Folytonos fázisátalakulás és skálafüggetlen gráfok

0.6

0.4

0.2

0 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

T

d d

d

d

1.5. ábra. Az F(ϕ_d, T) feltételes szabadenergia spinodális görbéje az E=−P

id²_i energia-függvény esetén, N = 48, M = 12 rendszerméret mellett az egzakt leszámlálásból kapott eredmények alapján. A négyzetek az F(ϕ_d, T) minimumhelyét mutatják, a csillagok pedig a maximumhelynek felelnek meg. (Az ábra forrása a [T1] publikáció.)

1.3.2. Folytonos fázisátalakulás és skálafüggetlen gráfok

Egy további energiafüggvény, mely természetesen adódik az az f(di) =−dilndi, illetve ekvivalens módon a g(d_i) =−lnd_i függvények által definiált eset. Régóta ismert, hogy a biológiai érzékelésnél az élőlények a külön fajta ingerek (pl. hang, fény, kémiai koncentráció, stb.) intenzitás változásaira egy „logaritmikus skálán” érzékenyek. Például ha vesszük a leghalkabb hangot, amit még képesek vagyunk meghallani, illetve a leghangosabb hangot, amit még képesek vagyunk elviselni, akkor ezek intenzitása között sok nagyságrend eltérés van, és mi ezen a skálán teszünk különbséget halk és hangosabb hangok között. Ennek révén az általunk érzékelt csekély mértékű hangerő változás is általában többszörös tényleges

1.3.Egyrészecskés Hamilton-függvények intenzitásnövekedéssel jár. Az említett g(d_i) =−lnd_i energiafüggvény ezt a viselkedést modellezi a „fokszámérzékelés” esetén: feltesszük, hogy a szomszédok fokszámai közt lévő különbségekre a csúcsok logaritmikus skálán érzékenyek.

Ilyen esetben az energiaminimumhoz tartozó állapot egy klikknek felel meg, melyben minden csúcs minden másik csúccsal össze van kapcsolva. Természetesen általánosMesetén nem feltétlen lehet a gyakorlatban megvalósítani, hogy az élek egyetlen hatalmas klikkbe rendeződjenek be, ilyenkor az alapállapoti topológia egy, az adott élszámból kialakítható maximális méretű klikkhez nagyon közeli konfigurációnak felel meg. Az egyetlen hatalmas

„csillagnak” megfelelő topológia szintén nagyon kedvező energetikailag, hiszen mind a ma-ximális klikk, mind a „csillag” esetén az energia vezető rendben−MlnMszerint skálázik az élek számával. A két topológia közti energiakülönbség domináns tagja ehhez képest csupán

√Mln√

M nagyságrendű.

Az 1.3.1. alfejezethez hasonlóan itt is a ϕ_d=d_max/M rendparamétert használhatjuk a fázisátalakulások nyomon követésére, ahold_max a hálózatban előforduló legnagyobb fok-szám. Az említett két alacsony energiájú topológia esetén ϕ_d két jól megkülönböztethető értéket vesz fel, hiszen d_max≈√

2M a maximális klikk esetén, míg d_max≈M a „csillag”

esetén. Az 1.6. ábrán mutatjuk be az idevonatkozó Monte–Carlo-szimulációk eredményeit.

Látható, hogy ha magas hőmérsékletről kezdjük el hűteni a rendszert, akkor a rendezetlen fázisból először néhány nagyon nagy fokszámú csúcs emelkedik ki, melyek szinte az összes élt begyűjtik, és nagyon hasonlítanak a fent említett „csillagszerű” topológiára, majd a legalacsonyabb energiának megfelelő klikkszerű állapot csak a legalacsonyabb hőmérsék-leten áll be. Ennek magyarázata az, hogy a klikknek nem csak az energiája kisebb, mint a csillagé, hanem az entrópiája is lényegesen alacsonyabb, ezért csak olyan hőmérsékleten válhat uralkodóvá, ahol a szabadenergiában az entrópiával kapcsolatos tagokat elnyomják az energiához kapcsolódó tagok. A legvalószínűbb topológiákat kis rendszerméretek mellett az egzakt leszámlálás módszerével is vizsgáltuk, ennek eredményeit foglalja össze az 1.7.

ábra. AT = 0.65-nél, illetve aT = 0.3-nál kapott topológiák teljes összhangban vannak a Monte–Carlo-szimulációknál látott eredményekkel.

Az 1.6. ábrán hiszterézist figyelhetünk meg a d_max görbében a klikkszerű topológia és a „csillagszerű” topológia közti átalakulásnál, ami elsőrendű fázisátalakulásra utal. Ezzel szemben a másik átalakulásnál, mely a magas hőmérsékleti rendezetlen állapot és a „csil-lagszerű” állapot között lép fel, nincs hiszterézis, és az átalakulást egy divergencia kíséri a hőkapacitásban is, ami azt mutatja, hogy ez egy folytonos átalakulás. Amennyiben ϕ_d>

>1/2, használhatjuk az (1.20) analitikus közelítést a feltételes szabadenergiára ebben az esetben is, ami az f(−ϕ_dM) =−(ϕ_dM) ln(ϕ_dM) helyettesítéssel az

F(ϕ_d, T)≈M(T−1) ln(N)ϕ_d (1.22) egyenletre vezet. A fentiekkel összhangban ez alapján azt kapjuk, hogy a „csillagszerű”

topológia stabilT <1 esetén (azF(ϕd, T)minimuma a ϕd= 1-nél van), mígT >1esetén instabillá válik. Az (1.22) egyenlet jóslata alapján továbbá a T =T_c= 1-nél bekövetkező átalakulásnál ϕ_d lépcsőszerűen esik le nullára, hiszterézis nélkül, ami egy folytonos fázis-átalakulásnak felel meg, végtelen nagy kritikus exponenssel. (Az 1.6. ábrán látható eltérés a kritikus hőmérsékletben a Monte–Carlo-szimulációk esetén nagy valószínűség szerint a

kmax c)

10 100 k 1

1−P(k) 1 0.01

10 100 1000

0.4 0.8 1.2 1.6

T a)

b) dmax

P(d)

d

1.6. ábra. A Monte–Carlo-szimulációk eredményei az E =−P

id_ilnd_i energiafüggvény mellett egyN= 10224csúcsból ésM= 2556élből álló gráfsokaság esetén. a) A hálózatban előforduló legnagyobb fokszám a hőmérséklet függvényében. Az adatpontok a t= 5000N és t= 20000N Monte–Carlo-lépések között lettek kiátlagolva egyetlen futtatás során. b) Tipikus topológiák a három jól elkülöníthető hőmérséklet-tartományban: egy rendezetlen, Erdős–Rényi-gráfhoz hasonló állapot magas hőmérsékleteken, ahol dmax=O(1), néhány nagyon nagy fokszámú csúcs, sok közös szomszéddal a köztes hőmérsékleteken, ahold_max=

=O(M) és egy klikk az alacsony hőmérsékleteken, ahol d_max=O(√

M). c) A fokszámok kiegészítő eloszlásfüggvénye, P(d) a T = 0.8 hőmérsékleten, a t= 600N Monte–Carlo-lépésnél. (Az ábra forrása a [T1] publikáció.)

véges méret effektusoknak köszönhető.) Egy külön érdekessége az E =−P

kdilndi energiafüggvény által definiált gráfsoka-ságoknak, hogy a rendezetlen állapotból a „csillagszerű” állapotba való átalakulás során skálafüggetlen hálózatok jelennek meg a kritikus pont közelében. Ezt demonstrálja az 1.6c ábra, melyen a fokszámok kiegészítő eloszlását⁴,P(d)-t ábrázoltuk a fokszám függvényében.

Látható, hogy ez hatványszerűen csökken a magas fokszámok tartományában, nagyjából egy −2-es exponenssel. A fokszám sűrűségfüggvény ezek alapján szintén hatványszerűen cseng le,ρ(d)∼d^−γ, ahol az exponensγ≈3. Ez az érték megegyezik az Barabási–Albert-modell által jósolt exponenssel, ami mint látni fogjuk, nem pusztán a véletlen műve.

A Monte–Carlo-dinamika során ha egy élt azicsúcshoz próbálunk kötni, akkor az ener-giaváltozást azf(d_i)=−d_ilnd_ideriváltjával,∆E=1−lnd_i-vel becsülhetjük. A Metropolis–

4A kiegészítő eloszlásfüggvény definíciója szerint P(x) azt a valószínűséget adja meg, hogy az adott változó (mennyiség) nagyobb, mintx, azaz ha a hagyományos eloszlásfüggvényF(x), akkor a hozzá tartozó kiegészítő eloszlásP(x) = 1−F(x).

1.3.Egyrészecskés Hamilton-függvények

p=0.009164

p=0.009216 p=0.006836 p=0.006177 p=0.005798

p=0.005026

p=0.005097 p=0.004886 p=0.004608 p=0.004557 p=0.004497 p=0.004370 p=0.004321 p=0.005495 p=0.005363 p=0.005209

p=0.269482 p=0.200205 p=0.086238 p=0.034994 p=0.032251 p=0.029560 p=0.027784 p=0.024282

p=0.023469 p=0.020667 p=0.01698 p=0.014919 p=0.013892 p=0.013754 p=0.012410 p=0.011274

T=0.65 a)

T=0.3 b)

1.7. ábra. A legvalószínűbb topológiák azE=−P

id_ilnd_i energiafüggvény által definiált gráfsokaságban N = 48 csúcs és M = 12 él esetén az egzakt leszámlálás alapján. (Min-den esetben csak a legnagyobb összefüggő komponenst mutatjuk) a) Ha T = 0.65, akkor a legvalószínűbb topológiák tartalmaznak egy, a többihez képest kimagasló fokszámú csú-csot, melynek sokszor vannak közös szomszédai a fokszám szerint utána következő egy-két csúccsal. b)T= 0.3-nál már egy klikkszerű állapot a legvalószínűbb topológia, és a sorban utána következő néhány konfiguráció is lényegesen kiegyensúlyozottabb, mint az a) ábrán.

(Az ábra forrása a [T1] publikáció.)

Hastings-szabály szerint az átkötés elfogadási valószínűsége az e^−∆E/T faktorral arányos, ami T =T_c = 1-nél egy d_i-vel arányos valószínűséget eredményez. Ez alapján a kritikus pontnál az élátrendeződési dinamika a preferenciális csatolási szabályhoz hasonló módon rendezi át a hálózat struktúráját, ami megmagyarázza, hogy miért alakul ki olyan fok-számeloszlás, mint a Barabási–Albert-modell esetén.

Egy további érdekesség, hogy a maximális klikknek illetve a „csillagnak” megfelelő topo-lógiák megegyeznek R. Guimerà és munkatársai által a [92] publikációban bemutatott két alapvető topológiával, melyeket lokális keresésre optimalizált hálózatoknál találtak az eset-legesen fellépő csomagtorlódások figyelembevételével. A köztes hőmérséklet-tartományon látott néhány nagy „csillag”, melyeknek sok közös szomszédjuk van, nagyon hasonlít a kis-számú párhuzamos keresések esetén optimális topológiára, míg az alacsony hőmérsékleten felbukkanó klikk a nagyszámú párhuzamos keresések esetén optimális homogén topoló-giának felel meg. Mivel a mi esetünkben e két „közel optimális” topológia teljesen ter-mészetes módon, az élátrendeződési dinamikának köszönhetően jelenik meg, felvetődik az ilyen típusú modellek alkalmazásának ötlete egyéb hálózatoptimalizálási problémáknál is.

A megközelítés lényege, hogy az optimális topológiát szimulált hőkezeléssel keressük, egy

megfelelően választott energiafüggvény segítségével.