KÉK SZABÁLY:
PIROS SZABÁLY:
Válasszunk ki egy olyan∅ 6= X ⊂ V csúcshal-mazt, amelyb ˝ol nem vezet ki kék él. Ezután egy legkisebb súlyú X-b ˝ol kimen ˝o színezetlen élet fessünk kékre.
Válasszunk G-ben egy olyan egyszer ˝u kört, amelyben nincs piros él. A kör egyik legna-gyobb súlyú színtelen élét fessük pirosra.
KezdetbenG-nek nincs színes éle. A két szabályt tetsz ˝oleges sorrendben és helyeken alkalmazzuk, amíg csak lehetséges.
=⇒piros-kékalgoritmus
A piros-kék algoritmus
KÉK SZABÁLY:
PIROS SZABÁLY:
Válasszunk ki egy olyan∅ 6= X ⊂ V csúcshal-mazt, amelyb ˝ol nem vezet ki kék él. Ezután egy legkisebb súlyú X-b ˝ol kimen ˝o színezetlen élet fessünk kékre.
Válasszunk G-ben egy olyan egyszer ˝u kört, amelyben nincs piros él. A kör egyik legna-gyobb súlyú színtelen élét fessük pirosra.
KezdetbenG-nek nincs színes éle. A két szabályt tetsz ˝oleges sorrendben és helyeken alkalmazzuk, amíg csak lehetséges.
=⇒piros-kékalgoritmus
A piros-kék algoritmus
KÉK SZABÁLY:
PIROS SZABÁLY:
Válasszunk ki egy olyan∅ 6= X ⊂ V csúcshal-mazt, amelyb ˝ol nem vezet ki kék él. Ezután egy legkisebb súlyú X-b ˝ol kimen ˝o színezetlen élet fessünk kékre.
Válasszunk G-ben egy olyan egyszer ˝u kört, amelyben nincs piros él. A kör egyik legna-gyobb súlyú színtelen élét fessük pirosra.
KezdetbenG-nek nincs színes éle. A két szabályt tetsz ˝oleges sorrendben és helyeken alkalmazzuk, amíg csak lehetséges.
=⇒piros-kékalgoritmus
A piros-kék algoritmus
KÉK SZABÁLY:
PIROS SZABÁLY:
Válasszunk ki egy olyan∅ 6= X ⊂ V csúcshal-mazt, amelyb ˝ol nem vezet ki kék él. Ezután egy legkisebb súlyú X-b ˝ol kimen ˝o színezetlen élet fessünk kékre.
Válasszunk G-ben egy olyan egyszer ˝u kört, amelyben nincs piros él. A kör egyik legna-gyobb súlyú színtelen élét fessük pirosra.
KezdetbenG-nek nincs színes éle.
A két szabályt tetsz ˝oleges sorrendben és helyeken alkalmazzuk, amíg csak lehetséges.
=⇒piros-kékalgoritmus
A piros-kék algoritmus
KÉK SZABÁLY:
PIROS SZABÁLY:
Válasszunk ki egy olyan∅ 6= X ⊂ V csúcshal-mazt, amelyb ˝ol nem vezet ki kék él. Ezután egy legkisebb súlyú X-b ˝ol kimen ˝o színezetlen élet fessünk kékre.
Válasszunk G-ben egy olyan egyszer ˝u kört, amelyben nincs piros él. A kör egyik legna-gyobb súlyú színtelen élét fessük pirosra.
KezdetbenG-nek nincs színes éle. A két szabályt tetsz ˝oleges sorrendben és helyeken alkalmazzuk, amíg csak lehetséges.
=⇒piros-kékalgoritmus
A piros-kék algoritmus
KÉK SZABÁLY:
PIROS SZABÁLY:
Válasszunk ki egy olyan∅ 6= X ⊂ V csúcshal-mazt, amelyb ˝ol nem vezet ki kék él. Ezután egy legkisebb súlyú X-b ˝ol kimen ˝o színezetlen élet fessünk kékre.
Válasszunk G-ben egy olyan egyszer ˝u kört, amelyben nincs piros él. A kör egyik legna-gyobb súlyú színtelen élét fessük pirosra.
KezdetbenG-nek nincs színes éle. A két szabályt tetsz ˝oleges sorrendben és helyeken alkalmazzuk, amíg csak lehetséges.
A piros-kék algoritmus
Tétel
Apiros-kékeljárás m ˝uködése során mindig takaros színezésünk van.
Ezen felül a színezéssel sosem akadunk el: végül G minden éle színes lesz.
Bizonyítás.
Belátjuk, hogy a színezés mindig takaros. Kezdetben √ .
Tegyük fel, hogy egy takaros színezésünk van. Legyen F a G egy olyan minimális költség ˝u feszít ˝ofája, amely mindenkékélet tartalmaz, és egyetlenpirosat sem. Tegyük fel továbbá, hogy ebben a helyzetben a gráf f élét festjük be.
A piros-kék algoritmus
Tétel
Apiros-kékeljárás m ˝uködése során mindig takaros színezésünk van.
Ezen felül a színezéssel sosem akadunk el: végül G minden éle színes lesz.
Bizonyítás.
Belátjuk, hogy a színezés mindig takaros.
Kezdetben √ .
Tegyük fel, hogy egy takaros színezésünk van. Legyen F a G egy olyan minimális költség ˝u feszít ˝ofája, amely mindenkékélet tartalmaz, és egyetlenpirosat sem. Tegyük fel továbbá, hogy ebben a helyzetben a gráf f élét festjük be.
A piros-kék algoritmus
Tétel
Apiros-kékeljárás m ˝uködése során mindig takaros színezésünk van.
Ezen felül a színezéssel sosem akadunk el: végül G minden éle színes lesz.
Bizonyítás.
Belátjuk, hogy a színezés mindig takaros. Kezdetben √ .
Tegyük fel, hogy egy takaros színezésünk van. Legyen F a G egy olyan minimális költség ˝u feszít ˝ofája, amely mindenkékélet tartalmaz, és egyetlenpirosat sem. Tegyük fel továbbá, hogy ebben a helyzetben a gráf f élét festjük be.
A piros-kék algoritmus
Tétel
Apiros-kékeljárás m ˝uködése során mindig takaros színezésünk van.
Ezen felül a színezéssel sosem akadunk el: végül G minden éle színes lesz.
Bizonyítás.
Belátjuk, hogy a színezés mindig takaros. Kezdetben √ .
Tegyük fel, hogy egy takaros színezésünk van. Legyen F a G egy olyan minimális költség ˝u feszít ˝ofája, amely mindenkékélet tartalmaz, és egyetlenpirosat sem. Tegyük fel továbbá, hogy ebben a helyzetben a gráf f élét festjük be.
Bizonyítás.
Két eset van aszerint, hogy melyik szabályt használjuk:
A kék szabályt használjuk: =⇒f kéklesz. csúcshalmazt, amelyre akékszabályt alkalmaz-tuk.
Az F -ben van olyan út (mert feszít ˝ofa), ami az f két végpontját összeköti. =⇒ Ezen az úton pe-dig van olyan f0 él, ami kimegy X -b ˝ol, ugyanis f kilép X -b ˝ol.
Az F választása miatt f0 nem lehetpiros.
A kék szabály szerint kék sem lehet, továbbá c(f0)≥c(f)is teljesül.
Legyen F0 az F -b ˝ol az f0 törlésével és az f hoz-záadásával kapott gráf.
=⇒ Eszerint F0 egy minimális feszít ˝ofa, tartal-maz mindenkékélet és nem tartalmazpirosélet.
√
Bizonyítás.
Két eset van aszerint, hogy melyik szabályt használjuk:
A kék szabályt használjuk: =⇒f kéklesz. csúcshalmazt, amelyre akékszabályt alkalmaz-tuk.
Az F -ben van olyan út (mert feszít ˝ofa), ami az f két végpontját összeköti. =⇒ Ezen az úton pe-dig van olyan f0 él, ami kimegy X -b ˝ol, ugyanis f kilép X -b ˝ol.
Az F választása miatt f0 nem lehetpiros.
A kék szabály szerint kék sem lehet, továbbá c(f0)≥c(f)is teljesül.
Legyen F0 az F -b ˝ol az f0 törlésével és az f hoz-záadásával kapott gráf.
=⇒ Eszerint F0 egy minimális feszít ˝ofa, tartal-maz mindenkékélet és nem tartalmazpirosélet.
√
Bizonyítás.
Két eset van aszerint, hogy melyik szabályt használjuk:
A kék szabályt használjuk: =⇒f kéklesz. csúcshalmazt, amelyre akékszabályt alkalmaz-tuk.
Az F -ben van olyan út (mert feszít ˝ofa), ami az f két végpontját összeköti. =⇒ Ezen az úton pe-dig van olyan f0 él, ami kimegy X -b ˝ol, ugyanis f kilép X -b ˝ol.
Az F választása miatt f0 nem lehetpiros.
A kék szabály szerint kék sem lehet, továbbá c(f0)≥c(f)is teljesül.
Legyen F0 az F -b ˝ol az f0 törlésével és az f hoz-záadásával kapott gráf.
=⇒ Eszerint F0 egy minimális feszít ˝ofa, tartal-maz mindenkékélet és nem tartalmazpirosélet.
√
Bizonyítás.
Két eset van aszerint, hogy melyik szabályt használjuk:
A kék szabályt használjuk: =⇒f kéklesz. csúcshalmazt, amelyre akékszabályt alkalmaz-tuk.
Az F -ben van olyan út (mert feszít ˝ofa), ami az f két végpontját összeköti. =⇒ Ezen az úton pe-dig van olyan f0 él, ami kimegy X -b ˝ol, ugyanis f kilép X -b ˝ol.
Az F választása miatt f0 nem lehetpiros.
A kék szabály szerint kék sem lehet, továbbá c(f0)≥c(f)is teljesül.
Legyen F0 az F -b ˝ol az f0 törlésével és az f hoz-záadásával kapott gráf.
=⇒ Eszerint F0 egy minimális feszít ˝ofa, tartal-maz mindenkékélet és nem tartalmazpirosélet.
√
Bizonyítás.
Két eset van aszerint, hogy melyik szabályt használjuk:
A kék szabályt használjuk: =⇒f kéklesz. csúcshalmazt, amelyre akékszabályt alkalmaz-tuk.
Az F -ben van olyan út (mert feszít ˝ofa), ami az f két végpontját összeköti. =⇒ Ezen az úton pe-dig van olyan f0 él, ami kimegy X -b ˝ol, ugyanis f kilép X -b ˝ol.
Az F választása miatt f0 nem lehetpiros.
A kék szabály szerint kék sem lehet, továbbá c(f0)≥c(f)is teljesül.
Legyen F0 az F -b ˝ol az f0 törlésével és az f hoz-záadásával kapott gráf.
=⇒ Eszerint F0 egy minimális feszít ˝ofa, tartal-maz mindenkékélet és nem tartalmazpirosélet.
√
Bizonyítás.
Két eset van aszerint, hogy melyik szabályt használjuk:
A kék szabályt használjuk: =⇒f kéklesz. csúcshalmazt, amelyre akékszabályt alkalmaz-tuk.
Az F -ben van olyan út (mert feszít ˝ofa), ami az f két végpontját összeköti. =⇒ Ezen az úton pe-dig van olyan f0 él, ami kimegy X -b ˝ol, ugyanis f kilép X -b ˝ol.
Az F választása miatt f0 nem lehetpiros.
A kék szabály szerint kék sem lehet, továbbá c(f0)≥c(f)is teljesül.
Legyen F0 az F -b ˝ol az f0 törlésével és az f hoz-záadásával kapott gráf.
=⇒ Eszerint F0 egy minimális feszít ˝ofa, tartal-maz mindenkékélet és nem tartalmazpirosélet.
√
Bizonyítás.
Két eset van aszerint, hogy melyik szabályt használjuk:
A kék szabályt használjuk: =⇒f kéklesz. csúcshalmazt, amelyre akékszabályt alkalmaz-tuk.
Az F -ben van olyan út (mert feszít ˝ofa), ami az f két végpontját összeköti. =⇒ Ezen az úton pe-dig van olyan f0 él, ami kimegy X -b ˝ol, ugyanis f kilép X -b ˝ol.
Az F választása miatt f0 nem lehetpiros.
A kék szabály szerint kék sem lehet, továbbá c(f0)≥c(f)is teljesül.
Legyen F0 az F -b ˝ol az f0 törlésével és az f hoz-záadásával kapott gráf.
=⇒ Eszerint F0 egy minimális feszít ˝ofa, tartal-maz mindenkékélet és nem tartalmazpirosélet.
√
Bizonyítás.
Két eset van aszerint, hogy melyik szabályt használjuk:
A kék szabályt használjuk: =⇒f kéklesz.
Ha f éle F -nek √
f F
X f0
Ha f nem éle F -nek =⇒ nézzük azt az X ⊂ V csúcshalmazt, amelyre akékszabályt alkalmaz-tuk.
Az F -ben van olyan út (mert feszít ˝ofa), ami az f két végpontját összeköti. =⇒ Ezen az úton pe-dig van olyan f0 él, ami kimegy X -b ˝ol, ugyanis f kilép X -b ˝ol.
Az F választása miatt f0 nem lehetpiros.
A kék szabály szerint kék sem lehet, továbbá c(f0)≥c(f)is teljesül.
Legyen F0 az F -b ˝ol az f0 törlésével és az f
hoz-Bizonyítás.
A piros szabályt használjuk: Ekkor f piroslesz.
=⇒ Ha f nem éle F -nek √
f F
f0
Ha f ∈ F , akkor az f törlésével az F két komponensre esik.
=⇒ A körnek, amelyre a piros szabályt alkalmaztuk, van olyan f0 6= f éle, ami a két komponens között fut.
A régi színezés takarossága és a piros szabály miatt az f0 színtelen és c(f0) ≤ c(f).
Az F -be f helyett f0-t véve a kapott F0egy minimális költség ˝u feszít ˝ofa lesz. √
Bizonyítás.
A piros szabályt használjuk: Ekkor f piroslesz.=⇒ Ha f nem éle F -nek √
f F
f0
Ha f ∈ F , akkor az f törlésével az F két komponensre esik.
=⇒ A körnek, amelyre a piros szabályt alkalmaztuk, van olyan f0 6= f éle, ami a két komponens között fut.
A régi színezés takarossága és a piros szabály miatt az f0 színtelen és c(f0) ≤ c(f).
Az F -be f helyett f0-t véve a kapott F0egy minimális költség ˝u feszít ˝ofa lesz. √
Bizonyítás.
A piros szabályt használjuk: Ekkor f piroslesz.=⇒ Ha f nem éle F -nek √
f F
f0
Ha f ∈ F , akkor az f törlésével az F két komponensre esik.
=⇒ A körnek, amelyre a piros szabályt alkalmaztuk, van olyan f0 6= f éle, ami a két komponens között fut.
A régi színezés takarossága és a piros szabály miatt az f0 színtelen és c(f0) ≤ c(f).
Az F -be f helyett f0-t véve a kapott F0egy minimális költség ˝u feszít ˝ofa lesz. √
Bizonyítás.
A piros szabályt használjuk: Ekkor f piroslesz.=⇒ Ha f nem éle F -nek √
f F
f0
Ha f ∈ F , akkor az f törlésével az F két komponensre esik.
=⇒ A körnek, amelyre a piros szabályt alkalmaztuk, van olyan f0 6= f éle, ami a két komponens között fut.
A régi színezés takarossága és a piros szabály miatt az f0 színtelen és c(f0) ≤ c(f).
Az F -be f helyett f0-t véve a kapott F0egy minimális költség ˝u feszít ˝ofa lesz. √
Bizonyítás.
A piros szabályt használjuk: Ekkor f piroslesz.=⇒ Ha f nem éle F -nek √
f F
f0
Ha f ∈ F , akkor az f törlésével az F két komponensre esik.
=⇒ A körnek, amelyre a piros szabályt alkalmaztuk, van olyan f0 6= f éle, ami a két komponens között fut.
A régi színezés takarossága és a piros szabály miatt az f0 színtelen és c(f0) ≤ c(f).
Az F -be f helyett f0-t véve a kapott F0egy minimális költség ˝u feszít ˝ofa lesz. √
Bizonyítás.
A piros szabályt használjuk: Ekkor f piroslesz.=⇒ Ha f nem éle F -nek √
f F
f0
Ha f ∈ F , akkor az f törlésével az F két komponensre esik.
=⇒ A körnek, amelyre a piros szabályt alkalmaztuk, van olyan f0 6= f éle, ami a két komponens között fut.
A régi színezés takarossága és a piros szabály miatt az f0 színtelen és c(f0) ≤ c(f).
Az F -be f helyett f0-t véve a kapott F0egy minimális költség ˝u feszít ˝ofa lesz. √
Bizonyítás.
A piros szabályt használjuk: Ekkor f piroslesz.=⇒ Ha f nem éle F -nek √
f F
f0
Ha f ∈ F , akkor az f törlésével az F két komponensre esik.
=⇒ A körnek, amelyre a piros szabályt alkalmaztuk, van olyan f0 6= f éle, ami a két komponens között fut.
A régi színezés takarossága és a piros szabály miatt az f0 színtelen és c(f0) ≤ c(f).
Az F -be f helyett f0-t véve a kapott F0egy minimális költség ˝u feszít ˝ofa lesz. √
Bizonyítás.
Miért nem akadunk el soha?
Tegyük fel, hogy van még egyf színtelen él.
A színezés takaros =⇒akékélek egy erd ˝ot alkotnak.
=⇒Haf végpontjai ugyanabban akékfában vannak, akkor apiros szabály alkalmazható arra körre, aminek az éleif és azf végpontjait összeköt ˝o (egyetlen)kékút élei.
=⇒Haf különböz ˝okékfákat köt össze, akkor pedig akékszabály m ˝uködik;X legyen az egyik olyan fa csúcshalmaza, amihezf csatlakozik. (Ez utóbbi esetben nem biztos, hogyf fog színt kapni a következ ˝o lépésben.)
Bizonyítás.
Miért nem akadunk el soha?
Tegyük fel, hogy van még egyf színtelen él.
A színezés takaros =⇒akékélek egy erd ˝ot alkotnak.
=⇒Haf végpontjai ugyanabban akékfában vannak, akkor apiros szabály alkalmazható arra körre, aminek az éleif és azf végpontjait összeköt ˝o (egyetlen)kékút élei.
=⇒Haf különböz ˝okékfákat köt össze, akkor pedig akékszabály m ˝uködik;X legyen az egyik olyan fa csúcshalmaza, amihezf csatlakozik. (Ez utóbbi esetben nem biztos, hogyf fog színt kapni a következ ˝o lépésben.)
Bizonyítás.
Miért nem akadunk el soha?
Tegyük fel, hogy van még egyf színtelen él.
A színezés takaros =⇒akékélek egy erd ˝ot alkotnak.
=⇒Haf végpontjai ugyanabban akékfában vannak, akkor apiros szabály alkalmazható arra körre, aminek az éleif és azf végpontjait összeköt ˝o (egyetlen)kékút élei.
=⇒Haf különböz ˝okékfákat köt össze, akkor pedig akékszabály m ˝uködik;X legyen az egyik olyan fa csúcshalmaza, amihezf csatlakozik. (Ez utóbbi esetben nem biztos, hogyf fog színt kapni a következ ˝o lépésben.)
Bizonyítás.
Miért nem akadunk el soha?
Tegyük fel, hogy van még egyf színtelen él.
A színezés takaros =⇒akékélek egy erd ˝ot alkotnak.
=⇒Haf végpontjai ugyanabban akékfában vannak, akkor apiros szabály alkalmazható arra körre, aminek az éleif és azf végpontjait összeköt ˝o (egyetlen)kékút élei.
=⇒Haf különböz ˝okékfákat köt össze, akkor pedig akékszabály m ˝uködik;X legyen az egyik olyan fa csúcshalmaza, amihezf csatlakozik. (Ez utóbbi esetben nem biztos, hogyf fog színt kapni a következ ˝o lépésben.)
Bizonyítás.
Miért nem akadunk el soha?
Tegyük fel, hogy van még egyf színtelen él.
A színezés takaros =⇒akékélek egy erd ˝ot alkotnak.
=⇒Haf végpontjai ugyanabban akékfában vannak, akkor apiros szabály alkalmazható arra körre, aminek az éleif és azf végpontjait összeköt ˝o (egyetlen)kékút élei.
=⇒Haf különböz ˝okékfákat köt össze, akkor pedig akékszabály m ˝uködik;X legyen az egyik olyan fa csúcshalmaza, amihezf csatlakozik. (Ez utóbbi esetben nem biztos, hogyf fog színt kapni a következ ˝o lépésben.)
A piros-kék algoritmus
Tétel
Ha apiros-kékalgoritmussal befestjük az összefügg ˝o G= (V,E)gráf minden élét, akkor akékélek egy minimális költség ˝u feszít ˝ofa élei.
S ˝ot, ez már akkor is igaz, amikor van|V| −1kékélünk (és esetleg van még színezetlen él).
Bizonyítás.
Az els ˝o állítás ⇐=a végs ˝o színezés is takaros.
A második: végül összesen|V| −1kékél lesz. Ha már van ennyi, akkor több nem keletkezhet.
A piros-kék algoritmus
Tétel
Ha apiros-kékalgoritmussal befestjük az összefügg ˝o G= (V,E)gráf minden élét, akkor akékélek egy minimális költség ˝u feszít ˝ofa élei.
S ˝ot, ez már akkor is igaz, amikor van|V| −1kékélünk (és esetleg van még színezetlen él).
Bizonyítás.
Az els ˝o állítás ⇐=a végs ˝o színezés is takaros.
A második: végül összesen|V| −1kékél lesz. Ha már van ennyi, akkor több nem keletkezhet.
A piros-kék algoritmus
Tétel
Ha apiros-kékalgoritmussal befestjük az összefügg ˝o G= (V,E)gráf minden élét, akkor akékélek egy minimális költség ˝u feszít ˝ofa élei.
S ˝ot, ez már akkor is igaz, amikor van|V| −1kékélünk (és esetleg van még színezetlen él).
Bizonyítás.
Az els ˝o állítás ⇐=a végs ˝o színezés is takaros.
A második: végül összesen|V| −1kékél lesz. Ha már van ennyi, akkor több nem keletkezhet.