A. Fogalomtár a modulhoz
7. Véges impulzusválasz-szűrők (FIR)
Véges impulzusválasz-szűrők(FIR-szűrők) olyan digitális szűrők, amelyeknek időben véges hosszúságú impulzusválaszuk van. A véges impulzusválasz-szűrők működésükkor csak az aktuális és az előző bemeneti értéket veszik figyelembe a szűrő algoritmusában. Az ilyen típusú szűrőket a legegyszerűbb megtervezni. A véges impulzusválasz-szűrők más néven is ismertek, mint nem visszatérő (nem rekurzív), konvolúciós, vagy mozgóátlag- (MA) szűrők.
A véges impulzusválasz-szűrők a szűrőegyütthatók konvolúcióját végzik a bemenő értékek egy sorozatán, és létrehozzák a kimeneti értékek (azonosan sorszámozott) sorozatát. A 3.25. egyenlet egy véges impulzusválasz-szűrő véges konvolúcióját adja meg.
3.25. egyenlet - (3-25)
ahol
x[k-i] a szűrő bemenőjelének értéke az [k-i]-edik időpillanatban, y[k] a szűrt kimenőjel értéke az [k]-edik időpillanatban,
bi a szűrő (FIR-szűrő) i-edik együtthatója Nb a szűrő együtthatóinak száma (fokszáma).
{ 05. LabVIEW program FIR szűrő.vi}
A véges impulzusválasz-szűrők (FIR-szűrők) a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
A FIR-szűrők lineáris fázismenetet valósítanak meg, mert a szűrő együtthatói szimmetrikusak.
A FIR-szűrők mindig stabil működésűek.
A FIR-szűrők a jelek szűrését a konvolúció alkalmazásával teszik lehetővé. Ezért általában a kimenő sorozat mindig tartalmaz késleltetést, amelyet a következő egyenletben láthatunk
A kimenőjel késleltetésemintavételi lépésben = .
A 3.7.1. ábra bemutatja egy FIR-szűrő tipikus amplitúdó- és fázisfüggvényét, összehasonlítva a normalizált frekvenciával.
amplitúdó
3.7.1. ábra
A 3.7.1. ábrán a fázisfüggvényben lévő szakadások akkor keletkeznek, amikor az abszolút értéket használjuk az amplitúdófüggvény meghatározásához. A fázis jelleggörbe-szakadásai pi ( - 3,14) egész számú többszöröseinél vannak, bár a fázisfüggvény teljesen lineáris.
7.1. Leágaztatások (Taps)
A leágaztatás kifejezés gyakran feltűnik a véges impulzusválasz-szűrők (FIR-szűrők) leírásaiban. A 3.7.1.1.
ábra illusztrálja a leágaztatás műveletét.
3.7.1.1. ábra
A 3.7.1.1. ábra bemutatja a bemenő mintákat
3.26. egyenlet - (3-26)
tartalmazó Nb-elemű shift regisztert.
A leágaztatás kifejezés a shift regiszter leágaztatásának működéséből ered.
A tapskifejezés általában a FIR-szűrő együtthatóinak számára utal.
7.2. Véges impulzusválasz-szűrők (FIR-szűrők) tervezése
Egy diszkrét rendszer előírt frekvenciafüggvényét (legjobban) közelítve tervezünk véges impulzusválasz-szűrőket (FIR). A legtöbb általános tervezési módszer jól közelíti a kívánt amplitúdófüggvényt, emellett jó lineáris fázismenetet biztosít.
A lineáris fázismenetazt jelenti, hogy a jel terjedési késleltetése azonos minden frekvencián a rendszerben.
A 3.7.2.1. ábra egy VI blokkdiagramot mutat be, ami egy egyenletes hullámosságú,sáváteresztő, véges impulzusválasz-szűrő (FIR-szűrő) frekvenciafüggvényét adja meg.
3.7.2.1. ábra
A 3.7.2.1. ábrán látható VI a következő lépéseket hajtja végre, amikor kiszámítja a szűrő frekvenciafüggvényét:
Egy impulzusjellel gerjesztjük a szűrőt.
A case struktúra meghatározza a szűrő típusát, azt, hogy az alul vagy felül áteresztő, sávvágó vagy sáváteresztő.
A case struktúrából kijövő jel a szűrő impulzusválasza.
A case struktúrából kijövő impulzusválaszon a FFT.VI diszkrét Fourier-transzformációt végez, és meghatározza a szűrő frekvenciafüggvényét úgy, hogy az impulzusválasz- és a frekvenciafüggvény alkotják a Fourier-transzformáltat, h(t) az impulzusválasz. H(w) a frekvenciafüggvény.
Az FFT.VI által kibocsátott adatokat redukálja az Array Subset függvénnyel. A valódi FFT eredményeinek fele ismétlődik, így hát A VI-nak elegendő az FFT.VI által kibocsátott adatok felét feldolgozni.
A Complex to Polar függvénnyel előállítja az FFT.VI-ból kapott adatok amplitúdó- és fázisfüggvényét. Az FFT.VI komplex kimenetének amplitúdó-/fázisalakját egyszerűbb értelmezni, mint az FFT Descartes-koordinátájú komponenseit.
A fázisértékeket átalakítja fokokra.
Az amplitúdóértékeket átalakítja decibelekké (dB).
A 3.7.2.1. ábra a 3.7.2.1. ábra szerinti VI által kiadott amplitúdó- és fázisfüggvény.
amplitúdó
3.7.2.2. ábra
A 3.7.2.2. ábrán, amikor abszolút értéket alkalmazunk, hogy kiszámítsuk az amplitúdófüggvényt, szakadások keletkeznek, ezek a fázisgörbén is szakadásokat okoznak. A fázisgörbe azonban egy lineáris függvény, mivel a rendszerben minden frekvenciának azonos a terjedési késleltetése.
Mivel a véges impulzusválasz-szűrők (FIR-szűrők) intenzitásgörbéje hullámos, a FIR-szűrők tervezésekor a következő feladatokat kell megoldani:
Szűrő tervezése az ideálishoz lehető legközelebb eső amplitúdófüggvénnyel;
Szűrő tervezése, amely a hullámosságot előírt módon osztja el.
Például egy alul áteresztő szűrő rendelkezik egy ideális amplitúdófüggvény-alakkal. Egy valóságos alkalmazás megengedhet egy kis hullámosságot az átviteli sávban, és egy kicsivel többet a vágási sávban. A
szűrőkonstrukció algoritmusának egyensúlyban kell tartania a viszonylagos hullámosságot és az éles átmeneti sávot.
A leggyakrabban alkalmazott módszerek a véges impulzusválasz-szűrők (FIR-szűrők) tervezéséhez az ablakozás és a Parks−McClellan-algoritmus, ami úgy is ismert, mint a Remez-cseremódszer.
{ 06. LabVIEW program Szinusjel kiválasztása.vi}
7.3. Véges impulzusválasz-szűrők (FIR-szűrők) tervezése ablakozással
A legegyszerűbb módszer véges impulzusválasz-szűrők (FIR-szűrők) tervezésére az ablakozás, mert egyszerűen megvalósítható.
A FIR-szűrők ablakozással való tervezése a megvalósítani kívánt amplitúdófüggvény inverz FFT-jét adja, és ehhez egy simítóablakot alkalmaz.
A simítóablak egy idődimenziójú ablak.
3.7.3.1. ábra
Egy FIR-szűrő ablakozással történő tervezéséhez a következő lépéseket kell elvégezni:
Meg kell határozni egy ideális frekvenciafüggvényt;
Meg kell határozni az ideális frekvenciafüggvény impulzusválaszát;
Az impulzusválaszt le kell rövidíteni, hogy véges számú együtthatóból álljon;
Szimmetrikus simítóablakot kell alkalmazni.
Az ideális impulzusválasz megcsonkítása a Gibbs-jelenségben nyilvánul meg. A Gibbs-jelenség a határfrekvenciák közelében lengő típusú viselkedésként jelenik meg a FIR-szűrő frekvenciafüggvényében. Ezt a jelenséget tudjuk csökkenteni olyan módon, hogy simítóablakot használunk, így „kisimítjuk” az ideális impulzusválasz frekvenciavágását. A FIR-együtthatókat csökkentve elvékonyíthatjuk a frekvenciafüggvény átmeneti sávját, amely, ha csökken, akkor kiszélesedik az átviteli sáv.
Egy simítóablak kiválasztásához kompromisszum szükséges a határfrekvenciák közelében lévő oldalhurkok magassága és az átmeneti sáv szélessége között. Csökkentve az oldalhurkok magasságát, növekszik az átmeneti sáv szélessége. Csökkentve az átmeneti sáv szélességét, növekszik az oldalhurkok magassága a határfrekvenciák közelében.
Az ablakozásos FIR-szűrő tervezésnek a következő hátrányai vannak.
Nincs figyelemmel a következőkre:
Az ablakozás egyenlőtlen fodrozódáseloszlást okoz.
Az ablakozás szélesebb átviteli sávot eredményez, mint más tervezési módszerek.
Nehézségek jelentkeznek a paraméterek pontos meghatározásban.
Az ablakozás nehezíti a határfrekvencia meghatározását, amely egy megadott csillapítással rendelkezik.
A szűrő tervezőjének meg kell határoznia:
• az ideális vágási frekvenciát
• a mintavételi frekvenciát
• a leágazások számát
• az alkalmazott ablak típusát
A FIR-szűrők ablakozással való tervezése nem igényel bonyolult számítási műveleteket. Ezért az ablakozás a leggyorsabb módszer FIR-szűrők tervezésénél. Viszont az ablakozás nem a legjobb technika FIR-szűrők tervezéséhez.
7.4. Optimális FIR-szűrők tervezése a Parks−McClellan-algoritmussal
A Parks−McClellan-algoritmus vagy a Remez-cseremódszer egy hibakritériumon alapuló iteráló módszert alkalmaz a FIR-szűrő együtthatóinak meghatározására. A Parks−McClellan-algoritmust a legkedvezőbb lineáris fázismenetű FIR-szűrő együtthatóinak tervezésére alkalmazhatjuk. A Parks−McClellan-algoritmussal tervezett szűrők optimálisak lesznek, mert a szűrő aktuális amplitúdófüggvénye és a szűrő ideális amplitúdója között minimálisra csökkennek a hibák.
Az optimális FIR-szűrők lecsökkentik az ellentétes hatásokat a határfrekvenciáknál. Az optimális FIR-szűrők tervezése nagyobb ellenőrzési lehetőséget kínál a közelítési hibák felett, különböző frekvenciasávokban, mint egyéb más FIR-szűrőt tervező technikák, mint például az ablakozás, amely nem nyújt ellenőrzési lehetőséget a különböző frekvenciasávokban a közelítési hibákra.
Optimális FIR-szűrőket a Parks−McClellan-algoritmussal tervezhetünk, amelynek a következő a jellemzői vannak:
Az amplitúdófüggvény súlyozott hullámossága egyenletesen oszlik el az átviteli és a vágási sávokban.
Éles átmeneti sávja van.
Ha a FIR-szűrőket a Parks−McClellan-algoritmussal tervezzük, egy optimális amplitúdófüggvényt kapunk. A tervezés folyamata bonyolultabb és számításigényesebb, mint az ablakozásnál.
7.5. Egyenletes hullámosságú FIR-szűrők tervezése Parks−McClellan-algoritmus alkalmazásával
A Parks−McClellan-algoritmust használhatjuk egyenletes hullámosságú FIR-szűrők tervezésére. Az egyenletes hullámosságú konstrukció egyenlően osztja el az átviteli és a vágási sáv ingadozását, és lineáris fázismenetű szűrőket hoz létre.
Ahhoz, hogy egy egyenletes hullámosságú szűrőt tervezzünk, meg kell határozni a következő jellemzőket:
• határfrekvencia,
• leágazások száma,
• szűrő típusa, azaz alul áteresztő, felül áteresztő, sáváteresztő, vagy sávvágó,
• átmeneti frekvencia,
• vágási frekvencia.
Az egyenletes hullámosságú szűrők határfrekvenciája megszabja az átviteli sáv vagy a vágási sáv élét, vagy mindkettőt. Az egyenletes hullámosságú szűrők vágási és átviteli sávjának ingadozása okozza a következő impulzusválaszokat:
Átviteli sáv − az intenzitásfüggvény nagyobb vagy egyenlő, mint 1.
Vágási sáv − az intenzitásfüggvény kisebb vagy egyenlő, mint a vágási sáv csillapítása.
Például: ha veszünk egy alul áteresztő szűrőt, az átviteli sáv határfrekvenciája a legnagyobb frekvencia, amelyre az átviteli sáv feltételei teljesülnek. Hasonlóképpen a vágási sáv határfrekvenciája a legalacsonyabb frekvencia, amelyre a vágási sáv feltételei teljesülnek.
7.6. Keskeny sávú FIR-szűrők tervezése
A különlegesen szűk sávszélességű FIR-szűrők hagyományos módszerekkel történő tervezése nagy elemszámú szűrőt eredményezne. A nagy elemszámú FIR-szűrők hosszú tervezési és kivitelezési időt igényelnek, valamint számítási pontatlanságra hajlamosak. Néhány esetben a hagyományos tervezési módszerek, mint a Parks−McClellan-algoritmus, sem tudnak elfogadható szűk sávú FIR-szűrőt meghatározni.
Az interpolációs, véges impulzusválasz (IFIR) típusú szűrőtervezési módszer egy hatékony algoritmust ajánl (fel) a keskeny sávú FIR-szűrők tervezésére. Az IFIR-módszert alkalmazva olyan keskeny sávú szűrőket lehet tervezni, amelyek kevesebb együtthatót és számítást igényelnek, mint ha a Parks−McClellan-algoritmust közvetlenül végrehajtva tervezünk szűrőt. A „FIR keskeny sáv együtthatók. VI” (FIR Narrowband Coefficients.
VI) az IFIR-módszert alkalmazza a keskeny sávú FIR szűrőegyütthatóinak meghatározására.
A következő paramétereket kell megadnunk, amikor keskeny sávú szűrőt tervezünk:
• szűrőtípus: alul áteresztő, felül áteresztő, sáváteresztő, sávvágó,
• átvitelisáv-ingadozás egy lineáris skálán,
• mintavételi frekvencia,
• átvitelisáv-frekvencia, ami a sáváteresztő és sávvágó szűrők átviteli sávjára vonatkozik,
• vágásisáv-frekvencia, ami a sáváteresztő és sávvágó szűrők vágási sávjára vonatkozik,
• sáváteresztő és sávvágó szűrők középfrekvenciája,
• vágási sáv csillapítása dB-ben.
A 3.7.6.1. ábra annak a VI–nak a blokkdiagramját mutatja, amely egy keskeny sávú sáváteresztő FIR-szűrő frekvenciafüggvényének becslését állítja elő, áttranszformálva az impulzusválaszt frekvenciatartományba.
3.7.6.1. ábra
{ 07. LabVIEW program Keskeny sávú FIR szűrő.vi}
A 3.7.6.2. ábra bemutatja azt a válaszfüggvényt 0-tól a Nyquist-frekvenciáig, amivel a 3.7.6.1.ábrán lévő VI eredményként visszatér.
3.7.6.2. ábra
A 3.7.6.2. ábrán a főpanel szabályzóival beállított szűrő válaszfüggvénye az 1kHz középvonalú keskeny átviteli sáv.
A 3.7.6.3. ábra a szűrő válaszfüggvényének részletét mutatja.
3.7.6.3. ábra
A 3.7.6.1. ábrán a keskeny átviteli sáv pontosan 1 kHz-re központosítva, és a jel csillapítása 60 dB-lel az átviteli sáv alatt van.
7.7. Széles sávú FIR-szűrők tervezése
Az IFIR-technikát alkalmazhatjuk a széles sávú alul és felül áteresztő FIR-szűrő tervezéséhez is. Egy széles sávú, alul áteresztő FIR-szűrőnek egy határfrekvenciája van, közel a Nyquist-frekvenciához. A széles sávú felül áteresztő FIR-szűrőnek egy 0-hoz közeli határfrekvenciája van. Használhatjuk széles sávú alul és felül áteresztő FIR-szűrők tervezésére a FIR keskeny sávú együtthatók VI-t. A 3.7.7.1. ábra bemutatja azt a frekvenciafüggvényt, amelyet a 3.7.6.1. ábrán látható VI hoz létre, amikor arra használjuk, hogy egy széles sávú, alul áteresztő FIR-szűrő frekvenciafüggvényét meghatározzuk.
3.7.7.1. ábra
A 3.7.7.1. ábrán lévő főpanel szabályzói beállítanak egy szűk sávszélességet a 23,9 kHz-es vágási sáv és a 24 kHz-es Nyquist-frekvencia között. Azonban a frekvenciafüggvény 0-tól 23,9 kHz-ig fut, ami miatt a szűrő széles sávúvá válik.