Schw ingungen diskreter P unktsystem e

a) W ährend den vorigen U ntersuchungen m ehr oder weniger die Vorstellung der K ontinuität d er M aterie zu Grunde lag , und teilweise selbst in besonderen Kon­

tinuitätsgleichungen ausgedrückt w urde, lassen wir nun diese Annahme fallen, und gelangen so zu einer Klasse von Gleichungen, welche für die E rkenntnis der N atu r des Lichtes von höchster Bedeutung wurden.

W ir gehen also hier von der D a lto n s c h e n Hypothese der Atomistik aus, und betrachten den körperlichen Raum als mit Molekeln und Ätherteilchen erfüllt.

Durch eine Äthermolekel legen wir das rechtwinklige Koordinatensystem , und nehmen an, da>fs zwischen den Ätherteilchen der Masse m, K räfte wirken, welche durch f ( r ) , zwischen diesen und den Körpermolekeln m y K räfte, welche durch /',( r , ) d arstell­

b a r seien. In einem so definierten Systeme wird Gleichgewicht herrschen, wenn ist:

^i>mf(r)— fi(rt) — = 0

r N ym f { r ) yr + V ) « , f | (rt ) ^ = 0

^ m f i r ) 3 + V m , /',(/-,) = 0

(166)

E rte ilt man nun den Massen m und m t die unendlich kleinen, aber sonst willkürlichen Elongationen £, rj, £ und £,, t]t und £,, so werden die gegenseitigen Distanzen in die folgenden überführt:

( r t + J r t ) 2 — (x t + f , — £ ) 2 + (y i -f- rjt—y ) 2 + (s, + ^ — £) 1 . . n 0 7)

(r 4- J r ) 2 = ( x + 4- («/ 4- ^ rj)2 4- (z 4- J

wobei wegen des physikalischen Zusammenhanges- des Systems ist:

v. K ft v e s l i g e t h y , G run dzü ge e. th e o r e t. Spektralanalyse. ' '

66 II. Schwingunffglelire.

d S 5?

dtj dt] dt]

a t d t

^ ~ X ~Fx + V f r j + Z~tz

(1 6 8 )

V ernachlässigt m an Glieder zweiter Ordnung,’ so werden die Ä nderungen d er M olekular­

distanzen einfach:

J r = — [x + y dt] -|- s J Q

\

Jrx = “ [>i (?i—f) + Vi ivi—i) + *i(k—Ö j

(169)

(170a)

r i

K ürze halber führen wir noch folgende Definition ein:

f f i > _ fW . f J ü l _ fl(r i)

woraus dann m it dem vorher festgesetzten G enauigkeitsgrade folgt:

f ( r + ^ /r ) = f ( » - ) 4 - f 1( » - ) ^ ; f1( n + ^ ) = f1(r i) + f i V i ) ^ i ■ • • (170b) Die Aufstellung der Bewegungsgleichungen der Ätherteilchen u n ter Einflufs der durch S törung des Gleichgewichtes geweckten E lastizitätskräfte ist nun leicht. Sie lau ten :

d 2' rr , , \ X + J * . X ? s r , v + — ?

3— = > »if r + i r ■ ■ - 4- >■»*[

i\(i\

— —-——

<9²j? /■/ , * \V + /,rl , e r , + — V

-srrf = ^ m f ( r + J r )■--- ^ 4- ^ f\ (rt l - ^ r , ) ——⁷—⁷—

/ v d m J r i + J r 1

dK

"v? r/ , ^ N«4-ii: , ,

a

\*i + £r— £

= > f ( f + ^ ) 7 7 — + > , mi A (r i + ^ r i ) ^ r 3 r —

4- z/r,

(171)

verwandeln sich aber k raft der gegebenen Definitionen (170) u nd der Gleichgewichts­

gleichung (166) in die folgenden:

, | 1 f( r ) J l 4-“V m f‘(r) [* 4- y 4- 0 -® + ’V w 1 f j f o ) ^ — f )

+2 m* fi ‘(r *> ^ . ( ? i - $ + v M i - v ) + *,(& - o ] f ;

4 - ^ m f ‘( r ) [ x ^ | 4 - y ^ 4 - 2 y 4 - ^ m , f , ( r 1)(jy1 - tj)

+ ^ t fiKrt) [*i(?t - s) + 2 /i(^i — v) + ^i(fi — 0] ~

— S. f(r)^ /c 4 - ^ m f •(?-) [x J l -h y Jrj z J'Q — 4 -^ j? )«i ft (>*1) (Ci - 0

Cf AM ^

+ ^ . m i fl ‘( ^ l ) [ > i ( £ i — I ) 4 - y , ( ^ — T j) + Z \ ( X i — § ) ]

7

-(172)

die sich durch Einführung der folgenden Definitionen noch kürzer schreiben lassen.

Setzt man nämlich:

A f(r) f ‘( r )~ A ‘ = — f4(rt ) - ' N V i , ft ‘( r ,) ~

-3. Schwingungen diskreter Punktsysteme. 67

C =2 ^ f ‘( r ) ^ A t = B

B t m f(r) f >(r) ~-Ci

A 2 ~ C B 2 = C\

G-i - " S - m f(r) f »(»•)

'2£> = V ^ r V C r O ^ -c » - _ 2 »h f . V i ) ^ -

' ^ - ß1

.B, *= — ^ > « 1 h ( r ,) — ^ 7% f , '(»-,) ^ r C i ^ - V m , f / C r O ^ i

«■« ^»1

A1«=C’ 1

B 2' = C t l

Q ' = — fi O’i) — fi V O ?

-(173)

und substituiert diese Ausdrücke in (172), so kommt einfacher:

^ - A J § + B Jn + C J ^ + A * ( § - g t) + B 1 ( * - , , ) + (7‘ (C -& )

^ ^

zfg

+ Bx

Jrj

+

Ct

j£ + Al XI- S,) +

B t

*(>?~ Vi) +• Q : l(£~ &)

^ = A , J % + B 2J t ] + C ^ M - ^ a»(S— & ) + -B2‘(9 — 7i) + C2* a - ; , )

(174)

wo nun die Gröfsen A , B . . . C 2l Funktionen der Lagen — nicht ab er der Verschiebun­

gen — der einzelnen M assenpunkte bedeuten. Beschränken wir uns aber au f den in d e r N atu r wohl am häufigsten vorkommenden Fall, dafs ein isotroper, homogener Körper vorliege, so trete n beträchtliche Vereinfachungen auf. Da nämlich in diesem vollkom­

mene Symmetrie der ponderablen und inponderablen Partikelchen angenommen werden mufs, so müssen die G lieder, welche die einzelnen Koordinaten in ungeraden Potenzen enthalten, verschwinden. E s ist also:

Ü = C = < 71 = P 1 = C1 = (71‘ = 0

A — B t = C2 = m, f(r) + f*(r) . r = x

A ' = B t '= C o l = — 2 m t f ,( r ,) — J ^ f , '(»-,> t — x1

w odurch endlich (174) übergeht in:

- ^ r = x ^ + z3*S 1( c - | 1)

—- ^ , x j q + x i ( r j - r j i )

(175)

(176)

in welchem Systeme nun die nach verschiedenen Koordinaten genommenen Ausweichungen von einander unabhängig sind. Es wird daher fortan genügen, eine einzige K oordinate zu behandeln.

9*

68 II. Schwingungslehre.

Ähnlich h at die Erscheinungen des Lichtes schon B r i o t ¹ untersucht, doch sind weder die vereinfachten, noch die vorhergehenden vollständigen Gleichungen m it dessen Entwickelungen identisch, da sie nur das auf durchsichtige K örper auffallende Licht berücksichtigen, hei welchen Beschränkungen die Ausweichungen der ponderablen K örper­

teilchen als verschwindende Ä therarbeit b etrach tet werden dürfen. W ir legen unserer Definition des Spektrum s nach gerade auf diese Schwingungen ein Hauptgewicht.

Giebt man der Schwingung der Molekel die Form M assenverteilung, infolge welcher ungerade Potenzen der Koordinaten verschwinden m üssen:

Die Vergleichung dieser Ausdrücke mit den üblicheren der Schwingung (90) t rnx -¹- n y 4- p z \

T

(182)

= r sin 2 7i

in welchem m, n, p die Cosinusse der Winkel bedeuten, welche die Axen m it der N o r­

malen der Wellenflächen einschliefsen, erweist die R ichtigkeit folgender Gleichungen:

1 Theorie m athem . de la lumiere.

3. Schwingungen diskreter Punktsysteme. 69 2tc

a = - y - ; (p = ux + üy

WZ-lU 'ol

m x +- ny + p z n_

--- 1 i n

to i (183a)

m = ?r-> 2 n 2 n > P = tr~l n

oder unter Berücksichtigung der Beziehung m- + n- -+-j^?2 = 1 auch der Gleichung

X - 2n (183b)

y u2+ ö2+ u' 2

in welcher A die W ellenlänge, T die Schwingungsperiode bedeutet.

Mit Hilfe dieser Relationen erkennt m an, dafs die betrach teten Schwingungen in einer der Ebene \\x + *>y4- = 0 parallelen Ebene vor sich gehen, da alle Ä th er­

teilchen, welche in der gleichen Entfernung

f _ v.x + 'cy + ttw y u2 + D- + >u2

von dieser Ebene stehen, die gleiche Phase besitzen.

Diese Gleichungen bedingen die folgende Transform ation der Beziehung (180):

[ ¹ / 2 n J V ¹ ( 2 n J \ *

s ] + r ^ ^ p r ]

-Bezeichnet c die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Schwingungen, u0, al .. aber nu r von der N atur des Mediums abhängige K onstanten, so wird die vorstehende Gleichung

c² = a>0 + + + •• • ... (184) an welche wir noch später anknüpfen müssen.

Zweifelsohne sind die Molekeln im Innern des Körpers weniger frei, als in näher zur Oberfläche gelegenen Schichten, und schon infolge der Verschiedenheit der Auf­

einanderwirkung müssen wir annehm en, dafs die Gröfse a zwischen zwei einstweilen noch willkürlichen Grenzen a / und a.,' veränderlich ist. Berücksichtigt man dies, so werden die Gleichungen allgem ein:

0 0 8 (ff + Xi — ot) + x ' y ^ i ,S' s i n ((f’ + X i — a t ) cos ((f —at) + x So

► -r= -= r 6 sin (ff' + — a t )

C s^:i e 1 1 cos (<p + yz — at) + e ' ‘ ,S / sin (<f' + / 3' — a t )

(185)

indem man n u r das Bereich der reellen Schwingungen der U ntersuchung unterzieht.

W ir transform ieren diese Gleichungen noch, jedoch u n ter Weglassung der leicht zu berücksichtigenden F aktoren M ' und der Exponenntiellen, indem wir bilden:

£ • V ■ *1 ■ £ • C . S , £ n

s m Zi> liT" 8111 l i .— ~ s m / 2, ~ sm Z i— — s in7;i, — cos/ 2 — -57- co s/j.

- g - s i n *

2U ²l2 " “ Aa S[3 0i“ '-2’ ä i« * “ « — ^

Der W ert der hingeschriebenen Ausdrücke führt uns zur Kenntnis der Polarisation unserer Schwingungen, indem ihre Kombination die beiden Gleichungen liefert:

70 II. Schwingungslehre.

« i 1 + SUM- 2

Ji L

21,21, c o s ( z ! — Jfe) — s i n 2 (Za — Z i ) + ( ^ ) s i n " O ' + Z i o ' t )

(^{•^3 \ 2}siu²(<p' + xz - o't) H- 2 s i n f e —Z i)sin (</>+ z 2~ at) sin (<?'+ Z t '— ff'O

— ² iS sin(z²—x ,)sin (<p+yA— o t ) Sm ( f p '+ y ^ — a t )

— 2 ^ | ^ c o s ( z2-Z i)sin(9>'-lyA'—o't)ain{(p'+/2' - o ' t ) (186)

1 £

s i n ( z2 — x 3) + ^ s m ( z21. 3— Z i ) - i - c r sin ( zV 1— Z 2 ) = ä r s i n ( z2— z 3 ) s i n ( g > '+ Z i '— o 'O + u r s i ü(Xz— 7a)sin(«p'+Zz'— ff'0

a .

+ 33,5^ s i n ( z i —x2) s i n ( y '+ x 3' — ö'O . (187) Die Am plitude der Schwingung tr itt als willkürliche K onstante auf, die nicht aus dem Problem e selbst lösbar ist. W ir belassen sie noch als solche, und drücken durch sie sogleich die lebendige K raft des Systems aus. D a aber unser Auge, wie alle physi­

kalischen A pparate in unendlich kurzen Perioden vor sich gehende V eränderungen als konstante Phänomene auffassen, müssen wir aus den Gleichungen alles entfernen, was von der Zeit abhän gt, indem wir M ittelwerte des Bewegungszustandes für eine so lange Zeitdauer entwickeln, welche beliebig nahe als M ultiplum aller in der Strahlung auf­

tretenden Perioden b etra ch tet werden kann. Bezeichnet m an diese Energie m it L , so i s t : m <91 \*

( 3 + ' S

d£t dt

<fyl

c t

d u

St (188a)

worin bezüglich das erste und zweite Summenglied nach (185) und (177) zu berechnen ist. Man findet:

21, ff s in ( y -i-% — a' C0S(V‘' + y.'—a't)

dt ___

wobei in dem ersten Ausdruck bezüglich der F ak to r c !> st und e l>'~ s t unterdrückt ist. Summ iert m an sogleich über alle drei K oordinaten, wobei nun 21 und Sd die Am­

plitude selbst sein m ag, so kom m t:

B ^ ' siu (<p' + x — o't)

L - f rn (188b)

wobei die letztere Summe n u r über jene Glieder erstreckt werden darf, für welche ff' = ff ist.

Die Gleichungen (186) und (187) sprechen das Polarisationsgesetz der b etra ch ­ teten Schwingungen aus. Die Schwingungsebene fällt zusammen m it der Schnittfläche eines mit der Zeit periodisch veränderlichen elliptischen Cylinders und einer ebenfalls periodisch veränderlichen Ebene.

b ) W ir wollen nun diese Aufgabe, jedoch m it Übergehung der Gleichungen, welche die Wellenlänge (184) und Polarisation (1 86 , 187) ausdrücken, noch verall­

gemeinern, um bei späterer Anwendung einfach d arau f hinweisen zu können.

W ir betrachten nun die körperliche Molekel als bestehend aus von zugehörigen Ätherhüllen umgebenen Atomen, deren Gesam theit eine zweite Ä theratm osphäre um

-3. Schwingungen diskreter Punktsysteme. 71 schliefst, die kontinuierlich — oder an f irgend eine andere Weise in den freien Ä ther des Mediums übergehen mag. Eine P artikel dieser Sphäre habe die Masse m , und die K oordinaten x, y, z. Die Atome mit der zugehörigen Ätherhülle besitzen die Masse m , die Koordinaten x , y , z . Auf die Ätherteilchen wirken schliefslich noch die n ah e­

liegenden Molekeln m " (x " , y " , z") als Ganzes betrachtet, ein. Legt m an den K oordinaten­

anfangspunkt in den Schwerpunkt der b etrach teten Molekel, so besteht im Zustande des Gleichgewichts die Gleichung:

f t { r ) X—^ + ^ m " f„(r„) - ■ X • • • (189) wenn Ä ther, Atome und Molekeln m it den K räften f(r), /i(r'), f„(r") au f den Ä ther ein­

wirken Zwei ganz analoge Gleichungen bestehen auch für die beiden ändern Koordi­

naten, so dafs es genügen w ird stets anzudeuten, wie jene aus dieser hervorgehen. Die Koordinatendifferenzen x n—x, y n—y, zn— z der ersten Summe wollen wir von nun an Einfachheit halber ohne Index aufschreiben, was keine Irru n g veranlassen kann, d a j a nie zwei Indizes dieser Differenz gleich sein können.

E rteilt m an nun den hier vorkommenden Mafsen die beliebigen, ab er unendlich kleinen Elongationen rj', £’\ i / \ £” » so ist der Ausdruck der durch die erweckte E lastizität erzeugten Beschleunigung:

<52? ^ „ , . x — x + / l $ ’t t ’ i . ^ x — x V i — %

+ 2 j m f"(r + * r ) /fj r - . . . . (190) V ertauscht m an hierin die x und entsprechenden $ m it bezüglich den y und z und zugehörigen Verschiebungen, so erhält man die analogen Gleichungen der beiden übrigen

V erschiebungskomponenten.

Nun sei m it Rücksicht au f die unendliche Kleinheit der vorkommenden E longationen:

t('l + J r ) ~ f/(r) + = + ’>

^ 7 ' X d P

° + ... (19]>

F ü h rt man dies in (190) ein, indem man zugleich die Gleichgewichtsgleichung (189) berücksichtigt, so folgt:

-r-p = 2 m(p(r)J^ 4- 2 m<{\r)(x— x)4r+ 'lE.m </■,(/)(§'—§) + ^,m'(f'l\r’)(x—x)Jr’

+ — £) + ^Lm'<p„'(r")(x’—x ) J r "... (192) Es sind aber und die entsprechenden Änderungen der übrigen Komponenten in (168) gegeben, und die Änderungen der in B etracht kommenden Distanzen w erden:

4 r = [_(x— x ) J § + ( y—y)Jrj + (^z—^z) J^l]

J r = y + (y'— y ) W — v) + 0 ' —* 0 (£’—£)]

J r ”= 4 r [ ( * " - x ) ß " - £ ) + (y"— y) (rj'— rj) + ( / ' — z)(V'— £)]

deren Berücksichtigung in (192) diese Gleichung in die folgende verw andelt:

(193)

72 II. Schwingungslehve.

= N « ( p ( r ) 4 + ^ m ' y ! ( / ) ( § ' — §) m ” tp„(r" ) (£"— £)

m <j' ( r ) - — — [ ( # — £ + ( v — y ) ^ rl + ( 2 — # ) ^ £ ]

+

2

^™Vi'

0

' ) ^ [ ( a /- * ) ( r — 5) + & - y ) < v ' - v ) +

0

'- * ) ( S ' - Q w"y,/(r") ^ ^ [(«"—»)(§"— 5) + ( y ' — y)(r"—ri) + {s"—*)(£'— 01 • O94)

W ir führen nun analog dem früheren (173) die folgenden Abkürzungen ein:

A = N « i gi(c) + 2 » 5 5 ' ( r ) - - p - A' —

A " * „ (> ") + 2 ' “ "

B - N » f X r ) ^ > ä j z A f f _2 » ' t , V ) {X' ^ - y

'-b” - ² »>" v „ V ) v ' - t y r = £ _ n u A x — x ) ( s — e) n , "V^ , ,, (%(*'— *)(*'—*0 c =

2

» y ( f) - — ~--- - ° ^ i m ^ i ( r ) ---

7

---C = <f„ (r ) -i---— f ,,

A i = B A t '= B

A " = B"

= ^ m ( f (r) + ^ m < / > '( r ) ^ - — — 8 / = ^ « / y , ( / ) + ^ m ? , ' ( / ) — - -r —

^ " - 2 - ‘" > ^ ' ) + V/f'(»■") <y~7S'y>

-/ n(²/ —y ) ( z — s) n < "V? ' < \(y— y ) ( z — z) Ci = >»w y ( r ) -— --- Ct = > w ? ! ( r ) -— - ---i

A 2= C

b2==

ct

A J - C' A 2"= C"

/? ./= c y b2 '= c\"

Co = ^ > m (f ( r) <['(r) —— C2 = <fv( r ) <f,'(r’) —— r - —

C2" = ^ w " <?,/»'") + > > " <p„\r")— y r

r X ? " '(

- (r

. (195)

und können nun (194) explizite für alle drei Yerschiebungskomponenten in folgender Form schreiben:

3. Schwingungen diskreter Punktsysteme. 73

= A 4% + B /Ir, + C J Z + Ä ( £ - S) + B ' (r/—rf) + C (£' - £ + A " ( § " - ? ) + B ” ( r / ' - V) + C " ( r ~ 0 _ A . J c + B . J r , + 0 ^ + A t\ t - ö + 3 / 0 ? '- » / ) + C /(£ ' ^{- 0}

8t-(196) +

A/ Xr - S)

+

Bi"(v"-rr])+

C, "(£"-£)

■ A ,J% + B 2Jrj + C2J t + A 2\ r ~ ?) + B 2 {t]— jy) + C2'(? '— 0 + A ' x r - ? ) +b, " ( V" - V) + c 2' \ t ' - o

Da die Ä therhüllen allmählich in den intram olekularen freien Ä ther übergehen, zweitens die Zahl der benachbarten Molekeln eine sehr gröfse, im allgemeinen auch ihre W irkung, des gröfseren Abstandes halber nur klein ist, dürfen wir fü r diese beiden M assenarten vollständige Hom ogenität voraussetzen. Nicht so für die Atome, deren Zahl in der Molekel eine sehr beschränkte ist. Dies liefert die schon von früher h er bekannten Gleichungen:

A = B l — C2 = x, A "

B = C = Ct = 0 B ' und damit wird einfacher:

1" - 2V ' - < V ... 097)

S " = < 7 " = c / ' - O J '

= X J $ + x"(g" - $ ) + A ( r - g ) + B ' ( r / - , ) + C ’ (C - 0 d t2

+ ? ? )+ .4 /( g '- S )+ I?1' ( r / - J?) + C V ( £ '- D - x z / c + x " ( r - o + A ' ( r - ?) + ³ /⁰/ - i?) h < v ( ? r - o

(198)

E s b ra u ch t wohl kaum in E rinnerung gebracht zu w erden, dafs die Glieder Ä ( ' g— £ ) . . (?,'(£'— 0 eigentlich Summen von der Form — ?) ■ • vorstellen sollen, da alle in der Molekel befindlichen Atome berücksichtigt werden müssen.

Um diese schon sehr komplizierte Differentialgleichung zu integrieren, müssen wir erst die Koordinaten zu sondern suchen. Zu dem Ende differenzieren wir die erste

82ri 8 2^l

Gleichung zweimal nach t, und substituieren die W erte > -*—£ aus den beiden übrigen Gleichungen in dieselbe ein. Dieses V erfahren der zweimaligen Differentation nach t der ersten Gleichung und Einführung der rechten Seiten der beiden übrigen Gleichungen wiederholen wir so oft, bis so viele Differentialgleichungen in 5 erhalten sind, als zur Elimination d er übrigen Koordinaten nötig sind. Besitzt also die Molekel n Atome, so haben w ir, da j a die als gegeben anzusehen sind, drei Gleichungen m it drei abhängigen und einer unabhängigen Variabelen. W ir erhalten also durch das erw ähnte Verfahren stets eine Gleichung sechster O rdnung in den einzelnen Koordinaten von der Form :

d*$

d t6

dg

a* t t + a > ⁰, 0ut (199)

die ohne weiteres in der angegebenen Form integrierbar ist, und wo a je eine der sechs W urzeln der Gleichung

« 6 + a , a 5. . + a 5a + a6 = 0

bedeutet. Freilich ist das V erfahren im allgemeinen nicht so einfach, wie h ieran g ed eu tet

▼. K ö v e a l i g e t h y , G rundzüge e. theo ret. Spektralanalyse. 1 0

74 II. Schwingungslehre.

w orden, da die Elongationen auch wegen der Glieder dr\, J'C, Funktionen d er Koordinaten sind. Die Berücksichtigung dieses Umstandes ist aber nicht schwierig, da in Beziehung au f diese Glieder die Elongationen der einen Komponente nicht von denen der anderen abhängen. Durch die aufeinanderfolgenden Substitutionen geht jedoch dieser Vorteil verloren, und da wir für V - • d c keine weiteren Beziehungen haben, ist

o x dz

auch das angeführte Elim inationsverfahren so lange unanw endbar, bis nicht noch weitere Gleichungen — etwa Kontinuitätsbedingungen zu (198) hinzugefügt werden.

W ir wollen aber diesen Weg der Lösung nicht weiter verfolgen, d a wir sogleich einen m ehr direkten einschlagen w erden, und gehen nun auf die eigentlichen Atom­

schwingungen über, die j a im Vorigen als bekannt angesehen werden m üssen, und von denen auch die Eigenschaften der Atherschwingungen in erster Reihe abhängen müssen.

Legen wir den Anfangspunkt der Koordinaten x , y, z in den Schw erpunkt d e r Molekel, und drückt sich die gegenseitige Atom Wirkung durch mrm sF ( r rt) a u s , so ist das Bewegungsgesetz irgend eines Atoms in einer w-gliedrigen Molekel gegeben durch die Gleichung

mP = 2 F ^ ... (200)

1

Läfst m an die Koordinaten des Atoms infolge seiner um die Gleichgewichtslage be- oshriebenen Schwingungen in * + 5 , y + rj, z-I-L übergehen, so wird auch:

• ' ' ' < 2 “ >

1

wo nun q die infolge der Schwingungen eingetretene V eränderung der gegenseitigen Atomdistanzen bedeutet. Da wir anzuuehmen gezwungen sind, dafs die Atom kräfte m it gröfser werdenden Entfernungen sehr rasch abnehmen, so kann q gegen r nicht endlich sein, ohne Dissoziation hervorzubringen. W ir wollen aber nicht n u r das E intreten der Dissoziation nicht voraussetzen, sondern von den Schwingungen als zu physikalisch dem ­ selben Körper gehörend auch dann schon absehen, wenn n u r eine beträchtliche Lockerung der Atom verkettung und des M olekularverbandes — Disgregation — zu erw arten ist. Demzufolge ist q gegen r unendlich klein, und wir dürfen überhaupt Glieder höherer O rdnung als der ersten in den Elongationen vernachlässigen

Entwickelt man nun diese Gleichung ganz analog wie die früheren (166) — das Verfahren braucht nicht neuerdings aufgeschrieben zu werden — mit Ausnahme von Symmetriebeziehungen innerhalb der Molekel, die hier der geringen Zahl der Atome halber ausgeschlossen bleiben müssen, so gelangt m an endlich zu folgenden Gleichungen:

»

d 2n„

dt^ - N ( i '$ + B ' v -t-C'C) . . . . (202)

3. Schwingungen diskreter Punktsysteme. 75 in welchen A , A ' .. C" nur Funktionen der Koordinaten sind. Da aber die Koordinaten d er Bewegung des Atomes halber auch die Zeit enthalten, so sind sie zugleich Funktionen d e r unabhängigen Variabelen. Glücklicherweise läfst sich aber die Methode der M ittel­

w erte auch hier verwerten. Besitzen nämlich die Atome veränderliche K oordinaten, so ist einleuchtend, dafs diese n u r periodische Funktionen der Zeit sein können, oder aber m it beliebiger N äherung als solche angesehen werden dürfen — wie dies z. B. (wir werden diesen Fall später zu besprechen haben) auch bei der fortschreitenden M olekular­

bewegung von Gasen in festen Hüllen der Erfolg lehrt. Denn wäre dem nicht so, so könnte der b etrach tete Stoff m it seinen uns bekannten Eigenschaften als solcher nicht bestehen. D a nun ab er auch leicht einzusehen ist, dafs die Periode dieser K oordinaten­

veränderung gegen jede endliche Beobachtungszeit verschwinden m ufs, so können wir u nter den Koeffizienten A . . C " einfach deren nach der Zeit genommene M ittelwerte verstehen, und dies umsomehr, als uns auch in den Schwingungen nicht so sehr ihr zeitlicher V erlauf interessiert, als vielmehr deren konstante Elemente.

In dem Falle ist es aber erla u b t, das früher erw ähnte Elim inationsverfahren zu benutzen, m it welchem wir für jede Komponente der Verschiebung eine D ifferential­

gleichung ⁶n - te r O rdnung erhalten, die weil in der Form

enthalten, stets integ rierb ar ist, und allgemein 6 n-Schw ingungen liefert. Die Zahl d er­

selben reduziert sich aber einfach auf n — wie dem auch bei der angenommenen Kleinheit der Schwingungen sein mufs — wenn man bedenkt, dafs stets drei Komponenten in eine zu kontrahieren sind, und dafs wegen der n u r in paren Ordnungen vorkommen­

den Differentialquotienten das Q uadrat der Schwingungszahl eine einfache Schwingung giebt.

Wie m an ab er sieh t, führt selbst dieses V erfahren schon bei n u r wenig zu­

sammengesetzten Molekeln au f solche technische Schwierigkeiten, die, wenn auch über­

w ältigt, n u r wenig übersichtliche R esultate liefern könnten. W ir müssen daher noch einige — übrigens ganz in der N atur der Sache gelegene Vereinfachungen einführen.

W ir beobachten nie einzelne Molekeln, sondern stets ein aus dem Körper heraus­

geschnittenes Prism a, dessen Höhe allgemein der Dicke des K örpers, und dessen Quer­

schnitt der Öffnung des Spektroskopspaltes (oder der Pupille) gleich ist. In einem solchen Prism a von endlichem Raum inhalte befinden sich nun jederzeit eine sehr gröfse Anzahl von Molekeln. Da nun die G esam tintensität eines solchen Prismas gleich ist der In ten sität einer Flächenschichte, deren Dicke durchschnittlich n u r eine Molekel en th ält, [m ultipliziert mit einem konstanten F a k to r, der von der Zahl und dem Ab­

sorptionsvermögen der Schichten abhängt, so ändert es an d er Untersuchung, abgesehen von diesem konstanten F aktor nichts, wenn wir unsere Aufmerksamkeit gleich auf das ganze P rism a ausdehnen. Legt man durch jede einzelne Molekel, welche gerade die Sehlinie passiert — denn wir haben es hier ganz allgemein m it Dämpfen und Gasen zu th u n , da ein Zurückgehen bis au f die Atome bei festen und flüssigen K örpern nicht nötig erscheint — ein dem früheren analoges Koordinatensystem , so d a rf angenommen werden, dafs im M ittel auch folgende Gleichung gelten werde:

n

(203a) 10*

76 II. Schwingungslehre.

welche aus (201) hervorgeht, wenn darin analoge Definitionen wie (178) m it den Be­

dingungen (175) eingeführt werden. F ü h rt m an die Summationen a u s , so erh ält die Differentialgleichung die F orm : ,

d %

dt- ^! + a 2^2 -I---- 1- ap§p H ---- t-a»fn (203b) wo nun den gem achten Annahmen zufolge ai , a2, . . an als K onstante b etra ch tet werden dürfen.

Zu eben denselben Gleichungen gelangt m an auch durch einen anderen Schlufs;

denkt man sich die Aufeinanderfolge der Molekeln, so werden wegen den verschiedenen und gleich wahrscheinlichen Richtungen der Schwingungskomponenten in der Gleichung

a* - | 2 + 7* + g2

wo a die Elongation überhaupt bedeutet, die nach den K oordinaten geschätzten E lon­

gationen im M ittel einander gleich sein, oder wenigstens die Beziehungen g = aa, rj = ßa, C = ya.

in welchen a , ß , y K onstante bedeuten, befolgen. W ir brauchen dann s ta tt der drei Koordinaten deren blofs eine zu berücksichtigen, und erhalten s o :

■

d %^{^ 2} '

=

Oi\l

4-d,2?2 "t" '

d %

' + ®¹» bn dt^{2 a 2i} b l + ®22 ? 2 ’ ' ‘ "t" n 2n Sn

d t2 ' a nl b l + a ni Üi + • • • +

(204a)

deren Lösung nun einfach zu n Gleichungen 2 n -te r Ordnung füh ren, deren Integrale unm ittelbar aufgeschrieben werden können. Die Zahl der willkürlichen K onstanten b eträ g t demnach 2n-, w ährend in der T hat deren n u r 2n vorhanden sein sollen. D araus folgt, dafs 2(m—1)» Beziehungen zwischen den Integrationskonstanten bestehen müssen.

W ir wollen nun diese Rechnung für die r -te Schwingung andeuten. Die Gleichung

/72t rt/*lbi rtf²b² “h • • + Chrn^n...

u. br

HF

^{. (204b)}

ist zweimal nach t zu differenzieren, wobei die rechts entstehenden Differentialquotienten zweiter Ordnung aus (204) einzusetzen sind. Die Koeffizienten der einzelnen V er­

schiebungskomponenten werden dann:

,74 s

In der Gleichung für

(4)

“ rl w a.

® ria n + a , - 2 % 1---

f-In der Gleichung für d 6l-dt6 :

a , \a vi + a v/ho_ H----!- a rn a n i

(4)

(205)

3. Schwingungen diskreter Punktsysteme. 77 behandelte Gleichungssystem entstanden, erhalten wir für das Potential der vorkommen­

den Schwingungen den Ausdruck:

P = ^ a ^{? i 2} + ^ V + - - - + 2 ^ la§¹?²-l- 2 A i3?t £3 + • • • . . . . (208) worin At l , . . . A„—i, A n von den Verschiebungen unabhängig sind. Unsere Gleichungen der Schwingungsbewegung lassen sich also auch in der einfachen Form schreiben:

d r - «'*** * * ...(209) Elimination der n — ¹ Beziehungen übrig bleibende Gleichung eine identische sein*

1 Sitzungsber. d. k. A kad. d. W issensch. W ien. LXVI. II. A bth. 1872.

78 II. Schwingungslelire.

d. h. die D eterm inante der n linearen Gleichungen mufs Null sein. Aus der letzten Gleichung erhält m an dann n W erte für a2.

Es seien nun ar und as zwei W urzeln dieser Gleichung, es gelte also s " <9P0 * ■ dPo }

— a / m . a , = -5— , —a 2 m 2 a 2 = n > • • •

f p . ... (²>²a) M ultipliziert m an die Gleichungen der oberen Reihe bezüglich m it a{', a2 .. die der

unteren m it a , , und subtrahiert, so kom m t:

O^{, 2} ~ O « i' + m ,a ,a 2 + • •] = = | ^ « i ' + « ²' -+--- ~ - |A - «²- - (^{2 1 2}b)

Nun ist aber P eine homogene Funktion zweiten Grades, für welche bekanntlich folgende Beziehungen bestehen:

d X f „ t d X \

■3 ^ “f“ j ä-o I" * * j r “¹“ j / ^{*^2} * *

a x { ax2 d x i a # 2

cZX cZA. o v

^ _;ri + d^ X 2 + " = 2 X

Ci j W ^ 2

wenn X ' aus X h erv o rg eh t, indem man an Stelle von x u x 2 .. trete n läfst x t \ x 2 .. . Die rechte Seite der Gleichung (212b) ist also N ull, und da die a zwei verschiedenen Lösungen angeliören sollten, so mufs sein:

+ m 2a2a2 + • • - = 0 . . ...(213) und diese Relation gilt für zwei beliebige Systeme der % , die zwei beliebigen W urzeln der Gleichung in a2 angehören. Aus dieser Beziehung folgt sogleich, dafs keine der Gröfsen a komplex sein kann. Denn wäre dies der F all, so müfsten auch die zugehörigen a konjugiert sein. Ib r Produkt wäre dann eine Summe von Quadraten, welche n ur durch das Nullwerden jedes Gliedes für sich verschwinden könnte. Dafs die a nur reell, also a2 n ur positiv sein können, beweist übrigens auch die Bedingungs­

gleichung für die Koeffizienten a (212a). Multipliziert man sie der Reihe nach mit a „ a 2, . . . und addiert, so kommt:

T)

— a2(a, 2ml -t- a22m2 + • •) = ^{3 — 2} + -g—5 ^{« 2} + • • = 2 P⁰ . . . . (214) Cttj 00/2

P0 bedeutet die A rbeit, welche die auf die einzelnen Punkte des Systems wirkenden Kräfte leisten, wenn die Punkte aus ihren Gleichgewichtslagen um | 4, . . . verschoben werden. Diese Arbeit ist aber wesentlich negativ; die linksseitige Klammergröfse kann nicht negativ sein, also mufs a2 positiv sein.

W äre nun aber die Auflösung des Gleichungssystems (209) in der Form gegeben:

f, = A t sin at, £ 2 = A 2 sin at, • ■ • ... (215) so müfste m an ganz so wie früher finden:

m xA xA / -\-m2A 2A 2 + •• = 01

m, a / A t + m2 a2 A 2 + • • = 0 J '

Die vollständige Lösung lau tet also:

5, = A x sin at + at cos ot + A t ' sin o't + at ' cos a t- 1-|

= A 2 sin at +- a2 cos ot +• A 2 sin o't -t- a2 cos o't-\--- ( „ / • • • 1 i a )

= A u sin ot + an cos at A n' sin o't + a't cos a t H---j oder der Form nach den früheren Ergebnissen angepafst:

3. Schwingungen diskreter Punktsysteme. 79

= au sin a ,t + ²lu cos a, t + a¹² sin a2t ⁴- ²lla cos <rJ-\--- h au sin ont h ²l ln cos ont

(217b )

= anl sin fi,t+ 2lnl cos ay t+ anisin u2t + 21^ cos <>2t + - • +- ann sin a j + 2lnil cos aat u n d die dabei bestehenden Bedingungsgleichungen sind:

= anl sin fi,t+ 2lnl cos ay t+ anisin u2t + 21^ cos <>2t + - • +- ann sin a j + 2lnil cos aat u n d die dabei bestehenden Bedingungsgleichungen sind:

In document theoretischen Spektralanalyse. Grundzüge (Pldal 83-200)