A legtöbb növekedéselmélettel foglalkozó tanulmányban ezeket a modellet nem az ál-talunk használtdiszkrét, hanemfolytonosid˝oben írják fel. Míg az el˝obbi bizonyos id˝o-pontokban (t=1,2,3, . . .) írja le a gazdaság viselkedését, addig az utóbbi minden id˝o-pillanatban jellemzi azt. Vezessük le a Solow-modellt folytonos id˝oben is, hogy lássuk a két módszer és jelölésrendszer közti különbséget!
A modell felépítése
Vállalat
A vállalat t˝oke és hatékony munkaer˝o felhasználásával állítja el˝o termékét. A termelési függvényt a (2.40) egyenlet mutatja, ahol a változók az id˝o (t) függvényében írhatók fel:
Y(t) =F(K(t),A(t)L(t)). (2.40) A termelési függvényre itt is teljesülnek a korábban összegy˝ujtött feltételek, így felír-ható az intenzív formája a (2.41) szerint:
˜
y(t) =f(k(t)).˜ (2.41)
A hatékonysági egységre jutó változókat itt is hullámvonallal jelöljük:
k(t)˜ ≡ K(t) A(t)L(t).
A munka és a termelékenység konstans exogén (nilletveg) ütemben n˝o:
L(t) =. nL(t), (2.42)
A(t) =. gA(t). (2.43)
A (2.42) és a (2.43) egyenletekben a pont a változók felett azok id˝o szerinti deriváltját jelöli, és a változás mértékét mutatja:
L(t). ≡ dL(t) dt és .
A(t)≡dA(t) dt .
A (2.42) és a (2.43) egyenletek a következ˝oképpen hozhatók kapcsolatba a korábban ta-nultakkal. Az 1. fejezetben láttuk, hogy a növekedési ráta egyenl˝o a változó természetes logaritmusainak különbségével, így a természetes alapú logaritmusát ábrázolva az id˝o-ben, a függvény meredeksége a növekedési rátával egyezik meg. Tehát ha a munkaer˝o növekedési rátáját szeretnénk kiszámítani, akkor a függ˝oleges tengelyen lév˝o változó (munka természetes logaritmusa) függvényét kéne a vízszintes tengely változója (id˝o)
lnL(t)
t lnL(0)
2.13. ábra. A munkaer ˝o logaritmusának alakulása az id ˝oben
szerint deriválni (2.13 ábra), hogy megkapjuk a meredekséget. Hasonlóképpen a terme-lékenység esetén is.
dlnL(t)
dt =dlnL(t) dL(t)
dL(t) dt = 1
L(t) L(t) =. n dlnA(t)
dt =dlnA(t) dA(t)
dA(t) dt = 1
A(t) A(t) =. g
Ha ismerjük az exogén növekedési rátákat és a változók induló értékeit is, akkor bár-melyik periódus értéke kiszámítható a (2.44) és a (2.45) képletekkel:
lnL(t) =lnL(0) +n·t, (2.44) lnA(t) =lnA(0) +g·t. (2.45) Átalakítva azokat a (2.46) és a (2.47) egyenletekhez jutunk, amik szerint a munka és a termelékenység exponenciálisa n˝o:
L(t) =L(0)·ent, (2.46)
A(t) =A(0)·egt. (2.47)
A t˝okeállomány szintje növelhet˝o beruházásokkal, deδhányada a már meglév˝o t˝o-kének használhatatlanná válik, amortizálódik, így a t˝okeállomány változása a t˝okefel-halmozási korlát szerint .
K(t) =I(t)−δK(t). (2.48)
Fogyasztó
A reprezentatív fogyasztó jövedelme konstansshányadát megtakarítja, a többit pedig fogyasztásra fordítja:
4. Kölcsönözhet˝o források (vagyoneszközök) piaca:
S(t) =I(t). (2.50)
A modell dinamikája és egyensúlya
A modell diszkrét idej˝u felírásánál már láttuk, hogy a gazdaság az egyensúlyban is nö-vekedhet, így állandósult állapota csak a hatékonysági egységre es˝o változóknak van.
Ha felhasználjuk a hányados deriválására vonatkozó szabályokat és a hatékonysági egy-ségre jutó változóink definícióját, akkor a Solow-modell alapegyenletét kapjuk, melyet már a diszkrét verzióban is levezettünk:
.˜
.˜
k(t) =s f(k(t))˜ −(n+g+δ)˜k(t). (2.51) A (2.51) egyenlet hasonlóképpen nézett ki a diszkrét felírásban is, így a 2.14 ábra is megegyezik a korábbi 2.4 ábrával. Túl alacsony induló fajlagos t˝okeállomány esetén a beruházás meghaladja a pótlás miatt szükséges értéket
s f(k(t))˜ >(n+g+δ)k(t),˜
így a fajlagos t˝okeállomány növekszik, túl magas induló fajlagos t˝okeállomány esetén pedig épp ellenkez˝oleg, a beruházás nem elég a pótlás finanszírozására sem
s f(k(t))˜ <(n+g+δ)k(t),˜
így a fajlagos t˝okeállomány csökken. Egyensúlyban a beruházás pontosan a pótlás fi-nanszírozására elég
s f(k(t)) = (n+˜ g+δ)k(t),˜ így
.˜
k=0, vagyis a hatékonysági egységre jutó t˝oke konstans.
i˜∗
k˜
(n+g+δ)k˜ s f(k)˜
k˜∗
˜i∗
2.14. ábra. A modell dinamikája folytonos esetben
A (2.51) egyenletfázisdiagramonis ábrázolható, amely
˜.
k-ot mutatja ˜k függvényé-ben. A 2.15 ábra összefoglalja az átmenetegyenlettel kapcsolatos információkat. Ha a fajlagos t˝okeállomány alacsonyabb az egyensúlyi szintjénél, akkor növekedési rátája pozitív, vagyis a fajlagos t˝okeállomány növekszik. Ha pedig magasabb az állandósult állapotnál, akkor negatív a növekedési ráta, tehát csökken. Így mindkét irány fel˝ol a globálisan stabil egyensúlyi pont felé konvergál a gazdaság.
.˜
A diszkrét esetben már láttuk, hogy az egy f˝ore es˝o változók egyensúlyban 1+g ütem-ben, a technikai haladásnak megfelel˝oen növekednek, az aggregált változók egyensúlyi növekedési üteme pedig(1+g)(1+n). Vezessük le ezeket a folytonos idej˝u felírás módszerével is!
Az egy f˝ore jutó változók –k(t),y(t),c(t),i(t)– egyensúlyban itt isgütemben növe-kednek:
Az aggregált változók –K(t),Y(t),C(t),I(t)– egyensúlyi növekedési pályán itt isn+g ütemben növekednek:
vagy másképpen levezetve
Láttuk, hogy a gazdaság mindig az egyensúlyi növekedési pálya felé konvergál, ha va-lamilyen esemény attól eltéríti. A paraméterek megváltozásának azonban nemcsak a hosszú távú hatásai lehetnek érdekesek, hanem az utána következ˝o alkalmazkodási fo-lyamat is. Nézzük meg, hogy milyen gyorsan tart ˜k(t)k˜∗-hoz, ha a változók nincsenek állandósult állapotban!
Vegyük az els˝orend˝u Taylor-közelítését2a .˜
Az egyensúlyi növekedési pálya környezetében ˜k(t)olyan sebességgel közelít ˜k∗felé, amely arányos a ˜k∗-tól vett távolsággal. Látható itt is, hogy amennyiben a jelenlegi fajlagos t˝okeállomány meghaladja az egyensúlyi értékét, akkor a
˜.
k(t)negatív, vagyis a t˝okeállomány csökken, ellenkez˝o esetben pedig növekszik. Határozzuk megλ-t, hogy lássuk, milyen gyors a konvergencia:
λ=−∂
Kihasználva, hogy a (2.51) alapján egyensúlyban s=(n+g+δ)k˜∗
f(k˜∗) ,
2Egyf(x)függvény els˝orend˝u Taylor-közelítésének képletex=x0pont körül:
f(x)≈f(x0) +f0(x0)(x−x0).
illetve hogy
k˜∗f0(k˜∗)
f(k˜∗) =k˜∗αk˜∗α−1 k˜∗α =α, a (2.52) egyenlet a (2.53) alakban írható fel:
λ= (n+g+δ)(1−α). (2.53) Megmutatható, hogy ˜y(t)hasonlóképpenλütemben közelíti az egyensúlyi értékét.
A konvergencia sebessége – példa
Vegyünk egy gazdaságot Romer (2011) alapján, aholn=0,01,g=0,02,δ=0,03 és α=1/3! Ekkor
λ= (1−α)(n+g+δ) =0,04
vagyis ˜kés ˜yévente az állandósult állapottól vett távolság 4%-ával közelít az álladósult állapothoz.
Számítsuk ki, mennyi id˝o alatt teszik meg a változók az út felét!
e−λt=0,5
−0,04t=ln 0,5
t=17,33 (2.54)
Tehát körülbelül 17 periódus alatt érnek el az állandósult állapothoz vezet˝o út feléig a fajlagos változók. Mankiw, Romer és Weil (1992) becslése alapján a Solow-modell felülbecsli a konvergencia sebességét, ugyanis a már említett három mintán (98 or-szág, ahol nem az olajkitermelés a domináns ágazat, sz˝urt minta 75 országgal, végül 22 OECD tagállam) rendre a következ˝oλ értékeket kapták: 0,0061, 0,0104 és 0,0173, melyek mind alacsonyabbak, mint a modell 0,04-es értéke.