Határozzuk meg először egy egyenes egyenletét. Húzzunk tehát egy derékszögű koordinátarendszerben tetszésszerinti q egyenest, amely az x tengely pozitív irányával a szöget zár be. Ha egyenesünknek és az ordinátatengelynek
metszés-106. ábra,
CSoisras: Poot. 13
pontján keresztül az abszcissza tengellyel párhuzamos g' egye
nest húzzuk, akkor g és g' közt is az « szög látható. A két szög szárai ugyanis párhuzamosak (sőt az egyik szár közös), tehát a szögek megfelelő szögek ós így egyenlők. A g egyenes különféle pontjaiból az x tengelyre merőlegeseket húzva hasonló háromszögeket kapunk. Az így kapott háromszögek természetesen mind derékszögűek, befogóik sorban xv yx—e;
x2, y2—c ; xs, ys—c és így tovább xn, yn—c. A háromszögek hasonlóságának törvényei szerint valamennyi háromszög hasonló, tehát (Í/X—c): x1= (y2—c): xz = (y3—c) :x3=...
~(ün—o): xn; vagyis az állandó c értékkel csökkentett ordinátáknak és az abszcisszáknak a viszonya, állandó, bárhol választottuk is a pontunkat. E viszony értékét jelöl
hetjük is, legyen a jele a. Tehát a g egyenes minden pontjára igaz, hogy — = a . Ezt az egyenlőséget átalakítva meg
kapjuk a függvényt: y~ax+c. A képen még két fontos összefüggést fedezhetünk fel. Az előbbi a valójában az a szög tangensének az értéke s meghatározza az egyenes irányát.
A c értéke viszont azt mutatja meg, hogy a g egyenes hol metszi az y tengelyt. A második állításunkat ki is próbál
hatjuk : az y tengely is esak egyenes, egyenlete nyilván x=0, hisz ennek a feltételnek minden pontja megfelel. Messe tehát y=ax-\-c egyenesünk az a;=0 egyenletű y tengelyt. A két egyenletből azonnal kiadódik a metszéspont két koordiná
t á j a : t / = c ós x=0, tehát az, amit előbb állítottunk. De jöjjünk tisztába azzal is, milyen befolyása van a c állandó
nak az egyenes és az x tengely metszéspontjának a helyére.
Számítsuk ki. Egyenesünk egyenlete ismét y=ax-\-c, az abszcissza tengelyé pedig y = 0 . Ebből ax -f- e = 0, vagyis ax=—c ésa:= Az x tengellyel való metszéspont helye tehát a hajlásszögtől is, de a c állandótól is függ. Erre azon
ban úgyis rájöhettünk volna, hacsak ránézünk az ábrára.
Ha végül azt kívánjuk, hogy az egyenes keresztülmenjen a koordinátarendszer kezdőpontján, akkor a c értékét 0-nak kell választanunk és így az egyenes egyenlete y— ax. Ezt természetesen közvetlenül is levezethettük volna.
195 Megjegyezzük itt, hogy az a értéke itt a differenciál
hányadosra való utalást is lehetővé tenné, de ez most nem feladatunk és így ismét esak az ((Egyszeregytől az integrálig)) c. könyvre utalhatunk.
Adjunk az y—ax-{-b egyenletünknek néhány feladatot és lássuk, hogyan működik új, analitikus gondolkodó gépünk.
Keressük tehát annak az egyenesnek az egyenletét, amely keresztülmegy a Pj(*i,2/i) ponton, majd pedig azét, amely a P1(a;1, yt) ponton és a P2(x2, y2) ponton is keresztülmegy.
Ha az y=ax-{-b egyenes a Px ponton keresztülmegy, akkor bizonyos, hogy helyes az yx=axx-\-c egyenlőség.
Ebből c=y1—ax1 és ezt az értéket az eredeti egyenletben felhasználva Í/=OÍC + Í/1—ax1; vagy másképp írva y—yl=
= a.(x—ÍC1). Az a értékére nincs semmilyen kikötés, értékét szabadon választhatjuk — °° ós + °° közt. Ez azt is jelenti, hogy egy ponton keresztül végtelenül sok egyenesét húzha
tunk (sugársort). De ha a P1-en kívül még egy pontot meg
adok, pl. a Pa(a;2,í/2) pontot, akkor e második ponton is ke-resztülmenő egyenesek egyenlete y2—y2=a(x2-^-Xj). Ebből a— Jl—iL. Ha mindkét ponton keresztülmenő egyenes
x% x±
egyenletét keressük, akkor az a-nak emez értékét az előbbi egyenletbe kell helyeznünk s így a két ponton keresztülmenő egyenes egyenlete y—yx= J *
(%—%i)-Végül említsük meg még, hogy az egyenes egyenletének úgynevezett általános alakja a következő: Ax + By-\-G=0.
Természetesen A, B és G tetszésszerinti számok. Ha ezt az egyenletet előbb megismert az alakra akarjuk hozni, akkor
i -i • -i i. i"i J. — A ® — C • A C
kifeiezzukbelőley-t.y= = > vagyis y — — -^x ==•
B ti B Tehát az a=—--^-és a c—- ^«
B B
Már az előbb említettük, hogy a az a szög tangensével egyenlő, vagyis a = t g « . Ha tehát olyan egyenes egyenletét akarom felírni, amely egy adott egyenessel párhuzamos és keresztülmegy a P1{x1,y^) ponton, akkoj? a két egyenesnek az a irány tényezője — iránytényezőnek is szokás az a értéket 13*
nevezni — feltétlenül ugyanaz. Ezenfelül még a P1 ponton is keresztül kell mennie. Egyenlete tehát y—y1=a(x—x-^j.
Ha a keresett egyenestől azt kívánjuk, hogy a P1 ponton keresztülmenjen és az y=ax-\-c egyenesre merőleges legyen, akkor hajlásszöge feltétlenül (a+90°). De tg(«+90°) =
1 1
— c o t a = — - — = . Egyenletünk tehát ezt az értéket
fel-tga a bJ
használva y—Í/J= (a;—£CX) alakban adódik.
(X
Eddigi műveleteink során egy nagyon jellemző körül
ményre is bukkantunk : x és y mindenkor csak az első hat
ványon fordult elő. Tekintve, hogy ez a körülmény csak egyenes egyenletében áll fenn, az ilyen egyenletet és ugyan
ilyen tulajdonságú függvényt lineáris (linea = egyenes) egyen
letnek, ±11. függvénynek nevezzük. Eövidesen látni fogjuk, hogy vonalunk görbülete az egyenletben előforduló x és y kitevőjét növeli. S már most megemlítjük, bár e kifejezés magyarázatával csak később fogunk találkozni, hogy a kúp
szeletek, tehát kör, ellipszis, parabola és hiperbola egyenle
tében előforduló legmagasabb hatványkitevő csak 2 lehet.
Ezért ezeket másodrendű vagy kvadratikus görbéknek is nevezik.
Köztük első a kör. Eajzoljunk fel egy koordinátarendszert
197 és benne bárhol egy kört. Keressünk olyan összefüggést a P pont koordinátái közt, amely független a P pont válasz
tásától, tehát a kör minden pontjára egyaránt érvényes.
Mi határozza meg a P pont helyzetét? Meghatározza magá
nak a körnek, vagy ami ugyanaz, a kör középpontjának a helyzete a koordinátatengelyekhez képest: tehát a p és a q értéke.. Továbbá jellemző a kör sugara, az r. Mint minden pont helyzetét, úgy a P pontét is koordinátái határozzák meg, tehát a kétféle jellemző közt valamilyen összefüggést kell találnunk. A képen derékszögű háromszöget látunk, az ott látható jelölésekkel felírjuk rá Pythagoras tételét. A há
romszög oldalai r, (x—p) ós (y—q) tehát ra=(a;—pf+{y—<Z)2 -Mivel nem volt semmilyen kikötés, hogy a kör melyik pontját válasszuk P pontnak, a talált összefüggés valamennyi pontra egyaránt érvényes, tehát magának a körnek az egyenlete.
Ha a kör középpontja véletlenül egybeesik a koordináta
rendszer kezdőpontjával, akkor a kör úgynevezett közép
ponti egyenletét kapjuk. Ekkor ugyanis p = g = 0 , tehát a kör egyenlete a;2+í/2=r2.
Keressük most kör- és egyenes metszéspontját. Ez a feladat az (x—p)2+(y—q®)=r2 és y=ax+b egyenletekből álló egyenletrendszer megoldását követeli. Belőle kiadódnak a metszéspont koordinátái:
a ; = j - p ^ - [ p + a g — a c ± / ( l +a?)r*—(ap+c—qf] ós y=J^slaV+°?q+c±a f(í.+a?)r*—(wp+c—qfi
Ha a gyökjelek alatt olvasható kifejezések negatívak, akkor értékük képzetes. Ezzel a metszéspont koordinátái komplexek lesznek. Analitikusan ez azt jelenti, hogy egy
általán nem metszi az egyenes a kört, hanem elmegy mellette.
Ha viszont a gyökjel alatt álló kifejezés pozitív, akkor két metszéspont koordinátáit kapom, tehát az egyenes a körnek szelője. Végül a gyökjel alatt 0 is állhat, a körnek ós az egyenesnek csak egy közös pontja van, tehát az egyenes csak érinti a kört, a metszéspont érintési ponttá lesz. A fenti
egyenletből az érintési pont koordinátái: x1== .,_r a ; j /1= — a . Ezekből meghatározhatjuk az érintő egyenlete számára az a és a e értékét: a= —— és 0=?/!+ ———— Ebből a körhöz, valamely P1(x1, yj pont
éi
2-jában húzható énntó egyenlete
xi—V i i ^ífai—P)
U 2/1-9 X 2/i-2 vagy másképpen
V—2/i= * — - \x—xi)
2/i—S
Ebből már a kör normálisának, vagyis az érintési pont
hoz tartozó sugárnak az egyenletét is felírhatjuk:
Továbbá ugyanezek az egyenletek a kör középponti egyenle-téré: az érintő egyenlete y—J/X= -(x—Xj) a normális se egyenlete y—yi=—(x—x1) mivel ekkor ip=q=0.
xi
HUSZONKILENCEDIK FEJEZET.
E l l i p s z i s , h i p e r b o l a é s p a r a b o l a .
Lássuk az ellipszist. Ha fel akarjuk írni az egyenletét, ismernünk kell tulajdonságait. Talán mindenki tudja, hogy megrajzolása nagyon egyszerű eszközök segítségével lehet
séges. Szúrjunk két ponton gombostűt egy lap papírba (ezeket a pontokat nevezzük majd gyújtópontoknak) ós
199 helyezzünk el köréjük egy zárt fonalat. Ha ceruzánkat is a fonál belsejébe helyezzük ós úgy mozgatjuk, hogy a fonál mindenkor feszes legyen, akkor ceruzánk ellipszist rajzol.
108. ábra.
A fonal hosszának legalább kétszer akkorának kell lennie, mint a két tű egymástól mért távolsága.
Ha a két tűt annyira közelítem egymáshoz, hogy végül egyetlen tűvel helyettesíthetem őket, akkor ellipszisem körré fajul el. A két gyújtópontot az ellipszis valamely kerületi pontjával összekötő egyenesek mindegyikének neve vezető
sugár, mostani elfajult esetünkben ezek is összeesnek a kör egyetlen sugarává. A képről továbbá azonnal leolvasható, hogy a vezetősugarak összege az ellipszis minden pontjában állandó. A rajzoláshoz használt fonal alakja mindenkor háromszög, amelynek egyik oldala a gyújtópontok távolsága, a másik két oldala pedig a két vezetősugár, p és q. Ha pedig több háromszög kerülete egyforma, s az egyik oldal hossza állandó, akkor a másik két oldal összege minden háromszög
ben ugyanaz. Ha a gyújtópontok összekötővonalát az ellipszis kerületéig meghosszabbítjuk, akkor az úgynevezett nagy
tengelyt kapjuk, hosszát 2a-val szokás jelölni, s a vezető
sugarak összege f-\-q=2a. Erről rövid megfontolással min
denki meggyőződhetik. Az ellipszis kistengelye merőleges a nagytengelyre, hosszát 2&-vel szokás jelölni. Merőlegesen felezi a gyújtópontok távolságát; ezt a távolságot az ellipszis
kétszeres excentricitásának, 2e, is szokták nevezni. Az excentricitás tehát az ellipszis középpontjától bármelyik gyújtópontig mérhető távolság.
Fentiek ismeretében már meghatározhatjuk Pythagoras tétele segítségével az ellipszis középponti egyenletét. Hatá
rozzuk meg először a vezetősugarak hosszát. Azt már tudjuk.
109. ábra.
hogy p + 2 = 2 a , s legyen egy tetszés szerint választott M pont két koordinátája x és y. Ha még azt is megfigyeljük, hogy a kép szerint FP=e+x és F^P—e—x, akkor Pythagoras tétele alapján két egyenlőséget írhatok fel:
p2=(e+a;)2+?/2
és
Ha a műveleteket elvégezzük és a két egyenletet egymás
ból kivonjuk, az eredmény :
p2—q2=4ex ; vagyis (p+q)-(f—q)—4ex.
4ő£E 2fí3í
Mivel azonban p + g = 2a, ezért (p—g) = -^— =