Egy felt´ eteles asszociativit´ asi egyenlet lok´ alis megold´ asa

Ebben a r´eszben csak egy t´etelt bizony´ıtunk. A bizony´ıt´as sor´an felhaszn´aljuk Acz´el [Acz66] (54–57, 268. oldal) ´es von Stengel [vS93] (383–388 oldal) n´eh´any gondolat´at

´es megkonstru´aljuk egy ,,felt´etelesen asszociat´ıv strukt´ura” ,,logaritmus f¨uggv´enyeit” – legal´abbis lok´alisan. Ezt ´ugy tessz¨uk, hogy el˝obb lok´alis ,,exponenci´alis f¨uggv´enyeket”

konstru´alunk, amire az ad lehet˝os´eget, hogy a felt´etelek miatt defini´alhat´o a racion´alis kitev˝os, majd a val´os kitev˝os ,,hatv´anyoz´as”.

3.1 T´etel. ([Mak04]) Legyen J ny´ılt intervallum, e∈J ´es ∗:J×J →R folytonos ´es mindk´et v´altoz´oj´aban szigor´uan monoton n¨ovekv˝o f¨uggv´eny. Tegy¨uk fel, hogy

(3.10) (u∗v)∗w=u∗(v∗w) (ha u, v, w, u∗v, v ∗w∈J)

´es

(3.11) u∗e=e∗u=u (u∈J).

Ekkor vannak olyan a, b ∈ J sz´amok, hogy a < e < b ´es van olyan Φ : [a, b] → [−1,1]

folytonos ´es szigor´uan monoton n¨ovekv˝o f¨uggv´eny, hogy

(3.12) Φ(u∗v) = Φ(u) + Φ(v) (hau, v, u∗v ∈[a, b])

´es

(3.13) Φ(a) =−1, Φ(b) = 1.

B i z o n y ´ı t ´a s. (i) El˝osz¨or azt igazoljuk, hogy van olyan a, b ∈ J, hogy a < e < b

´es a∗b = e, tov´abb´a b´armely u ∈ [a, b] eset´en egyetlen olyan u⁻¹ ∈ [a, b] van, melyre u∗u⁻¹ =u⁻¹∗u =e. Ugyanis, mivel J ny´ılt ´es∗ folytonos az (e, e) pontban valamint – (3.11) miatt e∗e = e – van olyan a⁰, b⁰ ∈ J, hogy a⁰ < e < b⁰ ´es a⁰ ∗b⁰ ∈ J. Ha a⁰∗b⁰ =e, akkor a = a⁰, b = b⁰ megfelel˝o v´alaszt´as. Ha a⁰∗b⁰ < e, akkor (3.11) miatt a⁰∗b⁰ < e < b⁰ =e∗b⁰´es ´ıgy∗els˝o v´altoz´oj´aban val´o folytonoss´ag´ab´ola∗b⁰ =ek¨ovetkezik valamely a⁰ < a < e mellett, ami b= b⁰-vel a k´ıv´ant ´all´ıt´as. Ha pedig e < a⁰ ∗b⁰, akkor – ism´et (3.11) miatt – a⁰ ∗e = a⁰ < e < a⁰ ∗b⁰ ´es ´ıgy – ∗ m´asodik v´altoz´oj´aban val´o folytonoss´ag´ab´ol – a⁰ ∗b = e valamely e < b < b⁰ mellett, ez´ert a = a⁰-vel teljes¨ul az

´all´ıt´as. Most megmutatjuk, hogyb∗a=e is igaz. Ugyanis a=e∗a < b∗a < b∗e=b,

´ıgyb∗a∈[a, b]⊂J ´es ´ıgy – (3.10) ´es (3.11) miatt –

(b∗a)∗b=b∗(a∗b) =b∗e=b=e∗b,

amib˝ol – ∗ els˝o v´altoz´oj´aban val´o szigor´uan monotonit´asa miatt – b∗a=e k¨ovetkezik.

Ezek ut´an (i) marad´ek r´esze a k¨ovetkez˝ok´eppen bizony´ıthat´o: az unicit´as a szigor´u monotonit´as miatt nyilv´anval´o, az egzisztencia bizony´ıt´as´ahoz legyen u ∈ [a, b]. Az u∈ {a, b}esetet m´ar vizsg´altuk, azu=eeset nyilv´anval´o, legyen teh´at el˝osz¨oru∈]a, e[.

Ekkoru∗e=u < e, m´asr´esztu∗b > a∗b =e, ´ıgy valamelyu⁻¹ ∈]e, b[ mellettu∗u⁻¹ =e.

Hasonl´oan, ha u ∈]e, b[, akkor u∗e = u > e ´es u∗a < b∗a = e, ez´ert u∗u⁻¹ = e valamely u⁻¹ ∈]a, e[ eset´en. V´eg¨ulu⁻¹∗u=e is teljes¨ul, mert ha u < e, akkoru⁻¹ > e

´es ´ıgy u = e∗u < u⁻¹ ∗u < u⁻¹ ∗e = u⁻¹, ha pedig u > e, akkor u⁻¹ < e, ez´ert u⁻¹ =u⁻¹∗e < u⁻¹ ∗u < e∗u =u. Teh´at mindk´et esetben u⁻¹ ∗u∈ J, ´ıgy (3.10) ´es (3.11) miatt

(u⁻¹ ∗u)∗u⁻¹ =u⁻¹∗(u∗u⁻¹) = u⁻¹∗e=u⁻¹ =e∗u⁻¹,

amib˝ol – ∗ m´asodik v´altoz´oj´aban val´o szigor´u monotonit´asa miatt – u⁻¹ ∗ u = e k¨ovetkezik.

(ii) Most megkonstru´aljuk a t´etelben szerepl˝o Φ f¨uggv´eny inverz´et [−1,1] racion´alis pontjaiban. Ehhez el˝osz¨or defini´aljuk aϕ_n, (0 ≤n∈Z), (Zaz eg´esz sz´amok halmaza) f¨uggv´enyt az al´abbiak szerint:

(3.14) ϕ₀(t) = e (t ∈J₀ :=J),

ϕn(t) = ϕn−1(t)∗t (t ∈Jn :=ϕ⁻¹_n−1(J)∩Jn−1, n∈N).

(ϕn(t) at∈Jnsz´am n-edik ,,hatv´anya”, amelyet csak a fenti (korl´atozott) k¨or¨ulm´enyek k¨oz¨ott tudunk ´ertelmezni.) Vil´agos, hogyϕ_n :J_n →Rfolytonos (han ≥0) ´es szigor´uan monoton n¨ovekv˝o is (ha n≥1), tov´abb´a e∈J_n, J_n ny´ılt intervallum (ha n≥0) ´es

(3.15) J_n ⊂J_n−1, ha n ≥1.

Most megmutatjuk, hogy b´armelyn ∈Neset´en egyetlen olyanxn∈]e, b]∩Jnvan, melyre ϕ_n(x_n) = b (x_n b n-edik ,,gy¨oke”), ´es az (x_n) sorozat szigor´uan monoton cs¨okken˝o. Az egy´ertelm˝us´eg ϕ_n injektiv´ıt´asa miatt nyilv´anval´o, x_n l´etez´es´et indukci´oval bizony´ıtjuk.

Ha n = 1, akkor x1 = b megfelel. Tegy¨uk fel, hogy n > 1 ´es igaz ´all´ıt´as n helyett (n−1)-re, azaz van olyan x_n−1 ∈]e, b]∩J_n−1, hogy ϕ_n−1(x_n−1) =b. Mivel b ∈J, ez´ert x_n−1 ∈ ϕ⁻¹_n−1(J) is teljes¨ul, ´ıgy x_n−1 ∈ J_n. Felhaszn´alva ϕ_n definc´ı´oj´at, az indukci´os felt´etelt, (3.11)-et ´es∗ m´asodik v´altoz´oj´aban val´o szigor´u monoton n¨oveked´es´et kapjuk, hogy

ϕ_n(x_n−1) = ϕ_n−1(x_n−1)∗x_n−1 =b∗x_n−1 > b∗e=b.

M´asr´eszt ϕ_n(e) = e < b, teh´at ϕ_n felvesz b-b˝ol nagyobb ´es kisebb ´ert´ekeket is az [e, x_n−1] ⊂ J_n intervallumon. Ez´ert ϕ_n(x_n) = e valamely x_n ∈]e, x_n−1[⊂ J_n mellett.

Ez azt is mutatja, hogy (xn) szigor´uan monoton cs¨okken˝o.

A bizony´ıt´as (i) r´esze szerint egyetlen olyan x⁻¹_n ∈[a, e[ elem van, amelyre (3.16) xn∗x⁻¹_n =x⁻¹_n ∗xn=e (n∈N).

Mivel (x_n) szigor´uan monoton cs¨okken˝o, (x⁻¹_n ) szigor´uan monoton n¨ovekv˝o. Val´oban, ha 2≤n∈N, akkor

e =x_n∗x⁻¹_n < x_n−1∗x⁻¹_n < x_n−1∗e=x_n−1 < b,

´ıgy ebb˝ol, (3.11)-b˝ol, (3.10)-b˝ol ´es (3.16)-b´ol

x⁻¹_n−1 =x⁻¹_n−1∗e < x⁻¹_n−1∗(x_n−1 ∗x⁻¹_n ) = (x⁻¹_n−1∗x_n−1)∗x⁻¹_n =e∗x⁻¹_n =x⁻¹_n k¨ovetkezik.

Most indukci´oval igazoljuk, hogy

(3.17) x⁻¹_n ∈J_n ´es ϕ_n(x⁻¹_n ) = a (n ∈N).

(x⁻¹_n absz´am (−_n¹) -edik ,,hatv´anya”, azaza n-edik ,,gy¨oke”.) Han= 1, akkorx₁ =b´es a∈[a, b]⊂J =J₁, ´ıgy a bizony´ıt´as (i) r´esze miatt x⁻¹₁ =a∈J₁ ´es ϕ₁ defin´ıci´oja miatt ϕ₁(x⁻¹₁ ) = ϕ₁(a) = a. Tegy¨uk fel, hogy n > 1 ´es igaz (3.17) n helyett (n−1)-re, azaz x⁻¹_n−1 ∈J_n−1 ´es ϕ_n−1(x⁻¹_n−1) = a. Mivel x⁻¹_n−1 < x⁻¹_n < e´es e∈J_n−1, ez´ert azx⁻¹_n−1 ∈J_n−1 indukci´os felt´etel miatt ´es az´ert mertJ_n−1 intervallum azt kapjuk, hogy

(3.18) x⁻¹_n ∈J_n−1.

Ism´et az indukci´os felt´etel miatt ´es mivel ϕ_n−1 szigor´uan monoton n¨oveked˝o a =ϕn−1(x⁻¹_n−1)< ϕn−1(x⁻¹_n )< ϕn−1(e) =e,

ez´ert ϕn−1(x⁻¹_n ) ∈]a, e[⊂ J, ´ıgy x⁻¹_n ∈ϕ⁻¹_n−1(J), ami (3.18)-cal egy¨utt azt eredm´enyezi, hogyx⁻¹_n ∈J_n.

Defini´aljuk ezek ut´an a Ψ f¨uggv´enyt – amelyet Φ inverz´enek sz´anunk – a [−1,1]

intervallum racion´alis pontjaiban a k¨ovetkez˝ok´eppen:

=ϕ_m(x_n). (3.20) m´asodik fele – (3.17) felhaszn´al´as´aval – hasonl´oan l´athat´o be.

(iii) A (3.19) defin´ıci´ob´ol ´es x_n defin´ıci´oj´ab´ol r¨ogt¨on k¨ovetkezik, hogy Ψ(1) = b, Ψ(0) =e, Ψ(−1) =a. Most megmutatjuk, hogy

(Q a racion´alis sz´amok halmaza.) N´ezz¨uk el˝osz¨or azt az esetet, amikor m ≥0, m⁰ ≥ 0, m+m⁰ ≤n. Ekkor – (3.15) miatt –

xn∈Jn⊂Jm+m⁰, ez´ert ϕm defin´ıci´oj´ab´ol ad´odik, hogy ϕ_m+m⁰(x_n) =ϕ_m(x_n)∗ϕ_m⁰(x_n),

ami (3.21)-et igazolja. Hasonl´o a bizony´ıt´as azm≤0,m⁰ ≤0,−m−m⁰ ≤n esetben is.

A marad´ek k´et ,,vegyes” eset k¨oz¨ul csak azt vizsg´aljuk, amikor

(3.23) 0≤ m

n ≤1, −1≤ −m⁰

n ≤0, 0≤ m−m⁰

n ≤1,

mert a m´asik hasonl´oan kezelhet˝o. Ha (3.23) teljes¨ul, akkor (3.21) felhaszn´al´as´ahoz – (3.19) alapj´an – azt kell igazolni, hogy

ϕ_m−m⁰(x_n) = ϕ_m(x_n)∗ϕ_m⁰(x⁻¹_n ),

ez pedig k¨ovetkezik a (3.14) defin´ıci´ob´ol valamint (3.17)-b˝ol, (3.16)-b´ol, (3.10)-b˝ol ´es (3.11)-b˝ol.

Ebben a r´eszben igazoljuk m´eg azt is, hogy Ψ : [−1,1]∩Q→[a, b] szigor´uan monoton n¨ovekv˝o. Ehhez el´eg azt bel´atni, hogy

(3.24) Ψ

han ∈N,m ∈Z, −1≤ ^m_n ´es ^m+1_n ≤1. Az ^m_n ≥0 esetben (3.24) azzal ekvivalens, hogy ϕ_m(x_n) < ϕ_m+1(x_n). Ez pedig igaz, mert x_n > e ´es ´ıgy – (3.14) miatt – ϕ_m+1(x_n) = ϕ_m(x_n)∗x_n > ϕ_m(x_n)∗e = ϕ_m(x_n). Az ^m+1_n ≤ 0 eset hasonl´oan kezelhet˝o, csak itt azt kell felhaszn´alni, hogyx⁻¹_n < e. V´eg¨ul, ha ^m_n ≤ 0≤ ^m+1_n , akkor az eddigiek alapj´an Ψ¡_m

n

¢ ≤ Ψ(0) ≤ Ψ¡_m+1

n

¢ ad´odik ´es ebben a sorban mindk´et egyenl˝otlens´eg nem lehet egyidej˝uleg egyenl˝os´eg.

(iv) Most megadjuk Ψ szigor´uan monoton n¨ovekv˝o ´es folytonos kiterjeszt´es´et a [−1,1]

intervallumra. Legyen ugyanis

(3.25)

Ψ(x) = sup{Ψ(r) :−1≤r ≤x} (x∈[−1,1])

´es

Ψ(x) = inf{Ψ(s) :x≤s≤1} (x∈[−1,1]).

Nyilv´anval´o, hogy Ψ ´es Ψ a Ψ f¨uggv´eny monoton n¨ovekv˝o kiterjeszt´esei [−1,1]∩Q-r´ol [−1,1]-re, tov´abb´a Ψ balr´ol, Ψ pedig jobbr´ol folytonos a ]−1,1] illetve [−1,1[ interval-lumon ´es Ψ(x)≤ Ψ(x) b´armely x ∈[−1,1] eset´en. Kimutatjuk, hogy Ψ(x) = Ψ(x), ha x ∈ [−1,1]. Ez nyilv´anval´o, ha x = −1 vagy x = 1. Ha −1 < x < 1, akkor el˝osz¨or v´alasszunk olyan (r_n), (s_n) : N → Q sorozatokat, amelyekre −1 < r_n < ^x₂ < s_n < 1,

−1< r_n+s_n < x(n∈N) ´esr_n→ ^x₂,s_n → ^x₂, majd olyan (r_n⁰),(s⁰_n) :N→Qsorozatokat, melyekre 1< r_n⁰ < ^x₂ < s⁰_n<1,x < r⁰_n+s⁰_n<1 (n ∈N) ´es r⁰_n→ ^x₂,s⁰_n → ^x₂ teljes¨ul. Fel-haszn´alva a (3.22) egyenletet, valamint Ψ baloldali, Ψ jobboldali folytonoss´ag´at ^x₂-ben

´es ∗ folytonoss´ag´at azt kapjuk, hogy Ψ(x) = lim

n→∞Ψ(r_n+s_n) = lim

n→∞(Ψ(r_n)∗Ψ(s_n))

= Ψ

³x 2

´

∗Ψ

³x 2

´

= lim

n→∞(Ψ(r_n⁰)∗Ψ(s⁰_n))

= lim

n→∞Ψ(r⁰_n+s⁰_n) = Ψ(x).

Ez´ert Ψ = Ψ folytonos ´es monoton kiterjeszt´ese Ψ-nek [−1,1]∩Q-r´ol [−1,1]-re, amelyet szint´en Ψ-vel jel¨ol¨unk. Nyilv´an Ψ : [−1,1] → [a, b] sz¨urjekt´ıv ´es Ψ szigor´uan monoton n¨ovekv˝o, mert ha valamely−1≤x < y ≤1 eset´en Ψ(x) = Ψ(y) lenne, akkor v´alasszunk olyan r, s∈ Q sz´amokat, melyekre x < r < s < y teljes¨ul, amib˝ol Ψ [−1,1]∩Q-n val´o szigor´u monotonit´asa ´es Ψ [−1,1]-en val´o monoton n¨oveked´ese miatt

Ψ(x)≤Ψ(r)<Ψ(s)≤Ψ(y) k¨ovetkezik, ami ellentmond´as. Ψ folytonoss´ag´ab´ol ´es (3.22)-b˝ol

Ψ(x+y) = Ψ(x)∗Ψ(y) (x, y, x+y ∈[−1,1]) ad´odik. Ezek ut´an a Φ = Ψ⁻¹ defin´ıci´oval a t´etel ´all´ıt´as´at kapjuk.

3.2 Lok´ alis kv´ azi-¨ osszegek ´ es ´ altal´ anos´ıtott asszociativit´ as

Ebben a r´eszben el˝osz¨or azt mutatjuk meg, hogy kapcsolat van az

(3.9) F(G(x, y), z) =H(x, K(y, z))

´altal´anos´ıtott asszociativit´asi egyenlet ´es a 3.1. T´etelben t´argyalt (3.10) felt´eteles asszo-ciativit´asi egyenlet k¨oz¨ott . Ehhez l´enyeges hozz´aj´arul´as a k¨ovetkez˝o lemma.

3.2 Lemma. ([Mak04]) Legyenek X, Y, Z intervallumok, G : X×Y → R, K : Y × Z → R, F : G(X, Y)×Z → R ´es H : X ×K(Y, Z) → R CM f¨uggv´enyek ´es tegy¨uk fel, hogy (3.9) fenn´all minden (x, y, z) ∈ X ×Y ×Z eset´en. Defini´aljuk tov´abb´a az f :X×Y ×Z →R f¨uggv´enyt ´es tetsz˝olegesen r¨ogz´ıtett (x₀, y₀, z₀)∈X×Y ×Z eset´en az f₁ :X →R, f₂ :Y →R´es f₃ :Z →R f¨uggv´enyeket az al´abbi k´epletekkel:

(3.26) f(x, y, z) = F¡

G(x, y), z¢¡

=H(x, K(y, z)¢ ,

(3.27) f₁(x) =f(x, y₀, z₀), f₂(y) = f(x₀, y, z₀), f₃(z) =f(x₀, y₀, z).

Ekkor vannak olyan

f₁₂ :f₁(X)×f(x₀, Y, Z)→R ´es f₂₁:f(X, Y, z₀)×f₃(Z)→R

folytonos ´es mindk´et v´altoz´ojukban szigor´uan monoton n¨ovekv˝o f¨uggv´enyek, hogy minden (x, y, z)∈X×Y ×Z eset´en fenn´allnak az al´abbi egyenl˝os´egek:

f(x, y, z) = f₁₂(f₁(x), f(x₀, y, z)), (3.28)

f(x, y, z) = f₂₁(f(x, y, z₀), f₃(z)), (3.29)

f₁₂(f₁(x), f₂₁(f₂(y), f₃(z))) =f₂₁(f₁₂(f₁(x), f₂(y)), f₃(z)), (3.30)

f1(x) =f12(f1(x), f2(y0)), (3.31)

f₃(z) =f₂₁(f₂(y₀), f₃(z)), (3.32)

f₁₂(f₁(x), f₃(z)) =f₂₁(f₁(x), f₃(z)).

(3.33)

B i z o n y ´ı t ´a s. Legyen p(t) = H(x₀, t), t ∈ K(Y, Z). Ekkor p CM f¨uggv´eny ´es (3.26)-b´ol azx=x0 helyettes´ıt´essel f(x0, y, z) = p(K(y, z)) k¨ovetkezik, amib˝ol

K(y, z) = p⁻¹(f(x₀, y, z)) ¡

(y, z)∈Y ×Z¢ ad´odik. Ez´ert ism´et (3.26)-b´ol kapjuk, hogy

(3.34) f(x, y, z) =H¡

x, p⁻¹(f(x₀, y, z))¢ ¡

(x, y, z)∈X×Y ×Z¢ , amib˝ol az

(3.35) f12(ξ, η) =H¡

f₁⁻¹(ξ), p⁻¹(η)¢ ¡

ξ ∈f1(X), η ∈p(K(Y, Z))¢

defin´ıci´oval valamint (3.34) felhaszn´al´as´aval f₁₂(f₁(x), f(x₀, y, z)) = H¡

f₁⁻¹(f₁(x)), p⁻¹(f(x₀, y, z))¢

= H¡

x, p⁻¹(f(x₀, y, z))¢

= f(x, y, z),

azaz (3.28) ad´odik. Vil´agos, hogyf₁₂CM f¨uggv´eny, s˝ot – figyelembe v´eve a 2.2. Lemm´at, (3.35)-¨ot ´es (3.27)-et – mindk´et v´altoz´oj´aban szigor´uan monoton n¨ovekv˝o. Mivel (3.9)-ben az x ´es z v´altoz´ok ,,egyen´ert´ek˝uek”, (3.29) hasonl´oan igazolhat´o. (3.30) bi-zony´ıt´as´ahoz legyen (3.28)-ban illetve (3.29)-ben z =z₀ illetve x=x₀. ´Igy

(3.36) f(x, y, z₀) =f₁₂(f₁(x), f₂(y)), illetve

(3.37) f(x₀, y, z) = f₂₁(f₂(y), f₃(z))

ad´odik minden (x, y, z) ∈ X×Y ×Z eset´en. Ez´ert (3.28) ´es (3.37) valamint (3.29) ´es (3.36) miatt

f(x, y, z) =f₁₂(f₁(x), f₂₁(f₂(y), f₃(z))) =f₂₁(f₁₂(f₁(x), f₂(y)), f₃(z)),

amib˝ol (3.30) k¨ovetkezik. (3.36)-b´ol illetve (3.37)-b˝ol az y = y₀ helyettes´ıt´essel r¨ogt¨on kapjuk (3.31)-et illetve (3.32)-t. V´eg¨ul (3.33) (3.30)-b´ol az y = y₀ helyettes´ıt´essel, valamint (3.31) ´es (3.32) figyelembev´etel´evel ad´odik.

A k¨ovetkez˝o t´etelben megadjuk (3.9) CM megold´asait.

3.3 T´etel. ([Mak04], [Mak00]) Legyenek X, Y, Z intervallumok, G : X ×Y → R, K : Y ×Z → R, F : G(X, Y) → R ´es H : X×K(Y, Z) → R CM f¨uggv´enyek. Ekkor (3.9) pontosan akkor teljes¨ul minden (x, y, z) ∈ X ×Y × Z eset´en, ha vannak olyan α :X → R, β : Y → R, γ :Z → R, δ1 :α(X) +β(Y) → R, δ2 : β(Y) +γ(Z) →R ´es ϕ:α(X) +β(Y) +γ(Z)→R CM f¨uggv´enyek, hogy

F(ξ, z) = ϕ(δ₁⁻¹(ξ) +γ(z)), (3.38)

G(x, y) = δ1(α(x) +β(y)), (3.39)

H(x, η) = ϕ(α(x) +δ⁻¹₂ (η)) (3.40)

´es

(3.41) K(y, z) = δ2(β(y) +γ(z))

teljes¨ul minden (x, y, z)∈X×Y ×Z ´es ξ ∈G(X, Y), η∈K(Y, Z) eset´en.

B i z o n y ´ı t ´a s. (i) El˝osz¨or azt mutatjuk meg, hogyG´es K kv´azi-¨osszegek azX×Y, illetve Y ×Z t´eglalapokon, r´aad´asul speci´alis (α, β, δ₁) illetve (β, γ, δ₂) gener´atorokkal, azaz fenn´all (3.39) ´es (3.41). Legyen ehhez (x₀, y₀, z₀) ∈ X⁰ ×Y⁰ × Z⁰ tetsz˝oleges.

Igazolni fogjuk, hogy ha f a (3.26)-ban defini´alt f¨uggv´eny, akkor f(·, ·z0) ´esf(x0,·,·) kv´azi-¨osszegek (speci´alis gener´atorokkal) X⁰ ×Y⁰-on illetve Y⁰ ×Z⁰-on. Legyen ez´ert f₁(X) = U, f₂(Y) = V, f₃(Z) = W, ahol f₁, f₂, f₃ a (3.27)-ben defini´alt f¨uggv´enyek, legyen tov´abb´a e =f1(x0). Ekkor U, V, W intervallumok ´es – mivel f1(x0) =f2(y0) = f₃(z₀) =e∈U ∩V ∩W, s˝ot e bels˝o pont, ez´ert U ∩V ∩W is intervallum ´es van olyan J ⊂U ∩V ∩W ny´ılt intervallum, hogy e∈J. A 3.2. Lemma szerint vannak olyan f₁₂

´es f21 folytonos ´es mindk´et v´altoz´ojukban szigor´uan n¨ovekv˝o f¨uggv´enyek, amelyekkel teljes¨ulnek a (3.28) – (3.33) egyenl˝os´egek. Ezekb˝ol az

(3.42) u∗v =f₁₂(u, v) (u, v ∈J)

m´odon defini´alt folytonos ´es mindk´et v´altoz´oj´aban szigor´uan monoton n¨ovekv˝o

∗:J ×J →R f¨uggv´enyre kapjuk, hogy

(u∗v)∗w=u∗(v∗w) (u, v, w, u∗v, v∗w∈J)

´es

u∗e=e∗u=u (u∈J).

´Igy a 3.1. T´etel szerint van olyan [a, b] ⊂ J intervallum ´es Φ : [a, b] → [−1,1] bijekt´ıv CM f¨uggv´eny, hogy a < e < b ´es

(3.43) Φ(u∗v) = Φ(u) + Φ(v) (u, v, u∗v ∈[a, b]).

Ez´ert (3.42) ´es (3.43) miatt

(3.44) f₁₂(u, v) =f₂₁(u, v) = u∗v = Φ⁻¹¡

Φ(u) + Φ(v)¢ ,

ha u, v, f₁₂(u, v) ∈ [a, b]. Mivel f₁(x₀) = f₂(y₀) = f₃(z₀) = f(x₀, y₀, z₀) = e ´es f₁ x₀-ban, f₂ y₀-ban, f₃ z₀-ban, f(·, ·, z₀) (x₀, y₀)-ban ´es f(x₀,·,·) (y₀, z₀)-ban folytonos f¨uggv´enyek, vannak olyan X₀ ×Y₀ ⊂ X⁰×Y⁰ ´es Y₀×Z₀ ⊂ Y⁰×Z⁰ ny´ılt t´eglalapok, hogy

(x₀, y₀)∈X₀×Y₀, (y₀, z₀)∈Y₀×Z₀ ´es f₁(x), f₂(y), f₃(z), f₁₂(x, y), f₂₁(y, z)∈[a, b], ha (x, y) ∈ X₀ ×Y₀ ´es (y, z) ∈ Y₀ ×Z₀. ´Igy (3.28), (3.29) ´es (3.44), valamint (3.43) k¨ovetkezt´eben

Φ(f(x, y, z₀)) = Φ¡

f₁₂(f₁(x), f₂(y))¢

= Φ(f₁(x)∗f₂(y))

= Φ(f₁(x)) + Φ(f₂(y))

´es

Φ(f(x0, y, z)) = Φ¡

f21(f2(y), f3(z))¢

= Φ(f2(y)∗f3(z))

= Φ(f2(y)) + Φ(f3(z)),

ha (x, y)∈X0×Y0 ´es (y, z)∈Y0×Z0. Ezekb˝ol az egyenl˝os´egekb˝ol az f¨uggv´enyek, (3.26)-b´ol k¨ovetkezik, hogy fenn´all (3.39) ´es (3.41) G illetve K alkalmas (α, β, δ1) illetve (β, γ, δ2) gener´atoraival.

(ii) ´Irjuk most G ´es K (3.39) illetve (3.41) el˝o´all´ıt´asait (3.9)-be. Ekkor azt kapjuk, hogy k´eplettel. Ekkor A´es B CM f¨uggv´enyek, amelyekre teljes¨ul, hogy

(2.30) A(u+v, w) = B(u, v+w) ¡ megkapjuk a (3.38) illetve (3.40) egyenl˝os´egeket is.

Az, hogy a (3.38) – (3.41) k´epletekkel defini´alt F, G, H, K kv´azi-¨osszegek (3.9) megold´asai, sz´amol´assal ellen˝orizhet˝o.

E t´etel n´eh´any k¨ovetkezm´eny´et a 3.3. ´es 3.4. r´eszben t´argyaljuk. Itt most csak k´et eredm´enyt fogalmazunk meg, amelyek azonnal ad´odnak a 3.3. T´etelb˝ol. Az els˝o (l´asd [vS93], Theorem 21-et is) a

3.4T´etel. ([Mak])LegyenekX, Y, Z intervallumok,G:X×Y →R, K :Y ×Z →R, F : G(X, Y)×Z → R ´es H : X ×K(Y, Z) → R CM f¨uggv´enyek, amelyekre teljes¨ul (3.9) minden (x, y, z) ∈ X×Y ×Z eset´en. Ekkor van olyan α : X → R, β : Y → R, γ :Z →R´es ϕ:α(X) +β(Y) +γ(Z)→R CM f¨uggv´eny, hogy

(3.49) F(G(x, y), z) = H(x, K(y, z)) = ϕ(α(x) +β(y) +γ(z)), ha (x, y, z)∈X×Y ×Z.

A m´asodik eredm´eny egy pozit´ıv v´alasz Steinhaus azon k´erd´es´ere (l´asd Ryll-Nardzewski [RN55], ´es Acz´el [Acz66], 329. oldal), hogy ha egy h´aromv´altoz´osf f¨uggv´eny k´etv´altoz´os f¨uggv´enyek seg´ıts´eg´evel el˝o´all

(3.50) f(x, y, z) =F¡

G(x, y), z¢

´es f(x, y, z) =H¡

x, K(y, z)¢ alakban, akkor el˝o´all-e egy tov´abbi lehets´eges

(3.51) f(x, y, z) =L(M(z, x), y)

alakban is. A v´alasz – amely itt teljesebb mint [RN55]-ben vagy [Acz66]-ban – a k¨ovetkez˝o:

3.5 T´etel. Ha X, Y, Z intervallumok, f : X ×Y ×Z → R ´es G : X ×Y → R, K : Y ×Z → R, F : G(X, Y)×Z → R ´es H : X ×K(Y, Z) → R CM f¨uggv´enyek, tov´abb´a fenn´all (3.50) minden (x, y, z) ∈ X×Y ×Z eset´en, akkor vannak olyan M : Z×X →R´esL:M(Z, X)×Y →RCM f¨uggv´enyek is, melyekre (3.51) teljes¨ul minden (x, y, z)∈X×Y ×Z mellett.

B i z o n y ´ı t ´a s. Alkalmazzuk a 3.4. T´etelt ´es legyen

M(z, x) =γ(z) +α(x), (z, x)∈Z ×X ´es L(ξ, y) =ϕ(ξ+β(y)),

ξ∈M(Z, X),y∈Y, ahol α, β,γ ´es ϕa 3.4. T´etelben defini´alt CM f¨uggv´enyek. Ekkor M ´es L isCM f¨uggv´enyek ´es (3.50) miatt teljes¨ul (3.51) is.

In document Asszociativit´asi ´es biszimmetria egyenletek (Pldal 63-72)