Egyszeres csom´ o´ ert´ ek v´ altoztat´ asa

Az

s(u) =

n

X

l=0

N_l^k(u)dl, u∈[uk−1, un+1] B-szpl´ajn-g¨orbej-edik ´ıve

s_j(u) =

j

X

l=j−k+1

d_lN_l^k(u), u∈[u_j, u_j+1) , j =k−1, . . . , n

alakban ´ırhat´o fel. Az ´ıv alakj´at befoly´asol´ou_i egyszeres csom´o´ert´ek v´altoztat´asakor a tetsz˝olegesen r¨ogz´ıtetteu∈[u_j, u_j+1) param´eter´ert´ekhez tartoz´o pont a

g_j(u, ue _i) =

j

X

l=j−k+1

d_lN_l^k(u, ue _i), u_i ∈[ui−1, u_i+1] g¨orb´et ´ırja le. El˝osz¨or ezeket a p´alyag¨orb´eket vizsg´aljuk.

A tov´abbiakban a normaliz´alt B-szpl´ajn alapf¨uggv´eny k¨ovetkez˝o tulajdons´agait haszn´aljuk:

1. N_j^k(u) = 0, ha u /∈[u_j, u_j+k);

2. az N_j^k(u) f¨uggv´eny ki´ert´ekel´esekor a rekurzi´or-edik l´ep´es´eben a N_j+n^k−r(u), r= 0, . . . , k−1, n= 0, . . . , r f¨uggv´enyek fordulnak el˝o;

3. ˙N_j^k(u) = (k−1)

1

uj+k−1−u_jN_j^k−1(u)− _u ¹

j+k−u_j+1N_j+1^k−1(u)

;

4. az u_i csom´o´ert´ek m´odos´ıt´asa csak az N_i−k^k (u), . . . , N_i^k(u) f¨uggv´enyekre van hat´assal, ez´ert csak az si−k+1(u), . . . ,s_i(u), . . . ,si+k−2(u) g¨orbe´ıvek alakja v´altozik meg.

3.1. Lemma. Tetsz˝olegesen r¨ogz´ıtett m= 1, . . . , k −1 index ´es ue∈[ui−m, ui−m+1) param´eter´ert´ekek eset´en, az N_i−k^k (eu, u_i), u_i ∈ [u_i−1, u_i+1] lek´epez´es u_i-re n´ezve (k−m)-edfok´u racion´alis f¨uggv´eny.

Bizony´ıt´as. Az 1.9. rekurz´ıv defin´ıci´o szerint N_i−k^k (eu, u_i) = ue−ui−k

ui−1−ui−k

N_i−k^k−1(u, ue _i) + ui−eu u_i−ui−k+1

N_i−k+1^k−1 (u, ue _i),

amiben az els˝o tag f¨uggetlen u_i-t˝ol a4. tulajdons´ag miatt, ´ıgy csak a m´asodikat kell vizsg´alnunk. Ez a rekurzi´o tov´abbi l´ep´eseiben is igaz, vagyis

...

N_i−m−1^m+1 (u, ue _i) = ue−ui−m−1

ui−1−ui−m−1

N_i−m−1^m (u, ue _i) + ui −ue u_i−ui−m

N_i−m^m (u, ue _i), N_i−m^m (u, ue _i) = ue−ui−m

ui−1−ui−m

N_i−m^m−1(eu, u_i) + u_i−eu u_i−ui−m+1

N_i−m+1^m−1 (u, ue _i).

A fenti k´et egyenl˝os´eg jobb oldal´anak els˝o tagja konstans a4. tulajdons´ag miatt. Az utols´o egyenl˝os´eg jobb oldal´anak m´asodik tagja 0 az 1. tulajdons´ag k¨ovetkezt´eben.

u_iteh´at csakk−mt´enyez˝oben jelenik meg, minden¨utt els˝o fokon, ez´ert azN_i−k^k (eu, u_i) f¨uggv´eny (k−m)-edfok´u u_i-ben.

3.3. T´etel. A

gi−m(u, ue _i) =

i−m

X

l=i−m−k+1

N_l^k(eu, u_i)d_l, u_i ∈[ui−1, u_i+1]

p´alyag¨orbe u_i-ben (k−m)-edfok´u racion´alis g¨orbe, ∀eu ∈ [u_i−m, u_i−m+1), m = 1, . . . , k−1.

Bizony´ıt´as. Az ¨osszegz´es als´o hat´ara (i−k)-ra n¨ovelhet˝o, mivel ui-nek nincs hat´asa az N_l^k(u, ue _i) f¨uggv´enyre, ha l < i−k (l´asd a 4. tulajdons´agot). Ez´ert csak az

N_i−k+z^k (u, ue i), z = 0, . . . , k−m (3.12) f¨uggv´enyeket kell figyelembe venni. AzN_i−k^k (eu, u_i) f¨uggv´eny (k−m)-edfok´uu_i-ben, a 3.1. lemma miatt, ez´ert el´eg azt bebizony´ıtani, hogy a (3.12) f¨uggv´eny foksz´ama legfeljebb k−m b´armely z >0 eset´en.

A rekurzi´o r-edik l´ep´es´eben azok a f¨uggv´enyek, amelyek a fenti f¨uggv´enyekre hat´assal vannak,

N_i−k+z+n^k−r (u, ue _i) = ue−ui−k+z+n

ui+z+n−r−1−ui−k+z+n

N_i−k+z+n^k−r−1 (eu, u_i)+

+ ui+z+n−r−eu ui+z+n−r−ui−k+z+n+1

N_i−k+z+n+1^k−r−1 (eu, u_i), r= 0, . . . , k−1, n= 0, . . . , r.

form´aban ´ırhat´ok fel (l´asd a 2. tulajdons´agot). Ebben u_i a k¨ovetkez˝o esetekben fordulhat el˝o:

1. i−k+z+n=i, azazz+n−k = 0, vagyis azN_i^k−r−1(eu, u_i) f¨uggv´eny az els˝o tagban szerepel, de ez a f¨uggv´eny 0 az [u_i−m, u_i−m+1) intervallumonm minden megengedett ´ert´ek´ere (l´asd az 1. tulajdons´agot);

2. i+z+n−r−1 =i, azaz z+n=r+ 1, ez´ert a normaliz´alt B-szpl´ajn f¨uggv´eny az els˝o tagban N_{i−(k−r−1)}^k−r−1 (u, ue _i), a 3.1. lemma szerint ennek a f¨uggv´enynek u_i szerinti foksz´ama k − m − r −1, ez´ert az els˝o tag foksz´ama legfeljebb k−m−r ≤k−m lehet;

3. i+z+n−r=i, azaz z+n =r, ami a 2. esetnek felel meg;

4. i−k+z+n+ 1 =i, ami az 1. esetnek felel meg.

Ez teh´at azt jelenti, hogy az si−1(u) ´ıv pontjainak p´alyag¨orb´ei (k−1)-edfok´u, az si−2(u) ´ıv pontjai´e (k−2)-edfok´u racion´alis g¨orb´ek, az si−k+1(u) ´ıv pontjainak p´alyag¨orb´ei pedig m´ar egyenes szakaszok.

3.1. K¨ovetkezm´eny. A gi−k+1(u, ue _i), u_i ∈ [ui−1, u_i+1] p´alyag¨orb´ek a di−k,di−k+1

kontrollpontokat ¨osszek¨ot˝o egyenessel p´arhuzamos szakaszok.

Ebben az esetben ugyanis a p´alyag¨orbe a gi−k+1(u, ue _i) =

i−k−1

X

l=i−2(k−1)

N_l^k(u)de _l+N_i−k^k (u, ue _i)di−k+N_i−k+1^k (eu, u_i)di−k+1

egyszer˝ubb alakra hozhat´o, ahol csak az utols´o k´et tag f¨ugg u_i-t˝ol, ´es az ezekben el˝ofordul´o normaliz´alt B-szpl´ajn alapf¨uggv´enyek

N_i−k^k (eu, u_i) =C₁(eu) +C₂(eu) u_i−ue u_i−ui−k+1

, N_i−k+1^k (eu, u_i) =C₂(eu) eu−ui−k+1

ui−ui−k+1

alakban ´ırhat´ok fel, ahol C₁(eu) = eu−ui−k

ui−1−ui−k

N_i−k^k−1(eu, u_i), C₂(u) =e ue−ui−k+1

ui−1−ui−k+1

N_i−k+1^k−2 (eu, u_i) u_i-t˝ol f¨uggetlen konstansok. Ez´ert az u_i-t˝ol f¨ugg˝o r´esz

C₁(u) +e C₂(u)e

1− ue−ui−k+1

u_i−ui−k+1

d_i−k+C₂(u)e ue−ui−k+1

u_i−ui−k+1

d_i−k+1 =

= (C₁(u) +e C₂(u))e d_i−k+C₂(u)e ue−ui−k+1

u_i−ui−k+1

(d_i−k+1−d_i−k) , ami egyenes szakaszt ´ır le.

Mint l´attuk, azsi−k+1(u, u_i) ´ıv pontjai egym´assal p´arhuzamos egyenesek ment´en mozdulnak el. Felmer¨ulhet a k´erd´es, hogy ez az alakv´altoz´as vajon tengelyes af-finit´as-e. A v´alasz nem, mivel az affinit´as ir´any´anak l´etez´ese maga ut´an vonn´a a pontonk´ent ¨onmag´anak megfelel˝o tengely l´etez´es´et, ami ´altal´aban nem teljes¨ul.

Az u_i-t˝ol jobbra elhelyezked˝o intervallumokhoz tartoz´o g¨orbe´ıvek pontjainak p´alyag¨orb´eire a fentiekkel anal´og ´all´ıt´asok igazolhat´ok.

3.2. Lemma. N_i^k(eu, u_i), ue ∈ [u_i+m, u_i+m+1), (m = 0, . . . , k −2), u_i ∈ [ui−1, u_i+1] (k−m−1)-edfok´u racion´alis f¨uggv´eny u_i-ben.

Bizony´ıt´as. A bizony´ıt´as a 3.1. lemma bizony´ıt´as´aval anal´og.

3.4. T´etel. A

g_i+m(u, ue _i) =

i+m

X

l=i+m−k+1

N_l^k(eu, u_i)d_l, u_i ∈[ui−1, u_i+1]

p´alyag¨orbe u_i-ben (k−m−1)-edfok´u racion´alis g¨orbe ∀eu ∈ [u_i+m, u_i+m+1), m = 0, . . . , k−2.

Bizony´ıt´as. Az ¨osszegz´es fels˝o hat´ara i-re cs¨okkenthet˝o, mivel u_i-nek nincs hat´asa az N_l^k(u, ue _i), l > i f¨uggv´enyekre (l´asd a 4. tulajdons´agot). A 3.2. lemma fel-haszn´al´as´aval a bizony´ıt´as tov´abbi r´esze a 3.3. t´etel bizony´ıt´as´aval anal´og.

3.2. K¨ovetkezm´eny. Agi+k−2(u, ue _i), u_i ∈[ui−1, u_i+1] p´alyag¨orb´ek a di−1,d_i kont-rollpontokat ¨osszek¨ot˝o egyenessel p´arhuzamos szakaszok.

A3.3. ´es a3.4. t´etelek alapj´an teh´at azt mondhatjuk, hogy az egyes ´ıvekhez tar-toz´o pontok p´alyag¨orb´einek foksz´amau_i-t˝ol szimmetrikusan kifel´e haladva, ´ıvenk´ent cs¨okken (k−1)-t˝ol 1-ig. A 3.5. ´abra harmadfok´u B-szpl´ajn-g¨orbe p´alyag¨orb´eit szeml´elteti.

3.5. ´abra. Harmadfok´u B-szpl´ajn-g¨orbe ´es n´eh´any pontj´anak az u₇ egyszeres csom´o´ert´ek v´altoztat´as´aval kapott p´alyag¨orb´eje

u_iminden ´ert´ek´ehez egy-egy B-szpl´ajn-g¨orbe tartozik, vagyis mik¨ozbenu_ibefutja az [ui−1, u_i+1] intervallumot egy egyparam´eteres g¨orbesereget kapunk, mely

g(u, u_i) =

n

X

l=0

d_lN_l^k(u, u_i), u∈[u_k−1, u_n+1], u_i ∈[u_i−1, u_i+1)

alakban ´ırhat´o fel. M´asodfok´u esetben (k= 3) azt tapasztaljuk, hogy az egym´ashoz kapcsol´od´o parabola´ıveknek a kapcsol´od´asi pontban a kontrollpoligon megfelel˝o ol-dala az ´erint˝oje, vagyis a harmadrend˝u B-szpl´ajn-g¨orb´et az ugyanazokkal a kontroll-pontokkal adott m´asodrend˝u B-szpl´ajn-g¨orbe ´erinti. Ennek a tulajdons´agnak egy

´

altal´anos´ıt´asa a k¨ovetkez˝o t´etel.

3.5. T´etel. A g¨orbesereg elemeire ´es a

h(v) = vagyis azuj csom´o´ert´ekek k¨oz¨ul kihagyjuk az i-ediket.

Bizony´ıt´as. El˝osz¨or azr = 0 esetet bizony´ıtjuk, azaz megmutatjuk, hogy ag(u, u_i) g¨orbe u=u_i-hez tartoz´o pontja egybeesik a h(v) g¨orbe v =u_i pontj´aval.

A g¨orbeseregi-edik eleme gi(u, ui) = alakban ´ırhat´o fel az 1.9. defin´ıci´o alapj´an. Ennek az u=u_i helyen vett

g_i(u_i, u_i) =

Az u_i csom´o´ert´eket besz´urjuk a vi−1 ´es v_i csom´o´ert´ekek k¨oz´e (vi−1 = ui−1 < u_i < B-szpl´ajn alapf¨uggv´enyek k¨oz¨otti kapcsolat

N_l^k−1(v) =

Azr >0 esetekhez tekints¨uk a (3.17) g¨orbeu szerintir-edrend˝u deriv´altj´at, ami d^r A k-adrend˝u normaliz´alt B-szpl´ajn alapf¨uggv´eny r-edrend˝u deriv´altj´ara

k−1−r Ezt ¨osszevetve a (3.18) egyenl˝os´eggel, ´all´ıt´asunk igazol´as´at kapjuk.

3.6. ´abra. Az u7 csom´o´ert´ek v´altoztat´asakor kapott harmadfok´u B-szpl´ajn-g¨ orbese-reg n´eh´any eleme, ´es a burkol´o parabola´ıv

3.3. K¨ovetkezm´eny(Burkol´as). Ag(u, ui)k-adrend˝u g¨orb´ekb˝ol ´all´o g¨orbeseregnek burkol´oja a (k−1)-edrend˝u h(v) g¨orbe. Ezt a burkol´ast szeml´elteti a 3.6. ´abra.

3.4. K¨ovetkezm´eny. A h(v)g¨orb´enek ´es ag(u, ui) g¨orbesereg elemeinek nemcsak az ´erint˝oje, hanem a simul´os´ıkja is megegyezik az u=u_i param´eter´ert´ekhez tartoz´o pontban. A g¨orb¨ulet¨uk viszont nem egyezik meg, eg´eszen pontosan a

κ_h = (k−1) (k−3) (k−2)² κ_s

¨

osszef¨ugg´es ´all fenn k¨ozt¨uk. A g(u, u_i), u∈[uk−1, u_n+1], u_i ∈[ui−1, u_i+1) ´altal le´ırt fel¨uletnek teh´at h(v), v ∈[ui−1, u_i+1] szingul´aris g¨orb´eje.

In document Kontrollponttal adott g¨orb´ek le´ır´asa, alakm´odos´ıt´asa ´es szingularit´as´anak vizg´alata (Pldal 59-65)