A Maple-ben a harmonikus sort a következő rövid programokkal is szemléltethetjük. Az első animációban a számegyenesen ábrázoljuk a sor részletösszegeit, a másodikban a koordináta-rendszerben. A harmadikban koordináta-rendszerben, ill. számegyenesen együtt ábrázoljuk a sor tagjait és részletösszegeit. Pirossal a sor tagjai jelennek meg, kékkel pedig a részletösszegek.
[ > a := 0:
[ > K := NULL:
[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p : =pointplot({seq([a, 0], n=1..10)}, color=red, symbol=solidcircle, symbolsize=12): d:=display({p,q}, scaling=constrained): q:=textplot([2,0.5,a]): K:=K,d: od:
display([K],insequence=true);
[ > K := NULL:
[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([i, a], n = 1 .. 30)}, color = blue, symbol = solidcircle, symbolsize = 12): q:=textplot([i,2.5,convert(a,string)]): d:=display({p,q},scaling=constrained): K:=K,d: od:
display([K],insequence=true);
[ > a := 0:
[ > K := NULL:
[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([a, 0], n = 1 .. 11)}, color = blue, symbol = solidcircle, symbolsize = 12): e:=pointplot({seq([1/i, 0], n = 1 .. 11)}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12):
q:=textplot([2,0.5,a]): f:=textplot([0.5,0.5,1/i]): d:=display({p,e,q,f},scaling=constrained): K:=K,d: od:
display([K],insequence=true);
[ > a := 0:
[ > K := NULL:
[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([i, a], n = 1 .. 30)}, color = blue, symbol = solidcircle, symbolsize = 12): e:=pointplot({seq([i, 1/i], n = 1 .. 30)}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12):
q:=textplot([i,2.5,convert(a,string)]): d:=display({p,e,q},scaling=constrained): K:=K,d: od:
display([K],insequence=true);
7. Feladatok önálló megoldásra
Döntsük el a következő sorokról, hogy konvergensek, vagy divergensek. Ha lehet határozzuk meg a sor összeget (mértani sor, és teleszkópikus sor esetén).
3. fejezet - Függvények
példákat mutatnak függvényekre és olyan hozzárendelésekre, amelyekben nem teljesül a függvény definíciójának egyik, vagy másik feltétele.A függvény jelölésére általában kis betűket használunk: f, g, h, ...Az f függvény értelmezési tartományának Df , értékkészletének Rf a jelölése. A függvény megadása többféle módon történhet:
, a továbbiakban leginkább ezt a jelölést használjuk
, a függvény síkbeli derékszögű Descartes koordináta - rendszerben ábrázolt grafikonjának egyenlete.
x szokásos elnevezése független változó, y, vagy f(x) a függvény érték.
1.1. Az értelmezési tartomány
Két lehetőség van:
1. A függvény megadásával együtt az értelmezési tartományt is megadják, ekkor nincs dolgunk az értelmezési tartomány meghatározásával.
2. A függvénynek csak a hozzárendelési utasítását adják meg. Ekkor az értelmezési a független változóknak az a legbővebb halmaza, ahol a függvény értelmezhető. Jelölés: D[f] (Az értelmezési tartományt meghatározását egyszerûen úgy is szoktuk fogalmazni, hogy megtesszük a szükséges kikötéseket .) A legfontosabb függvény típusok, ahol kikötést kell tenni:
A nullával való osztásnak nincs értelme, a tört nevezője nem lehet 0.
Példa: Kikötés:
A páros gyökkitevő alatt csak nem negatív szám állhat.
Példa:
Kikötés:
[ >
[ > solve(|x|-3) ≥ 0)
Csak pozitív számnak vehetjük a logaritmusát.
Példa:
[ > plot ( [ln (1-x2) ], x = -1.5 .. 1.5, y = -8 .. 0 )
Figyelem! Minden függvényekkel kapcsolatos feladatnál, ha a feladat nem adja meg az értelmezési tartományt, az első dolgunk meghatározni azt, vagyis a szükséges kikötéseket megtenni, akár kérdezi ezt a feladat, akár nem.
Mikor kell kikötést tenni? Ha a függvény képlete tartalmaz osztást, páros gyököt, vagy/és logaritmust. (A tgx és a ctgx függvények a sinx és cosx függvények hányadosai, osztást tartalmaznak, tehát a tgx és ctgx függvények esetén is kikötést kell tennünk.)
2. Függvénytulajdonságok
2.1. Zérushely
Azon amelyre
Szemléletesen: ahol a függvény az x tengelyt metszi.
Határozzuk meg a következő függvény zérushelyét:
Az f(x) függvényt párosnak nevezzük, ha f(-x) = f(x) minden esetén. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a függvény az y tengelyre tengelyesen szimmetrikus.
Az f(x) függvényt páratlannak nevezzük ,ha f(-x) = -f(x) minden esetén. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a függvény az origóra középpontosan szimmetrikus.
Ha egy függvényre a fent leírtak egyike sem áll fenn, akkor azt mondjuk róla, hogy se nem páros se nem páratlan. Az elnevezés onnan származik, hogy minden páros hatvány függvény páros és minden páratlan
hatványfüggvény páratlan. (Ábrák a hatványfüggvényekről, a különböző függvény típusoknál láthatók.) A trigonometrikus függvények közül a cos(x) függvény páros a többi páratlan.
Példák:
Az függvény páros.
[ >
[ >
A függvény páratlan.
[ >
A következő függvény se nem páros, se nem páratlan.
[ >
Hogyan tudjuk eldönteni ábrázolás nélkül számolással, hogy egy függvény páros, vagy páratlan?
Helyettesítsünk a függvény képletébe x helyett -x-et, majd egyszerűsítsük le a képletet amennyire lehet, és ezután nézzük meg, hogy visszakaptuk-e az eredeti függvényt, vagy a -1-szeresét.
, ezért a függvény páros.
és , ezért a függvény se nem páros, se nem páratlan.
2.3. Periodikusság
Definíció:
Az f(x) függvényt peridikusnak nevezzük, ha van olyan p valós szám, amelyre f(x+p) = f(x). Az ilyen tulajdonságú valós számok között a legkisebbet a függvény periódusának nevezzük.
Példa:
periódusa 2π [ >
periódusa 2π
[ >
periódusa π [ >
periódusa
[ >
Általában is igaz, hogy függvény periódusa
2.4. Monotonitás
Definíció:
Az f(x) függvényről azt mondjuk , hogy
szigorúan monoton csökken, ha f(x1)> f(x2) monoton csökken, ha f(x1)≥ f(x2)
szigorúan monoton nő, ha f(x1)< f(x2)
monoton nő, ha f(x1)≤ f(x2) az értelmezési tartomány bármely x1 és x2 x1 < x2 elemeire.
Példa:
Az függvény
[ >
a ]-∞, -2] intervallumon szigorúan monoton csökken, a [-2, 0] intervallumon szigorúan monoton nő, a [0, 2] intervallumon szigorúan monoton csökken, a [2, ∞[ intervallumon szigorúan monoton nő.
A constans függvényt egyszerre mondjuk csökkenőnek és növekedőnek.
[ >
2.5. Korlátosság
Definíció:
Az f(x) függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha van olyan k szám, amelyre f(x)≥k . Az f(x) függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha van olyan K szám, amelyre f(x)≤K . A függvényt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülről is korlátos.
Példa:
Az függvény alulról korlátos. Alsó korlát pl. k = 3 vagy 2,5. Alsó korlátnak bármilyen -2,25-nél nem nagyobb szám alkalmas. Más szóval, ha találunk egy alsó korlátot, akkor bármilyen nála kisebb szám is jó lesz alsó korlátnak. Végtelen sok alsó korlát van. A legnagyobb alsó korlátot, ha létezik a függvény alsó határának, idegen szóval infimumának nevezzük. Ebben az esetben a függvény alsó határát, a függvény képletének teljes négyzetté kiegészítésével kaphatjuk meg:
[ >
Az f(x) = -2 |x + 3| + 4 függvény felülről korlátos. Felső korlát például K = 5 vagy K = 4. Ha egy függvénynek megtaláljuk egy felső korlátját, bármely annál nagyob szám alkalmas lesz felső korlátnak. A legkisebb felső korlátot, ha létezik felső határnak, idegen szóval szupremumnak nevezzük.
[ >
A függvény korlátos. Korlátok például -3 és 1.
[ > függvény korlátos. Korlátok például -3 és 1.
2.6. Szélsőérték
Hasonlat: „A szűkebb környezetéből negatív értelemben emelkedik ki; az évfolyam legrosszabb matematikusa, a helyi úszóbajnokság utolsó helyezettje, stb.”
b) maximum
Az f(x) függvény lokális (helyi) maximumát az x1 helyen veszi fel és maximum értéke f(x1), ha x1-nek van olyan ε sugarú környezete, hogy a f(x1) ≥ f(x), ha x az x1 ε sugarú környezetében van. Matematikai jelölésekkel: ∃ ε >
0, hogy f(x1) ≥ f(x), ∀ x ∈ ] x1 -ε, x1 +ε [ esetén.
Hasonlat: „A szűkebb környezetéből pozitív értelemben emelkedik ki; az évfolyam legjobb matematikusa, a helyi úszóbajnokság első helyezettje, a falusi szépségkirálynő, stb.”
2) Globális (abszolút) a) minimum
Az f(x) függvény globális (abszolút) minimumát az x1 helyen veszi fel, és minimum értéke fx1), ha f(x1) ≤ f(x) minden x ∈ Df esetén.
Hasonlat: „A világ legbénább embere az adott területen.:)”
b) maximum
Az f(x) függvény globális (abszolút) maximumát az x1 helyen veszi fel, és maximum értéke f(x1), ha f(x1) ≥ f(x) minden x ∈ Df esetén.
Hasonlat: „Az adott terület világbajnoka.”
Tegyük fel, hogy az ábrán vázolt függvényre igaz a következő két határérték: és , akkor az ábrán vázolt függvénynek nincs abszolút minimuma, lokális minimuma x2-ben, lokális maximuma x1-ben és x3-ban van, de x1 egyben globális maximum hely is.
2.7. Konvexitás
Szemléletes definíciók
Egy függvény akkor konvex, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.
Egy függvény akkor konkáv, ha érintője mindenütt a függvénygörbe felett halad.
Másik megfogalmazás és szemléltetés:
Az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában konvex (konkáv), ha az intervallum bármely x1 < x2 értékeinél fennáll, hogy a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz alatt (felett) halad.
Az f függvénynek inflexiós pontja van az értelmezési tartományának egy x0 helyén, ha létezik az értelmezési tartománynak olyan ]a; b[ (a < x0 < b) intervalluma, hogy f az ]a; x0]-ban konvex (konkáv), az [x0; b[-ben konkáv (konvex). Szemléletesen: Az inflexiós pontban (x0) a függvény konvexből konkávba, vagy konkávból konvexbe billen át .
Egy vicces ábra a konvexitás szemléltetésére: Forrás: http://cheezburger.com/1092644096
De a jól ismert Smile-k is a konvex, konkáv görbékre utalhatnak:
3. Elemi függvények és függvénytranszformációk
• exponenciális függvényeket, ax
• trigonometrikus függvényeket, sin(x) , cos(x) , tan(x)
• és ezek inverzeit.
Az összetett és inverz függvény képzéséről a későbbiekben lesz szó.
Először nézzünk néhány elemi alapfüggvényt. Ezeket a függvényeket az alább látható ablakban lehet tanulmányozni. Az ablak az elemi alapfüggvények nevû gomb megnyomásával hozható elő. Az ablak bal oldali képe mutatja a legördülő listát, ahonnan a függvényeket választhatjuk. A számunkra szükségesnél a listában több függvény található. A bennünket érdeklő függvények: sin (x), cos (x), tan (x) = tg (x), cot (x) = ctg (x), exp (x) = ex , ln(x) = loge(x) , log10(x) = lg(x) = log10(x) , abs(x) = |x| , sqrt(x) = Azonkívül, hogy ezeknek a függvényeknek a képét megnézhetjük, a függvények transzformációit is tanulmányozhatjuk.
A következő táblázat összefoglalja a függvény transzformációkat.
Nézzünk minden transzformációra egy-egy animációt:
A felső (zöld) táblázat első sorában levő két eltolást az x2 függvényre alkalmazzuk. Sorban (x + a)2 , x2 + a beírásával a megfelelő utasításba. Az animáció úgy indul csak el, ha a grafikont kijelöljük (rákattintunk). Ekkor megjelenik az animációt irányító panel. Lassítsuk le az animáció futását, ekkor jobban tudjuk tanulmányozni a változást.
[ >
[ >
A második és harmadik sor transzformációit alkalmazzuk a sin(x) függvényre. Először sin(c x) , majd c sin(x) képletû függvényeket animáljuk.
[ > animate(plot, [sin(c⋅ x), x = -4⋅ Pi .. 4⋅ Pi], c = -3 .. 3)
Azt is észrevehetjük, hogyha c értéke negatívból pozitívba vált, a függvény y tengelyre való tükrözése is megtörténik, ahogy a táblázat harmadik sorában látjuk.
[ > animate(plot, [c⋅ sin(x), x = -4⋅ Pi .. 4⋅ Pi], c = -2 .. 2)
Most nézzük meg ugyanezt egy táblázatban különböző c értékekhez rendelve.
Itt is megfigyelhetjük a tükrözést, de most az x tengelyre. Meg tudjuk-e különböztetni a két különböző x és y tengelyre történő tükrözést a sin (x) függvény esetén? Nem, mert a sin (x) páratlan függvény és ezért sin (-x) = - sin (x) . Keressünk egy olyan függvényt, ahol a kétféle tükrözést eredményező transzformáció különböző lesz.
Legyen a függvény pl. |x - 3|
[ > plot([|x-3|, -|x-3|, |-x-3|], x = -8 .. 8, y = -4 .. 4, color = [blue, red, yellow])
Polinomok alakú függvényeket polinomoknak (vagy racionális
egész függvényeknek) nevezzük, ahol n természetes szám és an≠ 0 , valós szám.
Ekkor a polinom n-ed fokú. Az an , an-1 , ... a1 , a0 számok is valósak, ezek a polinom együtthatói, az együtthatók között természetesen 0-k is lehetnek. Az elsőfokú polinomot lineáris függvénynek is nevezzük. Polinomok például 3⋅ x2-2⋅ x+4, 5⋅ x6-2⋅ x3+1.
Ne felejtsük el beírni a szorzás és hatványozás jelét, ahogy a képen is látható. Feladat: Írjuk be a páros és páratlan kitevőjû hatványfüggvényeket és soroljuk fel a tulajdonságaikat. Miben különböznek egymástól?
Két polinom hányadosát racionális törtfüggvénynek nevezzük. a következő gombbal egy olyan ablak hívható elő, amelybe különböző racionális törtfüggvények képletét írhatjuk be, ezután megkapjuk a függvények képét és így tanulmányozhatjuk őket.
4. Összetett függvények
A következő ábra azt szemlélteti, hogy összetett függvényt szemléletesen úgy kaphatunk, hogy két függvény egymásutánját egyetlen függvénnyé kapcsolunk össze:
Forrás: http://mathinsight.org/function_machine_composition
Ha visszatérünk a függvény definíciójához, halmazokkal a következőképpen tudjuk szemléltetni az összetett
Ha g(x) = 2 x + 1 és f(x) = x2 , akkor
Az összetett függvény értelmezési tartománya:
Legyen most g (x) = sin (x) f (x) = log2(x) ekkor f (g (x) ) = log2(sin(x)) . Számítsuk ki az értékét!
Első lépésben a belső függvény értékét határozzuk meg, , ezután a kapott érték kettes alapú logaritmusát kellene meghatároznunk, de mivel negatív értéket kaptunk, ennek nincs logaritmusa. Hogyan tudjuk meghatározni az összetett függvény értelmezési tartományát úgy, hogy a fenti probléma ne forduljon elő?
A g függvény értelmezési tartományának az a részhalmaza lehet csak az összetett függvény értelmezési tartománya, amelyhez tartozó g szerinti függvény értékek az f függvény értelmezési tartományába esnek. A fenti esetben sin (x) > 0, vagyis 2 k π < x < π + 2 k π halmaz lesz az összetett függvény értelmezési tartománya. A kapott összetett függvényt az alábbi ábra mutatja. A belső függvény értékkészletét az x tengelyre vetítve a piros AB szakasz mutatja. Az is látható, hogy az összetett függvény csak ott van értelmezve, ahol a szinusz függvény pozitív értékeket vesz fel.
A következő példa azt mutatja, hogy az összetett függvényeknél a külső és belső függvényt nem cserélhetjük fel. Először az összetett függvény legyen , másodszor
[ > plot( [ 1/ (sin (x))], x = -7 .. 7, y = -10 .. 10, discont = true)
[ > plot( sin(1/x), x = -.5 .. .5)
Összetett függvények gyakorló paneljei a Maple-ben:
5. Inverz függvények
Az f függvény inverzének nevezzük és f-1 -gyel jelöljük azt a függvényt, amely minden valós "a" számhoz (mely az f függvény értékkészletéhez tartozik), azt a "b" számot rendeli, melyhez az f az "a"-t rendelte, vagyis ha f (b)
= a , akkor f-1(a) = b . Az f-1 függvény értelmezési tartománya az f függvény értékkészlete, és az f-1 függvény értékkészlete az f értelmezési tartománya.
és
Csak kölcsönösen egyértelmû függvénynek lehet inverze. Ha egy függvény nem kölcsönösen egyértelmû, akkor értelmezési tartományát leszûkítjük a legbővebb kölcsönösen egyértelmû tartományra. A táblázat első példájában az f(x) = x2 függvény nem kölcsönösen egyértelmû, ezért az értelmezési tartományt le kellett szûkíteni a nem negatív számok halmazára. Ha a függvény képét tükrözzük az y = x egyenesre a függvény képének inverzét kapjuk. Ha az (a, b) pont rajta van egy függvény grafikonján, akkor a (b, a) pont a függvény inverzének grafikonján lesz rajta.
Hogyan kapjuk meg az inverz függvény képletét? Tekintsük például az függvényt. Használjuk az jelölést! Cseréljük fel az x és y betûket (most történik a képletben, ami geometriailag a függvény képének tükrözése az y = x egyenesre), , majd fejezzük ki y-t. Vegyük mindkét oldal e alapú logaritmusát:
⇒ . A vagy e alapra alkalmazva a , azonosságot használtuk fel.
6. Néhány további függvény
Hatványfüggvények
Az alábbi ábrán közös koordináta - rendszerben ábrázoltuk a hatványfüggvényeket, nevezetesen: x , x2 , x3 , x4 függvényeket. Az ábrán jól látható, hogy minden hatványfüggvénynek két közös pontja van a (0,0) és az (1,1) pontok. A páratlan kitevőjû hatványok grafikonjai átmennek a (-1,-1) ponton, míg a párosak a (-1,1) ponton. A ]0, 1[ intervallumon a nagyobb kitevőjû hatványok értéke kisebb, azaz x4<x3<x2<x , az ]1, +∞[ -ben az egyenlőtlenségek megfordulnak.
[ >
Egészrész függvény f(x) = [x]
Minden számhoz a nála nem nagyobb (kisebb, vagy egyenlő) egész számot rendeli. Nyilvánvaló, hogy minden egész szám egész része önmaga, a pozitív törtek egész részének kiszámítása sem szokott gondot okozni [3.2] = 3 , vagy [9.9] = 9 , de mennyi az [-2.3] ? Mit is mond az egészrész definíciója? Minden számhoz a nála nem nagyobb egész számot rendeljük, ezért [-2.3] = -3 . az egészrész függvény úgynevezett lépcsős függvény. A grafikonon látható szakaszok bal végpontja hozzátartozik a függvény képéhez, a jobb végpont nem.
[ > plot(floor(x), x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, discont = [showremovable]);
Törtrész függvény f(x) = {x} and {x} = x + [-x] . Egy szám törtészét úgy kapjuk meg, ha a számból kivonjuk az egészrészét. Az alább látható grafikonon a szakaszok bal végpontja hozzátartozik a grafikonhoz a jobb végpont nem.
[ > plot(x-floor(x), x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, discont = true);
Érdekességképpen nézzük meg az x2 és a 2⋅ sin(x) függvények egészrészét és törtrészét:
[ x2] { x2} [2⋅ sin(x)] {2⋅ sin(x)}
Előjel függvény (szignum függvény) f(x) = sgn(x) Pozitív számok szignuma 1, negatív számoké -1, a 0 szám
[ > plot(signum(x), x = -3 .. 3, y = -2 .. 2, discont = true);
Nézzük meg néhány példán, hogyan szemlélteti a szignum a függvények előjelét? Ha alaposabban megnézzük a grafikonokat látszik a függvények zérushelyénél a zöld pont, ott a szignum függvény mindig 0.
sgn ((x-3)⋅ (x+2)) sgn (0.25⋅ x⋅ (x-3)⋅ (x+4)) sgn (sin (x))
Függvények reciprokának ábrázolása: Ha ismerünk egy függvényt könnyen felvázolhatjuk a reciprokának grafikonját. Ahol a függvényérték 1, vagy -1, az a pont a függvény és reciprok függvény grafikonjának közös pontja lesz. Ahol a függvénynek zérushelye van a reciprok függvénynek szakadása lesz. Minél nagyobb az eredeti függvény függvényértéke, annál kisebb lesz a reciprok függvény értéke és fordítva.
7. Feladatok önálló megoldásra
1. Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tarományát!
2. Számítsuk ki a felsorolt függvények zérushelyét!
3. Melyik függvény páros, vagy páratlan a felsoroltak közül?
4. Ábrázolja az f(x) függvényt és inverzét! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket!
5. Ábrázolja az f(x) függvényt! Adja meg az értelmezési tartományát és értékkészletét! Adja meg az f(x) függvény inverzét és ábrázolja!
6. Ábrázolja az f(x) függvényt és a reciprokát! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket! Adja meg az f(x) függvény inverzét! Páros-e ez a függvény? Írja fel, hogy mely függvényekből alkottuk meg az f(x) összetett függvényt!
7. Ábrázolja az f(x) függvényt és a reciprokát! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket! Adja meg az f(x) függvény inverzét! Páros-e ez a függvény? Írja fel, hogy mely függvényekből alkottuk meg az f(x) összetett függvényt!
8. Ábrázolja az f(x) függvényt és a reciprokát! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket! Adja meg az f(x) függvény inverzét és ábrázolja!
9. Képezzük a következő összetett függvényeket: h(g(x)) , g(h(x)) , f(g(x)) , f(h(x)) ! Mit mondhatunk az értelmezési tartományokról?
4. fejezet - Függvény határértéke, folytonosság
forrás: http://dannbislondon.blogr.ws/files/CIMG2098-UK-London-TowerBridge_01.jpg
1. Függvény határértéke
Az előző fejezetekben megismerhettük a sorozat határértékének fogalmát, több módszert is láttunk a határérték meghatározására. Mivel a sorozatok is "speciális" függvényeknek tekinthetők, így általában a függvények határértékének egyik fajta definíciója is a sorozatoknál tanultakra vezethető vissza ( Heine-féle definíció).
A függvény határértékének kétféle - Heine-féle és Cauchy-féle - definícióját ismerjük. Definiáljuk ezekhez a környezet fogalmát: Az x0 pont környezetén értjük a ]x0-δ;x0+δ[ intervallumot, ahol δ tetszőleges pozitív számot jelöl:
Feltesszük, hogy a függvények az x0 környezetében értelmezve vannak, akkor az x0 pontban így értelmezzük a határértéket:
Heine-féle definíció:
Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvénynek az x0 pontban a határértéke +∞ ill. -∞ ,ha valahányszor xn → x0 , xn
≠ x0 sorozat esetén a függvényértékek sorozata mindannyiszor +∞ ill. -∞ -be divergál, azaz f(xn)→ + ∞ ill - ∞ . Jelölésben:
A fenti definícióból látható, hogy a határérték egyértelműen meghatározott, hiszen a sorozatokra vonatkozó unicitás-tétel igaz rá, mivel a definíciót a sorozatoknál tanultakra vezettük vissza. (Az unicitás-tétel a sorozatok határértékének egyértelműségét mondja ki.)
Szemléletesen azt jelenti, hogy ha ballagunk az x tengelyen xx0 felé, közben az f(x) függvény értékei az A szám felé tartanak:
Az ábrán azt jelenti, hogy ha x→16 , akkor a függvényértékek 4-hez közelítenek, akár bal oldalról, akár jobb oldalról nézzük.
[ > f : = x→ log 2 (x)
[ > hely : = tickmarks = [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20], [ -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]]
[ > gorbe : = plot(f(x), x = .1 .. 5, discont = true, hely, thickness = 3); gorbe
[ > rajzokbal := [seq(display([pointplot([x, f(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x
= .1 .. 4, .1)]:
[ > display(rajzokbal, insequence = true)
A Maple animáció balról közeledve mutatja a pontbeli határértéket.
[ > rajzokjobb := [seq(display([pointplot([x, f(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x
= 5 .. 4, -.1)]:
[ > display(rajzokjobb, insequence = true)
A Maple animáció jobbról közeledve mutatja a pontbeli határértéket.
Megadjuk a másik, Cauchy-féle definíciót is:
Az f(x) függvénynek az x0 -ban létezik a határértéke, ha megadható olyan A valós szám, hogy bármely ε > 0-hoz van olyan δ , hogy ha , x≠x0 akkor . ( δ, ε kicsi, valós, pozitív számokat jelölnek) (Ez az ún környezetes definíció.)
A hely kis megváltozása a függvényértékek kicsiny változását vonja maga után. Másképpen: f (x) tetszőlegesen
Így viselkedik például az x=0 pontban az függvény:
[ >
[ > ngorbe := plot(n, x = -5 .. 5, discont = true, thickness = 3); ngorbe
, illetve
A 0 hely bal és jobb oldali határértéke egyaránt plusz végtelen. Minél közelebb "megyünk" a 0-hoz, a függvény értékei egyre nagyobbak lesznek. Tehát véges helyen végtelen a határértéke a függvénynek.
Így viselkedik például az x0 = 0 pontban az függvény:
[ >
[ > hgorbe := plot(h, x = -5 .. 5, discont = true, thickness = 3); hgorbe
, illetve
A 0 helyen a baloldali határérték mínusz, a jobb oldali határérték plusz végtelen. Láthatjuk, hogy nem mindegy melyik oldalról közelítjük a 0-t: balról egyre kisebbek lesznek a függvény értékei, míg jobbról közeledve nőnek.
Tehát véges helyen végtelen határértékkel találkozunk.
2.2. Végtelenben vett végtelen határérték
Így viselkedik például a +∞-ben az f (x) = 2 | x - 3 | + 5 függvény:
[ > ab := -2*abs(x-3)+5
[ > abgorbe := plot(ab, x = -1 .. 15, discont = true, thickness = 3); abgorbe
Azt látjuk, hogy minél „messzebb” megyünk az x tengelyen pozitív irányban, a függvény értékei egyre mélyebbre esnek, egyre kisebb értékeket vesznek fel.
Így viselkedik például a -∞-ben az függvény:
[ >
[ > gygorbe := plot(gy, x = -31 .. 2, discont = true, thickness = 3); gygorbe
Azt látjuk, hogy ha az x tengelyen a -∞-be ballagunk (távolodunk az origótól), a függvény értékei nőnek, azaz a mínusz végtelenben vett függvény határárérték plusz végtelen lesz.
Így viselkedik például a -∞-ben az függvény:
[ >
[ > gngorbe := plot(gn, x = -18 .. 6, discont = true, thickness = 3); gngorbe
Azt látjuk, hogy minél messzebb megyünk az x tengelyen negatív irányban, azaz ballagunk a mínusz végtelen felé, a függvény értékei egyre mélyebbre mennek, egyre kisebb értéket vesznek fel. A mínusz végtelenben tehát a függvény értékek is mínusz végtelenbe tartanak.
Így viselkedik például a ∞-ben az függvény:
[ >
[ > epgorbe := plot(ep, x = -8 .. 16, discont = true, thickness = 3); epgorbe
Azt látjuk, hogy minél „messzebb” megyünk az x tengelyen a függvény értékei egyre magasabbra törnek, egyre nagyobb értéket vesznek fel. A plusz végtelenben a függvény határértéke is plusz végtelen.
2.3. Végtelenben vett véges határérték
Így viselkedik például a ∞-ben az függvény:
[ >
[ > epgorbe := plot(ep, x = -8 .. 4, discont = true, thickness = 3); epgorbe
A mínusz végtelenben a függvény grafikonja nagyon közel megy az y=-6 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el.
Így viselkedik például a -∞-ben az függvény:
[ >
[ > egorbe := plot(e, x = -10 .. 5, 0 .. 6, discont = true, thickness = 3); egorbe
A függvény a mínusz végtelenben nagyon közel megy az y = 2 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el, de ugyanez elmondható a plusz végtelenben is, hiszen láthatjuk, hogy a függvény az y tengelyre szimmetrikus.
Így viselkedik például a ∞-ben az függvény:
[ >
[ > engorbe := plot(en, x = -5 .. 15, -6 .. 0, discont = true, thickness = 3); engorbe
A függvény a plusz végtelenben folyamatosan közelít az y= - 4 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el, hasonlóan igaz ez a mínusz végtelenben is.
Így viselkedik például a ∞-ben az függvény:
[ >
[ > hegorbe := plot(he, x = -5 .. 15, -4 .. 0, discont = true, thickness = 3); hegorbe
A függvény a plusz végtelenben nagyon közel megy az y=-3 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el, a függvényértékek -3-hoz tartanak.
2.4. Véges helyen vett véges határérték
Legyen f (x) = x2, x ∈ ℜ, a vizsgálandó függvény. Határozzuk meg a határértékét az x=2 helyen:
[ > n : = x2
[ > ngorbe := plot(n, x = -4 .. 4, 0 .. 16, discont = true, thickness = 3, color = red); ngorbe
...
A Heine-féle sorozatos definíció alapján mondhatjuk a következőket: Pl.
Vizsgáljuk meg, hogy ekkor hova tart a megfelelő függvényértékek sorozata:
. Ha , akkor
. Ha , akkor
. A határérték környezeti tulajdonság („Nem érdekel, hogy mit csinál a függvény x = a-ban, csak a környezetében.”) Tehát
A fenti 3 függvény f (x), g (x), h (x) az x0 = 2 pont környezetében teljesen ugyanúgy viselkedik, eltérés közöttük kizárólag az x0 = 2 pontbeli viselkedésükben van.
Az f (x) függvény minden valós számra értelmezve van, tehát 2-ben is, a 2-beli érték szépen belesimul a függvény megfelelő értékeinek sorába.
A g (x) értelmezési tartományából hiányzik a 2, tehát g (x) 2-ben nincs értelmezve ( lyukas ).
A h (x) függvény ugyan szintén minden valós számra értelmezve van, mint az f (x), de a h (x) 2-beli értéke renitens , kilóg a sorból, kitéptük a 2-beli értékét és áttettük máshova, 4-ből 6-ba.
2.5. Mikor nem létezik a határérték?
Nézzük az f (x) = sin (x) függvényt!
[ > s := sin(x)
[ > sgorbe := plot(s, x = -4*Pi .. 4*Pi, -1.5 .. 1.5, discont = true, thickness = 3); sgorbe
f (x) = sin (x) esetén nem létezik, de Mert van olyan xn→ ∞, hogy f (xn)→0 és van olyan
Nézzük az f (x) = cos (x) függvényt!
[ > c := cos(x);
[ > cgorbe := plot(c, x = -4*Pi .. 4*Pi, -1.5 .. 1.5, discont = true, thickness = 3); cgorbe
f (x) = cos (x) esetén nem létezik, de Mert van olyan xn→ ∞, hogy f (xn)→0 és van olyan xn→ ∞ , hogy f (xn)→1 , és bármilyen -1≤A≤1 számot adunk meg mindig találunk olyan végtelenbe tartó sorozatot, amelyhez tartozó függvényérték sorozat A-hoz tart.
Tekintsük az f (x) = { x } = x - [ x ] törtrész függvényt!
[ > er := floor(x)
[ > trgorbe := plot(tr, x = -7 .. 7, discont = true, thickness = 3); trgorbe
{ x } = x - [ x ], Egy szám törtrészét úgy kapjuk meg, hogy a számból kivonjuk az egészrészét. Egy szám egészrésze a nála nem nagyobb (kisebb vagy egyenlő) egész szám. Törtrész jelölése: {x} Egészrész jelölése: [x]
Azaz az x=1 helyen nem létezik a határérték! Nem megszüntethető szakadás van!
3. Nevezetes függvény határértékek
[ >
[ > h1gorbe := plot(h1, x = -.5 .. .5, discont = true, thickness = 3); h1gorbe
Láthatjuk, hogy a függvényértékek hoz közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0-hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha a 0-t is felvennék.
[ >
[ > h2gorbe := plot(h2, x = -.5 .. .5, discont = true, thickness = 3); h2gorbe
Láthatjuk, hogy a függvényértékek 1-hez közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0-hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha az 1-t is felvennék.
[ >
[ > h3gorbe := plot(h3, x = -.5 .. .5, discont = true, thickness = 3); h3gorbe
Láthatjuk, hogy a függvényértékek e-hez közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0-hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha az e-t is felvennék. Itt elfogadjuk, hogy a határérték az e szám, mivel tudjuk, hogy az értéke 2,72 "körül" van, a pontos értékét nem tudjuk meghatározni, nem írható fel két egész szám hányadosaként (ún transzcendens szám).