1.C. Szavazási modellek

x : Θ → Xfüggvény, amely ∀θ ∈ Θvilágállapothoz egyértelmu-en hozzáregyértelmu-endel egy x¯(θ) ∈ X alternatívát, amit egyfajta status quóként értelmezhetünk.

1.B.40. Deníció. Az f : Θ⇒X társadalmi választási szabály individuálisan racionális, ha ∀θ ∈ Θ-ra, amennyiben x ∈ f(θ), akkor

xR_i(X, θ_i) ¯x(θ) ∀i-re.

1.B.41. Megjegyzés. Nyilvánvaló: ha a világállapotok halmaza nem túl speciális szerkezetu, egy individuálisan racionális TVSz nem lehet sem diktatórikus, sem vétómentes. Ez így igencsak pon-gyola megállapítás, szerencsésebb lenne, ha jellemeznénk azt a Θ világállapothalmazt, amelyre igaz. E helyütt nem célunk ezt meg-tenni, csak utalunk arra, hogy amennyiben aKDPkielégíti az (U) feltételt, állításunk triviálisan teljesül.

1.C. Szavazási modellek

Ebben az alfejezetben egy speciális szerkezetu közösségi döntési problémával foglalkozunk, az úgynevezett szavazási modellel. Cé-lunk természetesen nem az, hogy a szavazási modelleket általában

36 1. fejezet: A közösségi döntés

ami nem jelent mást, mint hogyd— ahogy abban reménykedtünk

— egybenf-diktátor is.

1.B.36. Megjegyzés. Ha gyelmesen megvizsgáljuk a bizonyí-tást, észrevehetjük, hogy az (U)feltételt helyettesíthetjük az(U’) feltétellel, az állítás igazságán ez nem változtat.

1.B.37. Megjegyzés. Az 1.B.33. Segédtételnek az állítás negati-vitásán túl van egy, számunkra a késobbiekben lényeges tulajdon-sága: igencsak érzékeny a feltételekre. Ha az elozo Megjegyzésben említett feltételen kívül csak egy másik nem teljesül is, azonnal tu-dunk olyan nem diktatórikus eljárást szerkeszteni, amely a többit kielégíti. Ezt a tényt alaposan ki is fogjuk használni a továbbiak-ban. Csak egy példa ennek az érzékenységnek az igazolására:

1.B.38. Példa (Pareto TVSz). Legyenf a következo TVSz:

f : Θ⇒X, f(θ)�P O(θ) ∀θ∈Θ, azaz∀θ∈Θvilágállapotban

f(θ)�

x∈XCx ∈X, amire xP_i(X, θ_i)x ∀i-re . Errol a Pareto-leképezésnek nevezett társadalmi választási sza-bályról könnyu belátni, hogy monoton, nyilvánvalóan Pareto-ha-tékony,¹² de ugyanakkor az (U) feltételt kielégíto KDP-ban trivi-álisan nem diktatórikus.

Kielégíti ugyanakkor a következo denícióban adandó feltételt is, ami a diktatúramentességnek egy enyhébb változata.

12Ha azonban a denícióban az erosenPareto-optimális(hatékony) alternatí-vákP Os(θ) halmazát szerepeltetnénk, akkor az állítás nem lenne igaz. Egy ellenpéldát találhatunk példáulPalfrey—Srivastava[1991]-ban.

38 1. fejezet: A közösségi döntés

ismertessük, jellemezzük vagy tárgyaljuk, hanem az, hogy a leheto legegyszerubb és a legkönnyebben átlátható modellben vizsgáljuk a problémát. Emiatt az sem célunk, hogy konkrét példákkal il-lusztráljuk a mondanivalónkat, ilyeneket bárki könnyen konstru-álhat.

1.C.1. A szavazási modellek tulajdonságai

A szavazási modell pillanatok alatt beillesztheto a KDP-k általá-nos szerkezetébe. A modellben véges sok szavazó, véges sok alter-natíva közül választ pontosan egyet. Egyelore nem specikáljuk precízen ezt a választási eljárást, ennél általánosabb a megköze-lítésünk. A választásról — mivel nem ismerjük még az eljárást — még semmit sem tudunk, de elvárásaink lehetnek. Elso elvárásunk, hogy a választás az egyének értékítéletétol függjön, másszóval: az egyéni preferenciák és csakis azok befolyásolják a választást. En-nek értelmében a világállapotok és a prolok között egy—egy értel-mu kapcsolat van, emiatt — a jelölés egyszerusítése érdekében az alternatívahalmazra és a világállapotra történo utalást el is hagy-juk. A második: olyan általános legyen, hogy minden világál-lapotban alkalmazni lehessen. A harmadik: minden alternatíva legyen ténylegesen választható, azaz ne legyen olyan alternatíva, amit eleve kizárunk.

1.C.1. Deníció (Szavazási modell). Az alábbi feltételeknek eleget tevo KDP-t szavazási modellnek (SzM) hívjuk:

• A döntéshozók I = (1,2, . . . , i, . . . I) halmaza véges, azaz 2_I <∞;

• Az alternatívák X halmaza véges, azaz2_|X|<∞;

• A D leképezés bijektív, azaz a KDP-beli világállapotok Θ halmaza és az alternatívahalmaz feletti összes, logikailag el-képzelheto preferenciaprolok halmaza közötti megfeleltetés egy—egy értelmu;

1.C. alfejezet: Szavazási modellek 39

• A φszavazási eljárás(SzE) a következoTVF, φ:×^Ii=1R(X)]R(X)^I →X, φ(R)]φ(R₁, . . . , R_I)∈X, ∀R∈ R(X)^I

φ

R(X)^I

=X.

1.C.2. Megjegyzés. Könnyen látható: aszavazási modell kielé-gíti az (U) feltételt, azaz D(Θ) = ×^I_i=1R(X) és a denícióból következoen az állampolgárok szuverenitásafeltételt is.

A fenti deníció alapján értelemszeruen deniálhatjuk a sza-vazási eljárás tulajdonságait, nem kell mást tennünk, csak aTVF tulajdonságait átfogalmazni oly módon, hogy kihagyjuk a világál-lapot fogalmát. Lássuk például, hogy a Pareto-hatékonyság és a diktatórikusság fogalmát miként adhatjuk meg a szavazási eljárá-sokra nézve:

Maga a szavazási modell azonban — minden egyszerusége és jó tulajdonsága ellenére — önmagában hordoz egy olyan ellentmon-dást, amelynek feloldása igencsak komoly erofeszítést igényel, sot

38 1. fejezet: A közösségi döntés

ismertessük, jellemezzük vagy tárgyaljuk, hanem az, hogy a leheto legegyszerubb és a legkönnyebben átlátható modellben vizsgáljuk a problémát. Emiatt az sem célunk, hogy konkrét példákkal il-lusztráljuk a mondanivalónkat, ilyeneket bárki könnyen konstru-álhat.

1.C.1. A szavazási modellek tulajdonságai

A szavazási modell pillanatok alatt beillesztheto a KDP-k általá-nos szerkezetébe. A modellben véges sok szavazó, véges sok alter-natíva közül választ pontosan egyet. Egyelore nem specikáljuk precízen ezt a választási eljárást, ennél általánosabb a megköze-lítésünk. A választásról — mivel nem ismerjük még az eljárást — még semmit sem tudunk, de elvárásaink lehetnek. Elso elvárásunk, hogy a választás az egyének értékítéletétol függjön, másszóval: az egyéni preferenciák és csakis azok befolyásolják a választást. En-nek értelmében a világállapotok és a prolok között egy—egy értel-mu kapcsolat van, emiatt — a jelölés egyszerusítése érdekében az alternatívahalmazra és a világállapotra történo utalást el is hagy-juk. A második: olyan általános legyen, hogy minden világál-lapotban alkalmazni lehessen. A harmadik: minden alternatíva legyen ténylegesen választható, azaz ne legyen olyan alternatíva, amit eleve kizárunk.

1.C.1. Deníció (Szavazási modell). Az alábbi feltételeknek eleget tevo KDP-t szavazási modellnek (SzM)hívjuk:

• A döntéshozók I = (1,2, . . . , i, . . . I) halmaza véges, azaz 2_I <∞;

• Az alternatívák X halmaza véges, azaz2_|X|<∞;

• A D leképezés bijektív, azaz a KDP-beli világállapotok Θ halmaza és az alternatívahalmaz feletti összes, logikailag el-képzelheto preferenciaprolok halmaza közötti megfeleltetés egy—egy értelmu;

40 1. fejezet: A közösségi döntés

bizonyos esetekben, nem is lehetséges. Mire gondolunk? Mint azt megköveteltük, minden szavazási modellben a szavazási eljá-rás kimenetele mindig az egyéni preferenciáktól függ. Az egyéni preferenciák azonban természetükbol fakadóan privát információk, aktuális alakulásukat csak a döntéshozók maguk ismerik. Még-pedig minden döntéshozó csak a saját preferenciájáról rendelke-zik információval, a többiekérol nem vagy csak nagyon korlátozott formában. Miután minden döntéshozó csak a szavazási eljárás ál-tal szolgáltatott kimenet számára kedvezo voltában érdekelt, nem pedig abban, hogy valós értékítéletét a többiek számára felfed-je, ezért mindent elkövet annak érdekében, hogy e kimenetet a maga javára befolyásolja. Ennek megfeleloen olyan preferenciát fed fel, mint sajátját, amelyrol úgy véli, a legkedvezobb kimenetet biztosítja saját maga számára. Éppen ezek miatt az, aki meg-felelo szavazási eljárást kíván szerkeszteni, eleve ellentmondásos helyzetbe kerül. Egyrészt tisztában van azzal, hogy a számára felfedett információk (preferenciaprolok) egyaránt lehetnek való-ságosak vagy hamisak, másrészt azt szeretné, az általa szerkesz-tett eljárás a valóságos preferenciákon rendelkezzen azokkal a jó tulajdonságokkal, amelyekkel ellátni kívánja. Ebbol az követke-zik, hogy olyan eljárásra van szüksége, amely biztosítja, hogy a döntéshozók biztosan a valódi preferenciáikat tárják fel számára.

Olyan módszert kell létrehoznia, ami minden esetben, azaz min-den preferenciaprol mellett arra készteti a döntéshozókat, hogy az „igazat vallják”. Az ilyen szavazási eljárásokatcsalásbiztosnak hívjuk. Ellenkezo esetben, azaz ha aSzE nem csalásbiztos, olyan eredményt hozhat, amely a valós preferenciákon nem felel meg a megkívánt követelményeknek. A csalásbiztos eljárásoknak még egy nagy elonye van. Mint említettük, a döntéshozók rendelkez-hetnek valamennyi információval a többiek preferenciáiról. Ezek alapján tehetik meg stratégiai lépéseiket, azaz ezek alapján döntik el, hazudnak-e vagy sem, és ha igen, akkor mit. Miután az eljá-rást szerkeszto ezekrol az információkról sem tud semmit, igencsak nehéz, ha nem reménytelen dolga van, ha ezeket a stratégiai

lépé-1.C. alfejezet: Szavazási modellek 41

seket elore be akarja kalkulálni. Ha viszont csalásbiztos eljárást szerkeszt, nem kell törodnie ezzel a problémával. Ekkor ugyanis a döntéshozóknak nem áll érdekükben hazudniuk, mindig a va-lós preferenciákat jelentik be. A csalásbiztos SzE „megszabadít”

minket a problémának ettol a stratégiai vetületétol.¹³ Kérdésünk ezek után az: vajon tudunk-e egyéb jó tulajdonságokkal rendel-kezo, csalásbiztos eljárást szerkeszteni, és ha igen, melyek ezek a jó tulajdonságok? Mielott azonban e kérdést megválaszolnánk, formalizáljuk a csalásbiztosság fogalmát!

Eloször egy jelölést vezetünk be. Jelölje az R|R^� szimbólum a következo prolokat: szavazási eljárás az R ∈ R(X)^I prolban az i-edik döntéshozó által manipulálható, ha∃R^�_i∈ R(X) preferenciarendezés, hogy

φ R|R^�_i

P_iφ(R).

1.C.6. Deníció (Csalásbiztosság). Egyφ:R(X)^I→X sza-vazási eljárás csalásbiztos, ha egy preferenciaprolban sem mani-pulálható.

1.C.2. A Gibbard—Satterthwaite-tétel

Ebben a pontban bevezetjük akorlátozott szavazási modell (KSzM) fogalmát, amely csak abban különbözik az általános szavazási mo-delltol, hogy csakszigorú preferenciákat engedünk meg benne.

13Ezt a megjegyzést, csakúgy mint az egész gondolatmenetet, késobb precí-zebbé tesszük.

40 1. fejezet: A közösségi döntés

bizonyos esetekben, nem is lehetséges. Mire gondolunk? Mint azt megköveteltük, minden szavazási modellben a szavazási eljá-rás kimenetele mindig az egyéni preferenciáktól függ. Az egyéni preferenciák azonban természetükbol fakadóan privát információk, aktuális alakulásukat csak a döntéshozók maguk ismerik. Még-pedig minden döntéshozó csak a saját preferenciájáról rendelke-zik információval, a többiekérol nem vagy csak nagyon korlátozott formában. Miután minden döntéshozó csak a szavazási eljárás ál-tal szolgáltatott kimenet számára kedvezo voltában érdekelt, nem pedig abban, hogy valós értékítéletét a többiek számára felfed-je, ezért mindent elkövet annak érdekében, hogy e kimenetet a maga javára befolyásolja. Ennek megfeleloen olyan preferenciát fed fel, mint sajátját, amelyrol úgy véli, a legkedvezobb kimenetet biztosítja saját maga számára. Éppen ezek miatt az, aki meg-felelo szavazási eljárást kíván szerkeszteni, eleve ellentmondásos helyzetbe kerül. Egyrészt tisztában van azzal, hogy a számára felfedett információk (preferenciaprolok) egyaránt lehetnek való-ságosak vagy hamisak, másrészt azt szeretné, az általa szerkesz-tett eljárás a valóságos preferenciákon rendelkezzen azokkal a jó tulajdonságokkal, amelyekkel ellátni kívánja. Ebbol az követke-zik, hogy olyan eljárásra van szüksége, amely biztosítja, hogy a döntéshozók biztosan a valódi preferenciáikat tárják fel számára.

Olyan módszert kell létrehoznia, ami minden esetben, azaz min-den preferenciaprol mellett arra készteti a döntéshozókat, hogy az „igazat vallják”. Az ilyen szavazási eljárásokatcsalásbiztosnak hívjuk. Ellenkezo esetben, azaz ha aSzE nem csalásbiztos, olyan eredményt hozhat, amely a valós preferenciákon nem felel meg a megkívánt követelményeknek. A csalásbiztos eljárásoknak még egy nagy elonye van. Mint említettük, a döntéshozók rendelkez-hetnek valamennyi információval a többiek preferenciáiról. Ezek alapján tehetik meg stratégiai lépéseiket, azaz ezek alapján döntik el, hazudnak-e vagy sem, és ha igen, akkor mit. Miután az eljá-rást szerkeszto ezekrol az információkról sem tud semmit, igencsak nehéz, ha nem reménytelen dolga van, ha ezeket a stratégiai

lépé-42 1. fejezet: A közösségi döntés

1.C.7. Deníció (Korlátozott szavazási modell). Az alábbi feltételeknek eleget tevo KDP-t korlátozott szavazási modellnek (KSzM)hívjuk:

• A döntéshozók I = (1,2, . . . , i, . . . I) halmaza véges, azaz 2_I <∞;

• Az alternatívák X halmaza véges, azaz2_|X|<∞;

• A D leképezés bijektív, azaz a KDP-beli világállapotok Θ halmaza és az alternatívahalmaz feletti összes, logikailag el-képzelhetoszigorú preferenciaprolok halmaza közötti meg-feleltetés egy—egy értelmu;

• Aφ korlátozott szavazási eljárás(KSzE) a következoTVF, φ:×^Ii=1P(X)]P(X)^I→X,

φ(P)]φ(P₁, . . . , P_I)∈X, ∀P ∈ P(X)^I φ

P(X)^I

=X.

A csalásbiztos KSzM deníciója nyilvánvaló módosításokkal kapható. Most néhány segédtétellel jellemezzük a csalásbiztos kor-látozott szavazási eljárásokat.

1.C.8. Segédtétel. Legyen φ : P(X)^I → X egy csalásbiztos KSzE. Ekkor nem léteznek olyanx, y ∈X alternatívák, valamint

olyan

i∈ I, P ∈ P(X)^I, P_i∈ P(X) hármas, hogyx=φ(P)�=φ(P|P_i) =y és

xP_iy⇐⇒xP_iy.

Bl}rq|ðwäv: A szigorú preferenciarendezés teljessége miatt vagy xP_iy, vagy yP_ix. Az általánosság megsértése nélkül tekintsük az elso esetet! Ekkor a feltétel miattxP_iyis fennáll, de ez azt jelenti,

1.C. alfejezet: Szavazási modellek 43

hogy az i-edik döntéshozó manipulálhatja φ-t a P|P_i prolban.

Ellenkezo esetben ugyano manipulálhatna aP prolban. Mindez ellentmondásban van a feltételezett csalásbiztossággal.

1.C.9. Segédtétel. Legyen φ: P(X)^I → X csalásbiztos. Ekkor monoton is egyben.

Bl}rq|ðwäv: ATVSz-ra vonatkozó 1.B.32. Deníciót a φ KSzE-re alkalmazva tegyük fel, hogy φ(P) =xés az alsó nívóhalmazokra tett feltétel miatt, az 1.C.8. Segédtétel alapján ellentmond a feltételezett csalásbiztosságnak. A zP₁x re-láció sem állhat fenn, mert ez közvetlenül azt jelentené, az elso döntéshozó manipulálhatjaφ-t aP prolban. Tehátφ(P|P₁) =x.

Hasonló módon láthatjuk be, hogyφ(P|P₁, P₂) =x,és így tovább.

Miután véges sok döntéshozónk van, nyilvánvalóan adódik a

segéd-tétel állítása.

1.C.10. Segédtétel. Legyen φ:P(X)^I → X csalásbiztos, vala-mint P ∈ P(X)^Iés ∅ �= B ⊆ X olyan, hogy ∀i ∈ I és ∀b ∈ B esetén

bP_ic ∀c∈X\B. Ekkorφ(P)∈ B.

Bl}rq|ðwäv: A KSzM-re vonatkozó (U’) feltétel miatt létezik olyan P ∈ P(X)^I,amireφ(P) =b∈ B.Ekkor nyilvánφ(P|P₁)∈ B, ellenkezo esetben φ manipulálható lenne ebben a prolban az elso döntéshozó által. Hasonló módon, miután véges sok dön-téshozó van, egyik sem tudja „kivinni” a társadalmi választást a

42 1. fejezet: A közösségi döntés

1.C.7. Deníció (Korlátozott szavazási modell). Az alábbi feltételeknek eleget tevo KDP-t korlátozott szavazási modellnek (KSzM)hívjuk:

• A döntéshozók I = (1,2, . . . , i, . . . I) halmaza véges, azaz 2_I <∞;

• Az alternatívák X halmaza véges, azaz2_|X|<∞;

• A D leképezés bijektív, azaz a KDP-beli világállapotok Θ halmaza és az alternatívahalmaz feletti összes, logikailag el-képzelhetoszigorú preferenciaprolok halmaza közötti meg-feleltetés egy—egy értelmu;

• Aφ korlátozott szavazási eljárás(KSzE) a következoTVF, φ:×^Ii=1P(X)]P(X)^I→X,

φ(P)]φ(P₁, . . . , P_I)∈X, ∀P ∈ P(X)^I φ

P(X)^I

=X.

A csalásbiztos KSzM deníciója nyilvánvaló módosításokkal kapható. Most néhány segédtétellel jellemezzük a csalásbiztos kor-látozott szavazási eljárásokat.

1.C.8. Segédtétel. Legyen φ : P(X)^I → X egy csalásbiztos KSzE. Ekkor nem léteznek olyanx, y ∈X alternatívák, valamint

olyan

i∈ I, P ∈ P(X)^I, P_i∈ P(X) hármas, hogyx=φ(P)�=φ(P|P_i) =y és

xP_iy⇐⇒xP_iy.

Bl}rq|ðwäv: A szigorú preferenciarendezés teljessége miatt vagy xP_iy, vagy yP_ix. Az általánosság megsértése nélkül tekintsük az elso esetet! Ekkor a feltétel miattxP_iyis fennáll, de ez azt jelenti,

44 1. fejezet: A közösségi döntés

B halmazból azáltal, hogy a P_i preferenciarendezést mondja be.

Emiatt

φ(P)∈ B.

1.C.11. Következmény. Egy csalásbiztosφKSzE Pareto-haté-kony is egyben.

Bl}rq|ðwäv: Tegyük fel, nem. Ekkor létezik olyan P ∈ P(X)^I prol ésx�=φ(P)alternatíva, hogy ∀i-re

xP_iφ(P), valamint

xP_iy ∀y∈X, amirey �=x.

Legyen az elozo segédtételben szereploB halmaz egyenlo ezzel az x alternatívával. Ellentmondásra jutottunk.

Ennyi elokészület után már be tudjuk látni a csalásbiztos sza-vazási eljárásokra vonatkozó alapveto tételünket, ami — sajnos — pont olyan negatív tartalmú, mint az Arrow-tétel. Ezt a tételt egymástól függetlenül fogalmazta megA. Gibbard ésM. Satterth-waite¹⁴.

1.C.12. Tétel (G—S tétel SzM-re). Ha egyszavazási modellben

|X| 3 és a szavazási eljárás csalásbiztos, akkor diktatórikus is egyben.

Bl}rq|ðwäv: A bizonyítást két lépésben végezzük el. Az elsoben az állítást egy KSzM-ben látjuk be, majd kiterjesztjük az általá-nosabb modellre is¹⁵.

14LásdGibbard[1973] ésSatterthwaite[1975].

15Ez a kiterjesztésSchmeidler—Sonnenschein[1978] cikkben szerepel.

1.C. alfejezet: Szavazási modellek 45

1. Az 1.C.9. Segédtétel és az 1.C.11. Következmény értel-mében egy csalásbiztosKSzM monoton és Pareto -hatékony tár-sadalmi választási függvény, és mivel képhalmaza maga az X al-ternatívahalmaz — aminek a számossága legalább három —, ezért,

gyelembe véve az 1.B.36. Megjegyzést, az 1.B.33. Segédtételbol kapjuk az állítást.

2. Eloször vegyük észre, hogy ha egy φ szavazási eljárás csa-lásbiztos egy SzM-ben, akkor az marad a modell korlátozott vál-tozatában is. Azt is vegyük észre, hogy az 1.C.10. Segédtétel mó-dosítható úgy, hogy igaz marad egy általános SzM-ben is. Ezek alapján tudjuk, hogy továbbra is van diktátorunk a szigorú pre-ferencia-prolokon, a P^I halmazon. Az általánosság megsértése nélkül legyen ez „1”. Azt kell megmutatnunk, hogy ∀R ∈ R^I -re φ(R) ∈ B, ahol B = max (R1),azaz φ(R) az elso döntéshozó (a diktátor) preferenciarendezése szerinti legjobb elemekhez tar-tozik.¹⁶ Legyen P ∈ P^I olyan, hogy minden y ∈ B-re és minden z ∈X\B az yP₁z észP_iy ∀i�= 1-re. Ilyen szigorú preferenciap-rol a feltételezett univerzális értelmezési tartomány miatt biztos létezik. Nyilvánφ(P)∈ B.

Legyen most

w_i =φ(P₁, . . . , P_i, R_i+1, . . . R_I) és legyen

0_j= min{i|w_i ∈ B }_I.

Ha j = 1, akkor az φ szavazási eljárást „1” manipulálhatja az R prolban, haj >1,akkorj döntéshozó manipulálhatja a

(P₁, . . . , P_j−1, R_j, . . . , R_I)

prolban. Emiatt j = 0 szükségképpen, azaz w₀ ∈ B. Pontosan

ezt kellett bizonyítanunk.

16Ilyen legjobb elemXvégessége miatt biztos van, azazBbiztos nem üres.

44 1. fejezet: A közösségi döntés

B halmazból azáltal, hogy a P_i preferenciarendezést mondja be.

Emiatt

φ(P)∈ B.

1.C.11. Következmény. Egy csalásbiztosφKSzE Pareto-haté-kony is egyben.

Bl}rq|ðwäv: Tegyük fel, nem. Ekkor létezik olyan P ∈ P(X)^I prol ésx�=φ(P)alternatíva, hogy ∀i-re

xP_iφ(P), valamint

xP_iy ∀y∈X, amirey �=x.

Legyen az elozo segédtételben szereploB halmaz egyenlo ezzel az x alternatívával. Ellentmondásra jutottunk.

Ennyi elokészület után már be tudjuk látni a csalásbiztos sza-vazási eljárásokra vonatkozó alapveto tételünket, ami — sajnos — pont olyan negatív tartalmú, mint az Arrow-tétel. Ezt a tételt egymástól függetlenül fogalmazta megA. Gibbard ésM. Satterth-waite¹⁴.

1.C.12. Tétel (G—S tétel SzM-re). Ha egy szavazási modellben

|X| 3 és a szavazási eljárás csalásbiztos, akkor diktatórikus is egyben.

Bl}rq|ðwäv: A bizonyítást két lépésben végezzük el. Az elsoben az állítást egy KSzM-ben látjuk be, majd kiterjesztjük az általá-nosabb modellre is¹⁵.

14LásdGibbard[1973] ésSatterthwaite[1975].

15Ez a kiterjesztésSchmeidler—Sonnenschein[1978] cikkben szerepel.

46 1. fejezet: A közösségi döntés

1.C.13. Megjegyzés. A Gibbard—Satterthwaite-tétel jelentosé-gét nehéz túlbecsülni. Sajnos, pont olyan alapveto, mint az Arrow-tétel. Ebben semmi meglepo nincs, ugyanannak a logikai jelen-ségnek két oldaláról van szó. Megmutatható, hogy a két állítás egymásból bizonytható.¹⁷ Van azonban némi esély arra, hogy ki-szabaduljunk ebbol a reménytelennek tuno csapdahelyzetbol. Bi-zonyos helyzetekben ugyanis a tétel feltételei túl eroseknek tunnek.

Ha csak két alternatívánk van például, a tétel negativitása semmi-vé foszlik. Hasonló a helyzet, ha okunk van feltételezni, hogy az univerzális értelmezési tartomány feltétele nem áll fenn. Szeren-csére a legtöbb gazdasági modellünk ilyen. Enyhíthetünk esetleg a csalásbiztosság túl szigorú feltételén, ez is hozhat pozitív ered-ményt. Mégsem volt azonban teljesen felesleges megismerkednünk ezzel tétellel, egyrészt, mert késobb többször hivatkozunk rá, más-részt meg kell értenünk, negativitása mibol fakad, ha túl akarunk lépni rajta. Ez a továbblépés több irányban történhet. Eloször, a következo fejezetben, a csalásbiztosságot próbáljuk meg enyhíteni.

17Lásd példáulBlin—Satterthwaite[1978] ésMuller—Satterthwaite[1985].

46 1. fejezet: A közösségi döntés

1.C.13. Megjegyzés. A Gibbard—Satterthwaite-tétel jelentosé-gét nehéz túlbecsülni. Sajnos, pont olyan alapveto, mint az Arrow-tétel. Ebben semmi meglepo nincs, ugyanannak a logikai jelen-ségnek két oldaláról van szó. Megmutatható, hogy a két állítás egymásból bizonytható.¹⁷ Van azonban némi esély arra, hogy ki-szabaduljunk ebbol a reménytelennek tuno csapdahelyzetbol. Bi-zonyos helyzetekben ugyanis a tétel feltételei túl eroseknek tunnek.

Ha csak két alternatívánk van például, a tétel negativitása semmi-vé foszlik. Hasonló a helyzet, ha okunk van feltételezni, hogy az univerzális értelmezési tartomány feltétele nem áll fenn. Szeren-csére a legtöbb gazdasági modellünk ilyen. Enyhíthetünk esetleg a csalásbiztosság túl szigorú feltételén, ez is hozhat pozitív ered-ményt. Mégsem volt azonban teljesen felesleges megismerkednünk ezzel tétellel, egyrészt, mert késobb többször hivatkozunk rá, más-részt meg kell értenünk, negativitása mibol fakad, ha túl akarunk lépni rajta. Ez a továbblépés több irányban történhet. Eloször, a következo fejezetben, a csalásbiztosságot próbáljuk meg enyhíteni.

17Lásd példáulBlin—Satterthwaite[1978] ésMuller—Satterthwaite[1985].

AZ IMPLEMENTÁCIÓ II.

2.A. alfejezet: Az implementáció fogalma 49

In document Közösségi döntések, gazdasági mechanizmus, általános egyensúly (Pldal 39-51)