• Nem Talált Eredményt

Solow-modell folytonos id˝oben

In document Növekedéselméletek (Pldal 49-55)

A legtöbb növekedéselmélettel foglalkozó tanulmányban ezeket a modellet nem az ál-talunk használtdiszkrét, hanemfolytonosid˝oben írják fel. Míg az el˝obbi bizonyos id˝o-pontokban (t=1,2,3, . . .) írja le a gazdaság viselkedését, addig az utóbbi minden id˝o-pillanatban jellemzi azt. Vezessük le a Solow-modellt folytonos id˝oben is, hogy lássuk a két módszer és jelölésrendszer közti különbséget!

A modell felépítése

Vállalat

A vállalat t˝oke és hatékony munkaer˝o felhasználásával állítja el˝o termékét. A termelési függvényt a (2.40) egyenlet mutatja, ahol a változók az id˝o (t) függvényében írhatók fel:

Y(t) =F(K(t),A(t)L(t)). (2.40) A termelési függvényre itt is teljesülnek a korábban összegy˝ujtött feltételek, így felír-ható az intenzív formája a (2.41) szerint:

˜

y(t) =f(k(t)).˜ (2.41)

A hatékonysági egységre jutó változókat itt is hullámvonallal jelöljük:

k(t)˜ ≡ K(t) A(t)L(t).

A munka és a termelékenység konstans exogén (nilletveg) ütemben n˝o:

L(t) =. nL(t), (2.42)

A(t) =. gA(t). (2.43)

A (2.42) és a (2.43) egyenletekben a pont a változók felett azok id˝o szerinti deriváltját jelöli, és a változás mértékét mutatja:

L(t). ≡ dL(t) dt és .

A(t)≡dA(t) dt .

A (2.42) és a (2.43) egyenletek a következ˝oképpen hozhatók kapcsolatba a korábban ta-nultakkal. Az 1. fejezetben láttuk, hogy a növekedési ráta egyenl˝o a változó természetes logaritmusainak különbségével, így a természetes alapú logaritmusát ábrázolva az id˝o-ben, a függvény meredeksége a növekedési rátával egyezik meg. Tehát ha a munkaer˝o növekedési rátáját szeretnénk kiszámítani, akkor a függ˝oleges tengelyen lév˝o változó (munka természetes logaritmusa) függvényét kéne a vízszintes tengely változója (id˝o)

lnL(t)

t lnL(0)

2.13. ábra. A munkaer ˝o logaritmusának alakulása az id ˝oben

szerint deriválni (2.13 ábra), hogy megkapjuk a meredekséget. Hasonlóképpen a terme-lékenység esetén is.

dlnL(t)

dt =dlnL(t) dL(t)

dL(t) dt = 1

L(t) L(t) =. n dlnA(t)

dt =dlnA(t) dA(t)

dA(t) dt = 1

A(t) A(t) =. g

Ha ismerjük az exogén növekedési rátákat és a változók induló értékeit is, akkor bár-melyik periódus értéke kiszámítható a (2.44) és a (2.45) képletekkel:

lnL(t) =lnL(0) +n·t, (2.44) lnA(t) =lnA(0) +g·t. (2.45) Átalakítva azokat a (2.46) és a (2.47) egyenletekhez jutunk, amik szerint a munka és a termelékenység exponenciálisa n˝o:

L(t) =L(0)·ent, (2.46)

A(t) =A(0)·egt. (2.47)

A t˝okeállomány szintje növelhet˝o beruházásokkal, deδhányada a már meglév˝o t˝o-kének használhatatlanná válik, amortizálódik, így a t˝okeállomány változása a t˝okefel-halmozási korlát szerint .

K(t) =I(t)−δK(t). (2.48)

Fogyasztó

A reprezentatív fogyasztó jövedelme konstansshányadát megtakarítja, a többit pedig fogyasztásra fordítja:

4. Kölcsönözhet˝o források (vagyoneszközök) piaca:

S(t) =I(t). (2.50)

A modell dinamikája és egyensúlya

A modell diszkrét idej˝u felírásánál már láttuk, hogy a gazdaság az egyensúlyban is nö-vekedhet, így állandósult állapota csak a hatékonysági egységre es˝o változóknak van.

Ha felhasználjuk a hányados deriválására vonatkozó szabályokat és a hatékonysági egy-ségre jutó változóink definícióját, akkor a Solow-modell alapegyenletét kapjuk, melyet már a diszkrét verzióban is levezettünk:

k(t) =s f(k(t))˜ −(n+g+δ)˜k(t). (2.51) A (2.51) egyenlet hasonlóképpen nézett ki a diszkrét felírásban is, így a 2.14 ábra is megegyezik a korábbi 2.4 ábrával. Túl alacsony induló fajlagos t˝okeállomány esetén a beruházás meghaladja a pótlás miatt szükséges értéket

s f(k(t))˜ >(n+g+δ)k(t),˜

így a fajlagos t˝okeállomány növekszik, túl magas induló fajlagos t˝okeállomány esetén pedig épp ellenkez˝oleg, a beruházás nem elég a pótlás finanszírozására sem

s f(k(t))˜ <(n+g+δ)k(t),˜

így a fajlagos t˝okeállomány csökken. Egyensúlyban a beruházás pontosan a pótlás fi-nanszírozására elég

s f(k(t)) = (n+˜ g+δ)k(t),˜ így

k=0, vagyis a hatékonysági egységre jutó t˝oke konstans.

(n+g+δ)k˜ s f(k)˜

˜i

2.14. ábra. A modell dinamikája folytonos esetben

A (2.51) egyenletfázisdiagramonis ábrázolható, amely

˜.

k-ot mutatja ˜k függvényé-ben. A 2.15 ábra összefoglalja az átmenetegyenlettel kapcsolatos információkat. Ha a fajlagos t˝okeállomány alacsonyabb az egyensúlyi szintjénél, akkor növekedési rátája pozitív, vagyis a fajlagos t˝okeállomány növekszik. Ha pedig magasabb az állandósult állapotnál, akkor negatív a növekedési ráta, tehát csökken. Így mindkét irány fel˝ol a globálisan stabil egyensúlyi pont felé konvergál a gazdaság.

A diszkrét esetben már láttuk, hogy az egy f˝ore es˝o változók egyensúlyban 1+g ütem-ben, a technikai haladásnak megfelel˝oen növekednek, az aggregált változók egyensúlyi növekedési üteme pedig(1+g)(1+n). Vezessük le ezeket a folytonos idej˝u felírás módszerével is!

Az egy f˝ore jutó változók –k(t),y(t),c(t),i(t)– egyensúlyban itt isgütemben növe-kednek:

Az aggregált változók –K(t),Y(t),C(t),I(t)– egyensúlyi növekedési pályán itt isn+g ütemben növekednek:

vagy másképpen levezetve

Láttuk, hogy a gazdaság mindig az egyensúlyi növekedési pálya felé konvergál, ha va-lamilyen esemény attól eltéríti. A paraméterek megváltozásának azonban nemcsak a hosszú távú hatásai lehetnek érdekesek, hanem az utána következ˝o alkalmazkodási fo-lyamat is. Nézzük meg, hogy milyen gyorsan tart ˜k(t)k˜-hoz, ha a változók nincsenek állandósult állapotban!

Vegyük az els˝orend˝u Taylor-közelítését2a .˜

Az egyensúlyi növekedési pálya környezetében ˜k(t)olyan sebességgel közelít ˜kfelé, amely arányos a ˜k-tól vett távolsággal. Látható itt is, hogy amennyiben a jelenlegi fajlagos t˝okeállomány meghaladja az egyensúlyi értékét, akkor a

˜.

k(t)negatív, vagyis a t˝okeállomány csökken, ellenkez˝o esetben pedig növekszik. Határozzuk megλ-t, hogy lássuk, milyen gyors a konvergencia:

λ=−∂

Kihasználva, hogy a (2.51) alapján egyensúlyban s=(n+g+δ)k˜

f(k˜) ,

2Egyf(x)függvény els˝orend˝u Taylor-közelítésének képletex=x0pont körül:

f(x)f(x0) +f0(x0)(x−x0).

illetve hogy

f0(k˜)

f(k˜) =k˜αk˜∗α−1∗α =α, a (2.52) egyenlet a (2.53) alakban írható fel:

λ= (n+g+δ)(1−α). (2.53) Megmutatható, hogy ˜y(t)hasonlóképpenλütemben közelíti az egyensúlyi értékét.

A konvergencia sebessége – példa

Vegyünk egy gazdaságot Romer (2011) alapján, aholn=0,01,g=0,02,δ=0,03 és α=1/3! Ekkor

λ= (1−α)(n+g+δ) =0,04

vagyis ˜kés ˜yévente az állandósult állapottól vett távolság 4%-ával közelít az álladósult állapothoz.

Számítsuk ki, mennyi id˝o alatt teszik meg a változók az út felét!

e−λt=0,5

−0,04t=ln 0,5

t=17,33 (2.54)

Tehát körülbelül 17 periódus alatt érnek el az állandósult állapothoz vezet˝o út feléig a fajlagos változók. Mankiw, Romer és Weil (1992) becslése alapján a Solow-modell felülbecsli a konvergencia sebességét, ugyanis a már említett három mintán (98 or-szág, ahol nem az olajkitermelés a domináns ágazat, sz˝urt minta 75 országgal, végül 22 OECD tagállam) rendre a következ˝oλ értékeket kapták: 0,0061, 0,0104 és 0,0173, melyek mind alacsonyabbak, mint a modell 0,04-es értéke.

In document Növekedéselméletek (Pldal 49-55)