3. RENDSZERTELEN TERHELÉSI FOLYAMATOK FELDOLGOZÁSA ÉS
3.4. A terhelési folyamat terhelés nagyság szerinti feldolgozása
3.4.1. Osztályba sorolás
A továbbiakban, mint említettük, ergodikus sztochasztikus folyamatok vizsgálatára szorít-kozunk, így, mint ismeretes, egyetlen realizációt vizsgálunk. További tárgyalásainkban
ezért az elemi esemény formális feltüntetésétől eltekintünk, így a t()=(t) jelölést használjuk, utalva arra, hogy formailag ez egy közönséges időfüggvény. Mivel a (t) reali-záció bármilyen, pl. erő–, nyomaték–, feszültség– stb. függvény is lehet, megtartjuk a (t) jelölést.
Kiindulásul minden esetben a sztochasztikus folyamat egy realizációjának kezelhető hosz-szúságú grafikus megjelenítését használjuk.
A statisztikai feldolgozáshoz a matematikai statisztika ismert, 1.8. fejezetben tárgyalt esz-közeit használjuk fel, a speciális- és gyakorlati követelményekhez igazított formában.
Mivel a valóságban a terhelési folyamat egy realizációja is – feldolgozás szempontjából – nagy mintának számít, elsődlegesen az 1.8.1. fejezet szerinti eljárásokat alkalmazzuk.
Első lépés minden esetben, a (t) minta alapján a függvény értékkészletének (változási tartományának) azonosítása, majd a tapasztalati eloszlás- és sűrűségfüggvény meghatáro-zásához szükséges osztályba-soroláshoz az osztályhatárok kijelölése.
Legyen (t)max= max{(t)} és (t)min= min{(t)} tT, a vizsgálandó realizáció várható leg-nagyobb és legkisebb értéke a vizsgált tartományon. Az így adódó {(t)min(t)(t)max} intervallumot általában 12..32 db. azonos részintervallumra bontjuk és azokat növekvő sorszámmal látjuk el a függvényértékek növekedésének irányában, lásd 3.6. ábra. Modern elektronikus eszközök alkalmazása esetén az osztályok száma lényegesen nagyobb is lehet.
Célszerű esetenként még egy -R,+R peremintervallumot is felvenni, amelybe már nem juthat a függvény, ha a max és min értékek helyesen lettek kijelölve. (Ennek akkor van jelentősége, ha az osztályok kijelölését mérés során, on-line csináljuk. A mérés megindítá-sa előtt ugyanis nem feltétlenül tudunk az értékekhez elegendően közeli alsó és felső becs-lést adni.)
3.6. ábra Osztályok kijelölése a statisztikai feldolgozáshoz
A (t) függvény alkalmasan megválasztott egyes értékeivel, pl. az egymást követő helyi max. és/vagy min. csúcsértékekkel - egydimenziós, vagy valószínűségi vektorváltozók definiálhatók. Ezen változók valószínűségi jellemzői, az 1.8. fejezet eszközeivel, a kijelölt osztályok felhasználásával, közvetlenül vizsgálhatók.
3.4.2. A peremeloszlás függvény értelmezése ergodikus folyamat esetén
A terhelési folyamat terhelés nagyságra, mint valószínűségi változóra vonatkozó statiszti-kai jellemzői a legközvetlenebb módon a (t) folyamat első rendű peremeloszlás függvé-nyének (lásd 1.7. fejezet) meghatározásával adódnak. Ez jelenti mind az eloszlásfüggvény típusának, mind paramétereinek, valamint a várható érték, szórás stb. jellemzőinek a meg-határozását. Tekintettel arra, hogy széles értelemben vett ergodikus folyamatokat vizsgá-lunk, lásd 1.7.3. fejezet, 1.25. ábra, a peremeloszlás-függvény jellemzői egyetlen, repre-zentatív realizációból előállíthatók.
Így, az elsőrendű peremeloszlás függvény értelmezését egy realizációra kiterjesztve, az F(x) valószínűség-eloszlás megadja a
P t x F x (3.3)
valószínűségeket, azaz annak a valószínűségét hogy a függvény aktuális értéke kisebb mint egy megadott x érték, 1. 3.7. ábra.
3.7. ábra. Az elsőrendű peremeloszlás függvény származtatása.
Ergodikus folyamatok esetén tehát az a feladatunk, hogy a (3:3) eloszlásfüggvényt egy realizációból határozzuk meg.
3.4.3. Az elsőrendű peremeloszlás függvény meghatározása, azonos idő intervallumon-kénti mintavételezéssel.
Az elsőrendű F(x) peremeloszlás függvényt megkaphatjuk pl. úgy, hogy a t tengelyen
t=áll. beosztást felvéve, mintavételezzük a függvényt. Így megkapjuk az egyes osztályok gi abszolút osztálygyakoriságát, amiből mind az abszolút, mind a relatív tapasztalati gyako-risági függvény, mint a sűrűségfüggvény becslése előállítható. Hasonlóan meghatározhatók
az abszolút és relatív tapasztalati halmozott(összeg-) gyakorisági függvények, mint az el-oszlásfüggvény becslése, lásd 1.8.1. fejezet.
A 3.8. ábrán gi annak az abszolút gyakorisága, hogy a függvény érték éppen az i-edik osz-tályba esik, i=1,2...n, vagyis az i-edik osztályba tartozó mintaelemek abszolút száma, fi=gi/n az i-edik osztály előfordulásának relatív gyakorisága. A bemutatott példa minta elemszáma n=23. A Gi az i-edik osztályhatár alatti mintaelemek összeggyakorisága, Fi az i-edik osztályhatárnál kisebb mintaelem érték valószínűsége. Ezen adatok alapján a vonat-kozó tapasztalati eloszlás és sűrűségfüggvény megrajzolható, illetve analitikus eszközökkel a megfelelő eloszlásfüggvény paramétereinek becslése numerikus vagy analitikus úton előállítható.
Ezzel tehát egyértelműen megadható annak a valószínűsége például, hogy a folyamat mi-lyen valószínűséggel halad meg egy bizonyos értéket, vagy mimi-lyen valószínűséggel marad egy bizonyos határ alatt, stb. Így a folyamat, pl. terhelési érték, nagyság szerinti, teljes körű valószínűségi leírását megadtuk.
3.8. ábra Az elsőrendű peremeloszlás származtatása azonos időlépésenkénti mintavételezéssel.
Megjegyzések:
1./ Ahhoz, hogy a függvény t időintervallumonkénti lekérdezésével minden fontos in-formációt, pl. egy-egy kiugró csúcsértéket is, legalább kielégítő közelítéssel megkap-junk, az fm lekérdezési frekvenciára az fm>2fmax feltételnek kell teljesülni ahol fmax a folyamatban előforduló legnagyobb frekvencia; ez a Shanon féle feltétel.
2./ Az F(x) eloszlásfüggvény alapján meg tudjuk határozni a folyamat m középértékét is, pl. a P[(t)<m]=F(m)=0,5 feltétel alapján. Így a középérték pl. középfeszültség, közvetlenül osztály dimenzióban adódik. A 3.8. ábra szerinti példában ez a 6. osz-tály. Abban az esetben ha F(x) normális eloszlás, ez egyben a várható érték osztály dimenzióban kifejezett értékét is jelenti.
3./ A vizsgált folyamat reprezentatív voltát formálisan a kezdő- és végpontok azonossá-gával biztosítjuk. A 3.9 ábrán ez a folyamat utolsó csúcspontjának 1*(l) jelölésében is kifejezésre jut.
3.4.4. Csúcsértékek eloszlásfüggvényeinek meghatározása
A realizációs függvény nagyság szerinti feldolgozása történhet a lokális csúcsértékek, azaz a helyi maximum- és a helyi minimum értékek, mint mintaelemek felhasználásával is. Eb-ből kiindulva a folyamat középértékét is meghatározhatjuk.
3.9. ábra. Csúcsértékek számlálása.
Legyen cs,max egy maximális, cs, min egy minimális csúcsérték. A már ismert osztályba sorolással, a gjmax és gjmin, abszolút osztálygyakoriság értékek közvetlenül meghatározha-tók, lásd 3.9. ábra, amiből a relatív osztálygyakoriságok és a Gjmax, Gjmin halmozott abszolút gyakoriságok, valamint a minta elemszámmal normálva, az Fjmax és Fjmin , a halmozott rela-tív osztálygyakoriság értékek is adódnak. Ez utóbbi az eloszlásfüggvény közelítése.
A maximális és minimális csúcsok eloszlásfüggvényeit normál valószínűségi papíron ábrá-zolva (3.10.ábra) megállapítható, hogy a mintaelemek jól illeszkednek egy-egy egyenes-hez, így a csúcsok eloszlására a normális eloszlást elfogadjuk. Ezekből kiindulva definiál-hatjuk a folyamat m középértékét is, a max. és min. csúcsértékek 50%-os valószínűséghez tartozó értékeinek számtani középértékeként.
Behúzva a jól kiegyenlítő egyeneseket, a keresett eloszlásfüggvények becsléseit kapjuk. Az 50%-os valószínűséghez tartozó medián értékek - normális eloszlás esetén- egyben a vár-ható értéket is adják. Így - az ábra alapján - cs,max 8,5 (a 8-as és 9-es osztályhatár) míg
cs,min 5,5. A teljes folyamat középértékét e két adat számtani közepeként definiáljuk, így
m=7 osztály. Így a középértéket a 7. osztály közepén vesszük fel.
3.10. ábra A maximális és minimális csúcsokból képezett statisztikai minta kiértékelése normál valószínűségi koordinátarendszerben.