8. Bevezet´ es m´ agnesezett plazm´ ak elm´ eleti le´ır´ as´ aba: kinetikus elm´ elet,
8.2. Kinetikus elm´ elet
A 8.1 fejezetben v´azolt probl´em´ara a r´eszecsk´ek statisztikus kezel´ese k´ın´al megold´ast. A 6 dimenzi´os (r,v) f´azist´erben egy r´eszecsk´et egy pont jellemez, mozg´as´at egy trajekt´oria
´ırja le. Az egyes r´eszecsk´ek mozg´asa ´altal´aban nem ´erdekel minket – ´es ezt m´erni sem tudjuk, – a k¨ozeg viselked´es´et a r´eszecsk´ek statisztikus tulajdons´agai hat´arozz´ak meg.
Az a t´ıpus´u r´eszecske fa(r,v, t) eloszl´asf¨uggv´enye egy val´osz´ın˝us´eg-s˝ur˝us´egf¨uggv´eny: a f´azist´er egy (r,v) pontj´anak (dr, dv) sugar´u k¨ornyezet´eben (8.4) r´eszecske tal´alhat´o ´ at-lagosan.
F (r,v, dr, dv, t) =fa(r,v, t)d3rd3v (8.4) Ha (dr, dv)→(0,0), akkor besz´el¨unk mikroszkopikus eloszl´asf¨uggv´enyr˝ol.
8.2.1. Boltzmann-egyenlet
Amennyiben a r´eszecskesz´am megmarad, a f´azist´erben ´erv´enyes a (8.5) kontinuit´as egyen-let ((Liouville-t´etel).
A (8.6) egyenletet mikroszkopikus kinetikus egyenletnek is h´ıvjuk, benne a ˜E(r) ´es ˜B(r) mennyis´egek pontosan a r´eszecske hely´en ´ertend˝ok, ´es magukban foglalj´ak a Debye-hosszon bel¨uli er˝os fluktu´aci´okat is.
A ˜E(r) ´es ˜B(r) mikroszkopikus elektromos ´es m´agneses tereket nem tudjuk m´erni,
´
es ´altal´aban nem is ´erdekel minket a r´eszecsk´ek viselked´ese ezen a sk´al´an, ez´ert ezen fluktu´aci´ok hat´as´at k¨ul¨onv´alaszthatjuk egy
∂fa(r,v, t)
∂t (coll.) =Ca(fa(r,v, t)) (8.7) utk¨¨ oz´esi oper´atorba. Ennek seg´ıts´eg´evel m´ar a makroszkopikusE(r) ´esB(r) elektromos
´
es m´agneses terekkel fel´ırhatjuk a (8.8) Boltzmann-egyenletet.
∂fa(r,v, t)
∂t +˙r∇fa(r,v, t)+ qa
ma(E(r) +v×B(r))∂fa(r,v, t)
∂v =Ca(fa(r,v, t)) (8.8) Ez a kinetikus elm´elet alapegyenlete, amib˝ol a k¨ul¨onb¨oz˝o r´eszecskepopul´aci´ok eloszl´ as-f¨uggv´enyeinek id˝ofej˝od´es´et sz´amoljuk. Ertelemszer˝´ uen minden popul´aci´ohoz tartozik egy-egy Boltzmann-egyenlet.
A (8.8) Boltzmann-egyenlet speci´alis esete, amikor a vizsg´alt folyamat szempontj´ab´ol az ¨utk¨oz´esek hat´as´at els˝o rendben elhanyagoljuk. Ekkor form´alisan visszakapjuk a (8.6) Vlasov egyenletet, csak ez´uttal a makroszk´olikus elektromos ´es m´agneses terekkel:
∂fa(r,v, t)
∂t +˙r∇fa(r,v, t) + qa
ma(E(r) +v×B(r))∂fa(r,v, t)
∂v = 0, (8.9)
A (8.9) egyenletet szint´en Vlasov-egyenletnek h´ıvjuk, ez´ert ha Vlasov-egyenletr˝ol van sz´o mindig tiszt´azni kell hogy a mikroszkopikus vagy a makroszkopikus v´altozatr´ol be-sz´el¨unk. A (8.9) makroszkopikus v´altozat egy jellemz˝o felhaszn´al´asi ter¨ulete a gyors plazmahull´amok´e, ahol a hull´am peri´odusideje sokkal kisebb, mint a karakterisztikus utk¨¨ oz´esi id˝o.
Megjegyzem, hogy a fejezetben k¨ovetkezetesen olyan ¨utk¨oz´eseket vizsg´alok, amik a r´eszecskesz´amot meg˝orzik. Ha ez ne teljes¨ul, mert atomfizikai – vagy esetleg magfizikai – folyamatok j´atsz´odnak le a plazm´aban, akkor ezen folyamatok a (8.8) egyenlet jobb oldal´an nyel˝ok´ent ´es/vagy forr´ask´ent jelentkeznek.
8.2.2. ¨ Utk¨ oz´ esi oper´ ator
A plazmafizik´aban rengetegf´ele ¨utk¨oz´esi oper´atort haszn´alunk, de van egy p´ar tulajdon-s´ag, ami az oper´ator (8.7) defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkezik. A els˝o ilyen tulajdons´ag, hogy az adott a r´eszecskepopul´aci´ora a t¨obbi b popul´aci´oval val´o ¨utk¨oz´esek hat´asa (8.10) ´ erte-lemben addit´ıv.
Ca(fa) =X
b
Cab(fa, fb) (8.10)
T¨obb egyenl˝os´eg k¨ovetkezik az ¨utk¨oz´esekre ´erv´enyes megmarad´asi t´etelekb˝ol. A jelen fejezetben vizsg´alt ¨utk¨oz´esi oper´atorok nem v´altoztatj´ak meg a r´eszecsk´ek sz´am´at ´es
k¨ozvetlen¨ul a helyzet´et sem, ez´ert ´erv´enyes a (8.11) ¨osszef¨ugg´es.
∂na(r, t)
∂t (coll.) = Z
Cab(fa)d3v = 0 (8.11) Az egyes ¨utk¨oz´esekre mikroszkopikusan ´erv´enyes impulzusmegmarad´as miatt az a po-pul´aci´o ´altal b popul´aci´oval val´o ¨utk¨oz´esekben elvesz´ıtett impulzus pontosan meg kell egyezzen a b popul´aci´o ´altalapopul´aci´oval val´o ¨utk¨oz´esekben nyert impulzussal a (8.12) egyenlet szerint. el-vesz´ıtett energia ´es a b popul´aci´o ´altal a popul´aci´oval val´o ¨utk¨oz´esekben nyert energia viszony´ara a (8.13) egyenlet szerint.
Z
mav2Cab(fa)d3v =− Z
mbv2Cba(fb)d3v (8.13) Az ¨utk¨oz´esi oper´atorok ugyancsak ´altal´anos tulajdons´aga, hogy az eloszl´asf¨uggv´ enye-ket a (8.14) egyens´ulyi Maxwell-sebess´egeloszl´ashoz k¨ozel´ıtik.
fM a(r,v, t) = na(r, t)
A plazmafizik´aban a rugalmas ¨utk¨oz´esek hat´as´at legjobban a Fokker-Planck oper´ator ´ırja le. Itt azt haszn´aljuk fel, hogy a plazm´akban ´altal´aban a kissz¨og˝u sz´or´asok kumulat´ıv hat´asa domin´al a ritka de nagysz¨og˝u sz´or´asokhoz k´epest.
Az eloszl´asf¨uggv´eny ¨utk¨oz´esek miatt bek¨ovetkezett id˝obeli v´altoz´as´at – az egyszer˝us´eg kedv´e´ert most egy sebess´eg dimenzi´oban – a k¨ovetkez˝o k´eplet ´ırja le:
f(v, t+ ∆t) = Z
f(v−∆v, t)F(v−∆v,∆v)d∆v, (8.15) ahol F(v−∆v,∆v) magf¨uggv´eny annak a val´osz´ın˝us´eg´et jelzi, hogy ∆t id˝o alatt milyen val´osz´ın˝us´eggel v´altozik meg av−∆v sebess´eg˝u r´eszecske sebess´ege pont ∆v-vel. Fentiek szerint az integrandus sorba fejthet˝o ∆v = 0 k¨or¨ul:
f(v, t+ ∆t) =
Az ¨utk¨oz´esi oper´ator a (8.16) kifejez´esb˝ol m´ar kifejezhet˝o az al´abbi differenci´aval: ahol a (8.16) sorfejt´es els˝o tagja kiesett a R
F(v,∆v)d∆v = 1 azonoss´ag miatt, h∆vi ´es h(∆v)2i pedig az F(v,∆v) val´osz´ın˝us´egsz˝ur˝us´eg f¨uggv´eny ∆v-ben els˝o illetve m´asodik momentumai. A (8.17) kifejez´es els˝o tagja az ´atlagsebess´eg megv´altoz´as´a´ert felel˝os, m´ıg a m´asodik tag egy sebess´egt´erbeli diff´uzi´ot hajt. Ezen k´et folyamat alak´ıtja ki z´art rend-szer eset´eben el´eg id˝o eltelt´evel a (8.14) Maxwell-eloszl´asokat. A (8.17) Fokker-Planck-oper´ator gyakorlatban is haszn´alhat´o alakj´anak levezet´es´ehez figyelembe kell venni az utk¨¨ oz´esek statisztik´aj´at – a levezet´es megtal´alhat´o a javasolt irodalomban.
Gyakorlatban haszn´alt ¨utk¨oz´esi oper´atorok
Az el˝oz˝o fejezetben bevezetett ´altal´anos Fokker-Planck-oper´ator pontos kifejez´es´et Coulomb-utk¨¨ oz´esekre Landau m´ar 1936-ban levezette. Ennek ellen´ere haszn´alata igen ritka. ´ Al-tal´aban az ¨utk¨oz´esben r´eszt vev˝o r´eszecskepopul´aci´ok speci´alis tulajdons´agai lehet˝ov´e teszik az ¨utk¨oz´esi oper´ator jelent˝os egyszer˝us´ıt´es´et, de az is el˝ofordul, hogy az ¨utk¨oz´ e-seknek csak egy meghat´arozott aspektusa ´erdekel minket.
El˝obbi esetbe tartoznak azok az esetek, amikor az ¨utk¨oz˝o r´eszecsk´ek t¨omege jelent˝osen elt´er. Az elektron-ion ¨utk¨oz´esi oper´ator elektronok sz´or´od´as´at ´ırja le ionokon. Ha az elektron- ´es ionh˝om´ers´eklet nagys´agrendileg megegyezik, az ionok termikus sebess´ege null´aval k¨ozel´ıthet˝o. Ezt szeml´elteti a https://deep.reak.bme.hu:8080/home/pub/
19/ intarekt´ıv anim´aci´o is. Ebben az esetben az ¨utk¨oz´esi oper´ator leger˝osebb r´esze a sz¨ogsz´or´as lesz, amikor az elektronok sebess´eg´enek csak az ir´anya v´altozik. Az
elektron-´
es ionpopul´aci´o k¨oz¨otti impulzuscsere csak a k¨ovetkez˝o rendben jelentkezik.
Ett˝ol az esett˝ol jelent˝osen elt´er amikor az elektronok hat´as´at vizsg´aljuk az ionokra.
Ezt az ion-elektron ¨utk¨oz´esi oper´ator ´ırja le. Itt szint´en kihaszn´aljuk a termikus sebess´ e-gekben tapasztalhat´o nagys´agrendi k¨ul¨onbs´eget, de az els˝odleges hat´as ebben az esetben az ionok s´url´od´as´at jelenti az elektronokon. K¨ovetkez˝o rendben lehets´eges az ion-elektron h˝o´araml´as.
Ha nincsen nagys´agrendi k¨ul¨onbs´eg az ¨utk¨oz˝o r´eszecsk´ek t¨omeg´eben – p´eld´aul mert a popul´aci´o ¨onmag´aval vett ¨utk¨oz´eseit vizsg´aljuk, – akkor nincs lehet˝os´eg a fentiekhez hasonl´o egyszer˝us´ıt´esekre. Ebben az esetben annyit tehet¨unk, hogy ha az eloszl´asf¨uggv´ e-ny¨unk k¨ozel Maxwell-eloszl´as, akkor lineariz´alhatjuk az ¨utk¨oz´esi oper´atorunkat, ez lesz a lineariz´alt Fokker-Planck-oper´ator. Erre az ad lehet˝os´eget, hogy a fejezet elej´en le´ırt ´ alta-l´anos tulajdons´agok miatt a Maxwell-eloszl´asra nem hat az ¨utk¨oz´esi oper´ator. (Vegy¨uk
´
eszre, hogy a teljes Cab(fa, fb) oper´ator (8.10) szerint biline´aris, azaz a popul´aci´onak
¨onmag´aval vett ¨utk¨oz´eseire nem line´aris!)
Fenti egyszer˝us´ıt´esek fizikailag er˝osen motiv´altak, de el˝ofordul az is, hogy a modell egyenleteinkben az ¨utk¨oz´eseknek csak bizonyos aspektusait szeretn´enk figyelembe venni.
Ebben az esetben modell oper´atorokat haszn´alunk. Ezekkel szemben ´altal´aban annyi a k¨ovetelm´eny, hogy a kiemelt jelens´eget j´ol modellezz´ek, ´es nem ´art az sem, ha teljes¨ulnek a (8.11), (8.12) ´es (8.13) megmarad´asi t´etelek. A legegyszer˝ubb modell oper´ator, ami csak annyit tud, hogy adott τ id˝o´alland´oval a Maxwell-eloszl´ashoz k¨ozel´ıti a r´ eszecskeel-oszl´asunkat, a (8.18) Krook-oper´ator.
C(f) =ν(fM a−f), (8.18)
ahol ν = 1/τ az ¨utk¨oz´esi frekvencia.
8.2.3. Teljes kinetikus egyenletrendszer
Fentiek alapj´an a teljes kinetikus egyenletrendszer egy k´etkomponens˝u plazm´ara a k¨ o-vetkez˝ok´eppen ´all el˝o:
A (8.19) ´es (8.20) egyenletek az elektron illetve ion eloszl´asf¨uggv´enyekre fel´ırt Boltzmann-egyenletek. Ezek parci´alis differenci´alegyenletek, amiket az ¨utk¨oz´esi oper´atorok k¨ ozvet-len¨ul is csatolnak.
A (8.19) ´es (8.20) kinetikus egyenletek k¨oz¨ott egy k¨ozvetett csatol´as is l´etezik a mak-roszkopikus elektromos ´es m´agneses tereken kereszt¨ul. Ezek a mennyis´egek egyr´eszt szerepeknek a Boltzmann-egyenletek er˝otagj´aban, m´asr´eszt az id˝ofejl˝od´es¨uket a (8.21) Maxwell-egyenleteken kereszt¨ul a ez elektron ´es ion eloszl´asf¨uggv´enyek sebess´eg szerinti megfelel˝o momentumai hat´arozz´ak meg.
Fenti egyenletrendszert k´ezenfekv˝o t¨obb plazma¨osszetev˝ore ´altal´anos´ıtani: egyr´eszt a kinetikus egyenletek sz´ama gyarapodik, m´asr´eszt az ¨utk¨oz´esi tagok sz´ama ´es a Maxwell-egyenletek forr´astagjainak sz´ama n˝o meg.