S´ uly m´ odos´ıt´ asa

A racion´alis B-szpl´ajn-g¨orbe s´uly´anak v´altoztat´asakor fell´ep˝o alakm´odosul´as alap-vet˝o tulajdons´agait az 1. fejezet 1.4.,1.5. ´es 1.6. t´eteleinek speci´alis esetek´ent meg-kapjuk.

Az [56] cikkben egy ´es k´et kontrollpont s´uly´anak v´altoztat´as´aval el´erhet˝o el˝o´ırt alakm´odos´ıt´asokra tal´alunk m´odszereket. A [2] ´es [67] publik´aci´ok a kontrollpontok

´es s´ulyok egyidej˝u v´altoztat´as´aval megval´os´ıthat´o alakm´odos´ıt´asokat t´argyalj´ak.

Ezen alakm´odos´ıt´o elj´ar´asok k¨oz¨os jellemz˝oje, hogy a racion´alis g¨orbe ter´eben vizsg´alj´ak a probl´em´at. Mi kivissz¨uk a probl´em´at az ˝osk´ep ter´ebe, ott oldjuk meg, majd az eredm´enyt visszavet´ıtj¨uk [33]. Az elj´ar´ast s´ıkg¨orb´ek eset´ere r´eszletezz¨uk, mivel ebben az esetben mind az eredeti, mind az ˝osk´ep ter´eben k¨onnyen tudunk t´aj´ekoz´odni. Az alakm´odos´ıt´as c´elja az, hogy a (3.1)s(u) racion´alis B-szpl´ajn-g¨orbe alakj´at ´ugy m´odos´ıtsuk t¨obb s´uly egyidej˝u v´altoztat´as´aval, hogy a g¨orbe kiv´alasztott s(u) pontja egy adotte p pontba ker¨ulj¨on. A p pont term´eszetesen csak az s(eu) pontot tartalmaz´o ´ıvet meghat´aroz´o kontrollpontok konvex burk´aban lehet. Ennek az elj´ar´asnak az az el˝onye az eddigiekkel szemben, hogy a h´arom (ill. t´erg¨orb´ek eset´en n´egy) s´uly egyidej˝u v´altoztat´asa egy ´uj szabad param´etert eredm´enyez, ami tov´abbi felt´etelek kiel´eg´ıt´es´et, ez´altal v´altozatosabb alakm´odos´ıt´ast tesz lehet˝ov´e.

A w_i s´uly´u d_i (i= 0,1, . . . , n) kontrollponthoz a

w_id_i w_i T

kontrollpontot rendelj¨uk az ˝osk´ep ter´eben. A nulla s´uly´u kontrollpontnak nincs ˝osk´epe, ilyen esetben a (3.1) ¨osszeg megfelel˝o tagja nulla lesz. Az s(u) ponte s^w(u) ˝e osk´epe egy´ertelm˝uen meghat´arozhat´o, a p pont´e azonban nem, mivel p^w a p pontot az orig´oval ¨osszek¨ot˝o egyenesen b´arhol lehet. A t = p−s(eu), t^w =

s_w(u)e t 0 T

jel¨ol´eseket bevezetve

p^w =ρ(s^w(eu) +t^w) , (3.7) ahol s_w(u) aze s^w(eu) pont w koordin´at´aj´at jel¨oli, tov´abb´a 0 6= ρ ∈ R szabad pa-ram´eter (l´asd a 3.2. ´abr´at).

3.2. ´abra. A p^w ˝osk´ep meghat´aroz´asa

Az s^w(eu) → p^w alakm´odos´ıt´as az ˝osk´ep ter´eben h´arom kontrollpontnak a helyvektora menti eltol´as´aval is megval´os´ıthat´o. Ehhez s^w(u) ter´eben ki kell v´alasztanunk h´arom olyan kontrollpontot, melyek ´altal meghat´arozott s´ık nem il-leszkedik az orig´ora, vagyis amelyek helyvektorai line´arisan f¨uggetlenek. Ugyelni¨ kell arra is, hogy ezen kontrollpontok hat´assal legyenek a g¨orbe alakj´ara az eu

pa-ram´eter´ert´ekn´el. A tov´abbiakban a kiv´alasztott kontrollpontok ˝osk´ep´ere az e^w_p =

w_pd_p w_p

,e^w_q =

w_qd_q w_q

,e^w_r =

w_rd_r w_r

jel¨ol´est haszn´aljuk, ´es felt´etelezz¨uk, hogy a p, q, r indexekre az eu ∈ [up, up+k)∩ [u_q, u_q+k)∩[u_r, u_r+k) teljes¨ul. Ezen kontrollpontok seg´ıts´eg´evel az alakm´odos´ıt´as

p^w =s^w(eu) +λ_pe^w_pN_p^k(eu) +λ_qe^w_qN_q^k(eu) +λ_re^w_rN_r^k(u)e (3.8) alakban ´ırhat´o fel a m´eg ismeretlenλ_p, λ_q, λ_r egy¨utthat´ok seg´ıts´eg´evel. Aze^w_p,e^w_q,e^w_r vektorok egy orig´o kezd˝opont´u affin koordin´ata-rendszert alkotnak az ˝osk´ep ter´eben, melyben

t^w =µpe^w_p +µqe^w_q +µre^w_r,

s^w(eu) =α_pe^w_p +α_qe^w_q +α_re^w_r. (3.9) Ezt felhaszn´alva, a (3.7) ´es (3.8) ´es kifejez´esekb˝ol a

p^w =ρ (αp+µp)e^w_p + (αq+µq)e^w_q + (αr+µr)e^w_r , p^w = α_p+λ_pN^k_p(u)e

e^w_p + α_q+λ_qN^k_q(eu)

e^w_q + α_r+λ_rN^k_r(eu) e^w_r

egyenl˝os´egeket kapjuk, melyekb˝ol kifejezhetj¨uk az ismeretlen λ_i, (i=p, q, r) mennyis´egeket

λ_i = ρ(α_i+µ_i)−α_i

N_i^k(eu) , i=p, q, r

form´aban, mivel az e^w_p,e^w_q,e^w_r vektorok line´arisan f¨uggetlenek. Ehhez az N_i^k(u)e >0 (i=p, q, r) felt´eteleknek kell teljes¨ulni, aminek sz¨uks´eges felt´etele a m´ar kor´abban tett eu ∈ [u_p, u_p+k)∩[u_q, u_q+k)∩[u_r, u_r+k) megszor´ıt´as. Ez a felt´etel azonban nem el´egs´eges, mivel egyn´el nagyobb multiplicit´as´u csom´o´ert´ekek eset´en el˝ofordulhat, hogy a fenti f¨uggv´enyek elt˝unnek.

Mivel csak nemnegat´ıv s´ulyokat enged¨unk meg, aλ_i ≥ −1 (i=p, q, r) felt´etelnek is teljes¨ulnie kell, azaz

λ_i = ρ(αi+µi)−αi

N_i^k(eu) ≥ −1, i=p, q, r, amib˝ol a ρ param´eterre a

ρ















≥ α_i−N_i^k(u)e

α_i +µ_i , ha α_i+µ_i >0

≤ α_i−N_i^k(u)e

α_i +µ_i , ha α_i+µ_i <0 tetsz˝oleges, ha α_i+µ_i = 0

,i=p, q, r (3.10)

felt´eteleket kapjuk. A ρ szabad param´eternek teh´at a fenti h´arom intervallum met-szet´eben kell lennie, mely nem ¨ures, ugyanis ρ mindig megv´alaszthat´o ´ugy, hogy a t^w vektor k´et e^w_i , i ∈ {p, q, r} vektor line´aris kombin´aci´ojak´ent el˝o´all´ıthat´o legyen (ezt hamarosan megmutatjuk).

Teh´at azt kaptuk, hogy s´ıkg¨orbe eset´en az s(u)e → p alakm´odos´ıt´ast h´arom kontrollpont s´uly´anak megv´altoztat´as´aval is megval´os´ıthatjuk. Ennek el˝onye, hogy a megold´as egyparam´eteres g¨orbesereg, ami lehet˝os´eget ad egy tov´abbi felt´etel

kiel´eg´ıt´es´ere is. K´et p´eld´at mutatunk s´ıkg¨orb´ek eset´en a ρ szabad param´eter megv´alaszt´as´ara.

1) Aρ´ert´ek speci´alis v´alaszt´as´aval mindig el´erhet˝o az, hogy az alakm´odos´ıt´ast csak k´et kontrollpont s´uly´anak v´altoztat´as´aval hozzuk l´etre. Ennek ´erdek´eben olyan ρ-ra van sz¨uks´eg¨unk, amely mellett a t vektor ˝osk´epe kifejezhet˝o k´et kontrollpont helyvektor´anak line´aris kombin´aci´ojak´ent. A transzform´alt g¨orb´etbs(u)-val jel¨e olve, (3.7) ´es (3.9) alapj´an

bs^w(u)e −s^w(eu) =ρ(s^w(u) +e t^w)−s^w(u) =e X

i=p,q,r

(ρ(αi+µi)−αi)e^w_i .

Ahhoz, hogy az egyik e_i egy¨utthat´oja nulla legyen ρ = α_i/(µ_i +α_i), µ_i +α_i 6= 0 sz¨uks´eges valamely i ∈ {p, q, r} indexre. Mindig van olyan i, hogy µ_i +α_i 6= 0, egy´ebk´ent t^w =−s^w(eu) teljes¨ulne, ami lehetetlen, mivel tw = 0.

3.3. ´abra. A d₅,d₆ ´esd₇ kontrollpontok s´ulyaival el´ert olyan alakm´odos´ıt´as, amikor a kijel¨olt s(u) pont ´e uj p helye mellett az ´erint˝o qir´anya is el˝o´ırt (q a ρ_min ´es ρ_max k¨oz¨ott lehet)

2) A ρ param´etert arra is haszn´alhatjuk, hogy az s(u)e → p alakm´odos´ıt´asn´al a p pontban az ´erint˝o ir´any´at is el˝o´ırjuk. Jel¨olj¨uk q-val az bs(u) pontban a g¨e orbe

´erint˝oj´enek a k´ıv´ant ir´any´at! Az bs(u) g¨orbe eu-beli ´erint˝oje q ir´any´u lesz, ha az bs^w(u) g¨orbeu-beli ´e erint˝oje az bs(eu) ´esq´altal meghat´arozott vet´ıt˝os´ıkban van, azaz

n·˙

bs^w(eu) = 0, ahol n=

bs(u)e 1

× q

0

. Ez alapj´an

0 = ˙bs^w(u)e ·n= s˙^w(eu) + X

i=p,q,r

λ_iN˙_i^k(eu)e^w_i

!

·n=

= ˙s^w(u)e ·n+ X

i=p,q,r

ρ(α_i+µ_i)−α_i N_i^k(u)e

N˙_i^k(eu)e^w_i ·n,

amib˝ol

ρ= P

i=p,q,r

α_iN˙_i^k(eu)

N_i^k(eu) e^w_i ·n−s˙^w(u)e · n P

i=p,q,r

(α_i+µ_i) ˙N_i^k(u)e N_i^k(u)e e^w_i ·n

. (3.11)

Aqir´any term´eszetesen nem lehet teljesen tetsz˝oleges, hiszen a k´ıv´ant alakm´odos´ıt´as csak akkor val´os´ıthat´o meg, ha a (3.11) kifejez´essel kapott ρ ´ert´ek a (3.10)

¨

osszef¨ugg´esek ´altal meghat´arozott intervallumok metszet´eben van. A 3.3. ´abr´an arra az esetre l´athatunk p´eld´at, amikor q = ˙s(eu). Az ´abr´an felt¨untett¨uk a ρ_min

´es ρ_max ´ert´ekekhez tartoz´o g¨orb´eket ´es azok eu-beli ´erint˝oj´et is. A ρ_max ´ert´ekhez felt¨untetett g¨orbe ´es ´erint˝o csak k¨ozel´ıt˝o, mivel az adott p´eld´an´alρ∈[1.98,∞).

T´erg¨orbe eset´en az el˝oz˝ovel anal´og eredm´enyt kapunk. Az egyetlen k¨ul¨onbs´eg abb´ol fakad, hogy az ˝osk´ep tere n´egydimenzi´os, ez´ert n´egy kontrollpont s´uly´anak megv´altoztat´as´aval ´erhet˝o el az alakm´odos´ıt´as. Az egyetlen szabad param´eter azon-ban nem elegend˝o az ´erint˝o ir´any´anak meghat´aroz´as´ara. Ebben az esetben a szabad param´eterrel az ´erint˝ovektor hossz´at, vagy a pontbeli g¨orb¨uletet szab´alyozhatjuk, term´eszetesen j´ol meghat´arozott korl´atok k¨oz¨ott. (Ilyen felt´eteleket s´ıkg¨orb´ekn´el is kiel´eg´ıthet¨unk.)

3.4. ´abra. NURBS t´erg¨orbe alakj´anak el˝o´ırt m´odos´ıt´asa a b₂,b₃,b₄ kontrollpontok s´uly´anak v´altoztat´as´aval; ap´uj helyzet´enek ac=s(eu, w₂ =w₃ =w₄ = 0),b₂,b₃,b₄ pontok ´altal meghat´arozott tetra´ederen bel¨ul kell lennie

T´erg¨orbe eset´en a szabad param´eter mindig megv´alaszthat´o ´ugy, hogy csak h´arom kontrollpont s´uly´at kell megv´altoztatni. Ekkor a kiv´alasztott pont ´uj hely-zete egy tetra´ederen bel¨ul lehet, ami m´eg mindig sokkal t¨obb lehet˝os´eget biztos´ıt, mint az [56] ´altal javasolt elj´ar´as, ahol az ´uj helyzetek tartom´anya egy h´aromsz¨og.

A 3.4. ´abr´an olyan alakm´odos´ıt´asra l´athatunk p´eld´at, amikor a NURBS t´erg¨orbe s(u)e →palakm´odos´ıt´as´at h´arom kontrollpont s´uly´anak v´altoztat´as´aval ´ert¨uk el. A p pont megengedett helyzeteinek tartom´anya a z¨old tetra´eder.

In document Kontrollponttal adott g¨orb´ek le´ır´asa, alakm´odos´ıt´asa ´es szingularit´as´anak vizg´alata (Pldal 54-59)