3.A. A klasszikus gazdaságok szerkezete - Közösségi döntések, gazdasági mechanizmus, általános

Ebben a fejezetben megkíséreljük az eddig elmondottakat álta-lános gazdasági példákra alkalmazni. Ehhez segítségül hívjuk az általános egyensúlyelmélet alapmodelljét, illetve ennek a közjavak-ra vonatkozó módosítását. Azt mutatjuk majd meg, hogy ezek a modellek közösségi döntési problémaként értelmezhetok. Ezt az interpretációt kihasználva pedig rövid és korántsem teljes beveze-tot adunk az eroforrás-allokációs mechanizmusok elméletébe.

Modellünk alapveto fogalma ajószág. Jószág az asztal, a szín-házjegy, a hajnyírás, a honvédelem stb., azaz minden olyan do-log, amit a késobb deniálandó gazdasági szereplok esetleg lét-rehoznak, cserélnek, felhasználnak, fogyasztanak. A jószágokat egymástól zikai tulajdonságaik alapján különböztetjük meg. Az egyes jószágokat természetes mértékegységekkel látjuk el, az asz-tal mértékegysége a darab, a széné, mondjuk, a tonna, a tejé a liter és így tovább. Feltételezzük azt, hogy bármelyik jószágból tetszoleges kis mennyiség is értelmezheto, azaz a jószágok ren-delkeznek majd a folytonos oszthatóság tulajdonságával, valamint azt, hogy tetszoleges jószágmennyiséget meg tudunk mérni. Egy jószág egységeit egymástól megkülönböztetni természetesen nem tudjuk, azaz a jószágok homogének. A jószágokat két csoport-ra osztjuk, tiszta köz-, illetve magánjavakcsoport-ra. Az elobbiekre az általánosan elfogadott deníciót használjuk: a belolük történo fo-gyasztásra vonatkozóan nincs kizárás és nincs rivalizálás, mindenki ugyanannyit fogyaszt. Feltesszük, hogy a gazdaságban véges sok jószág van, és rendelkezésünkre áll ezek listája és így egyértelmu sorrendjük. E sorrend szerint indexeljük a jószágokat; a közjószá-gok indexváltozója m, a magánjószágoké n lesz. A közjószágok (véges) száma M, a magánjószágoké N.

A következo fogalom a jószágkosár. A jószágkosár egy olyan M +N elemu lista, amelynek elso M eleme a közjószágokra vo-natkozik, és ami megmondja nekünk, hogy az egyes jószágokból mekkora mennyiségrol „van szó”. A jószágkosárnak mint listának

98 3. fejezet: Klasszikus gazdaságok

az elemei valós számok, elojelük pozitív, ha a jószág (fogyasztásra) rendelkezésre áll, negatív, ha a jószágot a fogyasztásból kivonjuk.

Egy jószágkosarat ezek szerint megfeleltethetünk az M +N di-menziós euklideszi tér egy pontjának, és emiatt ezt az ?^M+N-nel jelölt teretjószágtérnek hívjuk.

A gazdasági szereploket, a döntéshozókat, fogyasztóknak hív-juk. A fogyasztókat i-vel indexeljük, halmazuk jele I, e halmaz számossága I. Az i-edik fogyasztót három objektum jellemzi:

• AzX_i ?^M+^+Nfogyasztási halmaz, amelynek elemei a(q_i, x_i) szimbólummal jelölt fogyasztási vektorok.

• A fogyasztási halmazon értelmezett:iteljes, reflexív és tran-zitív bináris reláció, azaz preferenciarendezés⁴⁴.

• A fogyasztó számára a javakból eredetileg rendelkezésre álló (0,ω_i)5 ?^M+N készletvektor.

A gazdaságban a fogyasztás mellett termelés is folyik, azaz ja-vakat nem csak kivonunk a rendelkezésre állás alól, hanem a javak

— más javakból, transzformáció útján — eloállíthatók is. Ezt a ter-melést csak az Y 5 ?^M^+N termelési halmaz jellemzi, amelynek elemei a (q, y) szimbólummal jelölt termelési vektorok. A terme-lési vektor egy komponense pozitív, ha azt a jószágot végso soron (nettó módon) termeljük, negatív, ha a termelésben felhasználjuk.

Egy ilyen gazdaság megadható az e=q

M, N, I,{Xi}^I_i=1,{:ⁱ}^I_i=1,{0,ωi}^I_i=1, Yr listával.

A továbbiakban megkülönböztetjük az úgynevezett klasszikus⁴⁵

44Ebbol a gyenge relációból az ismert módon származtatható a�ⁱeros, illetve a∼ⁱ közömbösségi reláció.

45Talán helyesebb lenne neoklasszikus gazdaságoknak hívni ezeket, mert az adandó feltételrendszer tipikusan neoklasszikus. Mégis megmaradunk a klasszikus gazdaság kifejezésnél, mert egyrészt ez az általánosan elfogadott az implementációelméleti irodalomban, másrészt rövidebb.

3.A. alfejezet: A klasszikus gazdaságok szerkezete 99

gazdaságok Ekl családját. Az ehhez a családhoz tartozó gazdasá-gok kielégítik a következo feltételeket.

3.A.1. Deníció (Klasszikus gazdaságok). Egy e=q

M, N, I,{Xi}^I_i=1,{:i}^I_i=1,{0,ωi}^I_i=1, Yr

gazdaság akkor és csak akkor klasszikus, ha igazak a következok:

• Y � �^M^+N zárt, konvex kúp; akkor(r, y)∈Y (közjószágból nincs ráfordításszükséglet);

valamint ∀i-re,azaz i= 1, . . . I esetén

98 3. fejezet: Klasszikus gazdaságok

az elemei valós számok, elojelük pozitív, ha a jószág (fogyasztásra) rendelkezésre áll, negatív, ha a jószágot a fogyasztásból kivonjuk.

Egy jószágkosarat ezek szerint megfeleltethetünk az M +N di-menziós euklideszi tér egy pontjának, és emiatt ezt az ?^M+N-nel jelölt teretjószágtérnek hívjuk.

A gazdasági szereploket, a döntéshozókat, fogyasztóknak hív-juk. A fogyasztókat i-vel indexeljük, halmazuk jele I, e halmaz számosságaI. Az i-edik fogyasztót három objektum jellemzi:

• AzX_i ?^M+^+Nfogyasztási halmaz, amelynek elemei a(q_i, x_i) szimbólummal jelölt fogyasztási vektorok.

• A fogyasztási halmazon értelmezett:iteljes, reflexív és tran-zitív bináris reláció, azaz preferenciarendezés⁴⁴.

• A fogyasztó számára a javakból eredetileg rendelkezésre álló (0,ω_i)5 ?^M+N készletvektor.

A gazdaságban a fogyasztás mellett termelés is folyik, azaz ja-vakat nem csak kivonunk a rendelkezésre állás alól, hanem a javak

— más javakból, transzformáció útján — eloállíthatók is. Ezt a ter-melést csak az Y 5 ?^M+N termelési halmaz jellemzi, amelynek elemei a (q, y) szimbólummal jelölt termelési vektorok. A terme-lési vektor egy komponense pozitív, ha azt a jószágot végso soron (nettó módon) termeljük, negatív, ha a termelésben felhasználjuk.

Egy ilyen gazdaság megadható az e=q

M, N, I,{Xi}^I_i=1,{:ⁱ}^I_i=1,{0,ωi}^I_i=1, Yr listával.

A továbbiakban megkülönböztetjük az úgynevezett klasszikus⁴⁵

44Ebbol a gyenge relációból az ismert módon származtatható a�ⁱeros, illetve a∼ⁱközömbösségi reláció.

100 3. fejezet: Klasszikus gazdaságok

• :i konvex, azaz x¹_i ∈ X_i, x²_i ∈ X_i, és x¹_i �i x²_i, valamint λ∈(0,1)esetén

λx¹_i + (1−λ)x²_i �i x²_i;

• : félig szigorúan monoton növekvo, azaz x¹_i, x²_i ∈ X_i, és x¹_i (�=)x²_i eseténx¹_i i x²_i,de ha x¹_i ∈int Xi, akkorx¹_i �i

x²_i;

• ω_i>0.

3.A.2. Megjegyzés. Az összes, a fenti feltételeknek megfelelo termelési halmazok családját az Y szimbólummal jelöljük. Ha a javak számára is utalni akarunk, akkor azY(M, N) szimbólumot használjuk.

A preferenciákra tett feltevések biztosítják, hogy reprezentálhatók folytonos

U_i :X_i � �,∀i∈I

hasznossági függvényekkel.⁴⁶ Ezzel a lehetoséggel bizonyos ese-tekben — kényelmi szempontból — élni is fogunk. Az összes ilyen preferenciarendezés halmazát az Rkl

�^M+^+N

szimbólummal je-löljük.

3.A.3. Megjegyzés. Meg kell jegyeznünk, hogy a klasszikus gaz-daságokterminus technicust sokan mások más feltételeknek eleget tevo gazdaságokra használják. Az irodalomban nincs egységes, el-fogadott álláspont ebben a kérdésben. Nekünk is elég sok gon-dot okozott, hogy az eltéro feltevésekkel operáló modelleket össze tudjuk hasonlítani. Sokszor csak kis apróságoknak tuno különb-ségek komoly eltéréseket okoznak. Éppen ezért — miután telje-sen általános modellel telje-senki sem dolgozik — használjuk ezt a fenti feltételegyüttest, ez az, amiben az eredményeket közös nevezore tudtuk hozni. Természetesen tudatában vagyunk annak, hogy a

46Lásd példáulDebreu(1964) és Zalai Erno[1989] 170—173. o.

3.A. alfejezet: A klasszikus gazdaságok szerkezete 101

késobb ismertetendo eredmények közül nem is egy talán általáno-sabb modellben is igaz, de azt hisszük, olyan ennél általánoáltaláno-sabb modell, amiben ezek mind igazak lennének, nincs. Az általunk adott klasszikus gazdaság modellje a leginkább Foley[1970] mo-delljével rokon. Ennél valamivel általánosabb modellt találhatunk Milleron[1972] tanulmányában.

3.A.4. Megjegyzés. A késobbiekben fontos lesz, hogy olyan gaz-daságok családját tekintsük, amelyhez tartozó minden gazdaság-ban a közjavak, a magánjavak és a fogyasztók száma ugyanannyi.

Az ilyet a továbbiakban az

E(M, N, I)

szimbólummal jelöljük. Ha e paraméterek közül valamelyik változ-hat, akkor arra nem utalunk külön. Például azE(M, N,·) szimbó-lum az összes olyan gazdaság családját jelenti, amelyben M köz-és N magánjószág szerepel. Itt a döntéshozók száma változhat.

(Nyilván 2_I <∞.)

A következo deníciók alapveto fontosságúak lesznek a továb-biakban.

3.A.5. Deníció (Allokáció). Egye∈Ekl gazdaságban az

a= (q, x₁, . . . x_I)∈ �^M+ ×

\I i=1

�^N+

pontot allokációnak mondjuk. Az allokációk halmazát az A(e) szimbólummal jelöljük. Az E(M, N, I) ⊆ Ekl azonos méretu⁴⁷

47Azaz amelyekben a fogyasztók száma, valamint a köz- és magánjavak száma azonos.

100 3. fejezet: Klasszikus gazdaságok

• :i konvex, azaz x¹_i ∈ X_i, x²_i ∈ X_i, és x¹_i �i x²_i, valamint

A preferenciákra tett feltevések biztosítják, hogy reprezentálhatók folytonos

U_i :X_i � �,∀i∈I

hasznossági függvényekkel.⁴⁶ Ezzel a lehetoséggel bizonyos ese-tekben — kényelmi szempontból — élni is fogunk. Az összes ilyen preferenciarendezés halmazát az Rkl

�^M+^+N

szimbólummal je-löljük.

46Lásd példáulDebreu(1964) és Zalai Erno[1989] 170—173. o.

102 3. fejezet: Klasszikus gazdaságok

∀i-re (q, xi)∈ �^M+^+N és

# q,

[I i=1

(xi−ωi)

∈Y,

akkor az allokáció megvalósítható. A megvalósítható allokációk halmazát az Aok(e) szimbólummal jelöljük.

3.A.6. Megjegyzés. Két dolgot észre kell vennünk. Az egyik az, hogy az allokáció fogalmának meghatározása sorángyelembe vet-tük a közjószág tulajdonságot, vagyis azt, hogy a közjószágokból minden fogyasztónak ugyanannyit kell fogyasztania. Ezért csök-kenthettük az allokációk halmazának dimenzióját. A másik ész-revételünk, hogy a megvalósíthatóság — mint láthatjuk — kettos:

egyrészt az allokációban azi-edik fogyasztó által megkapott(q, x_i) fogyasztói kosár benne van a fogyasztási halmazban, másrészt a közjószágok megtermelhetok az el nem fogyasztott magánjószá-gokból.

3.A.7. Deníció (Pareto-optimális allokáció.). Egy megvaló-sítható a ∈ Aok(e) allokáció erosen Pareto-hatékony, ha nem lé-tezik olyan másik megvalósíthatóa ∈Aok(e) allokáció, hogy

(q, x_i) i(q, x_i) ∀i-re, és

∃i hogy (q, x_i) � i(q, x_i).

Aze∈Eklgazdaságbeli erosen Pareto-hatékony allokációk halma-zát aP O_s(e) szimbólummal jelöljük.

Az a ∈ Aok(e) megvalósítható allokáció (gyengén) Pareto-haté-kony, ha nem létezik olyan másik megvalósíthatóa ∈ Aok(e) al-lokáció, hogy

q, x_i

�i (q, x_i) ∀i-re.

Aze∈Eklgazdaságbeli (gyengén)Pareto-hatékony allokációk hal-mazát a P O(e) szimbólummal jelöljük.

3.A. alfejezet: A klasszikus gazdaságok szerkezete 103

3.A.8. Segédtétel. Egy e∈Ekl klasszikus gazdaságban, ha nin-csenek közjavak, azaz M = 0,akkor

P O_s(e) =P O(e). Ha azonbanM >0,akkor

P O_s(e)⊆P O(e).

Bl}rq|ðwäv: A P O_s(e) ⊂ P O(e) tartalmazás triviális. A má-sik irány — M = 0 esetben az indirekt bizonyítás elvét követve

— a fogyasztási és termelési halmazok kúp tulajdonságából, vala-mint a preferenciák folytonosságából, konvexitásából és félig szi-gorú monotonitásából azonnal következik. Ha azonban M > 0, akkor tudunk mutatni egy olyan gazdaságot, amiben egy gyengén Pareto-hatékony allokáció nem erosen Pareto-hatékony.⁴⁸ Legyen ez a gazdaság a következo:

e= Ebben a gazdaságban aza= (2,5; 0,5; 0; 0)allokáció gyengén ha-tékony, de például aza = (3; 0; 0; 0)allokáció megvalósíthatósága miatt eros értelemben nem Pareto-hatékony.

3.A.9. Deníció (Individuálisan rac. all.). Egy megvalósítha-tó a ∈ Aok(e) allokáció individuálisan racionális akkor és csak akkor, ha

(q, xi)i(0,ωi) ∀i∈I.

Aze∈Eklgazdaságbeli indiviálisan racionális allokációk halmazát az IR(e)szimbólummal jelöljük.

48LásdTian[1988].