Sík- és térvektorok, egyenesek
3.1. Síkvektorok, egyenesek a síkon
Az alábbi eredmények minden további meggondolás nélkül adódnak az el˝oz˝o fejezet általános eredményeib˝ol.
Mindazonáltal javasoljuk az Olvasónak annak átgondolását, hogy a most következ˝o állítások mely korábbi állításokon múlnak!
3.1. Állítás: Azx,y∈R2 pontok távolsága||x−y||, míg azxésyvektorok által bezártθszögre teljesül a cosθ= hx,yi
||x|| · ||y||
egyenl˝oség, feltéve, hogy a egyik vektor hossza sem 0 (ld. az ábrát).
3.8. ábra. Pontok távolsága, vektorok szöge
3.2. Állítás: Legyeneka,e∈R2,e6=0. Azavektoreirányú ortogonális vetülete (ld. az ábrát):
ae= ha,ei
||e||2 ·e
3.9. ábra. Adott irányú ortogonális vetületvektor
Amennyiben azeirányvektor egységnyi hosszúságú, akkor a formula leegyszer˝usödik: ae=ha,ei ·e.
3.3. Állítás: Legyen a = (a1,a2) ∈ R2 tetsz˝oleges vektor. Az a vektor 90o-kal való elforgatottja: a⊥ = (−a2,a1).
3.10. ábra. Síkvektor90o-os elforgatottja
Következésképp, ha06=e∈R2, akkor egy tetsz˝olegesx∈R2 vektor az alábbi módon bontható fel egye irányú és egy arra mer˝oleges vektor összegeként:
x= hx,ei
||e||2 ·e+hx,e⊥i
||e||2 ·e⊥
Amennyiben azeirányvektor egységnyi hosszúságú (ekkore⊥ is az), a formula leegyszer˝usödik:
x=hx,ei ·e+hx,e⊥i ·e⊥.
3.4. Állítás: Legyeneka,e∈R2,e6=0tetsz˝oleges vektorok. Akkor az x=a+t·e (t∈R)
pontok egy egyenest alkotnak, mely illeszkedik azapontra, és párhuzamos azevektorral.
3.11. ábra. Az egyenes paraméteres vektoregyenletéhez
Azevektort az egyenesirányvektorának, a fenti formulát pedig az egyenesparaméteres vektoregyenletének nevezzük. Nyilvánvaló, hogy ez az egyenlet nem egyértelm˝uen meghatározott: ugyanannak az egyenesneka éseválasztásától függ˝oen több, különböz˝o alakú egyenlete is lehet.
Haa= (a1,a2),e= (e1,e2), akkor az egyenes paraméteres vektoregyenlete nyilván ekvivalens az alábbi (skalár) egyenletrendszerrel:
x1 =a1+t·e1 x2 =a2+t·e2 ahonnan atparaméter kiküszöbölésével az
x1−a1
e1 = x2−a2 e2
nemparaméteres egyenletet nyerjük (feltéve, hogye1,e2 6= 0). Innenx2-t kifejezve, az egyenes jól ismert iránytényez˝os egyenletéhez jutunk:
x2 =a2+m·(x1−a1), aholm= ee2
1, az egyenes iránytényez˝oje (irányszögének tangense).
Megjegyzés: A jelöléstechnika e téren nem egységes. Egyik fajta jelölési konvenció szerint a pontok ko-ordinátáit indexekkel jelöljük, mint idáig is tettük: x = (x1,x2), e = (e1,e1), s.í.t. A másik elterjedt kon-venció, hogy az egyes komponenseket bet˝ukkel különböztetjük meg: az egyenes egy tetsz˝oleges pontjának koordinátái(x,y), egy pontja(ax,ay), irányvektora(ex,ey). Ezzel a jelöléstechnikával az egyenes paraméteres egyenletrendszerének alakja:
x=ax+t·ex
y=ay+t·ey
Jegyezzük még meg, hogy az egyenes paraméteres egyenletrendszeréb˝ol azonnal leolvashatók az egyenes egy pontjának koordinátái és az irányvektor koordinátái is. Ugyanez vonatkozik a fentebb leírt nemparaméteres alakra is.
3-1. Példa: Az(1,2)ponton átmen˝o,(3,−1)irányú egyenes paraméteres egyenletrendszere:
x= 1 + 3t y= 2−t
3-2. Példa: Határozzuk meg azon egyenes egyenletét, mely illeszkedik a(−1,−3)pontra, és mer˝oleges az x= 5−2t
y=−2 + 3t egyenesre!
Megoldás: A adott egyenes irányvektora(−2,3). Egy erre mer˝oleges vektor: (3,2), ez jó lesz a keresett egyenes irányvektorának. Innen a keresett egyenes egyenletrendszere:
x=−1 + 3t y=−3 + 2t
A gyakorlatban sokszor el˝ofordul, hogy az egyenes irányvektora explicite nem adott, viszont két különböz˝o pl.
aésbpontja is ismert. Ekkor irányvektor gyanánt aze:=b−avektor nyilván megfelel˝o, innen nyerjük a két ponton átmen˝o egyenes egyenletét:
3.5. Állítás: Legyeneka,b∈R2tetsz˝oleges síkbeli pontok. Azaésbpontokon átmen˝o egyenes paraméteres vektoregyenlete:
x=a+t·(b−a) (t∈R).
3.12. ábra. Két pont általmeghatározott egyenes
Megjegyezzük, hogy ha atparaméter csak a[0,1]intervallumot futja be, akkor a fenti formulával definiáltx pontok épp azaésbvégpontú szakasz pontjait futják be.
3-3. Példa: Az(1,−2)és a(6,5)pontokon átmen˝o egyenes paraméteres egyenletrendszere:
x= 1 + 5t y=−2 + 7t,
de ugyancsak ezt az egyenest határozza meg az alábbi egyenletrendszer is:
x= 6 + 5t y = 5 + 7t.
Két egyenes szögén az irányvektoraik által bezártθhegyesszöget értjük. Ha a két egyenes paraméteres vektoregyenletex=a+t·eill. x=b+τ ·f, akkor nyilván: cosθ= ||e||·||f|||he,fi| .
3.13. ábra. Két egyenes által bezárt szög 3.2. Térvektorok, egyenesek a térben
Az el˝oz˝o szakasz meggondolásai (a vektor elforgatását kivéve) a háromdimenziós geometriai térben is minden további nélkül alkalmazhatók. Így jutunk a térbeli vektorokra ill. térbeli egyenesekre vonatkozó alapvet˝o állításokhoz, melyet az alábbiakban foglalunk össze. Megjegyezzük, hogy a fejezet hátralev˝o részében a skaláris szorzat ill. a norma értelemszer˝uen azR3-beli skaláris szorzatot és normát jelenti. Szokásos még a standard bázis elemeinek alábbi jelölése: i:= (1,0,0),j:= (0,1,0),k:= (0,0,1).
3.6. Állítás: Azx,y∈R3 pontok távolsága||x−y||, míg azxésyvektorok által bezártθszögre teljesül a cosθ= hx,yi
||x|| · ||y||
egyenl˝oség, feltéve, hogy a egyik vektor hossza sem 0.
3.7. Állítás: Legyeneka,e∈R3,e6=0. Azavektoreirányú ortogonális vetülete:
ae= ha,ei
||e||2 ·e
Amennyiben azeirányvektor egységnyi hosszúságú, akkor a formula leegyszer˝usödik: ae=ha,ei ·e.
3.8. Állítás: Legyeneka,e∈R3,e6=0tetsz˝oleges vektorok. Akkor az x=a+t·e (t∈R)
pontok egy egyenest alkotnak, mely illeszkedik az apontra, és párhuzamos az evektorral. Azevektort az egyenesirányvektorának, a fenti formulát pedig az egyenesparaméteres vektoregyenleténeknevezzük.
Haa= (a1,a2,a3),e= (e1,e2,e3), akkor az egyenes paraméteres vektoregyenlete nyilván ekvivalens az alábbi (skalár) egyenletrendszerrel:
x1 =a1+t·e1 x2 =a2+t·e2
x3 =a3+t·e3
ahonnan atparaméter kiküszöbölésével az x1−a1
e1
= x2−a2 e2
= x3−a3 e3
(nemparaméteres) egyenletpárt nyerjük (feltéve, hogye1,e2,e36= 0).
Megjegyzés: A síkbeli egyenesek esetéhez hasonlóan, itt is kétféle jelöléstechnika terjedt el: a pontok (vek-torok) koordinátáit 1-t˝ol 3-ig terjed˝o indexekkel különböztethetjük meg, mint a fenti paraméteres egyen-letrendszerben, de szokásos az egyes koordináták különböz˝o bet˝ukkel (pl. x,y,z-vel) való jelölése is. Ez utóbbi esetben az egyenes paraméteres egyenletrendszerének alakja:
x=ax+t·ex
y=ay+t·ey
z=az+t·ez
ahola= (ax,ay,az),e= (ex,ey,ez). Jegyezzük még meg, hogy az egyenes paraméteres egyenletrendszeréb˝ol azonnal leolvashatók az egyenes egy pontjának koordinátái és az irányvektor koordinátái is.
A gyakorlatban sokszor el˝ofordul, hogy az egyenes irányvektora explicite nem adott, viszont két különböz˝o pl.
aésbpontja is ismert. Ekkor irányvektor gyanánt aze:=b−avektor nyilván megfelel˝o, innen nyerjük a két ponton átmen˝o egyenes egyenletét:
3.9. Állítás: Legyeneka,b∈R3tetsz˝oleges térbeli pontok. Azaésbpontokon átmen˝o egyenes paraméteres vektoregyenlete:
x=a+t·(b−a) (t∈R).
Itt is igaz marad, hogy ha atparaméter csak a[0,1]intervallumot futja be, akkor a fenti formulával definiáltx pontok épp azaésbvégpontú szakasz pontjait futják be.
Két egyenes szögén most is az irányvektoraik által bezártθhegyesszöget értjük. Ha a két egyenes paraméteres vektoregyenletex=a+t·eill. x=b+τ·f, akkor nyilván: cosθ= ||e||·||f|||he,fi| . Azonban a síkbeli esett˝ol eltér˝oen, e két egyenes nem feltétlen metszi egymást (akkor sem, ha nem párhuzamosak), azok lehetnek kitér˝ok is. Két egyenes metsz˝o ill. kitér˝o voltának eldöntése legkézenfekv˝obb módon úgy lehetséges, hogy megpróbáljuk a két
egyenes közös pontját megkeresni. Legyen a két egyenes paraméteres vektoregyenlete x=a+t·eill.
x=b+τ·f, akkor a közös pont koordinátái mindkét vektoregyenletet kielégítik, azaza+t·e=b+τ ·f. A probléma tehát annak eldöntésére redukálódott, hogy a kétismeretlenes, de három egyenletb˝ol álló
t·ex−τ·fx =bx−ax
t·ey −τ ·fy =by−ay
t·ez−τ ·fz =bz−az
rendszernek van-e megoldása. Bizonyos kivételes esetekt˝ol eltekintve, célhoz vezet, ha megoldjuk pl. az els˝o két egyenlet alkotta rendszert, és behelyettesítéssel megnézzük, hogy a megoldás kielégíti-e a harmadik egyenletet. Ennél a megközelítésnél sokkal gépiesebb eljárást is fogunk mutatni a következ˝o szakaszban bevezetésre kerül˝ovektoriális szorzatfogalmának használatával.