Poincaré-leképezés

Egyensúlyi helyzetek stabilitását tudjuk vizsgálni linearizálás vagy Ljapunov-függvény segítségével, de periodikus megoldásokét még nem. Erre fogjuk használni a Poincaré- leképezést, amelyhez szükségesek a következő definíciók.

4.15. Definíció. Ha d g D, akkor Ix jelöli azt az intervallumot, amelyen a <p.(x) megoldás értelmezve van. Ez a Picard-Lindelöf-tétel szerint (/-re szokás szerint feltéve a megfelelő regularitási feltételeket) egy nyílt intervallum, ezen túl nem folytatható a megoldás.

4.16. Definíció. Az n dimenziós tér egy egy kodimenziós (n — 1 dimenziós) részsokasága egy olyan E C W1 halmaz, amely előáll E = {x G U \ S{x) = 0} alakban, ahol S az U C W1 halmazon értelmezett folytonosan differenciálható függvény, és grad5'(x) yt o az x E E pontokban.

4.17. Definíció. A E sokaság transzverzális az f által meghatározott vektormezőre, ha teljesül, hogy (grad S(x), f(x)) y^ 0 minden x E E esetén.

4.18. Példa. Az alábbi leképezések közül melyik határoz meg a két dimenziós térben egy egy kodimenziós sokaságot?

S(x, y) = x, S(x, y) = x 2 + y2 — 1, S(x,y) = x 2 — y2 — 1, S(x, y) = x 2 + y2.

Ezek közül melyek transzverzálisak az f(x,y ) = (x, —y), f(x,y ) = (1,0), f(x,y ) = (0,1) vektormezőkre?

4.6. POINCARÉ-LEKÉPEZÉS 64 4.19. Lemma. Legyen x G D és T G Ix. Legyen £ egy f -re transzverzális egy kodimenziós sokaság úgy, hogy LT(x) G £. Ekkor létezik olyan U környezete x-nek és egy ^t G C 1(U) függvény, hogy t (x) = T és <pT(y)(y) G £ minden y G U-ra.

£

4.5. ábra. Egy transzverzálist egy megfelelően kis környezetből induló többi megoldás is metsz

Bizonyítás. Tekintsük az S(^t(y)) = 0 egyenletet, amely teljesül (T, x)-re. Mivel £ transz-verzális f-re, és l T(x) G £, ezért van olyan Ix U környezete a (T, x) pontnak, hogy minden (t, y) G I x U-ra

d£ (S(^ t(y))) = (grad S (Lt(y)),f d (<My))) = °.

Az implicitfüggvény-tétel szerint (esetleg U további megszorítása mellett) van olyan

t G C1(U) függvény, hogy minden y G U-ra S(^{l t}(y)(y)) = 0 tehát <£T(y)(y) G £. □ 4.20. Definíció. A fenti jelölésekkel, ha x egy periodikus pont és T a periódusa, akkor a p£(y) = L T(y)(y) leképezés a Poincaré-leképezés. Ez a leképezés £ egy részhalmazát £-ra képezi, ennek minden fixpontja az egyenlet egy periodikus pályának felel meg.

4.21. Definíció. Egy Y C D periodikus pálya stabil, ha y minden U nyílt környezetéhez van olyan V környezete y-nak, hogy Lt(V) C U, t > 0.

4.22. Definíció. Egy y C D periodikus pálya aszimptotikusan stabil, ha y minden U nyílt környezetéhez van olyan V környezete y-nak, hogy Lt(V) C U, t > 0, és minden x G V-re

lim d(Lt(x),y) = 0.

4.23. Példa. Polár-koordinátarendszerben az ír' = 0,

= - 1

egyenletrendszer origó középpontú koncentrikus köröket ad pályának. Ezt átírhatjuk Descartes-koordinátarendszerbe: x(t) = r(t) cos 0(t) és y(t) = r(t) sin0(t), ahonnan

x' = (r cos 0)' = r' cos 0 — r sin 0 ■ <f>' = r sin 0 = y y' = (r sin 0)' = r' sin 0 + r cos 0 ■ 0' = — r COs 0 = —x,

ami nem más, mint a linearizált inga elsőrendű egyenletrendszerré transzformált speciális esete. Ebben a esetben a £ = (0, ro) x {0} félegyenesen a Poincaré-leképezés az identitás, minden pont periodikus pályát határoz meg, amelyek nem aszimptotikusan stabilak, de stabilak.

4.24. Példa. Módosítsuk az előző egyenletrendszert:

r' = 1 — r, 0' = —1, ekkor

x' = (r cos 0)' = r' cos 0 — r sin 0 ■ 0' = (1 — r) cos 0 + r sin 0 ----1 | r cos 0 + r sin 0 = I —. — 1 I x + y,

r y l y x ^ + y

y' = (r sin 0)' = r' sin 0 + r cos 0 ■ 0'' = (1 — r) sin 0 — r cos 0

— 1 ) y — x.

----1 | r sin 0 — r cos 0 = I —.

r y V k /x ^ + y

Ez utóbbi egyenletrendszeren nem igazán látszik, de az eredeti polárkoordinátás rendszer-ben nyilván r(t) ^ 1, t ^ <x> (ha r(0) > 0), így az origó kivételével (ahol a Descartes-féle koordinátarendszerben felírt egyenlet nincs értelmezve) minden megoldás tart egy periodi-kus pályához, amely egy 1 sugarú körvonal, és periódusa 2n (a 0-re vonatkozó egyenletből vagy a második egyenletrendszernél egy x2(0) + y2(0) = 1 kezdeti feltételből induló meg-oldásból). Ebben az esetben a Poincaré-leképezés már bonyolultabb. Oldjuk meg az r' = 1 — r egyenletet: r(t) = 1 + (r(0) — 1)e- t. Ekkor r(t + 2n) = 1 + (r(t) — 1)e-2n is teljesül minden t-re, ez viszont a rendszer 0-beli 2n periodikussága miatt a 0 (0) = 0 kezdeti feltétellel pontosan a Poincaré-leképezést adja:

P (r) = 1 + (r — 1)e-2n.

Ez tekinthető egy diszkrét dinamikus rendszernek, amelyről könnyen belátható, hogy min-den pályája 1-hez tart. A fenti 1 sugarú körvonal egy aszimptotikusan stabil periodikus pálya.

4.25. Definíció. Egy dinamikus rendszer zárt pályája alatt egy nemtriviális periodikus megoldás pályáját értjük.

4.26. Tétel. A Poincaré-leképezés x fixpontja akkor és csak akkor (aszimptotikusan) sta-bil, ha a dinamikus rendszer 7 (x) zárt pályája (aszimptotikusan) stabil.

Bizonyítás. Ha a ^y(^x) pálya (aszimptotikusan) stabil, akkor a definícióban szereplő jelöléseket használva a P Poincaré-leképezéshez x-nek minden U = U 0 E környezethez találhatunk egy U = V 0 E környezetét, hogy ha y E V, akkor P k(y) e U (és P k(y) ^ x), ami pontosan az x pont (aszimptotikus) stabilitását jelenti a Poincaré-leképezés mellett.

Fordítva tegyük fel, hogy x (aszimptotikusan) stabil fixpontja P-nek. Legyen U környezete a y(x) pályának, és U C U 0 E olyan környezete x-nek E-ban, hogy ^t(f7) C U minden t E [0,T + 1]-re, és t (y) < T + 1 ebben a környezetben. Mivel x stabil, ezért van olyan V C U környezete x-nek, hogy P k(V) C U minden k-ra. Legyen V C Ute[o,T+i]^í(V). Ekkor y E V esetén van olyan z E V és t0 E [0,T + 1], hogy y = pto(z). Mivel zk = Pk(z) E U és <^t(y) = ps(zk) E U valamely k > 0-ra és

s E [0,T + 1]-re, ezért ^t(V) C (U). □

4.6. POINCARÉ-LEKÉPEZÉS 66 4.27. Tétel. Tegyük fel, hogy y(x) az f periodikus pályája. Ha a Poincaré-leképezés minden sajátértéke az egységkörön belül van, akkor a periodikus pálya aszimptotikusan stabil.

Bizonyítás. Ha a Poincaré-leképezés fixpontja aszimptotikusan stabil, akkor készen vagyunk. Ezért elegendő belátni a következő lemmát.

4.28. Lemma. Ha egy f diszkrét dinamikai rendszernek p egy k-periodikus pontja és ( fk) (p) minden sajátértéke az egységkörön belül van, akkor az aszimptotikusan stabil, attraktor.

Bizonyítás. Mivel minden sajátéréke az egységkörön belül van, ezért lehet találni egy olyan normát, amelyben ||(fk)'(p)|| < a < 1. Mivel a norma folytonos is, ezért van olyan U környezete p-nek, hogy minden x E U-ra ||(fk)'(x)|| < a. Ekkor az is teljesül, hogy

llfk(x) - p|| = ||fk(x) - f k(p)||< a||x - p||, amiből

llf k1 (x) - ^p ! < a¹ ||x - p! ^ 0,

vagyis f k1(x) ^ p. □

4.29. Lemma. Ha egy f diszkrét dinamikai rendszernek p egy k-periodikus pontja és ( f k) (p) minden sajátértéke az egységkörön kívül van, akkor az repellor.

Bizonyítás. Alkalmazzuk az előző állítást f inverzére. □

□

4.30. Tétel. A Poincaré-leképezés sajátértékei függetlenek a £ transzverzális választá-sától.

Bizonyítás. Legyen £1 és £ 2 két transzverzális a p periodikus pontban. A 4.19. Lemma szerint a p ponthoz és a T = 0-hoz is van olyan leképezés, ami a p egy környezetét rendeli a £ 2-höz az ott definiált módon, jelöljük ennek a leképezésnek a £ 1-re való megszorítását F-fel. Tehát F: £ 1 ^ £ 2 olyan leképezés, ami megadja a pályákon a £ 1-beli pontokhoz legközelebb eső £ 2-beli pontot. Ha x E £ 1 elég közel van p-hez, akkor a 4.19. Lemma alapján azt is tudjuk, hogy x pályája metszi £ 2-t, aztán körülbelül egy periódus múlva

£ 1-et és újra £ 2-t. Legyen P¹ a £ 1-hez, és P² a £ 2-höz tartozó Poincaré-leképezés.

4.6. ábra. A bizonyításban használt pályák, pontok, transzverzálisok

A 4.6 ábráról leolvasható, hogy P²(F(x)) = F (P 1(x)), vagyis F topologikus ekvivalen-ciát ad P1 és P2 között. Ráadásul, mivel a £ 1, £ 2-t meghatározó S¹ és S2 leképezések foly-tonosan differenciálhatóak, és a dinamikus rendszert meghatározó egyenlet jobb oldala is

folytonosan differenciálható (amiből következik a kezdeti feltételektől való folytonosan dif-ferenciálható függés is), ezért a F diffeomorfizmus. Differenciáljuk a P2(F(x)) = F(Pl(x)) egyenlőséget a p pontban, és használjuk ki, hogy F(p) = p, Pl(p) = p és P²(p) = p, és kapjuk, hogy

P2 (p)F'(p) = P2 (F (p))F'(p) = F\Pi(p))Pl (p) = F'(p)P[ (p).

Mivel F invertálható, ezért a deriváltja egy nemelfajuló mátrix, annak inverzével be-szorozva kapjuk, hogy P'(p) = (F'(p^{) ) - 1} P2²(p)F'(p). Vagyis a P'(p) és P2²(p) mátrixok

hasonlóak, így a sajátértékeik ugyanazok. □

Ellenőrző kérdések:

• Mikor nevezünk egy sokaságot transzverzálisnak?

• Hogyan definiálhatunk Poincaré-leképezést?

• Hogyan függnek a Poincaré-leképezés sajátértékei a transzverzális sokaság választá-sától?