A projektív geometria kizárólag az úgynevezett alap
alakzatokat alkalmazza és ebből épít fel minden egyebet.
Az elsőfokú alapalakzatok a következők:
a) Sugársor. Azon egy síkban fekvő sugarak összesége, amelyek egy ponton mennek keresztül. Ezt a pontot, a sorozó pontot, és vele együtt a sugársort, S betűvel szokás jelölni.
A sorozó pont a végtelenben is fekhet, vagyis egymással párhuzamos egyenesek is sugársort adnak.
89 b) Pontsor. A második elsőfokú alapalakzat a pontsor, egy egyenes valamennyi pontjának összesége. A pontsort és vele az egyenest s betűvel szoktuk jelölni.
8. ábra.
e) Síhsor. Elsőfokú alapalakzat a síksor is. Jelenti azokat a síkokat, amelyek egy egyenesen keresztülmennek. Ügy képzelhetjük el, mint egy vízimalom lapátjait. Párhuzamos egyenesekből álló sugársorhoz hasonlóan párhuzamos síkok
ból álló síksor is lehetséges.
Az elsőfokú alapalakzatokhoz még egy fontos megjegy
zést kell fűznünk. A sugársorral kapcsolatban említettek szerint elképzelhető, hogy egyenesek metszéspontja olyan messze van, hogy az abban összefutó sugarak már párhuza
mosaknak tekinthetők. Közelítésben ismerjük ezt a hely
zetet a Nap sugaraival kapcsolatban. Képzeljük el, hogy a
«pont» a Nap középpontja és tegyük fel, hogy a Nap sugarai
nak csak egy síkban fekvő részével akarunk foglalkozni.
Ezt elképzelni egyáltalán nem lehetetlen vagy meg nem engedett dolog. A Nap ebben a síkban sugarakat szór szét minden irányban, sugárzása tehát jellegzetes sugársor. Ez a fentemlített sík messen valamilyen nagyon távoli tárgyat, mondjuk a Földet. Azt is elképzelhetjük, hogy e síknak a helyzetét egészen pontosan ismerjük és így a napsugarakat nagyon keskeny nyíláson tudjuk a szobánkba bebocsátani.
Fedjük el a nyílás közepét, úgyhogy csak a fedő rész alatt és felett tudjon egy-egy sugár a szobába bejutni és vizsgál
juk e két sugár egymáshoz mért helyzetét. A sugarak valójá
ban széttartók, hisz egy pontból indultak ki és a Nap véges, mérhető távolságra van tőlünk. Mégis párhuzamosaknak
9. ábra.
fognak a sugarak látszani, amit mindenki megerősíthet, aki már redőnyön keresztülszűrődő napfényt látott, ha a szobá
ban táncoló porszemek megmutatták a sugarak útját. Ha pedig már ezeket a sugarakat is szabad párhuzamosaknak tekinteni, — márpedig az optika és a fizika is így tesz — akkor ezt a gondolatmenetet joggal folytathatjuk. Gondol
junk állócsillag-távolságot, vagy annál is nagyobbat,
köd-10. ábra.
41 foltok távolságát, vagy akkorát, hogy mellettük még ezek a távolságok is eltörpüljenek, nekünk ez nem elég, mi a pár
huzamos sugarak metszéspontját a végtelenbe helyezzük.
De már Poneelet felvetette a kérdést, hogy hol keressük ezt a végtelenben fekvő pontot, ha egy papírlapon húzott két párhuzamos vonal fekszik előttünk. Kézenfekvő volna a gondolat, hogy keressünk két végtelenben fekvő pontot, hisz a vonalakat is két irányban tudjuk meghosszabbítani.
Gondolhatnánk ilyent, hisz nehéz is belátni, hogy miért viselkednének a párhuzamosak egyik irányban másképpen, mint a másik irányban, ha a végesben valóban párhuzamo
sak. De ne feledkezzünk meg arról, amiből kiindultunk. Úgy A
11. ábra.
akarjuk a párhuzamosakat venni, mintha egy, a végtelenben levő sugárzó pontból indulnának ki. Le kell mondanunk előbbi ötletünkről, mert azt már nemigen lehet elképzelni, hogy ugyanaz a sugár két végtelen távolfekvő sugárzó pont
hoz tartozik. S alapala'kzatainkat is összezavarja az ilyen feltevés. De felbukkan még egy nehézség. Nehezünkre esnék az egyenes egyik alaptulajdonságát módosítani. Az egyenest ugyanis két pontja teljesen meghatározza, két párhuzamo
sunk mindegyike pedig csupán három ponttal volna tel
jesen meghatározva : két végtelenben fekvő pontjukon kívül még egy végesben fekvő pontjukat is meg kellene adnunk, hogy legalább fogalmunk legyen, merre is keressük őket.
Ez már olyan nehézség, hogy az egész geometriánk megvál
toztatását kívánná kiküszöbölése, ha a két végtelenben fekvő ponthoz ragaszkodunk.
Kitartunk tehát álláspontunk mellett, minden egyenes
nek csak egy végtelenben fekvő pontja van. Ez a megoldás annál könnyebben elfogadható, mert a napsugarakban könnyen érzékelhető példáját láttuk.
Nem tudjuk még a végtelenben fekvő pontunkkal együtt járó előnyöket teljesen értékelni és áttekinteni. Csak azt állapítjuk meg, hogy általuk már így is előnyhöz jutottunk.
Megszabadultunk a már terhessé váló párhuzamosoktól.
Most már síkban valamennyi egyenes metszi egymást, kitérő egyenesek már esak a térben, az fla-ban, lehetségesek.
Bgye-12. á"bra.
nest tehát változatlanul két pontja határoz meg, vagy egy pontja és az iránya. Irány viszont, a projektív geometria nyelvén, adott végtelenben fekvő ponttal való összekötésre szóló utasítást jelent.
Lássuk most a másodfokú alapalakzatokat.
a) A síkbéli rendszer. Tartalmazza a sík valamennyi pontját és sugarát. Eendesen a kis görög y betűvel vagy más görög kisbetűvel jelölik.1
1 Könnyebbség kedvéért i t t adjuk a görög ábécét:
A a Alfa a I i Iota i P Q Ro r
B p Béta b K x Kappa k 2 a Szigma sz
r y Gamma g A }. Lambda 1 T % Tau t á S Delta d M fi Mü m Y v Ipszilon y E 8 Epszilon e N v Nü n <P <p Fi f
z 5 Zéta z 3 § Xi x X % Ohi eh
H r, Éta é 0 o Omikron o W rp Pszi psz
& & Théta *h n n Pi p £i o) Omega 6 Jegyezzük meg már itt, hogy később a szögeket is görög kisbetűvel fogjuk jelölni.
43
b) A központos nyaláb. Eendesen Z-vel jelölik. A tér egy pontján keresztülmenő valamennyi elemet jelenti.
Jelenti tehát az összes egy pontból kiinduló sugarat (mint tehát a Nap valamennyi sugara) és az abból a pontból ki
induló valamennyi síkot. (Gondoljunk itt egy nagyon soklapú
13. ábra.
végtelenbe nyúló gúlát vagy az analitikai geometriából ismert térbeli koordinátarendszer egy ponton keresztülmenő síkjait.)
Említsük meg a harmadfokú alapalakzatot, a térbeli rendszert, amely a tér valamennyi pontját, síkját és egyenesét tartalmazza.
Most, hogy megismertük a projektív geometria alap
alakzatait, még az illeszkedés fogalmát kell tisztázni. Illesz
kedésről a következő esetben beszélünk : a) ha egy pont egy egyenesen fekszik, b) ha egy pont egy síkban fekszik, c) ha két egyenes metszi egymást és
d) ha egy egyenes egy síkban fekszik, akkor az említett idomok kölcsönösen illeszkednek egymásra.
Ezzel megismertük a projektív geometria tárgyalásához szükséges alapalakzatokat és fogalmakat. Ha alaposabban meggondoljuk, csodálkozni fogunk, hogy milyen kevésből építjük fel az egész tudományt. Pont, egyenes, sík ; illeszke
dik, nem illeszkedik. Minden további fogalom ezekre vezet
hető vissza. S tapasztalni fogjuk ezzel azt is, hogy mivel minden idom fentiekből nyerhető, rajzoláshoz esak a rajzsík és legfeljebb még egy vonalzó lesz feltótlenül szükséges.
Ezért is nevezték el a geometriának ezt az ágát helyzet
geometriának, de sokszor a vonalzó geometriájának, vagy körzőnólküli geometriának is.
HETEDIK FEJEZET.