Plazmahull´ amok

Ha kisz´amoltuk az egyens´ulyt, megvizsg´alhatjuk, hogy mi t¨ort´enik, ha kis m´ert´ekben kit´er´ıtj¨uk a rendszert ebb˝ol az ´allapotb´ol. M´ar a 9.1. fejezetben felmer¨ult a stabilit´as vizsg´alata a f¨ugg˝oleges eltol´od´as kapcs´an, ebben a fejezetben olyan eseteket vizsg´alunk, amikor a kit´er¨ul´essel szemben els˝o k¨ozel´ıt´esben stabil a plazma.

Amennyiben stabil egyens´ulyi helyzetb˝ol kis m´ert´ekben kit´er´ıtj¨uk a rendszert, akkor

´

altal´aban a kit´er´essel ar´anyos visszat´er´ıt˝o er˝o keletkezik. Azt a tartom´anyt nevezz¨uk line´aris tartom´anynak, ahol ez j´o k¨ozel´ıt´essel igaz. Ha a visszat´er´ıt˝o er˝o mellett a t¨obbi tag (p´eld´aul a sebess´eggel ar´anyos csillap´ıt´as) elhanyagolhat´o a lineariz´alt egyenletrend-szerben, harmonikus rezg˝omozg´as vagy hull´am j¨on l´etre. A plazm´aban a t¨obbi k¨ozeghez k´epest sokf´ele hull´am j¨ohet l´etre, att´ol f¨ugg˝oen, hogy melyik r´eszecskepopul´aci´ok vesz-nek r´eszt a hull´amz´asban ´es milyen t´ıpus´u k¨olcs¨onhat´asok j´arulnak hozz´a a visszat´er´ıt˝o er˝oh¨oz.

A plazmahull´amok elm´eleti le´ır´as´ara ´altal´aban t¨obb lehet˝os´eg van. A leg´altal´anosabb m´odszertan a kinetikus elm´eletb˝ol indul ki a (8.19-8.21) egyenletrendszernek az egyen-s´ulyi megold´ashoz k¨or¨uli lineariz´alt alakj´anak megold´as´aval. Egy szeml´eletesebb megk¨ o-zel´ıt´es a (8.31-8.33) t¨obbfolyad´ek egyenletek megold´as´an alapul, ´es speci´alis esetekben haszn´alhatjuk a (8.37-8.41) magnetohirdodinamik´at. Ez ut´obbiakat ¨osszefoglal´o n´even MHD hull´amoknak h´ıvjuk, ´es nagy hull´amhosszuk miatt jellemz˝oen az adott berendez´es geometri´aj´at´ol f¨ugg˝o saj´atm´odus-szerkezetet alak´ıtanak ki.

A hull´amok sz´amol´as´anak t¨obbfolyad´ek egyenletek eset´eben, homog´en geometri´ara az ´altal´anos m´odszertana a k¨ovetkez˝o:

1. Vessz¨uk a folyad´ek egyenleteknek az adott hull´am szempontj´ab´ol relev´ans alakj´at.

2. Az egyenletrendszert Fourier-transzform´aljuk t´erben ´es Laplace-transzform´aljuk id˝oben – avagy behelyettes´ıtj¨uk a Aexpi(kr−ωt) s´ıkhull´am pr´obaf¨uggv´enyt, hol A az amplit´ud´o vektor, ka hull´amsz´am vektor ´esω a hull´am frekvenci´aja.

3. Lineariz´aljuk az egyenletrendszert az egyens´ulyi ´allapot k¨or¨ul.

4. Kapunk egy line´aris algebrai egyenletrendszert, aminek akkor van nemtrivi´alis meg-old´asa, ha az egy¨utthat´o m´atrix determin´ansa nulla – ez a diszperzi´os rel´aci´o:

ω =ω(k).

5. A diszperzi´os rel´aci´ob´ol kisz´amolhat´o a hull´am v_p = ω/k f´azissebess´ege ´es v_g = dω/dk csoportsebess´ege, valamint megadhat´o a hull´amegyenlet megold´asa is.

9.4. ´abra. A m´agneses t´erre mer˝olegesen terjed˝o elektrom´agneses hull´am k´et nevezetes polariz´aci´oja: ordin´arius ´es extraordin´arius hull´amok.

Az ¨osszes plazmahull´am t´argyal´as´ara jelen jegyzet keretei k¨oz¨ott nincs lehet˝os´eg¨unk, ez´ert csak a kit¨untetett ir´anyban terjed˝o nagyfrekvenci´aj´u elektrom´agneses hull´amok terjed´es´et vizsg´aljuk. A kit¨untetett ir´anyok a nyugalmi m´agneses t´errel p´arhuzamos illetve az arra mer˝oleges ir´anyok. A m´agneses t´erre mer˝oleges terjed´es eset´en a9.4. ´abra szerint k´et kit¨untetett s´ıkpolariz´alt hull´amunk van: az ordin´arius ´es az extraordin´arius hull´amok.

(a) Ordin´arius (b) Extraordin´arius

9.5. ´abra. A m´agneses t´erre mer˝oleges elektrom´agneses hull´amok diszperzi´oja.

Az ordin´arius hull´amok eset´en a hull´amz´o elektromos t´erer˝oss´eg vektor, ´es ´ıgy az elektronok kit´er¨ul´ese is p´arhuzamos a m´agneses t´erer˝oss´eg vektorral, ´ıgy a Lorenz-er˝o

nem hat, a nem-m´agnesezett esethez teljesen hasonl´o elektrom´agneses hull´amot kapunk:

a 9.5 ´abra szerint a (2.18) szerint defini´alt ω_p plazmafrekvencia alatt nem terjednek a hull´amok. Fel¨ulr˝ol a plazmafrekvenci´ahoz k¨ozel´ıtve a f´azissebess´eg v´egtelenhez tart, az ilyen fel¨uletekr˝ol visszaver˝odnek a hull´amok.

Extraordin´arus esetben m´as a helyzet, mert itt m´ar s Lorenz-er˝o is hat a kit´er¨ult elektronokra. Ekkor a 9.5 ´abra szerint az els˝o lev´ag´as a

ωL= 1 frekvenci´an´al van, ahol ω_ce az elektron ciklotron frekvencia A k¨ovetkez˝o nevezetes frek-vencia a

ω_L=q

ω_ce² +ω²_p (9.8)

fels˝o hibrid frekvenci´an egy rezonancia, ahol a f´azissebess´eg null´aba tart ´es ´ıgy lehets´eges az energia´araml´as a hull´am ´es a r´eszecsk´ek k¨oz¨ott. Egy tiltott frekvencias´avon t´ul a

ωL= 1 frekvenci´an ´ujra egy lev´ag´as tal´alhat´o.

9.6. ´abra. A m´agneses t´errel p´arhuzamosan terjed˝o elektrom´agneses hull´am k´et nevezetes polariz´aci´oja: jobbra ´es balra cirkul´arisan polariz´alt, avagy R- ´es L-hull´amok.

Az el˝obb t´argyalt m´agneses t´erre mer˝oleges terjed´essel szemben a m´agneses t´errel p´arhuzamos terjed´es eset´en nem a s´ıkpolariz´aci´ok terjednek k¨ul¨onb¨oz˝o m´odon, hanem a 9.6. ´abra szerinti cirkul´aris polariz´aci´ok. A k¨ul¨onb¨oz˝o cirkul´aris polariz´aci´ok k¨ul¨onb¨oz˝o terjed´es´enek oka az, hogy a polariz´aci´o foroghat a hull´am ´altal megmozgatott elektronok Larmor-p´aly´aj´anak ir´any´aban ´es azzal ellent´etesen is.

A balra cirkul´arisan polariz´alt hull´amok az elektronok Larmor-p´aly´aj´aval ellent´etes ir´anyban forognak. Ekkor a diszperzi´o viszonylag egyszer˝u: a 9.7. ´abra szerint van egy lev´ag´as a (9.7) egyenlettel defini´alt ω_L frekvenci´an´al, ´es e f¨ol¨ott terjed a hull´am.

9.7. ´abra. Az R- ´es L-hull´amok diszperzi´oja.

A jobbra cirkul´arisan polariz´alt hull´am eset´en m´as a helyzet. Ez a hull´am a (9.9) egyenlettel defini´alt ω_R frekvencia f¨ol¨ott terjed, de van egy alacsony frekvenci´as ´aga is.

Ezt a hull´amot f¨uty¨ul˝o hull´amnak (angolul: whistler) h´ıvjuk, ´es eg´eszen alacsony frekcen-ci´an m´ar terjed - az elektron hull´amok ´erv´enyess´egi tartom´any´at elhagyva fokozatosan

´

atmegy a magneto-akusztikus hull´amba. Ennek a hull´amnak az ω_cciklotron frekvenci´an van egy rezonanci´aja, mikor a polariz´aci´o egy¨utt forog a rezon´ans elektronok Larmor-p´aly´aj´aval. Ezen a frekvenci´an energia´atad´as van a hull´am ´es az elektronok k¨oz¨ott, amit diagnosztikai c´elra, de ak´ar plazmaf˝ut´esre is felhaszn´alhatunk.