10 ln '
1 eu
b
(1.27)
1.7. Sztochasztikus folyamatok
1.7.1. A sztochasztikus folyamatok közvetlen valószínűségi leírása
Az (1.4.3) fejezetben már bemutattuk a sztochasztikus folyamatok értelmezését. A továb-biakban a sztochasztikus folyamtok egy szemléletes leírását, a közvetlen valószínűségi leírást tárgyaljuk.
A sztochasztikus (véletlen) folyamaton, mint láttuk, egy elemi eseményhez rendelt, idő-ben lejátszódó véletlen függvényt értünk. A véletlen folyamat egy elemi eseményhez rendelt lefutását a sztochasztikus folyamat egy realizációjának nevezzük. Legyen a folya-mat lefutásának időtartama a T időintervallum és legyen tT tetszőleges időpillanat. A t időpontban a véletlen folyamat által felvett érték legyen t. E t érték egyrészt az adott fo-lyamat egy konkrét elemi eseményhez rendelt realizációjához, másrészt a t időpillanat-hoz tartozik. Ezt a (t) írásmóddal, vagy a (t;) kétváltozós függvény formában is kife-jezésre juttathatjuk.
Legyen t* T egy adott időpillanat és legyen a folyamat egy -hoz tartozó realizációjának lefutásakor a sztochasztikus folyamat t* időpontban felvett értéke t*(). Tekintsük e fo-lyamat egy újbóli, *-hoz tartozó lefutását és legyen ekkor a folyamat t* időpillanatban felvett értéke t*(*). Sztochasztikus folyamatok esetén t*() t*(*) pontosabban ez 1 valószínűséggel igaz. Az egyenlőség fennállása esetén determinisztikus folyamatról (=
függvényről) beszélünk.
1.22. ábra: A sztochasztikus folyamat ábrázolása.
A {; t;(t,)} térben a sztochasztikus folyamat egy felülettel ábrázolható, l. 1.22. ábra.
Rögzített t0 esetén t0() egy valószínűségi változó, ezt a t0 ponthoz rendelt peremvalószí-nűségi változónak nevezzük. Ha 0 rögzített, akkor t(0)= (t,0) egy T-n értelmezett függvény, ez a realizációs függvény vagy realizáció. A pontatlan mindennapi szóhaszná-latban a (t,)=(t) realizációt is szokás sztochasztikus folyamatnak nevezni.
A sztochasztikus folyamatok közvetlen valószínűségi leírása, nem törekedve a teljes ma-tematikai egzaktságra, az alábbi módon történhet.
Legyen t1 ,t2,....tn T és t1(), t2(),...tn() ezen időpontokhoz tartozó peremvalószí-nűségi változók. Legyen x1, x2,....xn egy szám n-es. Ekkor a peremvalószínűségi változók együttes eloszlásfüggvénye :
leírja a folyamat valószínűségi viselkedését.
Definiáljuk a továbbiakban az X1, X2,...Xm intervallumokat és tekintsük azt a H eseményt, hogy időpontban felvett értékeinek összessége.
A H esemény tehát azt jelenti, hogy t1 ,t2,....tn időpontokban a sztochasztikus folyamat ér-tékei éppen az adott X1, X2,...Xm intervallumokban vannak, l. 1.23. ábra.
1.23. ábra: A sztochasztikus folyamat közvetlen leírása.
a./ A peremvalószínűségi változók és az X halmazok elhelyezkedése.
b./ Realizációk vetülete a t ; (t;) síkon.
A keresett valószínűség az együttes sűrűségfüggvény integrálásával adódik:
Ha az (1.29) eseményhez tartozó (1.30) szerinti valószínűségeloszlás függvényeket tetsző-leges n természetes (pozitív egész) számra meg tudjuk adni, a folyamat viselkedését tetszés szerinti pontossággal jellemezni tudjuk. Ezt a megadást nevezzük közvetlen valószínűségi leírásnak.
1.7.2. Sztochasztikus folyamatok jellemző függvényei
A sztochasztikus folyamatok jellemzésére felhasználjuk a peremvalószínűségi változók jellemző paramétereit is.
Legyen
t M t T
m t , (1.31)
a t időpontokhoz tartozó peremvalószínűségi változók várható értékeiből alkotott időfügg-vény. Ezt a {t()} folyamat várható érték függvényének nevezzük. A folyamat (t) rea-lizációs függvényei ezen m(t) függvény, mint középérték körül ingadoznak. Így itt is ér-telmezhető a szórásnégyzet függvény mint időfüggvény:
t Mt m t D t
d2 2 2 (1.32)
illetve a d(t) szórásfüggvény. Hasonlóan értelmezhetők a magasabb-rendű momentumok-nak megfelelő időfüggvények is.
Utalunk arra, hogy a sztochasztikus folyamatok vizsgálatában jelentős szerepet játszanak a több valószínűségi változó kölcsönös függésének vagy függetlenségének jellemzésére be-vezetett korrelációs együtthatóval illetve kovarianciával analóg mennyiségek is. Ezeket itt nem tárgyaljuk.
1.7.3. Speciális sztochasztikus folyamatok
Legyen a {(t;)}, tT sztochasztikus folyamat esetén, minden t1 ,t2,....tnT, n tetszőleges természetes számra, a t1(), t2(),...tn() peremvalószínűségi változók együttes elosz-lásfüggvénye minden n pozitív egészre n dimenziós normális eloszlás.
Az ilyen sztochasztikus folyamatot Gauss folyamatnak nevezzük. Az n dimenziós normá-lis peremeloszlás függvények – itt nem részletezett módon – viszonylag kevés, a folyamat-ra vonatkozó pafolyamat-raméter ismeretében, egyszerűen leírhatók. E tulajdonságuk indokolja a Gauss folyamatok nagy gyakorlati jelentőségét.
A műszaki gyakorlatban gyakran lépnek fel olyan sztochasztikus folyamatok, amelyek valószínűségi viselkedése állandósult jellegű. E tulajdonsággal kapcsolatos a szigorúan stacionárius, az n-ed rendben szigorúan stacionárius és a gyengén stacionárius folyamat fogalma.
A {t()}, tT folyamat szigorúan stacionárius, ha minden n természetes számra és tet-szőleges t1 ,t2,....tnT paraméter n-esre igaz, hogy:
Az (1.33) azt jelenti, hogy a véges-dimenziós peremeloszlások eltolás-invariánsak, azaz rögzített távolságra elhelyezkedő n-ed rendű perem-eloszlásfüggvények azonosak.
Ha a (1.33) feltételt csak egy véges n értékig követeljük meg, n-ed rendben szigorúan sta-cionárius folyamatról beszélünk.
Pl.: ha n=1, a (1.33) feltétel azt jelenti, hogy a t() egy dimenziós Ft1 (x1) elosz-lásfüggvénye minden tT értékre azonos. (1.24.ábra)
1.24. ábra: Első rendben szigorúan stacionárius folyamat
Ez persze nem azt jelenti, hogy minden -hoz tartozó realizáció azonos, hanem hogy min-den realizációs függvény azonos m érték körül ingadozva, minden t-re azonos eloszlás- ill.
sűrűségfüggvénnyel rendelkezik. Ez egyben azt is jelenti, hogy a folyamat m(t) várható érték függvénye állandó.
Ez a tulajdonság vezet el a gyengén stacionárius folyamatok definíciójához.
Ha egy folyamatra teljesül, hogy
t M áll ;. d2 t M m t 2 áll.
m t t (1.34)
és ezen felül az egyes t időpontokhoz tartozó peremvalószínűségi változók kölcsönös füg-gésére vonatkozóan további – itt nem részletezett – feltételek is teljesülnek, gyengén staci-onárius folyamatról beszélünk. (Itt tehát az eloszlásfüggvények eltolás invarianciáját nem követeljük meg.) Minden gyakorlatilag érdekes szigorúan stacionárius folyamat egyben gyegén is stacionárius.
A Gauss folyamatok fontos tulajdonsága, hogy azoknál a gyenge stacionaritásból követke-zik a szigorú stacionaritás is, míg más folyamatoknál ez általában nem igaz.
Gyakorlati szempontból igen jelentős továbbá az a kérdés, hogy vajon milyen körülmények között lehet egy sztochasztikus folyamat egy t(0 ) 0 rögzített, realizációból a folyamat valószínűségi struktúrájára nézve következtetéseket levonni.
Ez azt jelenti például egy jármű sztochasztikus terhelési folyamattal modellezhető terhelési folyamatának kísérleti vizsgálata esetén, hogy több jármű vizsgálatával felvett több reali-zációs függvény információtartalma helyettesíthető-e egyetlen jármű megfelelő időtartamú vizsgálatával felvett realizációs függvénnyel.
Teljesen általános t() folyamat esetén ez nem lehetséges, a folyamatra tett bizonyos megszorításokkal azonban, igen.
Kimutatható, hogy gyengén stacionárius sztochasztikus folyamatokra, bizonyos - itt nem részletezett további - feltételek teljesülése esetén a sztochasztikus folyamat valószínűségi jellemzőit egyetlen realizációból is megállapíthatjuk. Az ilyen folyamatokat ergodikus folyamatoknak nevezzük.
Így a várható érték függvényre például:
azaz a folyamat várható értéke mint egyetlen realizáció időátlaga is meghatározható, lásd 1.25. ábra.
1.25.ábra: Ergodikus sztochasztikus folyamat.
Az előzőekben tárgyalt fogalmak a sztochasztikus folyamat felvett értékeinek nagyságával, es azok valószínűségi tulajdonságainak leírásával foglalkoztak. Ezt a folyamat amplitúdó tartományban való vizsgálatának nevezzük. Ezen felül, első sorban lengéstani elemzések esetén, igen fontos a folyamat frekvencia-összetétele, mind nagyság, mind azok valószínű-ségi jellemzői tekintetében. Ezekkel a kérdésekkel nem foglalkozunk.