Lineáris leképezések, mátrixok
4.4. Mátrixok inverze és determinánsa
4.5. definíció: AzA ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezénekazt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t regulárisnak, ellenkez˝o esetben szingulárisnak nevezzük.
Nem minden négyzetes mátrixnak van inverze. Így pl. a zérusmátrixnak nincs, ui. bármilyen mátrixszal szorozva balról a zérusmátrixot, a szorzat mindig a zérusmátrix, és sohasem az egységmátrix. Ugyanakkor pl.
az egységmátrix reguláris, inverze önmagával egyezik.
Az inverz a reciprok fogalmának er˝os általánosítása. Ugyanakkor, ha azA∈Mn×nmátrixotRn→Rnlineáris leképezésnek tekintjük, akkorA−1mint leképezés, megegyezikAinverzével(ez indokolja az elnevezést is).
Valóban,A−1A=I következtében mindenx∈RneseténA−1(Ax) =Ix=x. Következésképp egy négyzetes Amátrix pontosan akkor reguláris, ha mint leképezés egy-egyértelm˝u, és ekkor az inverz egyértelm˝uen meghatározott (bár ez a definícióból nem látszik azonnal). Továbbá, haAreguláris, akkorA−1 is az, és (A−1)−1 =A. Ez utóbbiból pedig még az is nyomban adódik, hogy haAreguláris mátrix, akkor azA−1 inverz mátrixszalA-t nemcsak balról szorozva kapunk egységmátrixot, hanem ugyanez áll a jobbról való szorzásra is:
AA−1 =I. Röviden, egy reguláris mátrix mindig felcserélhet˝o az inverzével.
Szorzat inverze kiszámítható a tényez˝ok inverzeinek segítségével (a reciprok számításához hasonlóan), de mivel a mátrixszorzás általában nem kommutatív, azért a tényez˝ok sorrendje nem közömbös:
4.5. Állítás: HaA,B ∈Mn×nmindketten regulárisak, akkorABis az, és(AB)−1=B−1A−1 Bizonyítás:
Valóban, az asszociativitást felhasználva: B−1A−1AB=B−1(A−1A)B=B−1IB=B−1B=I.
Megjegyezzük, hogy ugyanakkor(A+B)−1sohasemegyenl˝oA−1+B−1-gyel!
A regularitás és az inverz fogalmának jelent˝oségére az alábbi fontos példa mutat rá. LegyenA= [akj]∈Mn×n
adott mátrix,b∈Rnadott oszlopvektor. Akkor azAx=bmátrixegyenlet (x∈Rn) a mátrixszorzás definíciója miatt ekvivalens az alábbin-ismeretlenes lineáris egyenletrendszerrel:
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2
...
an1x1+an2x2+...+annxn=bn
Ha a rendszerAmátrixa reguláris, és ismerjük azA−1inverz mátrixot, akkorA−1-gyel balról szorozva a fenti egyenlet mindkét oldalát, kapjuk, hogyA−1Ax=A−1b, azazx=A−1b; az egyenletrendszer megoldását tehát explicit formula adja. Sajnos, nagyméret˝u egyenletrendszerek esetében az inverz mátrix meghatározása semmivel sem könnyebb probléma, mint az eredeti egyenletrendszer megoldása. (Az inverz mátrix meghatározására általános algoritmust a 3.6.szakaszban adunk.) Mindazonáltal azx=A−1bexplicit megoldóformula hasznos lehet, ha ugyanazt az egyenletrendszert egymás után több különböz˝o jobb oldal mellett kell megoldani.
Néha, bizonyos speciális mátrixosztályok esetén, az inverz egyszer˝uen meghatározható. Erre mutatunk két példát:
1. Diagonálmátrix inverze: Ha a diagonálmátrix diagonálelemei mind 0-tól különböznek, akkor a mátrix reguláris, és
Ez a mátrixszorzás definíciójának felhasználásával könnyen ellen˝orizhet˝o.
2. Forgatómátrix inverze: A2×2-es forgatómátrixok mindig regulárisak, éspedig:
cost −sint sint cost
−1
=
cost sint
−sint cost
azaz egytszög˝u forgatás inverze megegyezik egy(−t)szög˝u forgatással, a szemlélettel teljes összhangban.
Végül néhány állítást mondunk ki a reguláris mátrixok jellemzésére:
4.6. Állítás: EgyA∈Mn×nmátrix pontosan akkor reguláris, ha (mint leképezés) csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba, azazAx=0csak úgy lehetséges, hax=0.
Bizonyítás:
LegyenAreguláris. Nyilván mindigA0=0, ha pedigx6=0, akkor az egy-egyértelm˝uség miattAx6=0.
Megfordítva, tegyük fel, hogyAcsak a zérusvektort viszi a zérusvektorba Megmutatjuk, hogy ekkorA egy-egyértelm˝u, azaz reguláris. Legyenx1 6=x2, akkorx1−x2 6=0, ígyA(x1−x2) =Ax1−Ax26=0, azaz Ax1 6=Ax2, tehátAvalóban egy-egyértelm˝u.
Az állítás lényege, hogy a linearitás miatt elég az egy-egyértelm˝uséget egyetlen vektor, nevezetesen a zérusvektor esetében ellen˝orizni.
4.6. definíció: EgyA∈Mn×nmátrix ill. lineáris leképezésmagteréneka kerA:={x∈Rn:Ax=0}
halmazt nevezzük, melyAlinearitásából adódóan mindig altérRn-ben.
Ezzel a jelöléssel az el˝oz˝o állítás röviden úgy fogalmazható meg, hogy azA∈Mn×nmátrix pontosan akkor reguláris, ha kerA={0}.
4.7. Állítás: Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha (mint leképezés), lineárisan független vektorokat lineárisan független vektorokba visz.
Bizonyítás:
LegyenAreguláris, és legyenekx1,x2,...,xm ∈Rnlineárisan függetlenek (m≤n). Tekintsünk egy tetsz˝oleges λ1Ax1+λ2Ax2+...+λmAxm lineáris kombinációt. Ha ez a zérusvektor, akkor
A(λ1x1+λ2x2+...+λmxm) =0, így az el˝oz˝o állítás értelmében szükségképpλ1x1+λ2x2+...+λmxm =0.
Ám azxj vektorok lineáris függetlensége miatt ezértλ1 =λ2 =...=λm= 0, azazAx1,Ax2,...,Axmvalóban lineárisan függetlenek. Megfordítva, haAlineárisan független vektorokat lineárisan független vektorokba visz, akkor semmilyenx6=0vektort nem vihet a zérusvektorba: ha ui.xel˝oállx=λ1e1+λ2e2+...+λnen
(nemtriviális!) lineáris kombinációként, ahole1,e2,...,enbázist alkotnakRn-ben, akkorAxel˝oáll az
Ae1,Ae2,...,Aenvektorok nemtriviális lineáris kombinációjaként: Ax=λ1Ae1+λ2Ae2+...+λnAen, így nem lehet a zérusvektorral egyenl˝o.
Az állítás egyszer˝u következménye, hogy egyA∈Mn×nmátrix pontosan akkor reguláris, ha képterének dimenziójan-nel egyenl˝o, azaz, ha a képtér a teljesRn-nel egyezik. Valóban, a képtér dimenziójan-nél nagyobb nyilván nem lehet, így hae1,e2,...,enbázist alkotRn-ben, ésAreguláris, akkorAe1,Ae2,...,Aen
lineárisan független rendszer lévén maga is bázist alkotRn-ben, tehát a képtérn-dimenziós. Az Olvasóra bízzuk annak végiggondolását, hogy haA∈Mn×nszinguláris, akkor képterének dimenziójan-nél
határozottan kisebb.
A regularitás eldönthet˝o egy, a fentieknél sokkal gépiesebb (bár meglehet˝osen számításigényes) módon is.
Ehhez bevezetjük a mátrix determinánsának fogalmát. A definíciót rekurzív módon fogalmazzuk meg:
4.7. definíció: Az egyetlena ∈ Rszám alkotta 1×1-es mátrix determinánsa legyen maga azaszám. Ha pedig az (n−1)-edrend˝u mátrixok determinánsát már definiáltuk, akkor tetsz˝oleges A := [akj] ∈ Mn×n
mátrix esetén definiáljuk azAmátrix determinánsát a
detA:=a11D11−a12D12+a13D13−...±a1nD1n,
formulával, ahol D1j jelentse annak az(n−1)-edrend˝u mátrixnak a determinánsát, melyetA-ból az els˝o sor és aj-edik oszlop elhagyásával kaptunk. AzAmátrix determinánsát a|A|szimbólummal is szokás jelölni.
A determináns tehát mindig egyetlenszám: jegyezzük meg, hogy haA:= [akj]∈M2×2egy másodrend˝u mátrix, akkor detA=a11a22−a12a21. Bizonyítás nélkül megemlítjük, hogy det(AB) =det(A)·det(B) mindig teljesül. Ugyanakkor általában det(A+B)6=det(A) +det(B)!
4-5. Példa:
Megjegyzés: A definíció már viszonylag kis n értékek mellett is gyakorlati szempontból használhatatlan.
Megmutatható, hogy a determinánsnak a definíció szerinti kiszámításan!-nál is több m˝uveletet igényel. Így pl. egy mindössze 100-adrend˝u determináns kiszámítása – bármilyen ma és a belátható jöv˝oben használatos számítógépek mellett is! – több id˝ot venne igénybe, mint a Világegyetem jelenleg ismeretes életkora. Szeren-csére vannak algoritmusok, melyek ennél lényegesen kevesebb m˝uvelet árán számítják ki a determinánst.
Ezek részleteivel azonban e jegyzet keretein belül nem foglalkozhatunk.
Megjegyzés: Megmutatható, hogy a determináns kiszámításának rekurzív definíciója nem kell, hogy az els˝o sorhoz köt˝odjék. Bármelyik, pl. ak-adik sor esetén
detA= (−1)k+1ak1Dk1+ (−1)k+2ak2Dk2+...+ (−1)k+naknDkn,
aholDkj jelenti annak az(n−1)-edrend˝u mátrixnak a determinánsát, melyetA-ból ak-adik sor és aj-edik oszlop elhagyásával kaptunk (sor szerinti kifejtés). Hasonló formula érvényes az oszlopok esetére is:
detA= (−1)j+1a1jD1j+ (−1)j+2a2jD2j+...+ (−1)j+nanjDnj (ez azels˝o oszlop szerinti kifejtés, és így tovább).
AzakjDkj szorzatok el˝ojelének megjegyzését könnyíti meg alábbi séma (sakktáblaszabály):
ahol ak-adik sor ésj-edik oszlop keresztez˝odésében éppakjDkj el˝ojele áll.
A determináns számunkra legfontosabb tulajdonságát az alábbi tétel mutatja, melyet bizonyítás nélkül adunk meg (a másodrend˝u eset a feladatok között szerepel):
4.8. tétel: EgyA ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha detA 6= 0, másszóval, pontosan akkor szin-guláris, ha detA= 0.
Megjegyzés: A determináns fogalma a vektoriális szorzatok kiszámítását könnyen áttekinthet˝ové teszi.
Egyszer˝u számolással igazolható, hogy ha x = (x1,x2,x3) és y = (y1,y2,y3) tetsz˝olegesR3-beli vektorok, akkor a formális
det
i j k x1 x2 x3
y1 y2 y3
determináns épp azx×yvektoriális szorzatvektorral egyenl˝o.