Speci´ alis biszimmetria egyenletek

=ϕ⁻¹

µϕ(x1) +ϕ(x2) 2

¶

(x₁, x₂ ∈I, 2≤n∈N).

Ebb˝ol

2ϕn◦ϕ⁻¹

µu+v 2

¶

=ϕn◦ϕ⁻¹(u) +ϕn◦ϕ⁻¹(v) (u, v ∈ϕ(I))

k¨ovetkezik. Ez ism´et egy Pexider egyenlet ismeretlen CM f¨uggv´enyekkel, ´ıgy a 2.5. Lemma miatt ϕ_n ◦ ϕ⁻¹(u) = b⁽ⁿ⁾₀ u +b⁽ⁿ⁾₁ , u ∈ ϕ(I) alkalmas 0 6= b⁽ⁿ⁾₀ ∈ R ´es b⁽ⁿ⁾₁ ∈R (2≤n ∈N) sz´amokkal, azaz

ϕ_n(x) = b⁽ⁿ⁾₀ ϕ(x) +b⁽ⁿ⁾₁ (x∈I, 2≤n ∈N).

Ezt felhaszn´alva (4.33)-b´ol sz´amol´assal ad´odik, hogy M_n(x₁, . . . , x_n) = ϕ⁻¹

à 1 n

Xn

k=1

ϕ(x_k)

!

((x₁, . . . , x_n)∈Iⁿ, 2≤n∈N), ami igazolja, hogy M_n n-v´altoz´os kv´azi-aritmetikai k¨oz´ep´ert´ek.

A megford´ıt´as sz´amol´assal bizony´ıthat´o.

4.3 Speci´ alis biszimmetria egyenletek

Ebben ´es a k¨ovetkez˝o r´eszben az a f˝o c´elunk, hogy meghat´arozzuk a (1.1) G(F₁(x₁₁, . . . , x_1n), . . . , F_m(x_m1, . . . , x_mn))

=F(G1(x11, . . . , xm1), . . . , Gn(x1n, . . . , xmn))

biszimmetria egyenletCM megold´asait. Ezt ´ugy tessz¨uk, hogy el˝osz¨or megoldjuk (1.1)-et alkalmas speci´alis es(1.1)-etekben ´es a kapott eredm´enyekb˝ol k¨ov(1.1)-etkezt(1.1)-et¨unk (1.1) CM megold´asaira. Megjegyezz¨uk, hogy (1.1) n´eh´any speci´alis eset´et m´ar kor´abban megoldot-tuk. P´eld´aul azn=m= 2 esetet a 4.1. T´etelben, kor´abban egy m´eg speci´alisabb esetet (a (2.38) egyenletet) a 2.16. T´etelben, valamint a (2.49) egyenletet (n = 2, F₁, . . . , F_n

¨osszead´as) a 2.17. T´etelben. Term´eszetesen a (4.5) egyenlet is speci´alis esete (1.1)-nek.

Most el˝osz¨or az

(2.16) f(u+v) =g(u) +h(v)

Pexider egyenlet

(4.34) f(u₁+· · ·+u_n) =g₁(u₁) +· · ·+g_n(u_n)

´altal´anos´ıt´as´aval foglalkozunk. Ez szint´en (1.1) alak´u egyenlet (m = 1, F₁´es F

¨osszead´as).

4.6 Lemma. Legyen 2≤n ∈ N r¨ogz´ıtett, legyenek U1, . . . , Un intervallumok, gk :Uk → (4.34) mindk´et oldal´at u_i szerint [a, b]-n. Ekkor – transzform´aci´o ut´an –

b+Pⁿ

ad´odik, ami azt mutatja, hogy g_k folytonosan differenci´alhat´o, ha k 6= i. Mivel i tetsz˝oleges, ´ıgy az ¨osszes gk (k = 1, . . . , n) folytonosan differenci´alhat´o, ez´ert – (4.34) miatt –f is. Ezek ut´an (4.34) mindk´et oldal´at u_k illetve u_` szerint differenci´alva

g_k⁰(u_k) =f⁰(u₁+· · ·+u_n) = g_{`</sub><sup>0</sup>(u<sub>`})

(k, `∈ {1, . . . , n}) ad´odik, amib˝ol m´ar k¨ovetkezik (4.36) ´es – (4.34)-et is figyelembe v´eve – (4.35) is. A megford´ıt´as sz´amol´assal igazolhat´o.

Most megadjuk (1.1) CM megold´asait abban a speci´alis esetben, amikor m = 2 ´es minden bels˝o f¨uggv´eny ¨osszead´as.

CM f¨uggv´enyek ´es tegy¨uk fel, hogy

(4.37) C(u₁₁+u₂₁, . . . , u_1n+u_2n) =D(u₁₁+· · ·+u_1n, u₂₁+· · ·+u_2n)

B i z o n y ´ı t ´a s. Nyilv´anval´o, hogy (4.37) a (2.49) egyenlet speci´alis esete ´es teljes¨ulnek a 2.17. T´etel felt´etelei. Ez´ert alkalmas α, β, ϕ CM f¨uggv´enyekkel ´es a₁, . . . , a_n nem-z´er´o val´os sz´amokkal fenn´allnak a (2.50) – (2.53) egyenl˝os´egek, amelyek jelenlegi speci´alis eset¨unkben az al´abbiak:

A (4.41) egyenlet egy speci´alis alak´u (4.34) egyenlet, ez´ert a 4.6. Lemma miatt a₁ = · · · = a_n, ez´ert a Φ(t) = ϕ(a₁t), t ∈ Pⁿ

k=1

P2 j=1

U_jk defin´ıci´oval (4.40)-b˝ol k¨ovetkezik (4.38), tov´abb´a (4.41) – (4.43)-b´ol k¨ovetkezik (4.39).

Az (1.1) egyenlet CM megold´asaira vonatkoz´o ´all´ıt´as bizony´ıt´as´at r¨ogz´ıtett n ≥ 2 mellett 2≤m-szerinti indukci´oval kezdj¨uk majd. Ez´ert kell ismern¨unk az (1.1) egyenlet m= 2 szint´en CM f¨uggv´enyek. Ekkor a (4.44) egyenl˝os´eg pontosan akkor ´all fenn minden x_jk ∈ X_jk (j = 1,2; k = 1, . . . , n) mellett, ha van olyan I intervallum ´es vannak olyan

B i z o n y ´ı t ´a s. Sz´amol´assal igazolhat´o, hogy a (4.45) – (4.48)-ban defini´alt f¨uggv´enyek (4.44) CM megold´asai, ha a defin´ıci´okban szerepl˝o egyv´altoz´os f¨uggv´enyek CM f¨uggv´enyek. Ez´ert csak a megford´ıt´assal foglalkozunk, amit n szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. Az ´all´ıt´as azn= 2 esetben a 4.1. T´etel miatt igaz. Tegy¨uk fel, hogyn >2

´es igaz az ´all´ıt´as n helyett (n−1)-re. R¨ogz´ıts¨uk el˝osz¨or az (x_1n, x_2n)∈X_1n×X_2n p´art (4.44)-ben. Ekkor – az indukci´os felt´etel szerint – megkapjuk (4.48)-at az α_k ´es β_jk (j = 1,2; k = 1, . . . , n) f¨uggv´enyek helyett az ak : Ik → R ´es bjk : Xjk → R CM f¨uggv´enyekkel (j = 1,2; k = 1, . . . , n−1). Ezut´an r¨ogz´ıts¨uk az (x₁₁, x₂₁)∈ X₁₁×X₂₁ p´art (4.44)-ben ´es alkalmazzuk ism´et az indukci´os felt´etelt. Ekkor megkapjuk (4.48)-at a k = n esetben is az αn, β1n, β2n f¨uggv´enyek helyett alkalmas an : In → R ´es b_jn : X_jn → R CM f¨uggv´enyekkel (j = 1,2). Helyettes´ıts¨uk a G_k f¨uggv´enyek ilyen m´odon megkapott alakj´at (4.44)-be. Ekkor

(4.49) G(F₁(x₁₁, . . . , x_1n), F₂(x₂₁, . . . , x_2n))

=F ¡

a⁻¹₁ (b₁₁(x₁₁) +b₂₁(x₂₁)), . . . , a⁻¹_n (b_1n(x_1n) +b_2n(x_2n))¢ ad´odik. LegyenU_jk =b_jk(X_jk), j = 1,2; k= 1, . . . , n ´es

f(t₁, . . . , t_n) = F(a⁻¹₁ (t₁), . . . , a⁻¹_n (t_n)) ¡

t_k ∈U_1k+U_2k¢ , (4.50)

E = G,

(4.51)

g(u₁₁, . . . , u_1n) = F₁(b⁻¹₁₁(u₁₁), . . . , b⁻¹_1n(u_1n)) ¡

u_1k∈U_1k¢ , (4.52)

h(u₂₁, . . . , u_2n) = F₂(b⁻¹₂₁(u₂₁), . . . , b⁻¹_2n(u_2n)) ¡

u_2k∈U_2k¢ , (4.53)

(k = 1, . . . , n). Ekkor f,E, g ´es h CM f¨uggv´enyek, amelyekre – (4.49) miatt – teljes¨ul (2.49) (m helyett n-re), ez´ert a 2.17. T´etel szerint

f(t1, . . . , tn) = ϕ⁻¹(c1t1 +· · ·+cntn) (tk∈U1k+U2k), (4.54)

E(y₁, y₂) = ϕ⁻¹(γ₁(y₁) +γ₂(y₂)) (y_j ∈J_j), (4.55)

g(u₁₁, . . . , u_1n) = γ₁⁻¹(c₁u₁₁+· · ·+c_nu_1n) (u_1k ∈U_1k), (4.56)

h(u21, . . . , u2n) = γ₂⁻¹(c1u21+· · ·+cnu2n (u2k ∈U2k) (4.57)

alkalmas ϕ : I → R (I intervallum), γ_j : J_j → R CM f¨uggv´enyekkel ´es c_k ∈ R\ {0}

sz´amokkal (j = 1,2; k = 1, . . . , n). Defini´aljuk az α_k ´es β_jk f¨uggv´enyeket I_k-n illetve Xjk-n az αk = ckak illetve a βjk = ckbjk k´epletekkel (j = 1,2; k = 1, . . . , n). Ekkor αk

´es β_jk CM f¨uggv´enyek, tov´abb´a (4.50)-b˝ol ´es (4.54)-b˝ol k¨ovetkezik (4.45), (4.51)-b˝ol ´es (4.55)-b˝ol k¨ovetkezik (4.46), valamint (4.52) – (4.53)-b´ol ´es (4.56) – (4.57)-b˝ol kapjuk (4.47)-et. V´eg¨ul az indukci´os felt´etel k´etszeres alkalmaz´asa ut´an kor´abban nyert

G_k(x_1k, x_2k) = a⁻¹_k (b_1k(x_1k) +b_2k(x_2k)) formul´ab´ol (4.48) is ad´odik.

4.4 Az m × n t´ıpus´ u ´ altal´ anos´ıtott biszimmetria egyenlet CM megold´ asai

Folytatjuk az (1.1) egyenlet speci´alis eseteinek t´argyal´as´at abb´ol a c´elb´ol, hogy v´eg¨ul megoldjuk mag´at (1.1)-et is a CM f¨uggv´enyek k¨or´eben. El˝osz¨or azzal az eset-tel foglalkozunk, amikor (1.1)-ben az ¨osszes bels˝o f¨uggv´eny ¨osszead´as. L´atni fogjuk, hogy ekkor a k¨uls˝o f¨uggv´enyek csak v´altoz´oik ¨osszeg´et˝ol f¨uggenek. Ennek igazol´as´ahoz sz¨uks´eg lesz az al´abbi k´et egyszer˝u lemm´ara, amelyek ´all´ıt´asai hasonl´ıtanak a

kv´azi-¨osszegek illeszt´esi eredm´enyeire (l´asd a 2.2. r´eszt). Az els˝o lemma ´altal´anosabban Maksa [Mak99]-ben tal´alhat´o (Lemma 9), itt egy speci´alisabb, de a c´elnak megfelel˝o

´all´ıt´ast k¨ozl¨unk.

Y_k →R olyan CM f¨uggv´enyek, melyekre teljes¨ul, hogy B(x1, . . . , xn) = ϕ1(x1+· · ·+xn) ¡

formul´aval j´ol van defini´alva, teljes¨ul r´a (4.58) ´es mivel µ _n hossz´us´ag´u) intervallum, ez´ert ϕ₃ CM f¨uggv´eny.

4.10Lemma. ([Mak99])Legyen X_i intervallum,K_i^{`</sup> ⊂X<sub>i</sub> kompakt intervallum ´esK<sub>i</sub><sup>`} ⊂ K_i<sup>`+1</sup> minden i ∈ {1, . . . , n} ´es ` ∈ N eset´en. Tegy¨uk fel tov´abb´a, hogy X_i = S^∞

`=1

K_i^`,

i = 1, . . . , n ´es B : Xⁿ amelyre – (4.59) miatt – teljes¨ul (4.60).

A k¨ovetkez˝o t´etel fontos szerepet j´atszik (1.1) megold´asa sor´an.

4.11 T´etel. ([Mak99]) Legyen 2 ≤ m ∈ N, 2 ≤ n ∈ N r¨ogz´ıtett, T_jk intervallum

R¨ogz´ıtett n mellett m-szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A 4.7. Lemma szerint igaz az

´all´ıt´as, ha m= 2. Tegy¨uk fel, hogy m >2 ´es igaz az ´all´ıt´as m helyett (m−1)-re.

´es m helyett (m−1)-el. ´Igy az indukci´os felt´etel szerint

(4.65) D⁰(t1, . . . , tn) = Φ00(t1+· · ·+tn)

T_jk →R CM f¨uggv´ennyel. Ennek seg´ıts´eg´evel defini´aljuk a Φ₀ f¨uggv´enyt a Pⁿ

k´eplettel. Ekkor Φ₀ nyilv´an CM f¨uggv´eny ´es (4.64) valamint (4.65) miatt D(t1, . . . , tn) = Φ0(t1+· · ·+tn)

teljes¨ulj¨on mindenk ∈ {1, . . . , n} mellett. Alkalmazzuk el˝osz¨or a bizony´ıt´as (ii) r´esz´et a t⁰_mk =a⁰_mk, majd at⁰_mk =a⁰_mk esetben. Ekkor el˝osz¨or azt kapjuk, hogy

→R CM f¨uggv´ennyel, majd azt, hogy

D(t₁, . . . , t_n) = Φ₂(t₁+· · ·+t_n)

szint´en valamilyen Φ₂ :Pⁿ

→R CM f¨uggv´ennyel. Mivel (4.66) miatt

inf

(iv) V´alasszunk ezek ut´an olyan £

a^{`</sup><sub>mk</sub>, b<sup>`}_mk¤ Lem-ma ism´etelten alkalLem-mazhat´o ´es v´eg¨ul kapunk egy olyan Φ : Pⁿ

k=1

Pm j=1

T_jk → R CM

f¨uggv´enyt, amellyel fenn´all (4.63). A (4.62) egyenl˝os´eg igazol´as´ahoz legyen (p₁, . . . , p_m)∈ Xm

j=1

Pn k=1

T_jk. Ekkor p_j =t_j1 +· · ·+t_jn valamilyen t_jk ∈ T_jk (j = 1, . . . , m; k = 1, . . . , n) elemekkel, ´es ´ıgy (4.61) ´es (4.63) miatt

C(p1, . . . , pm) = C(t11+· · ·+t1n, . . . , tm1+· · ·+tmn)

= Φ

Az (1.1) egyenlet megold´as´ahoz vezet˝o ´ut utols´o el˝otti ´allom´asa a k¨ovetkez˝o t´etel.

4.12 T´etel. ([Mak99]) Legyen 2 ≤ n ∈ N, 2 ≤ m ∈ N, U_jk intervallum minden

B i z o n y ´ı t ´a s. R¨ogz´ıtett mmellettn szerinti indukci´oval bizony´ıtunk. A 2.17. T´etel-b˝ol k¨ovetkezik, hogy igaz az ´all´ıt´as, han= 2. Tegy¨uk fel, hogyn >2 ´es igaz az ´all´ıt´asn helyett (n−1)-re. El˝osz¨or r¨ogz´ıtettu_1n, . . . , u_mnmellett haszn´aljuk az indukci´os felt´etelt.

Ekkor (4.68)-b´ol kapjuk, hogy (4.71) fenn´all alkalmas a₁, . . . , a_m ∈ R\ {0} sz´amok ´es β_k : I_k → R CM f¨uggv´enyek mellett minden u_jk ∈ U_jk eset´en, ha k ∈ {1, . . . , n−1}

´es j ∈ {1, . . . , m}. Legyen m´asodszor u₁₁, . . . , u_m1 r¨ogz´ıtett (4.68)-ban. Ekkor ism´et az indukci´os felt´etel miatt

(4.72) C_k(u_1k, . . . , u_mk) =γ_k⁻¹(b₁u_1k+· · ·+b_mu_mk)

minden ujk ∈ Ujk, j = 1, . . . , m; k = 2, . . . , n eset´en valamilyen γk : Ik → R, (k = 2, . . . , n) CM f¨uggv´enyekkel ´es b₁, . . . , b_m ∈ R\ {0} sz´amokkal. A k = 2 esetben (4.71)-b˝ol ´es (4.72)-b˝ol azt kapjuk, hogy

β₂⁻¹(a1u12+· · ·+amum2) = γ₂⁻¹(b1u12+· · ·+bmum2), amelyre alkalmazhat´o a 4.6. Lemma, amib˝ol – t¨obbek k¨oz¨ott – k¨ovetkezik, hogybj =caj

minden j ∈ {1, . . . , m}-re valamilyen c ∈ R\ {0} mellett. Ez´ert (4.72)-b˝ol az i = n

defin´ıci´okkal ´eppen a (4.61) egyenletbe megy ´at, amelyre alkalmazhat´o a 4.11. T´etel, amely szerint van olyan Φ : P^m

j=1

Pn k=1

T_jk → R CM f¨uggv´eny, amellyel fenn´all (4.62) ´es (4.63). Legyen most m´ar I = Φ f¨uggv´eny ´es (4.69) illetve (4.70) k¨ovetkezik (4.62)-b˝ol illetve (4.63)-b´ol, valamint aC ´es D f¨uggv´enyek (4.73) – (4.74) defin´ıci´oj´ab´ol.

V´eg¨ul a k¨ovetkez˝o t´etelben megadjuk

(1.1) G(F₁(x₁₁, . . . , x_1n), . . . , F_m(x_m1, . . . , x_mn))

=F(G₁(x₁₁, . . . , x_m1), . . . , G_n(x_1n, . . . , x_mn)) CM megold´asait.

4.13 T´etel. ([Mak99]) Legyen 2 ≤ n ∈ N, 2 ≤ m ∈ N r¨ogz´ıtett, Xjk intervallum, akkor az (1.1) egyenlet ´eppen a (4.44) egyenlet ´es ´ıgy a 4.8. T´etel szerint igaz az ´all´ıt´as.

Legyen most m´arm >2 ´es tegy¨uk fel, hogy igaz az ´all´ıt´asmhelyett (m−1)-re. R¨ogz´ıts¨uk el˝osz¨or azx_m1, . . . , x_mnv´altoz´okat (1.1)-ben. Ekkor az indukci´os felt´etel miatt megkapjuk (4.77)-et (de csak ha j ∈ {1, . . . , m−1}) γ_j ´es β_jk helyett alkalmas γ_j⁰ : J_j → R ´es β_jk⁰ : X_jk → R f¨uggv´enyekkel (k = 1, . . . , n). Ezt k¨ovet˝oen r¨ogz´ıts¨uk az x₁₁, . . . , x_1n v´altoz´okat (1.1)-ben ´es haszn´aljuk fel az indukci´os felt´etelt. ´Igy megkapjuk (4.77)-et a j = m esetben is γm ´es βmk helyett alkalmas γ_m⁰ : Jm → R ´es β_mk⁰ : Xmk → R CM

´es a 4.12. T´etel alkalmazhat´o. Ez´ert van olyan I intervallum ´es vannak olyan ϕ: I →R, α_k:I_k →R, (k= 1, . . . , n)CM f¨uggv´enyek ´es olyana₁, . . . , a_m ∈R\ {0}sz´amok, hogy

´es (4.84)-b˝ol k¨ovetkezik (4.78). Tov´abb´a – mivel B =F – (4.83) azonos (4.75)-tel, v´eg¨ul egyszer˝u sz´amol´as mutatja, hogy

Sz´amol´assal igazolhat´o a t´etel megford´ıt´asa, vagyis a (4.75) – (4.78)-ban defini´alt F, G, F_j ´es G_k CM f¨uggv´enyek (1.1) megold´asai. A 4.6. Lemma felhaszn´al´as´aval egyszer˝u megvizsg´alni a megold´asok (4.75) – (4.78) el˝o´all´ıt´asainak egy´ertelm˝us´eg´et. A megold´asok mindegyike ugyanis ,,t¨obbtag´u kv´azi-¨osszeg”. Ilyenek egyenl˝os´eg´er˝ol sz´ol az al´abbi lemma.

B i z o n y ´ı t ´a s. Tegy¨uk fel el˝osz¨or, hogy fenn´all (4.85), amib˝ol az uk = βk(xk), k= 1, . . . , nhelyettes´ıt´es ut´an

γ⁻¹◦α(u1 +· · ·+un) = δ1 ◦β₁⁻¹(u1) +· · ·+δn◦β_n⁻¹(un)

k¨ovetkezik minden u_k ∈ β_k(X_k), k = 1, . . . , n eset´en. Ez pedig egy (4.34) alak´u egyen-let, amelyre alkalmazva a 4.6. Lemm´at k¨onnyen ad´odik (4.86) ´es (4.87). A megford´ıt´as sz´amol´assal igazolhat´o.

A 4.13. T´etel ´es a 4.14. Lemma seg´ıts´eg´evel ism´et v´egezhet¨unk kompatibilit´as-vizsg´alatokat, azaz vizsg´alhatjuk, hogy konkr´et termel´esi f¨uggv´enyekhez (F, F_j, j = 1, . . . , m) milyen aggreg´al´o f¨uggv´enyeket (G, G_k, k = 1, . . . , n) kell v´alasztani, ha azt akarjuk, hogy az aggreg´aci´o konzisztens legyen, vagyis fenn´alljon (1.1). Az 1. fejezetben l´attuk, hogyCD t´ıpus´u

(4.88) F(z1, . . . , zn) = az₁^c1. . . z_n^cn (zk ∈]0,+∞[, k= 1, . . . , n)

(0 < a ∈ R, c₁, . . . , c_n ∈ R\ {0} konstansok) termel´esi f¨uggv´enyekhez kiz´ar´olag CD t´ıpus´u aggreg´al´o f¨uggv´enyek tartoznak, m´ıg az eredeti

(4.89) F(z₁, . . . , z_n) = a(c₁z^b₁+· · ·+c_nz_n^b)^1/b (z_k ∈]0,+∞[, 1≤k ≤n) (a, c₁, . . . , c_n ∈]0,+∞[ , b ∈ R \ {0} konstansok) CES f¨uggv´enyek eset´eben az ot-tani eredm´enyek alapj´an nem volt lehet˝os´eg a k´erd´es t´argyal´as´ara, csak a kiterjesztett CES f¨uggv´enyekre tudtunk eredm´enyt megfogalmazni. Mivel a CES f¨uggv´enyek CM f¨uggv´enyek ´es az α(t) = at^1/b, t ∈]0,+∞[ valamint a β_k(x) = c_kx^b, x ∈]0,+∞[

(k = 1, . . . , n) f¨uggv´enyekkel F

F(z₁, . . . , z_n) = α(β₁(z₁) +· · ·+β_n(z_n))

alakba ´ırhat´o, ez´ert a 4.14. Lemma alapj´an meghat´arozhat´o az ¨osszes (γ, δ₁, . . . , δ_n) f¨uggv´eny (n+ 1)-es, amely CM f¨uggv´enyekb˝ol ´all ´es amelyre

F(z₁, . . . , z_n) =γ(δ₁(z₁) +· · ·+δ_n(z_n))

teljes¨ul. Ezek ut´an a 4.13. T´etel (4.76) illetve (4.78) k´epleteib˝ol megkaphat´ok az aggre-g´al´o f¨uggv´enyek. A r´eszletsz´am´ıt´asokat mell˝ozve k¨oz¨olj¨uk, hogy ezek

¡d₀+d₁x^b₁¹ +· · ·+d_mx^b_m^m¢_1/b

alak´uak, ahold₀ ≥0,d₁, . . . , d_m ∈]0,+∞[ , b, b₁, . . . , b_m ∈R\ {0}konstansok. L´athat´o, hogy ezek csak speci´alis esetben (d₀ = 0, b₁ = · · · = b_m = b) CES f¨uggv´enyek.

Az eredm´eny ¨osszhangban van az 1. fejezetben a kiterjesztett CES f¨uggv´enyekre kapott eredm´ennyel. Hasonl´oan vizsg´alhat´ok olyan aggreg´aci´ok is, amikor p´eld´aul a (makro¨okon´omiai)F termel´esi f¨uggv´enyCD t´ıpus´u de a (mikro¨okon´omiai) F_j termel´esi f¨uggv´enyek CES t´ıpus´uak. A fentiekhez hasonl´o m´odon kisz´amolhat´o, hogy ekkor az aggreg´al´o (G, G_k) f¨uggv´enyek

a e^{c1xb11+···+cmxbmm}

alak´uak, ahol a > 0, c1, . . . , cm, b1, . . . , bm ∈ R \ {0} konstansok. Ha pedig F CES t´ıpus´u, F_j pedig CD t´ıpus´u (j = 1, . . . , m), akkor a hozz´ajuk tartoz´o aggreg´al´o f¨uggv´enyek

(d0+d1lnx1+· · ·+dmlnxm)^1/b

alak´uak, ahol d₀ ∈ R, d₁, . . . , d_m ∈ R \ {0} ´es b ∈ R \ {0} olyan konstansok hogy a fenti kifejez´es val´os sz´am minden x1, . . . , xm ∈ R+ eset´en. Ekkor azon-ban az aggreg´al´o f¨uggv´enyek negat´ıv ´ert´ekeket is felvehetnek, aminek nem biztos, hogy tulajdon´ıthat´o k¨ozgazdas´agtani jelent´es. ´Ugy l´atszik teh´at, hogy CES t´ıpus´u makro¨okon´omiai ´esCD t´ıpus´u mikro¨okon´omiai termel´esi f¨uggv´enyekkel nem val´os´ıthat´o meg konzisztens aggreg´aci´o (legal´abbis korl´atlanul, vagyis amikor a pozit´ıv v´altoz´ok fel¨ulr˝ol nem korl´atozottak).

5 Biszimmetria egyenletek vektor-´ ert´ ek˝ u

In document Asszociativit´asi ´es biszimmetria egyenletek (Pldal 88-102)