Statisztikai sor, átlag

A feldolgozás utján nyert számszerű ered­

mények egyszerűsítésének egyik eszköze az átlag- számítás is. Az átlag fogalmának ismeretére csak úgy juthatunk, ha előbb tisztába jövünk a statisz­

tikai sor fogalmával. S t a t i s z t i k a i s o r alatt a feldolgozás végső eredményeiül jelentkező azon számokat értjük, amelyek egymás mellé állítva, valamely sokaság időbeli vagy területi tagozatát, vagy valamely alapúi vett tulajdonság kvantitatív fokozatai (pl. testmagasság méretei) szerint való megoszlását fejezik ki. A statisztikai soroknak számos fajtája van, a mi célunkra elégséges az egyszerű és összetett sorok mibenlétéről való tájékozódás.

Összetett sorok azok, amelyekből több szükséges valamely jelenség tökéletes megvilágítására. Közön­

séges példáját alkotják az összetett soroknak a piaci árak, amelyek csak akkor tájékoztatnak teljesen, ha nem csupán az eladási árakat, hanem az eladott mennyiségeket feltüntető sorokat is ismerjük. Statisztikai sor viszonyszámokból is alakul­

hat, sőt olykor a viszonyszámokból álló sor tisztább képet mutat, mint az abszolút számok sora. Külö­

nösen áll ez oly sokaságok tekintetében, amelyek más sokaságok függvényeiül tekinthetők. A halál­

esetek száma pl. függ a népesség számától, amely pedig évenkint változik. Ennélfogva az évenkint előforduló halálesetek abszolút számának egymás

mellé állításából keletkező statisztikai sor kevésbbé tiszta képet nyújt a halandóság alakulásáról, mint a haláleseteknek az illető évi népességhez való viszonyításából előálló, tehát a népesség évenkinti változásait is figyelembe vevő arányszámok sora, amely természetesen az összetett sorok közé tartozik.

Egyszerűsítésre, a tények minél jellemzőbb, tömörebb felfogására törekvő képzeletünk a több tagból álló statisztikai sor számcsoportjaiban kifeje­

zésre jutó széttagolódását valamely sokaságnak túl­

ságos bonyolultnak látja s a sorban rejlő jellemző sajátságoknak rövidebb, gyorsabb felfogását áhítja.

Gyakorlati szempontok is akárhányszor fölöslegessé A teszik az adatoknak a sor egyes számcsoportjaiban r való szétforgácsolását. (Nincs szükségünk pl. arra, ' hogy tudjuk külön-külön a budapesti, debreczeni stb.

törvényszékek előtt befejezett bűnügyek számát, hanem pl. a bűnügyekből bíróságainkra háramló munkateher általánosságban való megítélése végett megelégszünk annak megismerésével, hogy egy-egy törvényszékre hány bűnügy esett, egyenlőnek véve az egyes törvényszékek előtt befejezett bűnügyek számát). Mindezekben az esetekben célra vezet a sor egyes tagjaiban szétszórtan kifejezésre jutó jellemző viszonyokat tömören, rövidre fogva kidomborító á t l a g n a k a képzése, amely nem más, mint a sort alkotó számcsoportok számtani középarányosa.

E középarányost — mint a mennyiségtanból tudjuk

— úgy kapjuk meg, ha a sor tagjainak összegét a sor tagjainak számával elosztjuk. Jellemző sajátsága a számtani középarányosnak és így az átlagnak is, hogy a sor tagjainak tőle való, pozitív és negativ eltérései egymást kiegyenlítik. Álljon itt pl. ez az egyszerű sor: 3, 5, 8, 9. 10. Ennek átlaga

3 + 5 + 8 + 9 + 10

5 —

az átlagtól való eltérések összege: — 4 —2 + 1 + 2 + 3

= 0.

Az összetett sorok átlagának kiszámítása nem ilv egyszerű. Az összetett sor számtani közép- arányosának képzésénél ugyanis az általa kifejezett összetett viszony alkotó elemeit is tekintetbe kell venni, mert a sor egyes tagjainak valódi értéke esak a reá befolyással lévő összes tényezők számba­

vételével jut kifejezésre. Valamely árúcikk eladási

54

árai pl. mint mondtuk, magukban még nem tájékoz­

tatnak bennünket az egyes árak jelentőségéről, erről csak akkor lehet fogalmunk, ha az egyes árakon elkelt árúmennyiségeket is ismerjük. A piaci árak számtani középarányosát tehát úgy számítjuk ki, ha az eladási árakat a rajtuk eladott árúmennyi­

ségekkel megszorozzuk, s e szorzatok összegét ( = az árúkért kapott vételárak összege) osztjuk az eladott árúmeunyiséggel. Ez által meg­

kapjuk az árúcikk átlagárát. (Pl. Valamely árúból 10 kg. elkel kg-onkint 12, 5 kg. к 11, 3 kg к 10 К.

12

+

+

Ennek az árunak piaci átlagára nem ---g---10.12 + 5.11+3.10

= 11 K, hanem --- .-_p g--- = 11 К és 39 f.) Az ily módon kiszámított átlagot némelyek mérlegelt átlagnak, egyesek meg épenséggel mértani átlagnak nevezik, holott nyilvánvaló, hogy az eladott mennyi­

ségekkel való beszorzás csak szükségszerű előfeltétele a számtani középarányos kiszámításának, amely más számtani középarányosoktól semmiben sem külön bözik s így új elnevezést sem kiván.

Az arányszámokból álló sorok is összetett sorok lévén, átlagukat nem lehet pusztán a sor összegé­

nek a sor tagjainak számával történő elosztása útján alkotni, hanem az arányszámítás alapjául szolgáló abszolút számok összegének egymáshoz való viszonyí­

tásából áll elő az ily sorok átlaga.

Az átlagok jelentősége nagyon különböző. Van­

nak valóságos tartalommal biró, azaz olyan szám­

értékű átlagok, amelyek számértékei, vagy legalább is ezekhez közel eső értékek a valóságban tényleg előfordulnak. Ezek kiváltképen azok az átlagok, amelyek a jelenségeknek időben nagyobb körét ábrázoló sorokból alakulnak. A sor tagjainak az átlag képzésére felhasznált együttes összegében ugyanis tisztábban jutnak kifejezésre a sokaság összetételére vagy alakulására befolyással lévő tényezők, mint a sornak a sokaság csak csekélyebb számú egységeit tartalmazó egy-egy tagjában. Ha pl. valamely ország népességének alakulását akarjuk megitélni. egy-egy év születéseinek és halálozásainak számbavétele még nem nyújthat biztos alapot helyes Ítélet megalkotására, mert épen az észlelés

észtén-dejében kivételes hatóokok (megelőző évi bő termés vagy abban az évben dühöngő járványok) rendkívül magas vagy rendkívül alacsony szaporodást idéz­

hettek elő, míg az évek hosszú sorának születéseit és halálozásait feltüntető számokból alkotott átlagok­

ban kivételes, zavaró tényezők hatása kiegyenlítődve talál kifejezést. Az ilyen műveletekben emelkedik az átlag igazi, nagy jelentőségre s válik tömör és valóságos kifejezőjévé valamely sokaság jellemző viszonyainak. Mig az ily átlagok alapos Ítélet meg­

alkotására valósággal nélkülözhetetlenek, kevesebb értékük van az olyan átlagoknak, amelyek állandóan meglévő szélsőséges ellentétek elsimításával a tény­

leges viszonyok jellemző sajátságait eltakarják.

Ilyen eset pl. az, mikor átlagos népsűrűségül egy­

aránt 20-at mutatunk ki oly vármegyére nézve, amelynek területén a népsűrűség (a népesség aránya a területhez) 1/i részben 65, 3/4 részben meg 5; és egy oly vármegyére nézve, amelynek felében a nép­

sűrűség 30, a másik felében meg 10. Végül az élet­

ben alappal nem biró, üres számitási műveletté válik az átlag megállapítása olyankor, amidőn a valóságban a sokaságnak az átlaggal megegyező, vagy azt megközelítő alakulása ki van zárva. Az ilyen merő abstrakció gyanánt jelentkező átlagok néha teljesen hasznavehetetlenek (ilyen volna pl.

az a számítás, amely egy város iparosait átlag egy segéddel dolgozóknak mutatná ki, azon az alapon, hogy az iparosok felének nincs segédje, fele meg két segédet foglalkoztat), néha hasznukat lehet venni nemzetközi összehasonlításokra, vagy más gyakor­

lati célokra. (Példa erre az életben lévők átlagos élet­

korának kiszámítása).

Általában, ha az átlagnak, mint a statisztikai sor egyes tagjaiban eldarabolva lappangó jellemző sajátságok tömör, markáns kifejezőjének jelentős és hasznos voltát elismerjük is, nem felejthetjük el, hogy az átlagszámítás útján történő egyszerű­

sítést a belső összetétel, a részletek tüzetes meg­

ismerésének elvesztésével kell megfizetnünk.