Határciklusok

4.17. ábra. A nullklínák és a vektormező, illetve a fáziskép a 4. esetben

Az OAED négyszög negatív invariáns, az ACE és D EB háromszögek pozitív inva- riánsak.

Az első három esetben nullmértékű halmaz kivételével tetszőleges kezdeti pontból kiin-dulva, a megoldás olyan egyensúlyi helyzethez konvergál, amelynek valamelyik koordiná-tája 0. Ez azt jelenti, hogy az egyik populáció a versengés miatt kihal, ezt nevezik a versenykizárás elvének. A 4. esetben, ha nem valamelyik tengelyről indítjuk a megoldást, akkor az E egyensúlyba tart. Az E mindkét koordinátája pozitív, ez annak az esetnek felel meg, amikor a populációk nem zavarják egymást túlzottan.

Ellenőrző kérdések:

• Hogyan keresünk első integrált egy 2-dimenziós differenciálegyenlet-rendszerhez?

• Hogyan számítjuk ki a populációk átlagos méretét a Lotka-Volterra egyenletrend-szerben?

• Határozzuk meg az egyensúlyi helyzetek vonzási tartományát mind a négy esetben a két populáció versengését leíró modellben.

4.10. Határciklusok

Ebben az alfejezetben határhalmazként előálló periodikus megoldásokat tekintünk.

4.63. Definíció. A határciklus egy olyan zárt 7 pálya, amelyre van olyan x E 7 , hogy

7 = u(x) vagy ⁷ = a(x). Az első esetben 7 egy u-határciklus, a második esetben egy a-határciklus.

4.64. Tétel. Legyen ⁷ = u(x) egy határciklus. Ekkor van olyan V környezete x-nek, hogy y E V esetén ⁷ = u(y). Más szóval az {y E ⁷ | ⁷ = u(y)} halmaz (a határciklus medencéje) nyílt.

Bizonyítás. A határciklusoknak „egyoldali” stabilitásuk van: a határciklus egy pontjában állított transzverzálisnak a határciklus x felőli oldalára eső „közeli” trajektóriái tartani fognak a határciklushoz. Valóban, tekintsünk egy ilyen E transzverzálist. Mivel u(x) = ⁷, ezért van olyan t\ > 0, hogy <ptl (x) E E. A pályák metszéspontja E-val monoton sorozatot

ad, w(x) = 7 miatt a <^t(x) metszéspontjai tartanak a 7 0 £ ponthoz. Legyen t2 > U a ti utáni első metszéspont ideje, vagyis <^t2(x) G £ és <^t(x) G £, ha t G (ti ,t2). Ekkor tekintsük a 7 határciklus, illetve a <^t(x) (t G [ti ,t2]) és a £-nak a <^tl(x) és <^t2(x) közé eső része által meghatározott zárt görbe közé eső A tartományt (ld. a 4.18. ábrát). A <^t(-) folytonossága miatt van olyan V környezete x-nek, hogy ha y G V, akkor p^t2 (y) a p^t2 (x) pont olyan elegendően kicsi környezetébe essen, hogy a <^t(y) a £-nak <^tl (x) és 7 0 £ közötti részét metssze. Így a <^t(y) bekerül az A pozitív invariáns tartományba, ahonnan

következik, hogy w(y) = 7. □

4.18. ábra. Az A tartomány pozitívan invariáns

4.65. Következmény. Legyen H első integrálja egy síkbeli, folytonosan differenciálható dinamikus rendszernek, amelyik nem konstans egyetlen nyílt halmazon sem. Ekkor a dina-mikus rendszernek nincsenek határciklusai.

Bizonyítás. Tegyük fel indirekt, hogy 7 határciklus és legyen c G R a H értéke a határ-cikluson (aminek konstansnak kell lennie, hiszen 7 egy pálya). Ha w(x) = 7 , akkor a H folytonossága miatt H(<^t(x)) = c kell legyen. Az előző állítás szerint a 7 medencéje egy nyílt halmaz, amin (ezek szerint) H a konstans c értéket veszi fel, ami ellentmondás. □ 4.66. Tétel. Egy nemüres, kompakt és pozitív vagy negatív invariáns K halmaz tartalmaz egy periodikus pályát vagy egy fixpontot.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy K pozitív invariáns, és vegyünk egy x G K pontot. Ekkor w(x) nem üres, és alkalmazhatjuk a Poincaré-Bendixson-tételt. □ 4.67. Lemma. Legyen 7 egy zárt pálya, és a dinamikus rendszer legyen értelmezve a 7 belsején. Ekkor 7 belsejében van egy határciklus vagy egy fixpont.

Bizonyítás. Tegyük fel indirekt, hogy int 7 nem tartalmaz sem határciklust, sem fixpontot.

Ekkor a Poincaré-Bendixson-tétel szerint minden x G int 7 esetén w(x) = a(x) = 7 teljesül. Legyen £ egy transzverzális a z G 7 pontban. Ekkor vannak olyan tk ^ ro és sk ^ — ro sorozatok, hogy

Ptk (x) G £, ptk (x) ^ z és pSk (x) G £, psk (x) ^ z.

Ez viszont ellentmond annak, hogy egy pálya transzverzálissal vett metszéspontjainak

sorozata monoton a transzverzálison. □

4.10. HATÁRCIKLUSOK 84 4.68. Tétel. Legyen 7 egy zárt pálya, és a dinamikus rendszer legyen értelmezve a 7 belsején. Ekkor 7 belsejében van egy fixpont.

Bizonyítás. Tegyük fel indirekt, hogy int 7 nem tartalmaz fixpontot. Tekintsük az int 7- ba eső zárt pályákat és azok belsejeinek területét. Legyen a területek infimuma A > 0, és legyenek j k = 7 (xk) zárt pályák úgy, hogy a belsejeik területe Ak ^ A. Mivel 7 = int 7 U7 kompakt halmaz, az xk sorozatból kiválasztható egy konvergens részsorozat, jelöljük ezt ismét xk-val, vagyis xk ^ x. Vegyünk egy £ transzverzálist ben, ekkor a £-t egy x-hez tartó sorozatban metszi, amiből következik, hogy a 7 (x) pálya zárt és d(Yk, 7 (x)) ^ 0.

Ebből következik, hogy a 7 (x) pálya belsejének területe éppen A lesz. De akkor a ^y(^x) zárt pálya belsejében már definíció szerint nem lehet zárt pálya, a feltételek szerint fixpont

sem, ami ellentmond az előző lemmának. □

4.69. Tétel (Brouwer-féle fixponttétel). Legyen f : B n ^ Bn folytonos leképezése az n dimenziós Bn zárt gömbnek önmagába. Ekkor f-nek van fixpontja.

Bizonyítás. n = 2 dimenzióban bizonyítjuk folytonosan differenciálható f-re. Tekintsük a g(x) = f (x) — x leképezést illetve az az által meghatározott x'(t) = g(x) differenciál-egyenlethez tartozó vektormezőt. Mivel f a zárt körlapot önmagára képezi, ha f-nek nincs fixpontja, akkor az f (x) — x vektor a körvonalon a körlap belseje felé mutat, vagyis körlap pozitív invariáns a differenciálegyenlet által meghatározott dinamikus rendszerre nézve. Egy korábbi lemma szerint a dinamikus rendszernek van egy periodikus pályája vagy fixpontja a zárt körlapon belül. Az utóbbi esetben készen vagyunk, az előbbi esetben

pedig alkalmazzuk az előző tételt, és készen vagyunk. □

Az

x' = f (x)

autonóm differenciálegyenlet (x G Rn) által meghatározott <^t(x) dinamikus rendszert vizsgáljuk, ahol f : D ^ Rn (D C Rn nyílt halmaz) folytonosan differenciálható. Azon belül is a periodikus pályák stabilitását nézzük.

Az alábbiakban felidézünk néhány fogalmat.

4.70. Definíció. Egy 7 periodikus pálya orbitálisan stabil, ha 7 minden U nyílt környe-zetéhez van olyan V környezete, hogy x G V esetén <^t(x) C U, t > 0.

4.71. Definíció. Egy 7 periodikus pálya orbitálisan aszimptotikusan stabil, ha orbitálisan stabil, és 7-nak van olyan V nyílt környezete, hogy x G V esetén d(^t(x), 7) ^ 0 (t ^ ro).

4.72. Definíció. Az x pontnak a T aszimptotikus periódusa, ha d(<pt+T(x),^t(x)) ^ 0 (t ^ ro).

4.73. Megjegyzés. A Ljapunov-értelemben vett aszimptotikus stabilitás nem ugyanaz, mint az orbitális aszimptotikus stabilitás. A Ljapunov szerinti aszimptotikus stabilitás esetén a megoldások távolsága tart 0-hoz: ha 7 = {p(t) | t > 0}, akkor d(^t(x),p(t)) ^ 0.

Ebből persze következik az orbitális aszimptotikus stabilitás is. De fordítva ez nem feltét-lenül igaz: pl. ha a 7-n belüli pontok „lassabban” mozognak, mint a 7 pontjai, akkor a 7-hoz a 0 időpontban közeli pont is időben „elmászhat” a p(t) megoldástól, miközben persze a 7 közelében marad.

4.74. Példa. Tekintsük a következő, polárkoordinátákban felírt rendszert:

Í

r' = r( 1 — r), 0' = r.

Világos módon, ha ro > 0, akkor r(t) ^ 1, t ^ x>, tehát az 1 sugarú körvonal egy aszimptotikusan stabil periodikus pálya. Szétválasztható változójú egyenletként megoldva az r-re vonatkozó egyenletet kapjuk, hogy

r(t) etr⁰

1 — ro + eUo amiből a 0-re vonatkozó egyenlet integrálásával

0 (t) = 0o + ln (1 — ro + eVo) = 0o + t + ln ((1 — ro)e-t + ro) .

Ebből 0(2kn) — 0o ^ ln(ro) mod (2n), k ^ w , tehát a megoldás aszimptotikusan 2n- periodikus.

4.75. Példa. Tekintsük a következő, polárkoordinátákban felírt rendszert:

r' = (1 — r )3 0' = r.

Továbbra is teljesül, hogy r(t) ^ 1, tehát az 1 sugarú körvonal egy aszimptotikusan stabil periodikus pálya. Szétválasztható változójú egyenletként megoldva az r-re vonatkozó egyenletet kapjuk, hogy

r(t) 1 + r0 — 1

^ 2t(r0 — 1)2 + 1 t > 1

2(r0 — 1)2 ¹ amiből a 0-re vonatkozó egyenlet integrálásával

0 (t) = 0o + t + t ro — 1

0 \J 2s(r0 — 1)2 + 1ds.

Ebben az esetben az integrál végtelenbe divergál. Legyen 0o = 0, és ha veszünk egy tetszőleges r0 < 1-et, illetve azt a megoldást, amelyik az r0 = 1-ből indul, akkor az első megoldás (bármilyen közel is legyen r0 az 1-hez) lassabban köröz: a két megoldás 0-jének különbsége tart végtelenbe, tehát az 1 sugarú körvonal, mint megoldás, Ljapunov értelemben nem aszimptotikusan stabil.

4.76. Példa. A Van der Pol egyenlet periodikus pályája orbitálisan aszimptotikusan stabil, ezt beláttuk. Az is bebizonyítható, hogy Ljapunov értelemben is aszimptotikusan stabil.

4.10. HATÁRCIKLUSOK 86 4.77. Tétel. Legyen 7 egy T-periodikus, aszimptotikusan stabil, zárt pálya. Ekkor van egy olyan U környezete 7-nak, hogy U minden pontja aszimptotikusan T-periodikus.

Bizonyítás. Legyen U az aszimptotikus stabilitásban definiált környezet, x E U és e > 0. Ekkor a folytonosság miatt van olyan 5 E (0,e), hogy z E 7 és d(y,z) < ő esetén d(pT(y),pT(z)) = d(pT(y),z) < e. Mivel d(pt(x), 7) ^ 0 (t ^ ro), van olyan t⁰ > 0, hogy minden t > t0-ra található egy olyan zt E 7 pont, hogy d(pt(x),zt) < ő.

Ekkor t > t⁰-ra kapjuk, hogy

d(pt+T(x),pt(x)) < dp(<pt(x)),pT(zt)) + d p (z t),p t(x )) < e + ő < ²e,

amivel beláttuk az állítást. □

4.78. Tétel. Legyen 7 T-periodikus, zárt pálya és p E 7 . Tegyük fel, hogy a pT leképezés deriváltja a p pontban (DpT(p), ami egy n x n-es mátrix) sajátértékei közül (n — l)-nek 1-nél kisebb az abszolút értéke. Ekkor 7 aszimptotikusan stabil.

4.79. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a sajátértékek függetlenek a p választásától.

Valóban, ha q E 7 , akkor legyen r E R olyan, hogy pr(p) = q, és így DpT (p) = D(p-r P^t Pr )(p) = (Dpr (p^{) ) - 1} DpT (q)Dpr (p),

tehát a D pT(p) és DpT(q) mátrixok hasonlóak. Az is világos, hogy az l mindig sajátérték, mert

^ p t+ T (p) |t=0 = ~dt pt(pT(p)) |t=0 = f (p t (p)) = f (p)

és d | d | d |

dtpt+T = ~df,pT ^ t^ T r n a = D^{p t} (pt = D^{p t} (T) f (T)

szerint D pT(p)f (p) = f (p), vagyis f (p) = 0 az 1-hez tartozó sajátvektor. A tételben szereplő sajátértékekre vonatkozó feltétel igen erős, ilyenkor a 7 periodikus attraktor, vagyis ha d(pt(x),p) ^ 0, akkor van egy olyan z E 7 , hogy d(pt(x), pt(z)) ^ 0.

Bizonyítás. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy p = 0. Legyen H C Rn egy a 0-t tartalmazó 1 kodimenziós (n — l dimenziós) hipersík (altér), amelyet a D pT(0) mátrix önmagába képez. Ezt úgy tudjuk elérni, hogy vesszük az 1-nél kisebb abszolút értékű sa-játértékek általánosított sajátaltereinek direkt összegét, ez nyilván invariáns lesz D pT(0)- ra és nem tartalmazza az 1-es sajátértéket: transzverzális 7-ra a 0 pontban. Vegyük a H-nak azt a V részhalmazát, amely transzverzális a dinamikus rendszerre, és tekintsük az azon ható Poincaré-leképezést: P(x) = pT(x)(x), ^t (0) = T.

Ennek a Poincaré-leképezésnek a deriváltja ugyanaz, mint a D pT(0)|H. Valóban:

DP(0) = [d (p t{x)(x))|x=0] ^ = [f (p t(⁰)(0))Dt(0) + d p t (0)] ^ .

Ha Dt (0) = 0, akkor beláttuk a Poincaré-leképezés deriváltjára vonatkozó állítást. Legyen í egy lineáris funkcionál, ami pontosan a H hipersíkon 0: ilyet könnyű találni, a H hipersík normálvektorával vett skaláris szorzat ilyen. Ezzel az í-lel tudjuk, hogy í(p T(x)(x)) = 0.

Differenciáljuk ezt és helyettesítsük be az x = 0-t:

í o f (pT(0))Dt (0) + í o D pT(0) = í o f (0)Dt (0) + í o D pT(0) = 0.

A transzverzalitás miatt í o f (0) = 0, így kapjuk, hogy Dt (0) í o D'^t (0)

í o f (0)

De Dt (0) = Dt (0)|h , hiszen a t a H síkjában hat, így mivel D ^t (0)|h E H , ezért Dt (0) = - í f ) í ◦ D ^t (0) I h = 0

és beláttuk, hogy a Poincaré-leképezés deriváltja ugyanaz, mint a D ^t (0)|h.

Így tudjuk, hogy a Poincaré-leképezés deriváltjának sajátértékei 1-nél kisebb abszolút értékűek, a Poincaré-leképezés 0 fixpontja aszimptotikusan stabil, és ezzel a 7 periodi-kus pálya is orbitálisan aszimptotiperiodi-kusan stabil. Most már csak azt kell belátni, hogy 7 periodikus attraktor.

Elegendő a 7-hoz közeli <^t(x) pályák közül olyanokat tekinteni csak, ahol x E E, hiszen minden 7-hoz elegendően közeli pálya metszeni fogja E-t. Ha ^ kT(x) elegendően közel van a 0-hoz k = 1 , 2 ,...,/-re, akkor ^kT(x) = ptk(Pk(x)), ahol tk = tk-1 + T — t (Pk^{- 1}(x)).

Mivel P deriváltjának sajátértékei 1-nél kisebb abszolút értékűek, ezért van olyan norma és v < 1, hogy ||Pk(x)|| < v||Pk-1(x)||. Felhasználva, hogy Dt (0) = 0 kapjuk, hogy bármilyen e > 0-ra 0-hoz elegendően közeli x-ekre

|tk — tk-i| < e |P k 1(x)| < evk 1 ||x vagyis

|tk — to| < e||x|| ^ v1 = |x

1=0

Tehát elegendően kicsi e-ra a fenti egyenlőtlenség akármilyen /-re teljesül, a ^ kT(x) közel marad a 0-hoz és bármilyen k-ig folytatható. A tk sorozat Cauchy-sorozat, tk ^ s, így

^ kT(x) ^ z = <ps(0) E 7 és ezzel az állítást beláttuk. □ 4.80. Példa. Tekintsük a következő, polárkoordinátákban adott rendszert:

r' = r (1 — r), 0' = sin2 0 + e, ahol e valós paraméter.

Polárkoordinátákban is van értelme nullklínákról beszélni, ezeken a vektormező sugár-irányú vagy arra merőleges. Határozzuk meg ezeket, az

r' = 0 és 0' = 0 egyenleteket a következő alakra hozhatjuk:

r = 0 vagy r = 1, illetve sin 0 = ± / —e, ha — 1 < e < 0.

Az origó mindig egyensúlyi helyzet, e értékétől függően lehetnek további egyensúlyi helyzetek az egységkörön.

r az egységkörön belül növekszik, kívül csökken. A megoldások időben előrefelé korlá-tosak, ezért az w-limeszhalmazaik nemüresek, kompaktak és összefüggőek, tehát teljesül-nek a Poincaré-Bendixson-tétel feltételei.

Öt különböző eset lehetséges.

4.10. HATÁRCIKLUSOK 88 1. e > 0: 0 mindenhol növekszik. Az egységkör egy periodikus pálya, a belseje invariáns.

2. e = 0: Ha 0 = 0 vagy n, akkor 0' = 0. Ahol ez a két félegyenes metszi az egységkört, ott egyensúlyi helyzet van. A félkörlapok invariánsak, ezeken az r és 0 koordináták monoton növekvőek, korlátosak, így konvergensek, csak egyensúlyi helyzetbe konver-gálhatnak. A nem korlátos tartományok is invariánsak, itt r csökkenő, alulról korlátos, 0 növekvő, felülről korlátos, a megoldás szintén egyensúlyba tart.

3. —1 < e < 0: Ha 0 = ± a rc si^ /—e vagy n ± a rc si^ /—e (mod 2n), akkor 0' = 0.

A félegyenesek és az egységkör 4 darab metszéspontjában egyensúlyi helyzet van. A körcikkek invariánsak.

4. e = —1: Hasonlít a 2. esethez, csak 0' < 0, és 0' akkor egyenlő 0-val, ha 0 = n/2 vagy 3n/2 (mod 2n).

5. e < —1: Hasonlít az 1. esethez, csak 0' < 0.

4.19. ábra. A fáziskép az 1-5. esetekben

4.81. Példa. Tekintsük a következő, polárkoordinátákban adott rendszert:

r' = (1 — r)3,

0' = sin2 0 + (r — 1)2, ro > 0. A nullklínák

r' = 0 és 0' = 0, vagyis

r = 1, illetve sin 0 = 0 és r = 1

alakúak. Most a 0-nullklína csak két pontból áll, ez a két egyensúlyi helyzet. Az r- egyenletet korábban már megoldottuk, a megoldása:

r(t) 1 + r0 — 1

^ 2í(r0 — 1)2 + 1 t > 1

2(r0 — 1)2 ⁵

ha r0 = 1 és r = 1, ha r0 = 1. Tegyük fel, hogy r0 = 1 és integráljuk a 0-egyenletet:

0 (t) = 0o + ^ (sin2 0 (s) + (r(s) - 1)2)2 ds > 0o + [ r0 1 lo \ /2s(r0 - 1)2 + 1ds.

Az integrál, és így a szög is tart végtelenbe, ahogy t ^ x>. Így az w-limeszhalmaz a két egyensúlyi helyzetből, és az őket összekötő, két heteroklinikus pályából áll. Tehát most a Poincaré-Bendixson-tétel harmadik esete teljesül.

4.20. ábra. A fáziskép Ellenőrző kérdések:

• Mit mondhatunk egy zárt pálya belsejéről?

• Mikor nevezünk egy periodikus pályát orbitálisan stabilnak?

• Mi az aszimptotikus periódus definíciója?

In document Dinamikus rendszerek (Pldal 85-92)