A számológépek az ókortól napjainkig

Kr. e. 2000–1000 táján a számolás megkönnyítésére már olyan eszközök is ismertek voltak, amelyek manapság is használhatók, s˝ot a Föld egyes területein használják is ˝oket. Ilyen eszköz a japán szorobán (5.2. ábra) és az ókori abakusz (5.3. ábra), amiknek modernizált változatait az iskolai számolásoktatásban mind a mai napig használjuk.

Érdemes kissé jobban megismerni az abakusz használatát, hiszen a római számokkal való m˝uveletvégzést még mindig ezzel az eszközzel tudjuk a legjobban segíteni.

Római számokkal a m˝uveletvégzés segédeszköz nélkül igencsak nehézkes, az abakusz viszont az összeadáshoz, kivonáshoz, szorzáshoz kiváló segédeszköznek bizonyult.

Bár többnyire kész eszközöket használtak a számoláshoz, ezt a szerkezetet egyszer˝usége alkalmassá tette arra, hogy akár az út porában néhány kaviccsal pillanatokon belül abakuszt készítsen a hozzáért˝o felhasználó. Az 5.4 ábrán látható vízszintes vonalakat és az ezeket kettévágó függ˝oleges vonalat akár a

porban megrajzolhatjuk, a golyócskákat kavicsokkal helyettesítve máris készen áll az abakusz a számoláshoz.

5.3. ábra. Pitagorasz (Kr. e. 582–496) az abakusz mellett

5.4. ábra. MMDCXXXIII az abakuszon

A berendezés használatához csak a számok kirakási módját, az összegezést és az úgynevezett tisztázás-m˝uveletet kellett ismerni, és máris elvégezhet˝o volt az összeadás. (A többi m˝uveletre most nem térünk ki.)

Nézzük el˝oször a számok kirakásának szabályát. Nagyon egyszer˝u dologról van szó, hiszen nem kell mást tenni, mint az elválasztó vonal mellé oda kell tenni a megfelel˝o vízszintes vonalon a római számban lév˝o bet˝ujelek számának megfelel˝o kavicsot (az egyszer˝uség kedvéért használjuk a csak összeadással megadott formát!). Az eredményt a 2633 esetén az 5.4. ábrán láthatjuk. Az összeadásra annyi vonalrendszert kell használni, ahány tagú az összeg. A tagokat egyenként kirakjuk egy-egy vonalrendszeren. Elvégezzük az összegezést valamelyik vonalrendszeren úgy, hogy az egyes nagyságrendnek megfelel˝o vonalakon lév˝o összes kavicsot a kiválasztott vonalrendszeren ugyanarra a nagyságrend˝u vonalra gy˝ujtjük. Ezután az úgynevezett tisztázás m˝uveletével kialakítjuk az összeg leírásához a római szám leírási szabályainak megfelel˝o formát. A tisztázást a legkisebb számnak megfelel˝o vonalon kezdjük a következ˝ok szerint:

1. Minden, az elválasztó vonaltól balra es˝o (tízhatványokat jelent˝o) vonalról leveszünk annyiszor öt kavicsot, ahányat csak lehetséges. A jobb oldalon mellette lév˝o öttöbbszörös vonalra ráteszünk annyi kavicsot, ahány ötös csoportot a mellette lév˝o vonalról levettünk.

2. Majd leveszünk ugyanerr˝ol a jobb oldali vonalról annyiszor két golyót, ahányszor csak tudunk, és minden egyes pár levételekor hozzáadunk az eggyel feljebb lév˝o vonal bal oldali kavicsaihoz egy-egy kavicsot.

3. Ezeket a lépéseket addig ismételjük, amíg el nem jutunk oda, hogy már nem tudunk sem öt sem kett˝o kavicsit levenni a sorra kerül˝o vonalakról.

Befejezve a tisztázást leolvashatjuk az összeget.

Példa rajzolt abakuszrendszer segítségével (5.5. ábra). Legyen a kiszámítandó összeg: 2634+72+129. A megfelel˝o római számok: MMDCXXXIIII, LXXII, CXXVIIII. Az ábra a sora a számok kirakását mutatja, az 5.6.

ábrán az összegezést és a tisztázás végeredményét látjuk. Ezt leolvasva a szám római alakja: MMDCCCXXXV, ami a 2835-nek felel meg. Ez valóban a fenti összeadás eredménye.

Az arab-hindu számok és a helyiértékes felírási mód megjelenésével az abakusszal való számolás lassan háttérbe

5.5. ábra.Az összeadandók az abakuszon

5.6. ábra. Az összegzés és a tisztázás eredménye

szorult, bár érdemes megjegyezni, hogy hozzáért˝o képes esetleg versenyre kelni, s˝ot akár megnyerni is a versenyt az 1970-es évek technológiájával készült zsebszámológépet használó számolóval is.

A 16., 17 században a tudomány és a közlekedés fejl˝odése olyan mennyiség˝u számítási feladatokat generált, hogy ezek elvégzésére az addig ismert módszerek nem voltak alkalmasak. Els˝osorban a csillagászati táblázatok és a hajózással kapcsolatos táblázatok elkészítése igényelt komoly mennyiség˝u számításokat.

5.7. ábra.Napier természetes alapú logaritmusa, és erre az elvre kifejlesztett számolóeszköz, a logarléc A feladatok elvégzéséhez egy elméleti eredmény és erre az eredményre épül˝o számolóberendezés nyújtott segítséget. Az elméleti eredmény a természetes alapú logaritmus bevezetése, ami John Napier (1550–1617) skót csillagász, matematikus, filozófus nevéhez f˝uz˝odik. ˝O tette általánossá a logaritmus használatát és neki köszönhetjük a tizedesvessz˝ot, és ezáltal a tizedestörtek felírásának manapság használt formáját is.

Mint ismeretes, a logaritmus segítségével a szorzás összeadásra, az osztás kivonásra vezethet˝o vissza.

Ezek a m˝uveletek sokkal egyszer˝ubben, és kevesebb munkával végezhet˝ok el. S˝ot, a m˝uveletvégzést is meg lehet takarítani, ha olyan táblázatokat készítünk, amelyekb˝ol a szorzótényez˝ok (vagy az osztó és osztandó) ismeretében az eredmény kiolvasható. (Ilyen táblázatokat találunk a középiskolában megismert függvénytáblázatok között is.) Ezeknek a táblázatoknak elkészítéséhez konstruált Napier egy számolóeszközt, amit Napier-csontocskák néven ismer a tudománytörténet. Tulajdonképpen olyan csontpálcák rendszerér˝ol van szó, amelyekre logaritmusskála szerinti számértékeket jelképez˝o vonalkák voltak vésve, és ezek alkalmasan egymás mellé illesztésével lehetett szorozni, osztani. Az eszköz továbbfejlesztett modern változata a logarléc,

amely a mérnöki munkában még a 20. század második harmadában is általánosan használt számolóeszköz volt.

5.8. ábra.Schickard számológépe Alig több, mint egy évtized múltán Wilhelm Schickard (1592–1635)

tübingeni professzor Napier számolóeszközéb˝ol egy mechanikus elemekb˝ol álló berendezést tervezett. Valószín˝uleg barátjának, Keplernek készítette, akinek csillagászként nagy mennyiség˝u számításokat kellett elvégeznie. A gép az összeadást, kivonást teljesen automatikusan, a szorzást, osztást a kezel˝o segítségét is igénybe véve végezte el. Mivel a gép megsemmisült, elkészültér˝ol az utókor Schickard 1623-ban és 1624-ben Keplernek írt, de csak 1957-ben megtalált leveléb˝ol szerzett tudomást.

A levelekben lév˝o leírás alapján 1960-ban elkészítették a gép m˝uköd˝o modelljét.

Egy újabb évtized elteltével – 1642-ben – Blaise Pascal (1623–1662) francia polihisztor megtervezte és megépítette az „aritmetikai gép” nev˝u mechanikus számológépét, amelyb˝ol többet is készített, s˝ot ötven körüli

prototípust is gyártott, miel˝ott a berendezéssel a nyilvánosság elé lépett volna. Két szám összeadására, kivonására közvetlenül, a szorzásra és az osztásra ismételt összeadással, illetve kivonással volt képes. Ebben a berendezésben már fontos szerepet játszottak a forgó alkatrészek, a fogaskerekek, amelyek az óragyártást is lehet˝ové tették. Nem véletlen, hogy a kor számítógépgyártói az órakészítés mesterei voltak. Pascal gépét az utókor Pascaline néven ismeri.

Az 1670-es évek elején Wilhelm Gottfried Leibnitz (1646–1716) megépítette Pascal gépének az úgynevezett Leibnitz-kerék alkalmazásával továbbfejlesztett változatát. Ez a berendezés – az új alkatrészének köszönhet˝oen – az összeadás és a kivonás mellett teljesen automatikusan képes volt a szorzás és osztás elvégzésére is.

A Leibnitz kerék alkalmazása annyira sikeresnek bizonyult, hogy a 19. század végéig fontos része volt a mechanikus számológépeknek. Ez a részegység egy tengelyre szerelt henger volt, amelynek palástján a tengellyel párhuzamosan egyre rövidebb bordák voltak elhelyezve. Ennek következményeképpen a hengert forgatva a hozzá kapcsolódó fogaskerekek egymáshoz viszonyított körbefordulásának száma pontosan

szabályozhatóvá vált. Ez a tulajdonság tette lehet˝ové a szorzás mechanikus elvégzését is.

5.9. ábra. Pascal és a Pascaline Az els˝o igazán használható mechanikus számológépet az úgynevezett

Arithmometert egy párizsi órásmester, Thomas de Colmar (1785–1870) készítette a francia hadsereg számára az 1820-as évek elején. Csak néhány készült bel˝ole, és nem vált ismerté egészen 1851-ig, amíg a Párizsban megrendezett Nemzetközi Ipari Vásáron be nem mutatták.

Akkora sikert aratott, hogy 1851-t˝ol negyven év alatt de Colmar manufaktúrája több mint 5000 darabot gyártott bel˝ole. Egészen az 1900-as évekig szinte egyeduralkodó volt a piacon, bár a 19. század elejét˝ol amerikai cégek is készítettek számológépeket. A 20. század elején viszont megjelentek a német, az orosz és a svéd konkurens gyártmányok is. Ezen cégek által gyártott berendezések Odhner-típusú gépek voltak, mivel a gyártó cégeket Odhner és jogutódjai alapították. Az orosz gyártás még a szovjet id˝okben is az Odhner-féle konstrukción alapult.

Willgodt Theophil Odhner (1845–1905) a cári Oroszországba emigrált svéd származású m˝uszerész volt, aki számológép-javítással is foglakozott.

Az 1870-es évek elején Colmar-féle számológépet javítva a robusztus

Leibnitz-kereket egy könnyebb, egyszer˝ubben m˝uköd˝o úgynevezett pin-kerékre cserélte, és ezzel egy új irányt mutatott a számológépgyártásban. Európában számtalan klónját gyártották gépének, és a 20. század közepéig az irodai és a m˝uszaki számításokhoz szinte kizárólagosan Odhner-gépeket használtak.

Fel kell hívni a figyelmet arra, hogy ezek a számológépek csak segítették a számolást. A felhasználó állította be rajtuk az operandusok értékét, a forgatókarok használatának módja határozta meg azt, hogy milyen m˝uveletet végezzen el a gép. Az eredményt a felhasználó sok esetben a gép állapotának megfelel˝o értelmezésével olvashatta le. Ennek következtében gyakori volt a számolási hiba, f˝oleg akkor, ha a felhasználó a számológép használatában gyakorlatlan volt.

A mechanikus berendezéseket a múlt század hetvenes éveit˝ol lassan felváltották az elektromechanikus majd az

5.10. ábra. Odhner számológépe elektronikus asztali, illetve zsebszámológépek.

Manapság számológépként már az okostelefonokat használjuk.

5.2. A számítógépek kialakulása