkező mező területe aq-adik

ite-5.2. ábra. A véletlen hálózat előállítása a multifraktál alapján. A színes hasábok az egység-négyzeten kialakuló élvalószínűségi mértéket jelenítik meg, mely megfelel egy multifraktál-nak. A multifraktál felett lévő zöld síkban mutatjuk a kapott hálózatot, melynek éleit a multifraktál által meghatározott valószínűségekkel húzzuk be az adott csúcspárok közé.

rációnál. Amennyiben a generáló mérték csupa egyforma alapterületű mezővel rendelkezik, úgy az élvalószínűségi mérték is egyforma területű mezőkből fog állni, melyekre aza_ij(q) =

=m^−2qösszefüggés lesz érvényes. Ilyenkor ap_ij(q)normáltságából fakadóan az 5.5 egyenlet ahdi=N m^−2qösszefüggésre egyszerűsödik. Ebből azt szűrhetjük le, hogy amennyiben ritka hálózatot szeretnénk generálni (ami a valós rendszerek modellezésénél alapkövetelmény), illetve ha még pontosabban a hálózat átlagos fokszámát konstansnak szeretnénk tartani az iterációk során, úgy a generált hálózat méretét exponenciálisan növelni kell az iterációk számával.

Összefoglalásul elmondhatjuk, hogy a módszerünk nagyon szorosan kapcsolódik az egy-ségnégyzeten értelmezett, szimmetrikus 0≤L(x, y)≤1 függvényeken alapuló véletlengráf-generáló módszerekhez [125, 34, 31, 33]. Egy fontos újdonság azonban az itt bevezetett modellnél, hogy az iterációk számának növelésével egyre többféle p_ij(q) valószínűség sze-repel az élvalószínűségi mértékben, melynek révén a generált hálózat is egyre struktu-ráltabbá válik az iterációk során. Ebben a tekintetben tehát módszerünk a Kronecker-szorzáson [120, 121] illetve a Parisi-mátrixokon alapuló megközelítésekre hasonlít [10],