.. Planimetrie.
129. Bafts in parsllclogranmio poteft quod-. «unque latus ejusdem eile, prout et in trianquod-.- trian.-gulo; aititudo tain parallelogramini quam tri-anguli eft perpendiculum ex angulo baß oppa-ftU) demill'um ad bafmi.
C o r o l . Ergo triangula omnia quorum ba-fes jacent in una parallela vertices in alia, ha-bent eandem altitudinem (do.)»
i£o. P r o b 1. Conftruere in data linea E F (Pig. 9 9.) dato parallologrammq «quäle.
R e s . Ducatur diagonalis A D , capiatur
cir-¿ino C D ; et fiat E G s= C D , dein apörtura circini C A pofito uno crure in E fiat alio
ar-«us , et apertúra A D pofito uno crure in G fiat alio crure arcus, qui priorem in H
fein-det (14.), dein apeftura A B pofito uno crure in H fiat alio arcus, tandem apertúra D B po-fito uno crure in G fiat alio arcus, qui prio-rem in I feindet, puneta I et H^nectantur recta, item H cum E et I c u m G , orietur pa-rallelogrammum dato ajquale.
D e m . Ducatör H G , erit triang. H E G x tri. A C D , tri. Ii G l = tri. A B D (27) , ergo H E G + H I G x A C D - f - A B D , feu H E Ö I x A B D C. q. e. dem.
131. T h e o r. Parallelogramma A B C D et e f g h (Fig. 100.) quae habent altitudines etba-fes aequales, funt acqualiá.
D e i n . Conftruatur in bafi C D parallelo-grammo e f g h «quäle , ducatur B m : cum per-pendicula ex A B m n ad C D , demifta fint ae-qualia utpote altitudines aequales, erit linea A B m n recta ad C D parallela: Jam tri. Am C
as tri. B11D (27.), quia A C =sB D , A B + B m
— C 70 )
-ssB m + m n id eft A m-ssBn, C m = D n;!unde cum A n D C s s A11D C erit A n D C — A m C =s A n D C — B n D , feu e fg h = A B C D. q. e. dem.
132. T h e or. Quodvis triangulum A B C 101.) eft medietas parallelogrammi ean-dem bafim et altitudinpm habentis.
D e m . Cuivis triangulo A B C fuperftrui po-teft parallelogrammum eandeih baftm et aliitu-dinem habens, cujus medietatem efficiet tri-angulum A B C ; ducatur eniin per vertieem A parallala ad B C , et per vertioem C paral-lel* ad A B , h«. du» parallel» fe fcindent alicubi in D , ob D A C 4- D C A < 2 R (55-Cor.), pofito hoc orietur parallelogrammum A B C D , quod habebit cum tri. A B C bafim B C , etal-titudinem A x communem; praaterea quia B C
= A D , A B = C D (59) , ot A C = A C erit tri. A B C = tri. A D C (27 ) , undo A B C eft etiam medietas de A B C D.
C o r . Ergo duo triangula bafes et altitudi-nes jequales habentia funt «qualia; funt enira jnedietates duorum parallelogrammorum ae-qualium.
133. P r o bl. Datum polygonom A B C D E (Fig. 102.) in «quale triangulum transformare.
R e s . Ducatur linea A C duos angulos pro.
jcimos intermedio cxmiffo nectens, producatur D C , et per B ducatur parallela ad A C ,
pun-ctum interfectionis X nectatur cuin A , orietur polygonom uno latere minus habens dato, et tarnen eidem «quale quoad fpatium: Nam fi a dato polygono tollatur triangulum A B C , et in locum hujus aliud «quale A X C (132»
Cor.) reftituatur, prodibit figura quoad fpatium
«qualis priori-, Eodem modo ex A X D E A fieri poteft figura uno latere minus habens at-tamen eidem «qualis, donee tandem deveoie-tur ad triangulum.
134.
' • . . I
,. • - . ,-j
Jp- ;> ' •/: ' ¿ » ll . •.. ) ' •••'.*
- C 71 ) —
|i'v • ' • v
1.54, T h e o r . Duo rectángula , \ B C D et É F G i l (Fig. J 03.) aequalis altftudinia funt ut bafes; feu A B C D : E F G H = C D : G H .
D e in. Si bafes funt comiuenl'urabiles divi-datur bafis G H c. gr. in tales 5 partes in qlíales C D tres, erigantur e divifionum punctis ai,n,x,t perpendicula, rcfolvetur utruinque re-ctangulum in minora ad invicem sequatia (131.), qb bafes G m = m n =5 C x = x t etca et alti-tuclines ex hypothefi aoquales, ergo A B C D : E F G H = 3 - . 5 , item C D : G H = 3 : 5 , et liiuc A B C D : E F G H a C D : G H .
Si vero bafes C D et G H 11011 funt 00111- , tnenfurabilcs, etiam tunc flare debet A B C D : É F Í J H = s C D : G H ; nam ad tres hos térmi-cos A,B C D , E F G H , C D quartus propor-tionalis ncc major ne.c minor ac G H effe po-leíft; non major-. fit enim G o (Fig. 104.) ille major quartus, fiabit A B C D : E F G H = C D : G o , drvidatur C D in ita exiguas partes, ut mum in. G H transferendo initio fiimto a G , aliquod divifiorjis punctum cadat inter H et o e. gr. in 11, erigatur perpendiculum 11111 etpro-(lucatur E F usque m , orietur rectartgulum E i n n G, cujus bafis eft commenfurabilis cum C D, fiabit ergo A B C D : Em n~G*= C D : G.n, ex hypothefi all'umta fiat A B C D : E F G H =
• C D : G o , combinando has duas proportiones fiat E 1Í1 n G : E F Q H = G n : G o , quod effe liequit, ergo nec G o effe poterit quartus portionalis. Syd nec minor potelt ell'e 4 pro-portionalis ac G H; nam fit G i ille miinor quartus, ftftbit A B C D : E F . G H s C D i G i, diVidatur iterum C D in ita exiguas partes , ut uuani traiftferendo in G H et a G incipiendo ali-quod punctum cadat inter i et H e._ gr, in x , erit G x cum C D commenfurabile , ducatur perpendiculum x y , fiabit A B C D : E y x G =
C D : .
ft» ( 7 2 ) —
C D : G x , combinando banc proportioned cnro prioré prodit E F G H : E y x G = G i : G x quod pariter eífe nequit, ergo' neo G i quar-tus proportionalis, ergo [quarquar-tus terminus in omni cafu erit C D , adeoque Temper ftabit A B C D ; E F G H = C D : G H . q. 0. dem.
C o r . Duo rectangula, quae habent bafes a?, quales, erunt ut altitüdmes; quia, cum pro bafi quodcunque latus accipi poiTit, eadem do-monflratio applicari potent, fi in talibus rectan-gnlis altitudines pro bafibus, hae vero utpoto perpendiculares pro altitudinibua acéipiantur.
1 ss- T h e o r . Duo quaevis rectangula X et Y funt in ratione compofita baíium B et b , «t altitudinum A et a , feu ftatXi Y =; B A : ba.
D e m. Sit tertium rcctangulum C, quod cum X habeat aequalein bafim B , et cum Y altitu-dinem a; erit X ; C s = A : a (¡34. Cor.), item C : Y =jB~! b (134-) ergo X : Y = A B » a b ,
q. e. dem. •>
136. T h 0 0 r. Superficies rectanguli cujusvis aequatur facto e bafi in altitudinem.
D e m . Menfurare magnitudines nil eft aliud, quam magnitudines ejusdem fpeciel comparare,
<jrgo fuperficiem rectanguli menfurare ell inda-gare , quoties i'uperficies rectanguli certi ut unitas fumta in rectángulo menfuvando con*
tineatur; fit rectanguluin, quod pro manfurafu-mitur, y ejus bafis b altitudo a , cum men fur*
fit i, erit b relíate ad B unitas, et a relíate ad A unitas, hinc ab — 1 , ergo proportio X; Y
== A B : ab abit in X : 1 =S A B ¡ 1 unde X =a A B , hoc efi , fuperficies rectanguli acquiritur , fi bafis per altitudinem raultiplicetur , aft at bafis1 per altitudinem inultiplicetur, Sebet tarn, bafis quam altitudo refolyi in partes, quarum fingnia aequqtur hafi et altitudirft menfurac.
C o r .
( 73 ) —
Coi:. Hinc darum eft , quod, dum lineam per lineam niultiplicamus, factum prodiens non fit linea, ñeque aliud fignificarq poffir cjfiam '!
i'uperficicm reetanguli, cujus baña t'ri tina linca pro factore affumta, et altitudo aliä lirtea pro factore affmnta: In i act is* nümeriüis fiaetum etiam eft numerus, fed ita in abftracto Íimítús, ftcut factores eraiit numeri in' abftracto fumti.
137. T h e o r. Superficies cujusvis paralle-logrammi aequatur facto e baft in altitudinem.
D em. Si bdfifi ¡per altitudinem parallelo-grairtmi multiplicetur, obtinebitur fuperficies reetanguli dato párallelográmino «qualis. (136-131.). Ergo otiairt obtinebitur ipfiu» dati paral-lelogfaiumi.
138. 'Fh ö or. Superficies trianguli «quatu*
mediae bafi duct® in altitudinem.
D e m. Triangulum eft medietas parallelogram*
mi candembafim et altitudinem habentis(I32.),ii-cut ergofuperficies parallelogramrai habetur, ft in-«
tegra bafts per altitudinem multiplicetur, ita trian-guli ft media bafis per altitudinem multiplicetur.
C o r . Ergo etiam fuperficies trianguli habeJ t u r , ft integra bafis per mediara altitudinem;
vel integra bafts per integram altitudinem
mul-tiplicetur et per duo dividatur. ' 139. l ' r o b l . Transformare
parallelogram-mum nut triangulum in aequale quadratum. •"'<•
It e s. Quaeratur inter bafira B et altitudinem A media proportionalis M (109), erit ea latus quadrati petiti; vel quaeratur inter mediara ba-lim et altitudinem integrara media proportioJ nah», erit ea latus quadrati dato triangulo
»qualis.
D e m . In priori cafu erit B : M = M : A , ' unde M ' x A ß id eft M: = parallelograriihnv (137.). In pofteriori cafu ' erit' ¿ B : M r= M i A , hinc M1 = j A B , id ell MJ = triangulo
(133). »4o.
- (
A
)-140. P r o b l . Transformare quodcunqu¿
polygonom in «quale quadratum.
R e s . Transformetur prius polygonom in
«quale triangulum («33.), et hoc in «quale quadratum (139.).
S c h o l i o n . Habito latere A B quadrati (Fig. 1 0 5 . ) conftrui poteft quadratum fequente modo; In.uno extremo A l,aterís dati erigatur perpendiculum A C = A B , pofito dein uno crure circini in C apertura A B fiat alio crure arcps , dein eadem apertura retenta pofito uño crure in B fiat alio crure >arcus, qui pr.ip.rem in D feindet, punctum D nectatur cum C et B, orietur quadratum. Cum enim qqinia 4 latera íint aequalia, erit A C ad B D item A B aft C D parallela (59) , et hoc ipfo p.rout angulus A eft rectus, omnes 4recti erunt, ergo A B C D eft quadratum. •; , r.. . c . . 141. P r o b l . Invenire fuperficiem polygoni irregularis.
R e s . Transformctur polygonom in aiqpals triangulum (133),. hujus fuperticies (13SO da-bit fuperficiem polygoni. Vel re.folvatur poly-gonopi in i pe r a triangula, quae (feorfun calcu-lent.ur, dabunt ilia dein in fuinmam addita fuperficiem polygoni.
- 14a. T h e o r . Area trapczii A B C D (Fig.
1 0 6 ) , feu figur« quadrilaterae cujus duo latera oppofita funt parallela, asquatur femilummrc laterum parallelorum duct« in perpendiculum inter latera parallela interceptum, feu srit AB C1)
5s 5
(4
B 4- C D) B x.( . D e m . Ducatur B C, refplvetur trapezium in duo triangula, quorum fuperficies fimtil fumt«
dabunt fuperficiem feu areain trapezii. Jain A B C = i A 8 X C y et C B D = ¿ C D X B x , ergo A B C + C B Ds A B C D = { A B X C Y + i C D X B x = i ( A B f C D ) I H , t )
143- 1
1
. ( 75 )
-143. Y ire 0 t. Superficies (iniilium 'tríangu-íorum fe liabeöt ut quadrata laterum homo lo*
goruni ; • hoc eft , illud triangulnm quod habet latus homolcgum duplo uiajus , habet fuperfi-dem quadruplo majorem etca.
D e m . Sint A B C , D E F (Fig. 107.) trian-gula fimilia, eruut eorum fuperficies feu A B (5:
D E F = 4 B C X A y 4 E F X D x ( ¿ a O , pro A y : D x liept TubfUtueve B C : E F ¡n tri-angulis fnnibbus; Nam cum rectus y — recto x, ang. C = a n g . F erit tri. A y C fimile tri. D x F (67. Cor.), ergo A y . D x = A C : D F , item cum A B C fit fimile D E F , erit A C : D F a B C : E F unde A y : D x = B C : F.F, fi ergo fiibfiftutio fíat, pvodit A B C : D E F = i B C X B C : J E F X E F = B C1: E F: = A B:; D E1
q. e. dem.
144. T lie or Superficies polygonorum fi.
milium A ß C D E et m n o p q (Fig. 63.) fuut ut;
quadrata laterum homologorum, fey ut A B3 : ra n: etca;
D e m . Ducantur diagonales ex anguíia as-qualibus ad «quáles, refolrentur polygona in mera triangula fimilia (82.), ergo erit A B E : m n q as A B * : m n?; B E C : n o q = B C* : n o" sa A BJ: m u ' ; E C D : q o p s s C D1: o p '
*= A B1 : m nJ, ergo A B C + B E C + E G D : m n q + nq o f q o p = A B!: m n' = B C£: U o1 etea. q. e. dem.
145. T h e o r . Superficies polygoni 'regula-rla acquiritur, Ii femiperimeter ducatur in per-peudiculuin e centro polygoni ad quodeunqua latus detniflum.
D e ra. Si e centro polygoni reguláris ad vertices omnium augulorum ducaptur line®, refölvent e¡e polygonom m triangula, quorum bafes í'unt ipüus polygoni latera proinde «quä-le«, perpeudicula • centro ad bafes demilfa
ae-
qua-. - ( 76 )
-quatiít (93.)'ditnt altitudines aquales', «rgo fi inedietás omniiim laterum id ellfevniperimcter ducatur in- perpendiculkun e centro ad unum latus demilíhm,- obtinebitur omnium triangu-lorum polygonom eonftituentium fuperficies ad femel (138.) ) Id cli íiiperficiesi polygoni tegu-laris obtiiiebitur. q. e. dem.
Cor/Superficies etgo circuli obtinetur, fi femiperípheria ducatur m radium. Nam cum, circulus fit polygonom regulare infinitorum la-tertim, tefit l'émiperipheria fcmiperimcter, per-pendiculuifi e «entro ad quodcumque latus de»
milTum coinoidet cum radio. Sit ergo radius 3 pfcduni', fuperficies circuli fie irmotefcct: quie-Thtur prius femiperiphqria illa invenietur jux-ta (12S.) per proportionein 113: 3 5 5 = D: Perí
== 1 STVJ > medietas liinc eft hacc duela ifi radium dat 58," /«V pro fuperticie.
Iu_ 146. T h e o r . Superficies polygonorum re-gularium totidem laterum funt ut quadrata ra-dio'rum vel diametrorunv circulorum circumtciv ptorum vel inferiptorum.
D e m . Cum polygona regularía fint fimilia Í1I4.), erunt eorundein fuperficies ut quadrata aterum homologorum (144.), jam in polygo-nis reguláribus totidem latorutn latera funt ut radii vel diametvi circulorum cire tí míeriptorum vel inferiptorum (115. dem.) , ergo fupérficics polygonorum regularium totidein laterum funt ut quadrata radiorum vel diametrorum.
C o r . Cum circuli pro polygonis regulári-bus infinitorum iatermn baberi dtíbeant, erunt eorum fuperficies ut quadrata- radiorum v e l diametrorum. 1
147. T h e o r . Figura hypothénuf« «quatur figuris fimilibus cathetorum fimul additis.
D e m. Figura limilis hypothenufas fe habet ad figuras íimilce cathetorum fim»l additqs fii'
cut
eilt quadrattim hypothenufsc ad qnadrata <&»
tlietorum fimul fumta (144.), Ja m quadratuirt hypothemifa «quatur qqaclratis cathetorum fi-mul additis, ergo etiam Figura hypothcnnf«
figuris cathetorum fimuS additis. q. e. dem.
1 4 8 . P r o b l . Datis phiribus figuris fimili«
bus unam fimilem et cequalcm coiiftruere.
D e m . Jungantur dúo latera homologa dna-rum figuradna-rum fimilium fub ángulo recto, du-catur hypotbennfa , ¡n hac conftruatur figura fimilis datis (84-) , erit ea aequalis dtiabus}
tum latus hujus nóvje figura; jungatur lateri homologó tertiie figura; fimilis fub ángulo re-cto , ducatnr hypothenufa, in ea conftructa fi-gura fimilis erit aequalis tribus; et fie porro.
1 4 9 . P r o b l . Conftruwe dato polygono A B C D (fig. íog.) fimile ita, uf dati fuperficie»
fit ad confiructi fuperficiem ficut G R : E F.
R e í . Ducatnr i r a 4 - m k s = i k e e r E F + G H , ejns medietate tanquam radi£> deferibatnr fí-l n i c i r c u fí-l u s e puncto in erigatur perpendicufí-lum m n , ducantur chordae i n , k n , in chordam
n i transferatur- e* n verfus i unum latus po-lygoni dati e. gr. B D , ita ut fit n o =s B D , per o ducatur parallela ad i k , tándem con-ílruatur in 11 p tanquam latere homologo lateri
B D polygonom dato fimile, erit datum ad illud ficut G H : E F .
D e m . n i ' : n l r =: im X i b : k m X 1 k
(73. Cor. 1.) = i m : k m ; pro n i , nk licet po-n e r e po-n o , po-n p (62.), ^rgo po-n o: : n p1 = i m : k in. Jam polygonom daturh fe habet ad con-flructum ut 11o1 ; n p ' ( 1 4 4 . ) , ergo etiam ficut i m : k na c= G H •. E F . q. e. dem.'
( 7$ )
-P A R S T E R T I A
Stereo metri a.
Linea recta A B (Fig. 109.) erit ad pla nuin C D perpendicularis, fi fuerit ad ornnes rectas E B , G B , quae in plano ad B duci pof-l'unt, perpendicularis. Linea recta A H eft ad planum, C D parallela, ft quanlumcunque
pro-ducatur-nunquam cum piano conveniat.
t C o t . 1. Ergo A B perpendicularis ad num facit cum omnibus lincis E B , G B in pla-ño ángulos rectos , qui cum onines fint aequa-les , linea A B habebit ad omnes lineas; .quae ad B cluci pollunt, eandem inclinatiouem.
C o r . 2. Linea A B eft brevifluna linearum, qu® ex A ad planum C D duci poffunt: Qua;-cumque etiim A E alia duci concipiatur, Tem-per erit A E > A B ; quia ft B nectatur cum E, erit in triangulo A E B ang. B rectus,et A E B
•< recto (33.) lrinc A E > A B (35.); hinc di-ftantiam puncti A a piano opthne menfurat per-pendicularis A B .
C o r . 3. Ex uno puncto A ad planum C D plura pcrpendicula demitti nequeunt; Si enim illud aliud perpendiculum prater C D ponatur A E , client in triangulo A E B duo anguli recti.
C o r , 4. Ex uno puncto B plani C D plura perpendicula erigi nequeunt; Sit enim B I illud perpendiculum , ducatur in planoi C D linea JE B ita , ut etiam in plano A B I fit, erit tunc angulus rectus I B E > A B E , quod effe aequit t »8- Cor.).
C o r. 5. Si linea A B eft perpendicularis ad C D , erit omnia linea A H ad A B perpendi-cularis, ad planum C D parallela; Quia omriis linea A H producta nunquam cum pla 110 C D convertir«- potcft. Si enim convenircnt, et «
puncto
/
-r- ( 79 ) —
totiíiclo libi conyenirent duceretur adB linea, ori-ietur triflngüluin , in quo adefíent dúo angtlli lecti, quod fiéri nequit (33 ).
151. T h e o r . Linea recta A B (Fig. 110.) nequit elle ad dúo plana N G et I M fe fcin-dentia perpendicularis.
D e m. Dúo plana fe nequeunt fcindere nifi in única linea recta e. gr. C D (12. Cor. 3 . ) , clucatur ad hanc rectam ex A linea A C , ne-ctatur C cum B in plano K L, erit A C B tri-angulum, in quo ang B eft rectus , .et hinc A minor recto (33.) , ergo A B ,' fi ad I M fuerit perpendicularis , non erit ad N G.
152. T h e o r . Si recta A B (Fig. 111.) fue-rit ad duas rectas C H, E F in codem plano fitas perpendicularis , erit hoc ipfo ad totum planura I K perpendicularis.
g D e m . Linea A B ad duas lineas in uno plano perpendicularis eft etiam ad
quaincun-qué tertiam in eodem plano fitam perpendicu.
laris, et hoc ipfo ad totum planum. Ñani fíat B F = B E , B C = B H , ducantur rectse A C , A E , A F , A H , item ducantur C E , F H , item arbitraria textia D B O : Erit 1. tri. C B E i = B F H (?3.) , ergo C E = F H et ang. B E C
= ang. B F H , hinc 2. tri. B D E = tri. B F G (24.), ergo B D = B G , D E = F G , hoc ipfo etiam C D = G H 3. cum tri. A E B = A F B (23.) erit A F = A E , et ob tri. A C B = tri-A H B (23.) erit tri-A C ~ tri-A H, et ex nunc de-monftratis C E = F H , erit ergo triauguiuia A C E = tri. A F H (27.), et bine ang. A E D
= ang. A F G . 4. Tri. A D E a c t r i . A F G ( 23. ) ergo A D = A G , ac tándem 3 tri. A D B = tri. A B G (27.), onde anguli ad B requales, ct linea A B sd tertiam D G perpendicularis, et hinc etiam ad t^tiiur plahum. •
,
jís-i
( go ) —.
jfift. Tli c o r . Si linea A J3 (Fig. 112.) eft ad Ires lineas 1 ! N , B H , B D perpendicularis, erunt lire tres line« in codem piano.
D em. Ponatur linea B P effe in alio piano ac BP1 et BN, ergo planum A B D fcindet pla-num N B H , fit B X ilia linea in. qua h » c d u o plana fe fcindent, erunt A B , B D , B X in unO piano, et B X , B H , B N in alio, -cum A B fit ad BN ct B H perpendicularis erit etiam ad B X (152.), ergo A B X eft angulus rectusj
et liinc A B X ± A B D (18. C o r ) , quod, cum A B D fit in eodem piano cum A B X , abfur-dum effe adparet quia A B X A B D , ergo B D , B H et BN funt in uno piano, q.e. dem.
154. T h e or. Si due parallel® A B , C D (Fig. 113.) ad planum E F ducantur, tunc 11 una fuerit ad planum perpendicularis, etiam.
alia erit.
Pern. Connectanttir p u n c t a B e t D rectaBD in piano, erit A B D + C D B = s R (54•) , enm nutem e- gr. ob A B perpendicularem ad pla-nuin angulus A B D fit rectus, erit etiam C D B rectus, .adeoque C D perpendicularis ad B D j
nunc ducatur G D = A B in piano E F perpen-dicularis ad B D , prasterea ducantur A G, A D, B G, erit tri. B D G es tri, A B D (23.) , hinc A D = B G ; tri. A D G = tri. A B G (27.) ob A B = D G , A D = B G , A G utrique commd-aes Jam cum A B fit ad planum E F ex hy-pothefi perpendicularis,- ent ang. A B G rectus, cum autem tri. A D G = tri. A B G , erit etiam ang. A D G rectus, bine D G eft perpendicu-laris linea ad A D , ad B D eft ex hypotbefi , et hoc ipfo erit ad totum planum A D B (152.) cum autem C D effe delieat in eodem piano cum A.B (48>), erit D G etiam ad C D perp<Ai-dieularifl, confequenter liuca C D eft tarn ad
B D
- ( 8i ) - i
fiD quam ad D G in eodem piano perpendj.
cularis, ergo ad totum planum E F . q. e. dem.
155 T h eo r. Du® linq® A B, EF(Fig. 114.) ad eandcm tertiam C D parallel® funt etiam inter fc parallel®.
D e m . Ducatur ad C D perpendicularis B D ' in illó piano, in quo A B et C D jacent, item
erigatur e puncto D linea D F perpendicularis ad E F , érit CD ad planum B D F perpendi-cularis (152)» hoc ipfo erpnt etiam A B e t E F ad idem plánom perpendlculares (154);, hinc A B F + E F B = 2 Reel, ergo A B et E F funt parallel® ( 5 5 ) í 1- e- dem.
156. T h e or. Si crura duoíuna angulorum B A C et G D H (Jig. 115») ita funt fitainduo-bus planis, lit crus B A fit parallelum cruri G D , crus "B A parallelum cruri H D , erunt anguli B A C et G D H ®quales.
D e m . Fiat E D = B A , F D = C A , ducan-hir B E , A D , C F , orientur 1. parallelogram-ma B D et A F ; nam A B eft parallela ad E D et A B x= E D ergo etiam B E = A D et paral-lela ; Ita A C s = D F et paralparal-lela, ergo etiam A D = C F et parallela ( 5 9 ) ; Jam cum A D fit tam ad E B quam ad C F parallela iisque
®qua)is, erunt E B et C F etiam ®quales et parallel® (>55-), cönfequenter etiam B C s x E F ( 5 9 ) , hinc tri. B A C = tri. E D F (27.) , adeoque etiam ang. A s= ang. D. q. e. dem.
1 5 7 * T h e o r . Si px puncto D. (Fig. > 1 6 . ) line® E F in piano A B ducatur perpendicula-ris D C extra planum, et D G in piano, érit linea C H ex aliquo punctp-line® C D demifta perpendicularity ad D G etiam ad totura pla-num perpendicularis.
D e m. E F eft ad planum C D G perpendi-cularis ex confiructione (15Q.), ducatur H O ad E F parallela, érit etiam H O ad planum
F ' C D G
C a o
-C D G perpendicularis ' ( 154. ) , et angnlus C H 0 rectus, ergo CH erit ad du'as lineas in eodem plano Á B fitas perpendicularis, nem-pe ad D G et H O , ergo C H erit etianv ad totuin planum perpendicularis (152.). q. e. dem.
COT. 1. (Fig. I ÍTÓ.) Si ex aliquo puncto pcrpendiculi C H ducatur linea C D ad E F perpértdiculavis , erit linea D H , puncta D et H conncctens ad E F etiam perpendicularis.
Nam fi D H non elTet perpendicularis ex D Uucta, pollet inde alia D N duci; nunc fi ex C a'd D N demittatur perpendicularis, elTet ilia juxta theorema ad totum planum perpendicu-laris, adeoqué ex C duo perpendículo demitti polTent, qliod fieri nequit (150. Cor. 3.), ergo
D H eft perpendicularis.
C o r . 2. (Fig. 116.) Si D G fit ad E F per-pendicularis in-eodem plano, erit omnis linea C D e perpendículo H C ad pubctum D ducta perpendiculars ad E F . Nam fi G D non elTet perpendicularis ad E F , poffet ex C ad E F alia perpendicularis C x duci, et t u n c f i x c u m H nectatur, elTet H x perpendicularis ad E F ,
H D eft ex Ijypothefi , ergo ex eodem punoto H ad eandem rectam duo adeffent perpendi-'eula, quod admitti nequit.
158. P r o b 1. E puncto C (Fig. 116.) ad planum A B demittere perpendiculum.
1 R e s . Ducatur linea arbitraria E F in dato plano, demittatur ad earn perpendiculum C D , e puncto D erigatnr in eodem piano perpen-diculum D G ad E F, ad D G demittatur ex C per-pendiculum, erit illud etiaiii ad totum planum.
Ó57-)->59• F t ' o b i . E dato puncto R in piano E F erigere perpendiculum (Fig. 113).
R e s . E puncto arbitrario C demittatur ad planum perpendiculum,CD ( 1 5 8 ' ) , ad C D d u
-catur
- C 83 )
catur per B parallela B A , erit ilia perpendi-cularis petita
160. Angulus C D G , quem linea C D (Fig.
a 16.) extra planum cum illa linea facit, qu®
iranfit per D et per punctum H,, quo perpen-diculum ex C cadit, vocqtur angulus inciina-. tionis line® C D ad planinciina-.yninciina-.,, , inciina-. inciina-.
T h e o r . Line® parallel® A B , C D (Fig.
»17.) hajient ad planum E F eandem incling-tioiiexn. olßlT.t ri
D e m . Dem.ittantur e punptis axbjtrarji»,pa-rallelarum perpcndicula B O., D N ad plapum E F , erit ang. A B O e ^ a n g . C R N , quia A B eft papllelum ad C D , et B Q parajlelum,ad D N ,/ergo ang. A B 0 s= ang. C D N ( 1 5 6 . ) an-gulus .rectus B O A x ang. recto D N C , ergo etiam B A O x U C N . q. e, dem. .,(„
C o r . Ergo fi duo plana fe fcindant (Fig.
110.), omites line® ad lineam interfectionis E D perpendiculares in uno plano habebunt
eandem inclinationem ad planum aliud; Quia erunt parallel®. , . , n
161. Angulus inclinatiopis (Riorum planorum ad invicem eft quivis angulus A G B (Fig. 110), quem crura ad lineara'! interfectionis eorundem planorum perpcndicularia fgciunt.
C o r . Ergo lirtea E D interfectionis duoruni planorum . eft qd planum anguli inqlinationis
eorundem pevpendicularis .(15a.).... ; , , , Spatium intra duo plapa fe in una .linea D E fcindenRa ; cbmptebenfum angulus plpnorum audit e. gr. Ñ E L ; pl a n a N E et É B y o -cantur crura, linea ,DE vocatur linea ;.ver-ticalis* tt ü •• it' I .;. .•) ,, .
162. T h e o r . Menfura anguR planorum N E L optima eft. ill,e angulus planus, quem Ru*
line® A C, B C, ad idepp punctum line« vertical«»
perpendiculares faciunt. ; F 3 D e in.
• ' - ( s o - * * D e m . Omnes arignli pláni A C E in vef-ticaliDR, per perpendiculares ad idem pun-ctum verticalis ductas poffibiles, funt oequales (48. 156.), prseterea crura frríguli horum an-gulorui« jacent in cruribus anguli planorum, ergo divaricatio planorum N E , D M aneulum planormn efficientitim plene pendet ab ángulo piäho A G B , éiquceftprojiortionalis, ergo A G B erit optima menftira anguli planorum,
163. P r o b l.Dato ángulo planorum ei »qua->
lern íh piano data vcrtiCäli conltruere. •> ••
R e s . j . Si'angulus planorum P L M T i t r e -fctós (Hg. ,118.) ,,ei «qualis in plano L M in Hnea Vérfiéalr OX fic cfenftruitur. Ex puncto Ttliquo ¥> linete data: verticalis erigatur perpen-dieulum B H ad planum L M Q.59'), erit an*
gulus H O M desid'eratüs.
2. Si angulas A L K (Fig. 119.) fit acutus ducantur B A y B C ää I B perpendiculares, iiem' A C ad B C perpendiculäris, dein ducatifr E G ad N K perpéndicuJaris ,' fiat E G =s B C, e pun-' cto G erigatur pcrpendiculum G D (159.) = C A , nectatur D cum E, erit D E G = A B C (2$) > adeoque et angulus B K H = A B N. (162.).
• 3. Si arigiilusAIM iit obtufus, tune con-ñruatur prius- ejus contiguo acuto A I K acqua-lis D N H , etit D N M angulus qutefitus.
164. Planum unuin éfi paralíelum ad aliud, fi, quantumcunque producatur, nunquaui attingat aliud.
P r o b 1. Per punctum datum A (Fig. 120.)*
diiceíe planum paralleluin ad L M ,
R e s . Ducatur A B i d datum planum L M perpendiculäris (138.)» ducantur in plano L M
« puncto E dure arbitran® recta: B D , B U , ad has ducantur pér punctum A parallel«'A F, A I ; Cum A B ' f i t ad B D et ß H perpendicu-läris linea, erit etiam ad parallelas A P et A I
per
- ( 85 ) ~
perpeiidicularis ( 49- ) , ergo A B erit ad planum F A I perpendicularis (152.), hoc ipfo planum F A I cd ad datum L M parallel um, ram A I vel quaecunque alia linea in eodem piano dqcta quantumcnnque producatur nun-quam conveniet ' cum piano L M ,
165. T h e o r . Duo plana parallela funt m-quidillantia.
D e m . Omnia perpendicula A B et L H (Fig. 130.) ex uno piano parallelo ad aliud ducta funt aequalia ; ducantur enim Jinp» A I et H B, erunt e » ad invicem parallel», quia prunt ad lineam A B vel J H perpendicularec (150), adeoque A I H B elt parallel,ogrammuiu (59,); et hinc A B = I H , hoc ipfo autem pla-na parallela «quidißant.
06. Si tres vel plure* anguli plani A C B , B C D , A C D (Fig. 2i.) in diverfis planis ita fint fiti, ut omneshabeant communem vertiemn C , et duo quivis anguli crus unum conusum babeant , inclinatio , quam plana talium au-gqlorum ad invicem habent, vocatur angulu»
folidu8; et in fpecie, fi tres anguli plani angn-1 um folidum eft'iciunt, vocatur ia Triangulum folidum.
C o r , Ergo in omni triangulo folido 6 ia confiderationem venire debent , tre» anguli pla-ni, et tres anguli planorum.
167. T h e o r. In omni triangulo folido fem -per duo anguli plani fu-perant tertium.
D e m . (Fig. 121.) Si omnea tres anguli pla-ni funt ad invicem «quales theorema eil da-rum, ft vero fuerint inaquales, tunc fit B C D maximus angulus, in hujus piano ducatur e.yer-tice C linea C E ita, ut fit «qualis C A , iteiu ut faciat angulum B C E = B C A , producatur C D ita, ut jineae B E producta occurat e.gr.
in ß , nectatur Ö cum A , erit tri. B C E * JBCA
. ( 86 )
-B C A (23.) ergo A -B = -B E ; porro cum A G + A B > B G (37-). e r i t a dcxtris A B i t a finiftris B E tollendo A G > B G t - B E , feu A G > E G . Nunc cum in triangulis A C G et E C G latns C G utriqne commune, A C = EC, et A G > E G erit angulus A C G > a n g . E G G (42.), addendo ex una parte angiilum A C B ex alia illi «quajem B C E erit A C G feu A C D 4 - A C B C E + E C G feu A C D 4- A C B >
B C D. q. e. dem.
• 168. T h e o r . Si in duobus triangulis foli-d i s F E G H , et A C B D (Fig. 122.) omnes tres anguli plani ftierint ad invicem aequales, etiam anguli planorum, quos hi tres anguli plani fa-ciunt erunt aequales, hoc eft integri anguli fo.
lidi erunt aequales. i , D e m . Sit A D B r b F H G , A D C n F H E ,
C D B ' = E H G , ponatur H G a s D B item H G effead planum F E G , et I) B ad planum A C B perpendiculare; erit tri. E G H = C D B (24.) ob angulo« ad G et B rectos aequales, ang.
C D B ss ang. E H G , latus D B = H G , ergo H E a b D C : porro tri. H G F = tri. A B D (a*.)»
nam ang. D B A = H G F htpote recti, aWg.
A D B = a n g . F H G , 1 I G = D B ; ergo A D = s ' H F , A B = F G ; tandem cum A D s± F H , D C s s s H E , ang. F H E = ang. A D G erit tri.
F H E = tri. A D C (23.); et hint! A C = F E , praeterea B C = E G , A B = F G ergo tri. A C B
== tri. F E G (27.), unde ang. E G F = ang.
C B A , hi vero anguli funt menfurae angulorum a planis D C B et D B A item E H G et H G F factorum (162.), ergo hi anguli funt aequales;
eodeio modo demonftratur de angulis, qui fiunt a planis fe in lineis H E , D C fcindenti-bus etca, confequcnter ft irt triangulis folidi«
anguli plani fuerint ¿quales , etiarq anguli pla-norum erunt, adeoqoe e f integri anguli folidi.
b. e. dem. 169.
t
~ ( 87 ) ~
169. T h e or. Sumtna angulorum augulum folidum perfecte convexum conftituentium fem-per eft quatuor rectis minor (Fig. 123.)
D e m . Ponatur in anguio folido A B D C E F planum A B D C E ita, ut omnes angulos pia-nos fcindat, orientur tot triangula, quot funt anguli plan; , ergo fumma angulorum in pofte-rioribus triangulis aequatur fnmmae in priori-bus : Unde cum omnes angiili ad 0 aequentur 4 rectis, erit A E F + E A F + A F E + F E C 4 - E C F 4 - E F C 4 - F C D 4 - C D F - H C F D etca 7\ i = A E O + E A O + O E C + O C E + O C D + O D C + O D B + O B D + O B A + O A B + 4 R ; Jam cum A E F + F E C > A E C , item F C E 4 - F C D > E C D e t c a ( » 6 i . ) , necelfario ut aequatio perfeveret, erunti anguli ad O feu 4 recti majores angulis ad F. q. e. dem.
j70. Prisma eft, corpus, cujus fuperficies conftat duobus polygonis parallelis et sequali-bus, prseterea tot parajlelogvammis quot ha-bct latera nnum e polygonis parallelis, uti eft E D (Fig. 134.). Polygonorum parallelorum
quodvi» erit bafts prismatis ; perpendiculum ex una baft ad aliain demilTum erit altitudo; li latera parallelogrammorum fuerint ad alter-utram baftin perpendicularia, aderit prisma re-ctum, fin minus obliquum.
Prisma , cujus bafes funt ctiam paraltelo«
gramma, dicitur Parallelepipedum; parallelepi-pedum, quod uteris quadratis conftat , vocatur Cubus.
C o r . Superficies ergo prismatis cujuscun-que obtinebitur, li parallelogrammorum fuper-ficies quaeratur, item polygonorum parallelo-rum, et totum in uriam fummam addatur.
171. P r o b l . In bafi A B C D (Fig. 124)
•onftruere prisma.
R e a.