Josephi Wolfstein ... Elementa geometriae purae

(1)

(2)

JOSEPHI WOLFSTEIN,

A A . L L .

et Phh.osophi;eDoctoris, in Regia A cademia C assoviensi M athbseos P kofessoris

PDBL1CI ORDlNARII

e l e m e n t a

G K O M E T R I J E P Ü R I E .

!

Cum duabuí tabulis ctneis.

CASSOVIAE,

E x T y p o g r a p h i a E l l i n g e r i a n a .

1811.

(3)

(4)

P R A E F A T I O .

JtVlaximum fane momentum, quod me ad hate Ele- menta confcribenda impulit, vefira Juvencs lectifsirni.l>

qui Geometrice operam nuvqtis, utilitas fuit; quam plurimum promotum iri perfpectum habcbr.m, ß com- pendio quodarn provif fueritis, quod vos via facifi', et Jccura ad participandum c thefauro utilifsimarum boo

aevo prope infinitarum inventipnum ducat. Quupropter ' id femper prce oculis hdbui, ut viam, qua; ad ver it ri-

tes hoc libello contentas ducit, talem, ftigqpi, qua; in- tellectum ad nfsenfum non cogat, fed cum it a ducal.

ut via;, qua ad afsesifurn pervanit, fbi plene confciiis f t , eandemquc ipfe Jibi c natura Verität um evolvijj'e vi-

deatur, Nihil quod demonfrari po/fe judicavi, insie- monfiratum retiqui; p/ura demonfirata reperietis, quoe mult i ut evidentia venditabant, ut jam a teneres afve- fcatis rigori illi mathernatico, Jine quo ad. ver am fcien-

tiasn pervenire mistime .poterit is, cujus defects/ factum, ut focp* integra fyßemata debilibus nix a fundamcutis nutent. Eateor quidern multos anxio quodarn omni o demonftrandi fiudio veritntes etiarn clarij'simas tenebria intolviffe; verum hoc ei mistime eveftire poterit, 'qui demonftrationem omnem attente analyfabit; fernper csiim in dernonfratiane veritatis per fe evidentis circulas vi- tiofus tatet. Syßesna et ordinern veritatum illum fe<p<i conabar, in quo veritates omnes unarn quaf qqtehum conjiituunt, qua re snirifioe memoria adjüvatur;, Idea etiarn ad imitationem pluriurn rcceatiorusn . ßl/itherria-

iU'orutti

\

(5)

Irrnrum , front unam vcritatem alteri illußrandce necef- sariam judicavi, ita quoque eandem coordinavi; Jic quaedam de circuits, qua; doctrinam de triangulis illu- ßrant, praemiß, quae veto de circuits ex proprietati-

bus triangulopumßuunt poßpqfui, ctßc de aliis; afta*

men ubique pros ocúlis kabui, ut demonfiratio prcece- dentium a Jequerítibus independent ßt, et nonniß fe- quentia a prcecedentibus pendeant.

Studui brevitati, quantum id materiarum dignitas admißt, non tarnen ideo obfcurior evafijfe videor i qucedam neglexi, quae tarnen vos ipß, ß hacc noßra curioßus petlegeritis, evolvere poteritis. In quibusdam forte longior videber, verum lwc Zelo adfcribatis velim,

quo vos pedetentim ad ulteriora Mathefeos deducercper- cupio. Ceterum haec talia funt, ut ea , cui fuperßua ' videbuniur, & facile obfervare, & facillus adhuctran- ßlire poffit.

Utrum vero his omnibus fatisfvcctim , an non for- te in quibusdam fub fpecie recti deceptus ßm, doctioret dijudicent, meque meliora edoceant; quod lit benevolt faciant , eos orare non erubefco.

Verum, ut ut utilis vobis, I. LI effe voluerim , nunquam tarnen opufciilum hoc arctfsimis his tempo- rum adjunctis lucem confpexiffet, niß rara felicitate factum fuiffet, ut duorurn Nobilifsimorum Virqrum

Illußrifsimi quippe Comitis

J oannií Barkoczy,

Illußrifs mi Comitis

Alberti

SztaraY liberalitate ad- jutus Elementa haec publici juris facete potuerim. Quo-

rum liberalitatem dum hie commemoro, iisdem grati- , tudinis meoe iocumentum hie publice dare, meum effe judicabam. Quareß quid ex hoc meo labore in ves emolument i redundaverit, id non tarn mihi, quam Ulis in aeeeptis referre vos oportebit.

Dabam Cafsovie 25. Octobri« i 8 u »

(6)

NOTIONES PRAEVIAE.

G

V I eometria eft fcientia extenfiohis fpatii.

Ut fpatium, quod corpus occupat, examini fubjici polfit, debet illud limitibus det&rmina- tum eile. Limites extremi fine profundftate, aut fi lubet craffitie, qui definiunt corpus, funt Superficies ; limites fuperficierum funt Lineae ; limites linearum funt Puncta: Unde fuperiicies eft omnis extenfio duas liabens dimenfiones,

v quae in longum et latum vocari poffiAt; linea eft omnis extenfio unius dimenfionis , qWe in longum vocari poteft; punctum vero eft id in fpatio, quod nullum habet dimenfionem, attamen pro initio et fine omnis dimenfionis haberi debet.

2. Superficies, lineae, et puncta fenfu ex- pofito nuspiam fcparatim exhiberi poifunt;

ompii enim fupcrficies, quam feparatim exlii- beinus, habet craffitiem; omnis linea, quam e. gr. creta in tabula facimus, habet latitudi- nein, imo etiam craffitiem; ita omne punctum eft extenfum. Nos tarnen, dum tales fuperficies lineas et puncta examinamus, abftrahimus a dimenfionibus non necellariis, et nobis con- ftruimus in mente fuperficles, lineas, et puncta talia, qualia requiruntur.

8- Hinc

(7)

/

. - ( 2 ) -

'¿. Hinc tarnen nemo inférât fuperficies, lineas , et puncta geoinetrica reverá non exilie^

re , fed eile meros abftractos conceptus : confi- deretur enim quodcumque corpus, omne eil limitation, ergo limites ejus actu exiftunt, limites extremi corporis fine profunditate funt fuperficies, limites fuperficierum funt lineae, et limites linearum puncta; confequenter fuperficies, lineae, et puncta actu exiftunt, imo nobis fub fenfus cädunt, per illa enim figuram corporum cognofcimus.

Gratis ergo certitudo et utilitas Geometriae a quibusdam impdgnatur ex eo fundamento, quafi partes extenfionis, cujus proprietates Geo- metría examinat, non exiíierent.

4. Superficies non eil pars corporis, linea non eil pars fupérficiei, punctum non eil pars lineae; nam fuperficies, linede, et puncta funt . limites, id eil termini in quibus extenfio défi-

nit, jam termini nequeiint elfe pars illius, cujus funt termini.

C o r ö l l a r i ü m . Ergo fi corpus quomodo- cumque dividatur , nunquam dcvenietur ad partem, quae corpus 11011 eilet, ita íi fuperficies dividatur, femper pars divifione producta erit fuperficies, item Ii linea dividatur, femper {iars divifione producta erit linea. Conclíidi

line potefi, corpus fuperficiem et lineam poffe in infinitum dividí, hoc eft divifione actuali numquam produci poft'e talem. partem, quae

ultra divifibilis non effet.

, S c It o I i o n. Male concluderet, qui putaret t

liinc fequi, corpora, fnperficies, et lineas finitas confiare partibus finitis numero' infinito : quia in corpore, fuperficie, et linea finita tot funt partes finitae, quot divifione actuali producun- tur, divifio vero actualis in infinitum nunquam fiet, ergo nec partes finitae numero infinito aderunt. 5. Quan-

(8)

5. Qantitatcm extenfam dividere in partes fignificat communem limiteqi partium definire.

Ergo corpus dividitur per fuperficies, haec per lineas, linea per puncta.

6. Quantitates duae dicuntur congruentes, cum funt Pimiles et aequales ita , ut licet loco diverfae lint, ft tamen in uno eodemque loco repraefentarentur unam eandemque quantita- tem efficerent. Unde ex duabus quantitatibus congruentibus una pro alia Tubftitui poteft.

7. Cum objecta geometriae fint lineae, fuperficies, et corpora, planum eft, ut Geome- triam in tres Se(?tiones dividamus; nempe primo in Longimetriam feu Sectionem illam, quae principaliter agit de proprietatibus linearum; fecundo in Planimetriatp feu Sectionem illam, quae agit de fuperficiebus; tertio in Stereometriam feu Sectionem illam, quae agit de corporibus.

SECTIO PRIMA

L o ng ime tr ia.

8- Linea omnis vel eft recta, vel eft curva.

Recta eft ilia, quae inter omnia fui bina pun- ctq eodem modo jacet, curva eft ilia, quae non jacet inter omnia fui bina puncta eodem modo.

C o r o 1. Ergo duo puncta fitum totius rectae determinant ; et hoc ipfo etiam recta, quae aliain in duobus punctis tangit, plene in hanc ruere debet.

A x i o m a. Inter duo puncta plures rectae quara unica funt impoffibiles; nec cogitari pofl'unt plures rectae inter eadem duo puncta, quin congruant.

A 2 C o r o 1.

(9)

. - ( 4 ) -

C o r o ! . Duae rectae fe nequeunt ftindere nifi in unico puncto ; fi eniin fe fcinderent • vel in duobus punctis, quin congruant, tunc adclTent inter ilia duo púnela duae rectae.

C o r o l . a. Duae rectae nequeunt fpatium claudere; ad hoc eniin fe deberent ad mini- mum in duobus punctis (cindere.

9. Diftantiam unius pimcti ab alio linea recta dLeterminat: nam diilantiae menfura debet eife cohftans et única, quidquid autem praeter rectam inter duo puncta pro menfura di- ftantiae fumetur, omne erit variabile, fola.

enim recta eft inter duo puncta unica.

10. Linea curva poteft eífe vel "continua, cujus nulla pars eft recta, uti (Fig. 1.) A C ; vel fracta , id eft talis, quae ex meris lineis rectis eft compofita uti D E ; vel mixta, quae eft comp«fita e lineis partim rectis partim curvis continuis uti F G.

' Quaevis pars curvae continuae vocatur Ar- cug ; linea recta ab uno puncto arcus ad aliud

dueta vocatur Chorda. , i i v ^ T h e o r e m a . Pars infinitefima lincee

finitae eft punctum.

D e m o n ft r a t i o . Quaevis linea finita quo- modocumque dividatur, femper dabit lineas finitas pro limitibus liabentes puncta, (4. Corol.)

ergo in quavis linea finita praeter lineas et puncta nihil datur; jam pars infinitefima lineae finitae non poteft eile linea; fcciis linea finita eilet compofita ex numero infinito linearum finitarum, quod impoffibile ^eft, ergo pars infi-

nitefima lineae finitae erit punctum.

C o r o l . 1. Pars infinitefima curvae continuae finitae eft arcus, qui cuín fua chorda eft idem. Cum enim in hoc cafu arcus fit punctum, erit idem iftud punctum ejusdem arcus chorda. «

C o r o 1. 2.

\

(10)

t

. - ( 5 ) -

C p r o l . 2 . Linea curva continua pro line«

fracta haberi poteft, et quid fem pro tali,, quae eft compoftta ex meris ciiordis partium iiii in- finitefimarum.

S c b o l . Cum actuali divifione ad partem infinitefimam lineae deveniri non poffit, pars infinitefima lineae pars realis non eit, fed limes realium partium, ad quern hae eo magis.acce- duut, quo minores funt: attamen ideo punctum ut partem infinitefimam lineae, fingere poflumus,- imo deb,emus; quomodo enim fecus lineam curvam continuum, cujus nulla realis pars recta eft, in menfyris lineae rectae deter- minabimus, nifi recurrendo ad fictionem ex- po,fitam, et inde confiderando curvam ut lineam fractain compofitam e meris lineis rectis juxta fenium Corol. 2.

12. Plana eft ilia fuperficies, in qua quaevis linea ab uno puncto in eadem aftumto ad aliud ducta eft recta. Curva vero erit omnis fuperficies in qua quaevis linea non eft recta.

A x i o m . Inter rectam lineam, et punctum extra illam eft nonnifx unicum planum poffibile.

C o r o l . Tria puncta femper funt in unico piano; nam ubi funt tria puncta, ibi datur unica recta et punctum extra illam.

C o r o 1. 2. Duo plana, quae fe in tribus punctis non in una recta litis tangunt, congruere debent; fecus euim per haec tria puncta duplex planum duci poflet.

C o r o l . 3 . Duo plana fe nequeunt fcindere, quin coincident, nifi in unica linea recta; fi enim fe fcinderent vel in duabus rectis, jam haberent tria puncta communia, quae non funt fita in una recta, et hoc ipfo congruere de-

"berent.

r3> Spatium linea continua ( Fig. 2.) A R C in fe ipfam redeunte, cujus fingula puncta a

puncto

(11)

puncto quodam medio in eodem piano fito aequidiftant, claui'um vocatur Circulus. Linea A B C vocatur Peripheria circula. Linea A O diftantiam peripheriac a puncto medio O, quod Centrum adpcllatur, mepfurans dicitur Radius.

Continuatus Radius in partem oppofitam usque dum ad peripheriam deveniat, facit Dia- metrum A C. Spatium A O X inter duos radios et arcum comprehenfum vocatur Sector ; fpatium inter arcum et chordam comprehen- lum vocatur Segmentum , uti D B.

Quivis circulus íolet dividi in 360 partes aequales, quae Gradus vocantur, gradus i'ub- dividitur in 6o partes aequales, quae Minuta prima vocantur, minutum primum fubdividi- tur in 60 minuta fecunda, et fie porro. Unde in circulo majoris radii gradus et minuta erunt majora, et in circulo minoris radii gradus et minuta erunt minora.

T Ii e o r e m. In circulo omnes radii et dia- mefri funt aequales.

D e m ó n l l r a t i o . In circulo omnia puncta peripheriae a centro aequaliter diftant, ergo lineae lianc diftantiam determinantes erunt aequales, liae vero lineae funt radii, ergo radii omnes in circulo funt aequales. Cum autem diametrí nihil fint aliud , quam duo radii ex centro in partès oppofitas usque ad peripheriam in una linea recta ducti, erunt etiam dicimetri aequales hoc ipfo, quod radii fint aequales.

14. T h e o r e m . Si duo circuli in eodem piano, fiti habeant radios (Fig. 3.) D E , A C cum linea C D centra ipforum connectente ejus longitudinis, ut duae quaevis ex his tribus lineis fuperent tertiam, tunc peripheriae ta- lium circu'orum fe i'cindent in duobus punctis e. gr. n et m.

D e m o n fi r.

(12)

. - ( 7 ) -

D e m o n ft r. ExVremum punctum G diametri G E in hypothefi afl'umta debet effe inter puncta A et " B , boc eil intus in circulo A n B m , nam G nequit eile inter B et B , quia tunc effet contra hypoth. D G f C B <C C f f ; nec in B , tunc eniin effet U G C B — C D etiam contra hypoth. nec in A, quia fi G effet in A , tunc effet D G = C D -f- A C quod etiam hypoth. opponitur; nec ultra ' A , nam in hoc cafu effet D G > C D ' - f - A C iterum contra hypoth. ergo G elfe debet alicubi inter A et B , boc eft in cirçulo A n Bin. Porro aliud extremum punctum E diametri G E debet effe extra circulum A n B m , quia C D D E = C E > C D juxta hypoth. ergo punctum E ultra puncta C et B effe debet, iioc ' eft extra circulum A n B m.

Jam ft extremorum punctorum diametri G E ünum eile debet intra circulum A n B m, aliud extra eundem, etiam femiperipheriae cum his extremis punctis diametri G E conjunctae erunt partim in circulo A u B m , partim extra eundem, hoc vero aliter fieri nequit, nifi fingula I'emiperipberia circulum A n B in I'ciderit.

Ergo verum Theorenui.

15. Angulus eft fpatium inter duas lineas;

quae fe in unico puncto fcindunt comprehen- i'um. Lirieae, quae fui iuterfectione angulum dant, Crura vocantur; punctum ubi lie lineae angulum dantes fcindunt , vocatur Vertex. Si crura anguli fuerint lineae rectae , erit is Re- ctilineus, ft vero crura anguli fuerint lineae curvae, erit is Curvilineus. Angulus comuni- ter tribus littcris denonjin.atur ita, ut littera ad

verticem fita fit in medio inter alias duas: ft ad eundem verticem unicus angulus adfit, is unica littera denominari poterit.

Corol. i.

(13)

- ( 8 ) -

C o r o l . i. Anguli magnitúdó non pendet a longitudine crurum, fed a modo quo crura fe fcindurit ; ab hoc enim pendet magnitúdó in- tercept! fpatii, quod angulus eft.

C o r o 1. 2. Spatiüm o'mne, quod angulum efficit, pottíft concipi in infinitum protenfum a vertice incipiendo, nam crura anguli funt non- niíi ex parte verticis de'finita, ex alia parte vero indefinita, ergo prolongan polfunt line fine. Si.crura anguli alicujus in infinitum pro- ducía concipiantur, adpellari poterunt crura completa, et angulbs inde oriundus angulus completus.

16. Situs linearum ad invicem pendet ab ángulo quern faciunt. Inter omnes fitus Per- pendicularis efi memoratu digniffimus. Linea ' una x E (Fig;4.) habet ad aliam fitum per- pendicularem, feu linea x E eft ad A B per- pendiculars, quando illi ita infiitit, ut utrinque ángulos aequales faciat, feu ft fuerit x E A s=3 x E B .

C o r o l . Ergo perpendicularis ita infiitit alteri, ut in meutram partem magis inclinet; ad qua^m enim partem magis inclinaret, éx*" ea elTet angulus minor adeoque non aequalis, deeffet ergo illi necefiaria dos ad i d , ut fit perpendicularis.

17. Angulus rectus eft ille, qui fit ab una linea ad aliam perpendiculari. Sic (Fig. 4. ) x E B vel x E A eft angulus rectus. Angulus acutus eft ille, qui eft minor recto ; obtufus eft ille , qui eft major recto. Uti ( Fig. 4. ) y E A eft acutus, y E B eft obtufus.

Anguli contigui dicuntur illi in eodem piano fiti anguli, qui fuis verticibus fe contiri- gunt, et quorum extrema crura jacent in una Tinea recta ; lie ( Fig. 5. ) A C D , A C B , B C E funt "aijguli contigui. Anguli verticales funt

; HU

(14)

illi duo apguli, quorum unus oritur e prolon-

g a t i o n crurum alterius in partem oppoiitam; <»

fic (Big. 6.) A C D et B C E funt anguli verticales.

i8- T h e o r e nf. Ex puncto E lineae A B ( Fig. 4• ) praeter E x aliud perpendiculum eri- gi nequit.

D e m o n 11 r. In eo cafu ubi E ell extremum punctum rectae, debet ea prolongari ita, ut E veniat inter extrema puncta, prout figura exhibet, erit angulus x E A s= x E B , ( 16.) praeterea cum hi duo anguli fint. in eodem piano, ( 12. Corol. i. ) ponatur, quod ex E praeter E x . e t i a m alia perpandicularis in eodem piano erigi polfit, fitqiic ea E y , erit y E A == y E B , item x E A = x E B , jam evidenter pafet, quod y E B > x E B , ergo etiam, fi pro y E B fubilituatur y E A , e't pro x E B fi fubilituatur aequalis angulus x E A, e r i t ' y E A > x E A , quod cum . manifefte ab- furdum fit, patet praeter E x aliud perpendi-.

culum admitti noti poffe.

C o r o l . Ergo omnes anguli recti funt aequales.

D e m o n ftr. Superponatur angulus rectus B C E (Fig. 7.) angulo recto A C D i t a , ut C cadat fupra C , crus C E fupra C D , eo ipfd crus C B cadet fupra C A ; nam fi crus C D caderet ad dextram vel finiftram cruris C A ita, ut obtineret fitum C b vel C x , tunc ex puncto C adcfient duo perpendicula, quod cum fit contra Theorema, patet, quod C B fupra C A ruere debeut, et hoc ipl'o anguli recti iibi fuperimpofiti congruunt, hoc eft, funt aequales.

19. T h e o r e m . Anguli contigui femper aequantur duobus- rectis. ,

D e m o n ft r. Sint A C D ( Fig. 8-) et A C B duo contigui, erigatur e comuni vertice conti-

guorum

(15)

.J»

- ( xo ) -

guorum perpendiculum C E , refolvetur totum ipatium, quod angulos contiguos efficit, iu duos rectos E C D e t E C B .

C o r o l . l. Omnes anguli, qui circa eiindem verlicem C (Fig. 9-) funt poilibiies, aequantur quatuor rectis.

D e m o n i t r . Vel erunt duo crura duorum angulorum ex his in una recta, vel non erunt;

ii erunt uti A C , B C tunc anguli fupra rectam A C B aequabuntur duobus rectis, et infra A C B etiam aequabuntur duobus rectis, adeoque omnes firnul quatuor rectis : fi vero nulla crura erunt in una recta, poterit crus unuin A C prolongari usque B ita, ut angulus E C M refolvatur in duos E C B e t M C B , eruntquc iterum anguli fupra A C B contigui, et infra A C B contigui, adcoque omnes fimui aequabuntur quatuor rectis.

C o r o l . Ex duobus contiguis, fi unus fuerit acutus, alter eo ipfo erit obtufus.

20. T h e o r e m. Si anguli D C A , B C A (Fig 10.) habentejs communem verticcm aequan- tur duobus rectis, erunt ii contigui.

D e m o n i t r . Si non efient contigui, crura

» C D , C B noneifentin una recta, (17.) ergo unum ex iis prolongari poterit, ejusque prolongatio cadat extra aliud crus, uti C x, eritque D C x linea recta ; pofito hoc erit A C D - j - A C x = s a R , item juxta hypoth. A C D -f- A C B = 2 R , ergo A C D A C x = A C ! ) - f A C B , feu A C x — A C B , quod cum fieri nequcat, prolongatio cruris D C extra C B cadere non poterit, eruntquc anguli A C D et A C B contigui.

21. T h e o r e m . Anguli verticales funt acquales, uti (Fig. 6.) A C D e= B C E , vel A C B =s D C E.

D e m 0' B ft r. Cum unus oriatur e prolon- gatione crurum alterius in partem oppofitam,

(16)

— ( I I ) —

tarn, erunt lineae A E , D R rectae, ergo crit A C D - f A C B = 2Íl, item A C B 4 - E C E —2R , ergo A C D - t - A C B = A C B - j - E C E , ieu A C D , = B C E , quod erat demonftrandum.

C o r o 1. Ergo ii ex quatuor anguiis , qui íiunt a duabus rectis fe in uno puncto fciricleiiti- bus, unus fuerit notus, contiguus ejus eo if fo eft notus, ( 1 9 . ) alii vero duo lunt horum verticales.

C o r o l . Perpendicularis C D (Fig. 1 1 . ) ad A B etiam infra A B producta eft perpendicularis. Nam íi C D producatur usque E , erunt anguli C D A -}- C D B = A D E 4- B D E, item cum C D B => C D A, (16.) erunt etiam verticales eorundem aequalcs, feu A D E = B D E , lioc ipfo erit D JC perpendicularis. ( 1 6 . ) .

C o r o l . 3 . Si C E eít ad A B perpendicularis, etiam A B erit ad C E ; quia tales duae lineae ubique faciunt duos contiguos aequales.

22. Triangulum eft fpatium tribus lineis claufum ; ft lineae fuerint rectae , triangulum erit rectilineum, ft curvae curvilineum. Lineae triangulum eíTormantes vocantur latera..

Triangulum ratione habita laterum vel eft aequilaterum, ft omnia tria latera funt aequalia, vel aequicrurum feu Ifofceles ft duo latera fuerint aequalia, vel Scalenum ft nullum latus fiierit alten aequale.

Ratione vero habita angtllorum triangulum vel erit rectangulum, ft in eo aderit angulus rectus, obtusangulum, ft in eo aderit angulus obtufus, acutangulum, ft in eo omnes tres anguli fuerint acuti.

In triangulo rectángulo latus ángulo recto oppofttum vocatur Hypothenuí'a, et latera angulum rectum intercipientia vocantur Calheti.

23. T h e o r e m . Si in duobus triangulis A B C et D E F (Fig. 12.) fueriut duo latera

\

(17)

V

- ( .2 ) -

A B et B C cum ángulo intercepto B unius tri- anguli aequalia duobüs lateribus D E et E F cum ángulo intercepto E alterius trianguli, erit etiam tertium latus A C = Ü F , et bine tota triangula erunt aequalia.

D e m o n ft r. Concipiatur triangulam A B C fuperponi triangulo D E F i t a , ut B C cailat fupra E F , haec. latera cum lint aequalia coincident, hoc ipfo autem B A ruet l'upra E D , ob aequalitatem enim angulorum E et B latus B A nec ad dextram, nec ad finiftram lateris E D ruere poteft; fi vero B A fupra E D ruere debet, etiam hae duae lineae corruent, cum fint aequales : pofitis liis latus A C neceflario congruet cum D F ; nam liorum laterum extrema puncta, cum fint lateribus B C , E F item B A, E D congruentíbus communia, congruunt, et hoc ipfo integra latera congruunt, (8. Axiom.) fi vero haec latera congruunt, etiam anguli, quos haec latera cum congruentibus lateribus faciunt congruent; confequenter integra triangula erunt aequalia.

C o r o 1. Ergo triangulum per dúo latera cum ángulo intercepto eít omnimode determi- natum.

S c h o 1 i o n. In aequalibus triangulis femper aequalibus angulis aequalia latera oppo- nuntur, et vice verfa aequalibus lateribus aequales anguli. Si epim dúo aequalia triangula juxt.a aequales ángulos vel latera aequalia fibi fuperponantur, congruent ita, ut femper aequalia latera aequalibus angulis oppofita fint.

24- T l i e o r e m, Si fuerint dúo triangula A B C et D E F (Fig. 12.) in quibus angulus B c E , C = F , et latera ab his angulis in- tercepta B C css E F ; erunt tota triangula aequalia.

D o m o n ft r.

(18)

D e m o n ( l r .}S i triangulum A B C fuperpc natur triangulo D E F juxta ángulos aequalee ita, ut B C veniat fupra aequale latus E F, haec latera congruent; hoc ipfo autem latus B A cadet fupra E J), quia ob aequalitatem angulorum B et E nec ad dextram, nec ad fi- niitram lateris E D cadere poteft; ex eadem ratione C A cadet fupra F D. Pofitis his B A cum E D , et C A cum F D congruere debent;

nam hoc ipfo, quod B A ruat fupra E D , pun' ctum A erit alicubi in linea E D ; item ex eo quod C A ruat fupra E D , erit idem punctual A etiam in linea F D , jam unum idemque punctum A ad femel in duabus lineis aliter eife nequit, nifi fuerit in puncto utrique lineae communi, hoc eft, nifi A fuerit in D , et tunc B A cum E D , et C A cum F D congruent, confequenter integra triangula etiam congruent.

23T T h e o r e m . In omni triangulo aequi- cruro A B C (Fig. 13.) anguli B et C aequalibus lateribus oppositi funt aequales.

D e m o n ft r. Producantur latera aequalia ita, ut fiat A F = A G , necfatur F cum C, et G cum B , orientur triangula *AB G et A C F- quae ob angulum ad A utrique comunem, latus A B = A C , item A F = A G funt aequalia: (23.) ergo F C = B G , angulus A B G « ángulo A C F , item angulus G =s ángulo F ; hinc etiam triangulum B C F e triangulo C B G, ( 2 3 . ) adeoque et angulus B C F = ángulo C B G : confequenter ft ex angulis aequalibus A C F et A B G fubtraliantur aequales anguli B C F et C B G , erunt diflerentiae aequales, ncmpe ft fiat A C F — B C F , et A B G — C B G, erit A C F — B C F á A B ' G — C B G feu A C B 1= A B C , quod erat derhonftrandum.

C o r o 1. Si iu aliqu'o triangulo omnia tria latera. fuerint aequalia, etiam omnes tres an-

guli

/

(19)

I - ( 1 4 ) —

guli erupt aeqitales; quaecumque enim duo ex his tribus iateribus accipiantur, femper anguli ad latus tertium pofiti erunt aequales, uncle facile patet, omnes tres aequales efte debere.

26. T h e o r e m. Si in triangulo quocuiri- que A B C ( Fig. 14.) fuerint duo anguli B et C áequales, etiam latera illis oppolita erunt aequalia.

D e m o n ft r. Si latera angulis B et C oppofita. non eíTent aequalia, tunc unum ex iis eifet majus, ponatur A B > A C ; abfcindatur ex A B linea A x , qua A B fuperat lineam A C, erit B x = A C, nectatur x cum C, orientur duo triangula, x B C et A B C , quae ob latus x B = A C , B C utrique comune, et angulum x B C — ángulo A C B funt aequalia ; ( 2 3 . ) jam triangulum x B C nequit aequari triangulo A B C utpote pars toti, ergo neque aliquid ex A B tolli poteft, ut aequale fiat A C , hoc eft A B = A C ; quod erat demonitr.

C o r o l . Si tres anguli in triangulo fuerint aequales, etiaqi tria latera illis'Oppofita erunt aequalia; quia quicumque duo ex tribus aequalibus angulis accipiantur, femper latera illis oppolita erunt aequalia, unde neceffario omnia tria latera erunt aequalia.

27. f h e o r e m . Si in triangulis A B C , D E F (Fig. 12.) fuerint omnia tria latera ad invicem aequalia , etiam omnes tres anguli erunt aequales , hoc eft toth triangula erunt aequalia.

D e in o n ft r. Ponatur triangulum A B C juxta triangulum D E F ita, ul latera A C et D F maxima coincidant, et anguli his lateribus oppoliti in partes oppolitas cadant, orietur figura quad filatera A B C E ( Fig. 15.. Ñro. 1. ) in hac ducatur linea B E, orientar duo triangula aequicrura A B E ob A B =j Á E , item

B C E

(20)

. - ( 15 ) -

B C E ob B C =s E C , ergo angulus o =s án- gulo m , item angulus p = ángulo n , adeoque etiam o -f- p = m -}- n, hoc eít B == E , unde totum triangulum A B G =3 A E C ( 23.) ieu A B C = D E F . (Fig. 12.) Si vero triangulum A B C juxta D E F collocetur ita, nt latera minima fe contingent, nempe ut prodeat figura A C F B, (Fig. 15. Nru. 2.) .ducatur recta D F„

eru.it triangula I) C F et D B F aequicrura, ergo angulus C D F = C F D et B D F = B F D , hinc C D F — B D F =? C F D — B F D , feu C D B = C F B , hoc ipl'o etiam triangulum C F B => triangulo C D B. (23.)

28- P r o b l e m a . BiíTecare unguium datum B A C . ( Fig. 16.)

R e f o 1 u t i o. Pofito uno Crure circini in vertice A anguli dati fiat in utroque crure anguli dati punctum eadem apertura circini, erit A x ==» A y ; e punctis x et y fiant eadem apertura duo arcus fefe interfecantes alicubi in O , ( 14.) nectatur O cum A , erit angulus B A C per lineam A O bifTectus.

D e m o n ft r. Ducantur rectae x O et y O, orietur triangulum A x O = triangulo A y O, ( 27. ) ergo angulus x A O = y A O , hoc efl:

lineá A O biffecat angulum B A C . ,

29. P r o b 1. BiíTecare rectam A B1 (Fig. 17.) R e f o l . Pofito uno crure circini in A , fiat apertura arbitraria, medietatem tamen lineae A B fuperante, arcus tarn fupra rectam A B quam infra; item eadem apertura circini retenta pofito uno crure in B fiat alia apertura

> tarn fupra A B quam infra arcus, hi arcus priorep fcindent in punctis C et D , ( 1 4 . ) linea puncta C et D connectens fcindet rectam A B in X bifariam.

D e m n n f t r . Ductis A C et C B ; item A D et D B orientur triangula C A D «t C B D ae-

qualia

(21)

- ( ló ) -r-

qualia, ( 2 7 . ) ergo angulus A C D = B C D , hinc triangulum A C x .=» triangulo B C x , ob latus C x utrique commune, C A = C B , ángu- los interceptos A C x et B C x aequales , ( 23. ) ergo A x = B x , feu linea A B eít in x biíle- cta.

S e h o l . Linea metliodo hac bilTecta eíl fimul perpendiculariter bilTecta: nam cum triangulum A C x = B C x , erunt anguli ad x aequales , hoc ipfo linea C x eíi perpendicularis ad A B .

30. P r o b l ' . E dato puncto C (Fig. i8-) in recta A B erigere perpendiculum.

R e f o l . Poíito uno crure circini ad dátum punctum C , fiat alio crure eadein apertura utrinque in data recta arcus, erit C x = C y ; pofito dein uno crure circini in x , fiat ápértu-, ? ra medietatem lineae x y fuperante alicubi i n j O arcus, retenta dein eadem apertura fiat ex y itidem in O arcus alter, qui priorem feindet ; ( 14.) punctum interfectionis in O nectatur cum C , erit O C quaefita perpendicularis.

D e m o n f t r. Ducantur rectae O x et O y , orientur triangula O x C et O y C aequalia, ( 2 7 . ) ergo anguli ad C 'erunt aéquales; hoc ipfo O C eft perpendicularis. ( 16. )

31. P r o b l . E dato puncto O extra rectam A B (Fig. i ß ) ad eandein rcctain deinitterc perpendiculum.

R e f o l . Pofito uno crure circini ad datum punctum, fiat alio crure eadem apertura arbitraria in data recta utrinque punctum, uti in x et y , biífecetur x y , (29.) punctum bifle- ctionis C nectatur cum O , erit O C perpendicularis (lefiderata.

D e m o 11 IIr. Ducantur rectae O x et O y , erit triangulum O C x = triangulo O C y , (27.) ergo

(22)

- ( i / ) -

ergo angulus O C x = O C y , hoc ipfo eft O C perpendicularis. ( 1 6 . )

32. T h e o r e m . Si in triangulo A B C ( Fig. 19.) latus unum B C producatur, orielur angulus ekternus A C x major quácumque e duobus interne oppofitis B vel A , ' feu erit A C x > C A B , vel A C x > C B A.

i) e m o n ft r. Quod A C x > C A B . Biil'e- cetur A B , ( Fig. 19. iVro. 1.) per punctum biJ- fectionis O ducatür B O , et producatur ita, ut O y = B O , nectatur y cum C , orientur triangula B A O et O C y , quae ob ángulos ad O acquales, (21.) latus B O = O y et A O = O C funt aequalia, ( 23. ) ergo angulus O C y s=a ángulo B A C , ft vero a n g u l u s ' O C y , qui eft.

pars externi, aequatur ángulo A , totus externus A C x erit major.

Quod vero A C x > C B A fic evinciturl BiiTecetur B C , (Fig. 23) per punctum biilectio- nis O ducatur recta A O , quae producatur ita, ut A O = O I ) , nectatur D cum C , et recta D C producatur ad arbitriuin usque, ad y , erunt. triangula A B O et C O D aequalia, ob ángulos ad O verticales aeqnáles, latus A O = D O et B O = O C , (23.) ergo angulus A B C = >

ángulo O C D = ángulo y C x , hoc eft pars externi aequatur ángulo interne oppolito B, ergo totus eft eo major.

38. In omni triangulo A B C ( Fig. 20. ) duo quicumque anguli firnul fumti B 4 C Temper funt minores duobus rectis.

D e m o n f t r . Producatur latus illud, quod vertices angulorum B et C nectit, orietur angulus externus A C D > A B C , ergo addendo utrinque eundem angulum A C B erit B C A 4 A C D > A B C -f- A C B, cum A C D 4 A C B

=» 2 R , ( 1 9 . ) erit 2 R > A B C 4 A C B . quod erat demonftr.

B C o r o l .

(23)

C o r o l . Ergo ex uno,puncto C ( Fig. 21.)

«xtra rectam lito ad rectam A B plura perpendicula demitti nequeunt; nam fi unum adliuc praeter C D demitti poltet, clfet ilhid e. gr, C y , afi tunc orivetur triangulum C D y , in quo angulus C D y — f- C y D = 2 K, quod cum tit contra theorema , patet plura perpendicula praeter C D ex puncto C demitti non poJl'e.

34. T h e o r e m . In omni triangulo majori lateri major angulus,- minori lateri minor angulus opponitur.

D e hi o n (i r. Sit in'triangulo A B C (Fig. 22.) latús A C j > AB'; fiat A x = A B , nectatur x cum B , erit B x A > B C A . ( 3 2 . ) Cum triangulum A B x fit ex conti ructione aequicrurum, erit angulus B x A — angulo A B x , ( 25.) ergo ficut B x A > B C A , ita etiam x B A >

B C A , (i hoc, majori jure erit A B C .> B C A ; jam A B C opponitur majori lateri et B C A minori, ergo nuijori lateri major angulus, minori lateri minor angulus opponitur.

35. T h e o r e m . In omni triangulo majori angulo majus latus, minori angnio minus la-

tus opponitur.

D e m o n fi r. Sit (Fig. 22.) triangulum A B C in quo angulus A B C > A C B , et ponatur Ä C non eile majus a c A B , tunc A C vel erit aequale A B , vel minus quam A B , fed neü- t rum efl'e poteft, nam Ii A C = A R etiam angulus A B C = angulo A C B ( 2 5 . ) contra hypoth. item fi A C < A B, eilet juxta praecedens theorema angulus A C B > A B C , pariter contra liypoth. ergo necellario A C > A B , quod erat demonfhr.

C o r o ! . 1. Perpendicularis C D ( Fig. 21/) eft breviffima omnium linearum, quae e dato puncto C ad datam rectam A B duci pollunt.

D e 111 o 11 ft r.

(24)

- ( i9 ) -

I) e m o n ft r. Quaecumque enim recta C y praeter perpendiculum ad datam rectam ducatur, omnis erit longior perpendicularr; nam temper in triangulo C D y , Crit angulus ad D rectus , et ad y hoc ipfo acutus , ( 33. ) ergo latus C y > C D .

C o r o 1.2. Vice vería fi linea aliqua C D e dato puncto C ad rectam A B eft breviffuna, erit ea perpendicularis; fi enim non eilet, pof- fet aliy C y duci, quae erit perpendicularis, et tunc ilia deberet juxta praecedens corollarium eile brevior alTumta brevifiima, quod abfur- duin eft.

36. T h e o r e m . In omni triangulo A B C (Fig. 23.) duo latera fimul furnia fuperant tertium.

D e m o n f t r . Sint A B et A C duo latera minora trianguli A B C , erit. tarnen A B A C > B C. Nam proloiigetur B A i t a , ut A Y = A C , nectatur Y cum C , erit in triangulo A Y C angulus Y =j ángulo Y C A , ( 25. ) hoc ipfo angulus Y < Y C B , ergo in triangulo Y C B angulus. Y C B > ángulo B Y C , nu- de etiam latus B C < B Y ( 3 5 . ) feu B A -(- A Y — B A - f - A C > B C , quod erat dem.

C o r o I. Ergo ex talibus lineis , quarum quaevis 'duae non fuperant tertiam, triangulum componi nequit.

37. P r o b l e m . Datis tribus lineis (Fig. 24.) A B , C D , E F , quarum quaevis duae fuperant tertiam conftruere triangulum.

R e f o l . Ducatur indefinita A G Iransfcra- tur in hanc lincam E F ita ut A F = E F , dein apertura circini A B pofito uno crure in A fiat alio crure arcus fupra A G , dein apertura circini C D pofito uno crure in F fiat alio crure arcus , qui priorem interfecabit in O , ( 14-)

B 2 punctum

(25)

v r

. - ( 20 ) -

pune turn O nectátur cum A et F , erit A O F triangulum petitum. ( 27. )

,38- T h e o r e m . Linea recta A B (Fig. 25.) eft brevior quacumque fracta linea A C D E B . I) e m o 11 ft r. Diicantur rectae A D et A E etc. e puncto uno extremo rectae datae A ad ángulos fractae lineae, erit A C -j- C D > A D , addendo u trinque D E erit A C 4 - C D 4- J) E

> A J I - ) - D E , porro addendo utrinque E,B erit A C -j- C D -j- D E -f- E B > A D 4- D E 4- E B , item A D - j - D E - f E E > A E - f E B

> A B , confequente-r A C - f C D - f D E -j- E B > A B , quod erat demonftr.

C o r o 1. Ex demonftratione apparet, quod, quo ex pluribus rectis fracta componatur, eo etiam major fit, quail) recta inter eadem duo puncta ducta. Sic A C -j- C D - f D E - f E B

> A D - f D E - f E B ; item A D - j - D E - f E B > A E 4- E B etc.

39. T h e o r e m . Linea curva continua (Fig.

25.) A o C x D y E z B tranfiens per vertices omnium angulorum lineae fractae A C D E B major eft eadem ha¿ linea fracta.

D e m b n d r , Curva continua cOnljderari poteft tanquam fracta inter eadem duo puncta ex inumeris lineis rectis compofita, ( n . S h o l . ) ergo curva continua tranfiens per omnes vertices angulorum lineae fractae eft etiam linea, fracta ex pluribus numero rectis compofita, hoc ipfo autem major eadem hac fracta linea.

( Corol. praec.)

C o r o l . Ergo linea recta eft breviffima omnium linearum qqae inter data duo puncta duci polfunt.

40. T h e o r e m . Duae rectae A C et B C (Fig. 26.) in uno puucto coeuntes fuperant omnem fractam A o n u B ex quotcumque rectis compolitám, duininodo baec fracta plcne

inter

(26)

\

. - ( 21 ) -

ínter rectas A C et B C jaceat, et omnes án- gulos excurrentes habeat, uti o , n , u.

D e m o n ft r. Producatur A o usque ad li- neám B C , erit A C 4 Cra > A o -f> o m, (36.) addendo utrinque m x erit A C -j- C m - f m x > A o - j - o m . 4 m x ; cum o.nv-f- m x

> o n 4 n x t etiam A C 4 C m - f m x

> A o -f- o n 4 n x' addendo utrinque x b erit A C -f- C m -j- m x -)- x b > A o 4 o n

4

^{n x}

4

^>^{c u m} n x 4 x b > n.u - f u b ; erit A C -)- C m f m x - f x b > A o 4 0 n

4 nti 4 u b., addendo utrinque b B erit A C 4 C m 4 m x 4 x b 4 . b B > A o

4

^{0 n}⁴

n u - f u l ) - ) - b B , cum u b -j- ^ B > u B , e t C m 4 m x 4 x b 4 b B = C B erit A C 4 - C B > A o 4 0 11 4 11 u 4 u B j quod, erat démon fir.

C o r o 1. Ergo etiam linen.o rectae A C 4 B C fuperant omnem curvam cóntinUam nulli- b¡ tamen recurrentem, fed ubique excurrent.eui prout ( Figi, 25. ) e(t A o B x E z B.

41, T h e o r e m . Si in duobus triañgulis A B C et D E G ( Fig. 27.) fuerint dúo latera ad invicem aequalia ; uti A B = D E , A C = D G , et angulus interceptus B A C > angulct intercopto E . D G , etiam latus B C erjt majus

latere E G>

D e m o n f t r - Nectatur linea D F = A C cum liqea D E in eodem plano fu.b ángulo aequali B A C , ducantur lineae E F et G F , erit triangulum E D F s=> B A C , ( 23. ) ergo EF =g B C , linde fi E.F > E G etiam B C > E G ; qpod autem E F > E G fie evincitur: tjiangu- lum G D F eft aequicrurum ob D F => Á C ==5 D G , ergo angulus D F G => ángulo D G F , bine ficut angulus D F G efi major quam angulus E E G , etiam angulus D G F erit major ángulo E F G , fi angulus D G F > ángulo

(27)

- ( 22 ) -

E F G , majori jure erit angulus E G F > angulo E F G ; ergo in triangulo E F G eít angulus E G F > angulo E F G , ergo etiam latus E F > latere E G , ( 3 5 . ) hoc ipfo etiam B C

> E G , quod erat demonitr.

42. T h e o r e m . Si in duobus triáOgulis duo latera unius fuerint aequalia duobus lateribus alterius, et latus tertium unius fuerit majus latere tertio alterius, erit etiam angulus majori lateri oppolitus major angulo in alio triangulo minori lateri oppoiito.

D e m o n l i r . Si angulus lateri tertio majori oppolitus non eflet major, tunc ellet vel aequalis, vel minor; Ii eilet aequalis, tunc tota triangula dcberent eile aequalia, ( 2 3 . ) adeoque contra hypothefim eilet etiam tertium latus in uno triangulo, tertio lateri in alio triangulo aequale. Si vero ellet minor angulus oppolitus majori lateri, tunc ( j u x t a praecedens theorem.) latus oppofitum deberet ell'e minus, ubi juxta hypoth. majus eft. Ergo angulus tertio lateri majori oppofitus nec aequalis nec minor angulo tertio lateri minori oppo- filo eile poteft, adeoque erit eodern major, quod erat demonflr.

43. T ii e 0 r e in. Si in duobus triangulis A B C et D E F ( Fig. 28.) angulus B = angulo E , angulus C = angulo F , item latus A B oppofitum uni ex aequalibus angulis G aequale lateri E D oppoiito etiam uni ex aequalibus angulis F , erunt tota triangula aequalia.

D e m o n l i r . Si B E , C = F , A B = E D , etiam B C = E F , nam fiBC non eil aequale E F , erit alterutrum ex his lateribus majus, ponatur B C > E F, ablcindatur portio K C , qua B C fuperat latus E F , erit M n E F , ciucatur K A , erit triangulum B A K = triangulo D E F ob A B = D E , B K = E F,

unguium

(28)

unguium B = angulo E ; ( 23. ) ergo angulus A K B = angulo J) F E , juxta hypothefim eft etiam angulus A C B = angulo D F E , ácleo- que angulus A K B = angulo A C B , quod cum elTe non poffit, ( 3 2 . ) ex latere B C nihil tolli poteft, ut aequale fiat lateri E F , hoc eft B C

= E F ; confequenter triangulum A B C = triangulo D E F . ( 2 3 . )

Theoria ParaUclarum.

44. T h e o r e 111. Si angulüs qualiscumque acutus A C B (Fig. 29.) aliquoties juxta i'e collocetur i t a , ut. fpatium B C D , quod tardius occupât., contingat. fpatium A C B , quod prius occupavit retenlo femper vertice in C , fuccef- five obtegetur totuin fpatium A C M , quod unguium rectum efficit, vel fuperabitur.

D e m o n if r. Talis enim angulus A C B poteft coniiderari ut pars anguli recti, omnis vero pars aliquoties pofita totum adaequat, fi eft commenfurabilis feu totum accurate menfu- rans ; fi vero non eil commenfurabilis toti, tunc aliquoties pofita fuperabit totum; ergo angulus A C B aliquoties politus adaequabit anguluin rectum A C M , vel etiam eundem fuperabit.

S c h o 1. Veritas theorematis hujus etiam fubfiilit pro eo cafu, ubi anguli tarn A C B quam A C M completi ponuntur, nempe tunc dum crura in infinitum producta concipiuntur.

45. T h e o r e m . Si iu recta quacunque B E (Fig. 30.) erigantur duo perpendicula B A et C D , femper fpatium inter ea comprehenfum minus erit f'patio inter crura X> C et D C coin- prehenf'o, fi crura haec fufficicnter prolongentur , fit angulus X C D quantumvis exiguus.

D e m o n il r. Spatium feu fafcia A J 1 C D etiamfi perpendicula B A et C D in infinitum producta

(29)

. - ( 24 ) -

f

iroducta fuerint, quotiescumque juxta fe col"

ocetur, nunquam tamen fpatium inter crura A B et B E anguli recti A B E comprehenfum complebit : nam fiat. C Y — C B , erigatur ex Y perpendiculum Y Z , orietur. nova fafcia D C Y Z — A B C D , quia fi • A B C Ü fupra D C Y Z ponatur ita, ut B C cadat fupra C Y, hae lineae congruent, et lioc ipfo eliam perpendicula B A et C D cum perpendiculis C D

et Y Z congruere dèbebunt, nam fecus e punctis C vel Y prodirent duo perpendicula, quod fieri nequit, ( i§. ) ergo fafcia A B C D cum fafcia D C Y Z congruit, hoc eft funt aequales.

Fiat porro Y O = C Y , et erigatur perpcndi- culum O K , orietur nova fafcia priori aequalis etc. cum vero liiiea B E femper prolongari poffit i t a , ut continuo inveniatur fpatium pro nova fafcia, patet nunquam deveniri poife ad ultimam fafciam. Jam fi angulus X C D nu- méro determinato vicium juxta fe ponatur po»

fito femper vertice in B , complebit totum fpatium inter crura A B et B E comprehenfum, ( 4 4 . ) ergo fpatium A B C D etfi perpendicula in infinitum producta concipiantur, fempet erit minus angulo X C D fi crura hujus débité prolongentur.

46. T h e o r e m . Si ad eandem rectam A B (Fig. 31.) ducatur perpendicularis C E et obli- qua D n , baec fi fufficienter producta fuerit, feindet perpendiculum C E , et quidem fupe- rius , ii angulus p D C , quem obliqua cum recta A B facit , ex parte perpendiculi fuerit acutus: fi vero angulus, quem obliqua cum recta A B facit, ex parte perperdiculi fuerit obtufus uti y D C , tune obliqua y D perpendiculum C E retro production feindet, id elt infra A B.

D e m 0 n fi r.

(30)

- C 25 ) -

D e m 0 n ft r. Si n 13 C eft acutus angulus^

erigatur ex D.perpendiciilum D X , orietur fa- l d a E C D X < n D X , ( 4 5 . ) ergo fi crus D n anguli n D X fufiicicnter productum fuerit, illud ex fafcia E C D X exire debcbit, cum ma.

jus fpatium intra ambitum minoris confiftere nequeat, hoc ipfo autem clarum eft lineam D n, perpendiculum C E transiré debere, hoc eft per lineam D n perpendiculum C E fcindendum elfe. Si vero angulus y D C , quern obliqua cum recta ex parte perpendiculi facit, fuerit obtusus, tunc tarn C E quam y D retro producantur, et ex D infra rectam demittatur perpendiculum , facile patebit, quod y D fufficienter retro productum fcindet; ergo theorcma quoad utrumquc Cafum eft verum.

47. T h e o r e m . Duae perpendiculares E y , N x ( Fig. 32. ) ad duas lineas A B et C B , fe in B oblique fcindentes productae fe fcindere debent, e. gr. in D.

D e m o n ft r. Producatur uua ex lineis fe fcindentibus, uti C B item perpendiculum E y , hae duae lineae fe fcindent alicubi in Z , (46.) poiito hoc erit N x ad C Z perpendicularis E Z vero ad eandem C Z obliqua, li enim EZ_

cllet etiam ad C Z perpendicularis, tunc ex puncto B ad eandem rectam E Z adeft'ent duo perpendicula B Z et B y , quod cum fieri nequeat, ( 33. Corol. ) erit E Z obliqua ad C Z, et N x erit perpendicularis, hoc ipfo E y et N x productae fe fcindere debebunt, et quidem alicubi in D , ( 4 b . ) quod erat demonftr.

48. Parallelae dicuntur illae lineae , quae )unt in eodem piano fitae , et quantumcumque

producantur , nunquam conveniunt.

T h e o r e m , Duae perpendiculares A B et D C (Fig. 33.) ad eandem tertiam B C in eodem piano fitae funt parallelae.

D e m o n f t r . 1/

(31)

D e m o n ftr. Duae perpendiculares ad «an- dern tertiam quantumcumque prodücantur, nunquam conveniuut ; fi enim convemrent alicubi, tune linea B C cum iisdein facérét triangulum, ubi duo anguli B et C aequarentur duobus rectis, quod cum eíTe nequeat, patet. quod nunquam poffint convenire perpendiculares duae ad eandem tertiam, ergo funt parallelae.

49. T J) e o r e m. Linea C D ( Fig, 34. ) ad unam parallelam E F perpendicularis, eft etiam ad aliam parallelam A B perpendicularis.

D e m o n l t r . Si C D non ellet etiam ad A B perpendicularis, tunc A B producta feindere deberet lineam E F productam ; nam fi C D non clt perpendicularis ad A B erit obli- q u a , ad E F efi ex hypothefi perpendicularis, ergo E F et A B productae fe icindere debent.

( 46. ) Jam hae duae lineae ife feindere ne- queuht, cum ponantur parallelae, ergo C D hocipi'o, quod fit ad unam parallelam E F perpendicularis, efi etiam ad; aliam. A B perpendicularis..

C o r o l . Duae lineae A B et C D eidem tertiae E H ( Fig. 35. ) parallelae , funt etiam inter fe parallelae ; nam fi ducatur G F perpendicularis ad E H , erit ea etiam tam ad A B quam ad C D perpendicularis, ergo omqes tres lineae funt ad eandem tertiam G F per-

Î

iendiculares, hoc ipfo etiam ad irivicem paral- elae. ( 48- )

50. T h e o r e m. Si duae parallelae A B et C D (Fig.36.) a tertia linea E F fcindantur, erit quivis angulus externus E G B aequalis ángulo interno G H D ad eandem partéin í'e- cantis penes aliam parallelam fito.

D e m Q n fi r. Bifiecetur G H, e puncto bifie- rtionis 0 demittatur perpendiculum O y , lioc a retro producatur usque ad aliam parallelam,

orietur

(32)

orietur linea x y ad utramque parallelam perpendicularis ; (49-) jam cum H O = G O , anguli ad O aequales utpote verticales, et angulus G x O = angulo H y O , ( 18. Corol. ) erit triangulum G x O = triangulo H y O , (43.) ergo angulus y H O = x G O = E G B , hoc ell angulus externus E G B aequatur interno y H O, quod erat demonilrandum.

51. T h e o r e m . l)uae lineae A B et C D ( Fig. 36. ) a tertia E F i'ciflae ita, ut faciant angulum externum E G B aequalem interno G H D , funt parallelae.

D e m o n (1 r. Bilfecetur G H , demittatur e puncto bill'ectionis O perpendiculum O y , quod Ii retro producatur, orietur triangulum G x O t = : triangulo O H y , ( 2 4 . ) quia angultis O H y = angulo E G B = angulo x G O , anguli ad O funt verticales ergo aequales , latus O G =3 O H ; ergo qnalis angulus ell y , talis eft x , hoc eft utcrque eft rectus, hinc linea x y eft ad utramque lineam A B et C D perpendicularis , hoc ipFo erunt AB< et C D parallelae, quod erat demonlir.

52. T h e o r e m . Si duae parallelae a tertia fcindantur, erunt. anguii alterni interni penes diverfas parallelas fiti aequales ; id eft erit ( Fig. 36. ) angulus x G O = angulo y H O .

D e m o n ft r. BilTecetur G H, ex puncto bif- fectionis O demittatur perpendiculum ad C D , quod retro production dabit lineam x y , quae ad utramque parallelam erit perpend icularis, ( 49. ) ergo angulus x = angulo y , anguli ad O funt verticales, linea O G e= O H , hinc triangulum x G O = triangulo y H O , (43-) et>

hoc ipfo angulus x G O =a angulo y H O , quod erat demonitr.

C o r o l . Si angulus x G O = angulo y H O , etiam contigui eorum debent effe aequales, nam

(33)

- ( 2 8 ) -

nam x G O - f B G O = y H O -j- C H O, ergo )i x G O, = y H O etiam B G O = C H O.

53. T h e o r e m . Si' duae lineae a tertia fcindantur, et faciant ángulos alternos internos penes diverfas parallelas htos aequales, erunt

eae parallelae.

D e m o n ft r. BiíTecetur G H , ( Fig. 36. ) e puncto bilTectionis O demittatur pcrpendiculum O y , quod retro productum usque ad aliam li- iieam dab it lineam x y , et orientur duo triangula x Q O et y H O , quae , ob ángulos ad O "crticales aequales, angulum x C O 3= ángu- lo y H O ex hypoth. et latus O G =3 O H funt aequalia, (24.) ergo angulus x = ángulo y , hoc eít íicut y eft rectus ita etiam et x rectus elTe debet, ft hoc, linea x y eíl ad utramque lineam C D et A B perpendicularis , ergo C D et A B funt parallelae. (48-.)

54. T h e o r e m . Si duae parallelae A B et C D a tertia E F fcipdantur , ( Fig. 36.) anguli duo interni B G H et D H G ad eandem partem fecantis íiti aequantur duobus rectis.

D o m o n ft r. Angulus E G B -j- H G B =3 a R ; ( 1 9 . ) jam E G B = G H D , (50.) ergo aequale aequali fubílituendo erit B G H -j-

P H G =3 2 R , quod erat demonítr.

53. T h e o r e m . Si duae rectae A B et C D

¿1 tertia E F ( Fig 36.) fcindantur ita, ut duo anguli interni ad eandem partem fcindentis fiti aequentur duobus rectis, erunt eae paraljelae.

ü e m o n ft r. Angulus B G H - f D H G =3 2 R ex hypoth. B G H - f E G B = 2 R quia funt contigui, ergo B G H -j- D H G =3 B G H

E G B hinc D H G = E G B , íi hoc, linea C D debet elle lineae A B parallela. ( 5 1 . )

C o r o l . Ergo duae rectae C D et E G ad eandem tertiam A B (Fig. 37. ) fitae , quae duos ángulos internos non faciunt aequales

duobus

(34)

- ( «9 ) - • . duobus rectis, productae fe fcindent, el qui- dein ex ea parte rectae A B , ubi faciunt án- gulos D C E - j - G E C < 2 II; íi enim fe fcinderent ex e a , ubi D C E - f G E C > 2 R, oriretur triangulum, ubi duo anguli fuperarcut duos rectos, quod contra ( 33. ) eft.

S c h o l . Lineae parallelae a tertia fciflae' adhuc plures ángulos faciunt, uti lunt angulí f alterjii externi E G B et C H E , (Fig. 36:) qui

ctiam funt aequales; item anguli externi ad eandem partem fcindentis E G B , et F H D i qui fimul fumti aequantur duobus reclis: aft horum angulorum ufus eft exiguus, ideo ilti praeterinittuntur, praecipue cum coram pro- prie'tates e praecedentibus facile deducantur.

56. P r o b h Per datum punctum A (Fig. 38.) rectae D C ducere parallelam.

R e f o 1. Ducatur ex A ád D C ohliqua A C item A X , fiat apertura circini X C ex A arcus alicubi in B , item apertura circini A X fiat ex C arcus itidem in B , qui priorem feindet in puncto B , ( 1 4 . ) punctum interfectionis B nectatur cum A , erit A B parallela petita.

D e m 0 n ft r. Ducatur B C , orietur triangulum A B C = triangulo A x C ob omnia tria latera ad invicem aequalia , ( 27. ) ergo angulus B A C = ángulo x C A , hoc ipfo A B et.

A C funt parallelae. (53. )

' 57. T h e o r e m . In omni triangulo A B C (Fig. 39.) tres anguli fimulfumti aequantur duobus rectis; feu A -f- B -j- C = 2 R.

D e m o Ä a r . Ducatur per punctum A lineae B C parallela , erunt anguli o p -f- q

= 2 R , ( 1 9 - ) pro o licet ponere B , pro q . licet ponere C , ( 5 2 . ) ergo B -f- p C> feu

B - rA - f - C = 2R.

C o r o l . i . Ergo in nullo triangulo poífunt eile duo anguli recti, fed fi unus eft rectus,

alii

(35)

-

(

so ) ~

alii erunt acuti; item fi unus eft obtufus, alii erimt etiam acuti.

C o r o L 2. Si in triangulo A B C , ( Fig. 40. ) ubi ad latus B C atleft angulus obtufus A C B , ex ángulo A demittatur ad B C perpendiculum , illud nonnifi partem productam lateris

B C attinget, id eft cadet extra Triangulum.

Si enim caderct intra e. gr., ita, ut filum A x acquirat, oriretur triangulum A x C tale, ubi angulus x elfet rectus et A C x obtufus, quod fieri nequit.

Aliud eft, ft uterque angulus ad B C eifet acutus, in eo enim cafu perpendiculum debet intra triangulum cadere, fi enim extra caderet, e. gr. ad y , (Fig.41.) óriretur triangulum A y C, , ubi angulus y eft rectus et A C y obtufus ut-

pote contiguus acuti, quod iterum effe nequit.

58. T h e o r e m . Si in triangulo A B C ( Fig.

42.) latus union B C producatur, erit angulus externus A C D acqualis duobus interne oppofitis A et B.

D e m o n f t r . Ducatur per punctum C parallela lateri A B , refolvetur angulus externus A C D in duos ángulos x et y ; angulus x = ángulo A ( 5 2 . ) angulus y = ángulo B ( 5 0 . ) ergo x -}- y feu A C D = q A - | - B , quod erat demonftrandum.

59. T h e o r e m. In omni figura quadrila- tera A B C D (Fig. 43.) fi primo latera oppo- Rta A B et C D item A C et B D fuerint parallela, erunt ea aequalia. 2. Si latera oppofita A B et C D item A C et B D fuerint aequa- l i a , erunt ea parallela. 3. Si latera bina oppofita A B et C D fuerint aequalia et. parallela, etiam alia bina oppofita A C et B D erunt aequalia, et parallela.

D e i n o i i llr. 1. Ducatur diagonalis A D , orientur triangula A B D at. A C D aequalia;

quia

(36)

- ( ) -

quia latus A D eft utrique triangulo commune, a n g u l u s B A D 3= ángulo C D A , item angulus B D A = ángulo D A C ( 5 2 . ) ergo triangulum A B D = triangulo A C ! ) ' ; ( 24. ) Jiinc A C = B D. qt A B = C Di

D e m o n (Ir. 2. Ducatur diagonalis A I ) , orient'ur iterum triangula A B D et A C D ac- qualia; nam A D elt utriqüe triangulo commune, A B = Cl)V-A C — B D , ergo triangulum A B D = triangulo, Á C D ; ( 27. ) liinc angulus B A D == ángulo''CD A , et angulus B D A = ángulo D A C , hoc ipfo A B et C D funt parallelae , et A C chin B D . ( 5 3 . )

D e m o h 11 r. 3. Sít eádem diagonalis A I), erit triangulum A D B = triangulo A D C , nam latus A D elt'utriqüe commune, A B = C D , itnm angulus B A D = ángulo A D C , (,52.) ergo triangulum B A D = triangulo D Á C ; . ( 2 3 . ) liinc lalus A C = B D ; et ob ángulum C A D = ángulo B D A , erunt etiam A C et B D parallelae. ( 53.)

60. T h e o r e m. Perpendicula omnia E X et Y Z ( Fig. 44.) inter duas p a r a l l e l s interce- pta funt áequaüa.

D e m o n 11 r. Cum perpendicula E X et Y Z lint paral!ela, (48-) faciunt Temper figurám quadrilateram E X . Y Z , in qua latera oppofita funt parallela, ergo E X = Y Z. ( 5 9 . ) Quod de his duobus perpendiculis concluditur, id de omnibus concludi poteít.

C o r o l . Ergo duae parallelae ubique ab in- vicern aequidiftant: nam difiantiam unius lineae ab alia linea brevififima menfurare debe- mus, bréviffima autcm eft pcrpendicularis, quae ab una parallela ad aliam duci poteft, jam perpendiculares oinnes inter parallelas funt aequales , ergo et diftautia ubique eadem.

T It e o r e m.

(37)

i - (

3*

^{) -}

dr. T h e o r e m . Habeant duae lineae A B et C D (Fig. 45.) fitum arbitrarium ad invi- ceni, fit una A B divifa in partes e. gr. 4 a e* qualeg, nectaiitur extrema puncta A et C , per reliqua divifionum puncta ducatilur parailelae E H , F I , G K , B L lineae A C , abfciudent illae ex Iinea C D todidem partes ad. in vice in aequales, erit nempe C H = H I = I K = : K L .

D e m o n it r, Ducantur per puncta C , H, I , K parailelae lineae A B , brlentur triangula C m H , H 1 1 I , I o K , K p L £e,qualia; nam anguli C H m , H I n , I K o , I C L p iuijt aequales, ( 50. ) item atiguli C m H , . H ivl , I o K , K p L funt aequales, et quidem ideo quia C m H = m H n (52.) = H 1 1 I , ita patet quod H m I = I o K , etc. tandem C m = H n a I o = K p ; nam C in = A E ' ( 5 9 . ) H n = E E , cum autem ex hypoth. fit A E = E E , etiam erit C m = H n , et ita H n — I q,, etc. Ergo tri- aneula C m H , H n l , I o K , K p L funt aequalia, ( 4.3. ) et ideo C H == H I a I K = K L, quod erat demonfirandum.

C o r n 1. Ergo Habit proportio A B : C L = A E : C H == A F : C I. Nam A B : C L = 4 A E : 4 C H = A E : C H = 2 A E :. 2 C H

— A F : C 1. ' Etiam ftabit A G : C K = G B : K L ; nam fiat A G : C L ==3 3 A E • 3 O H =«

A E : C H = G B ; K L .

62. T h e o r e m . Si intra triarigulum A B C (Fig 46.) ducatur lateri B C parallela, feca- bit haec reliqua trianguli latera proportionaliter ita, ut fit A B : A D = A C : A E.

D e m o n l t r. Vel erit A I) toti lineae A B commenfurabilis pars, id eft ad erit communis menfura, quae et in A D , et in A B accurate aliquoties continebitur, vel A D non erit toti lineae A B commenfurabilis pars; in utroque cafu fiare debet A B : A D = A C : A E. Quoad primum

1

(38)

- í 3 3 ) -

pritftuiu casum Ac evincitur. Contineat AD tales pactes e. gr. 1 0 , quales A B coiitinet 17, ftabfc pvoportio A B : A D = 17:- 10, ítem ACt , A E = J 7 : 1 0 (ó 1.), ergo A B : A D = A C : A K ; ergo ii A D cfl pars comlnensurabilis linea; A B propoTtio allata flan

Si vero A D non efi cotamenfurgbilis párs linea; A B , etiam tune ftare debet AB": A ü = A ' C : AE ; Nam ad tres términos A B , A D , A C quartus proportionalis nec major nee mi- nor esse potest qmm A E : non major; ponatur enim Ax elle ille major quartus terminus , Itabit A B : A D = A C : Ax ; dividatur A B i»

ita exiguas partes , ut si ex ñnguiis diviñonum punctis ducantur parallel« bafl B C , aliqua veniat inter E et x uti m n , erit A m cum A B commenfurabiüs , ideo juxta priuium cafum flabit A B : A m S s A C : A n , cum vero etiam admittatur ftafc A B i A D = A C : A x , erit has duas proportiohes combinando A m : A D a A n i A x , quod eíTe ñequit. Idem dicen- dum fi quartus proportionalis minor allumatur ac AJEE; Nana iit lile minor quartus A y , flabit A B ; A D = A C : A y ; jam A B denuo poteíl in tales ekiguas partes dividí, ut fie fingulis divisionuui punctis ducantur lineas bafi B C parallel« , aliqua cadat inter E et y , uti uo , et tune Itabit A B ; A u a s A ' C : Ao ; juxta afí'um- tam hypothefun Itat A B : A D = A C : A y , bine flabit etiam A u : A D = Ao : A y , 1 quod etiam elle nequit: Confcquehler cum aliquis quartus proportionalis ad tres afluimos neces- fario dari debeat, erit is A E , et flabit in omni, casu A'B : A D = A C : A E . q. e. dem.

C o r . Siproportio A B : A D s A C : AErnu- letnr fubtrabendo, pr.odiblt D R : A D = * E C : A E .

C T h e o v.

j.x i*

(39)

/' - ( 34 ) -

i>3* T h e o r. Si in tri. A B C (Ing.. 4 7 . ) linen, D E Iqiera duo proportionaliter le cat it a ,, nt ilet A B ; A D = A C: Á E , érit ea' parallela lateri tertio.

D e,m. Si eniin D E non ellet parallela, peí punctum D pofiét duci lateri B C alia parallela uti D x , et tunc ftabit A B : A D = A C:

A x , ex hyp. itat A B ; A D = A C t A E , hin? ' fltiit A x = A E , quod cum admitti nequeat, pá-' riter admitti non poterit alia parallela lateri B C prater D E ,

64. T h e or. Si ang. B A C (Fig. 48.) 'bis- fecetur, linea bifiecans feindet latus B C in partes laleribus adjaceníibus proportionáies, seü

ftabit A C : C 0 = A B : B O.

D e m . Prcducatur C A usque dum A D tt»

A B , nectatur D cum B, erit linea A O a d B D parallela i Nam B A O + C A O = m + n (.58-) , Jämm = n (25.) ergo B A O + C A O = 2ra, et c o m B A O = í C A f t erit CA 0 = 1», quoipso A O ad B D eft parallela ( 5 1 . ) , httic Habit A C : C O a A D : B O , pro A D ponendo AB ftabit A C : C 0 = A B : B O . q. e. dept.

65. P r o b l . Ad datas tres lineas invenire quartana geometrice proportionalem.

R e s . Duo casus occurrere poftiint, vel quas- rifUr quarta maxima proportional«, vel mini\

rna; in priori cafufint A B , A C , ADfAi'j.49.) tres datas lineas, jungantür duas rectas indefi- nitas fub ángulo arbitrario E A G , transferatur circini ope A B ex A verfus E , cadet crus aliud circini in h , dein transferatur A C ex Á verfus G , cadet crus circini in c , tandem transferatur A D in illam lirteam, in quam maxima linea A B translata fűit , cadet crus circini in d , nectatur d cum c , et per b ducatur ad d c parallela h h , erit A l i quarta ma

•tima proportional«. Si quarta minima pro

(40)

poítionali's quanenda iit, tune debet b jungi Cum c , et per d ducí paraliela ad b e , erit A k quarta minima proportionälis.

D e m . Cura d e in tri. A b h fit paraliela , bafi b ii , fiabit A d : A c == A b : Ah (62.), feu

A D A C s s A B : A h ; et in pofteriori cafu ob d k parallelam ad be fiabit A b : A c = A d ;

A l t . feu A B : AC== A D : A k. q. e. qu<eren--

dum. : 1

66. P r o b l . Ad datas duas lineas A B , A G (•/%. 50.) invenire tertiam geortietricé proportionalem.

R e s . Jungantur duce recta; fub ángulo ar-:

bitrario A , fiat dein A b c A B et A C Ä A C ,

item fiat fecundo A b ' a : A B in alia linea ac príus , nectatur b cum c , et per b' ducatur linea: b e párallela b x., erit A x tertia petita proportionälis minima; Nám fiat A c : A b =s A b ' : A x (62.) Si tertia máxima proportionä- lis quaerenda, in eo qafn major A C e datis

•duabus lineis in utrfcunque crus anguli -affumti A transferenda efi , (M¿g> cadom. 2.) et minor A B in unicum, dein nectatur b cuui c , et per c ducatur ad be paraliela c/y erit A y tertia maxima proportionälis $ narñ fiat A b t A C S ! Ac': A y. ..(d8.) ,q. e. quatr.

67. Similia dicuntur illa triaiigula , in qui - bus anguli i'unt ad invicem atqnales, et latera homologa , id efi latera aequalibus angulis op- p ofita. proportionalia.

T h e o r. Si in duobus tri. A B C , D E F (Mg. 51.) fntguli auguli unius trianguli. fuerint eequales fingulis anguiis alterius trianguli, erunt latera homologa proportionalia, id efi triangula erunt: fimilia.

D e m. Transfcratur latus A B in latus D E ex D verfus E ita, ut D x = A B , item A C tr.tnsferatur ita, ut fiat D y a A C , nectatur

C 9 x cum y ,

(41)

V

- I

^{¿6. ) -}

sff iMiÜJ y , oiittur triangulum D x y sfi A B C (23.), hinc.ang. B = x = E , etgo x y ad E F eít parallela ftat proinde D E : D x = D F : D y (6.2.) , feui D E : A B = D F : A C . Porro ducatur per y parallela lateri P E , Ha- bit D F : D y = E F : E z. Jam E 2 = x y (59.) s£ 3 C * itdnt D y = A C , ergo requalia pro tequalibus fubilituendo prodit D F : A C = E F : B C ; ctaiíeiuenter D E : A B = D F : A C = E F :

B C . q. e. dem. ' C o r . Ergü. triangula., qua? habentduos am

gulos ad invícem ajquales, funt etiam fimilia;

quia ii habent duos ángulos ád invicem aequa- íes, tertius debet mquari tertio, eadem enim.

tttrinque ex duobus rectis differentia prö illo manebir (57). ..

68 T h e;o r. Duo triangula A B C , D E P (Fig. 51,) funt fimilia,: fi habeant ang. A — ang. D , et latera hos aequales ángulos inter- cipietttia p r o p o r t i o n a l i a n e m p e íí ftet D E:

A B = D F : A C . . ;

D e m . Fiat D x = A B et D y Ste A C , ducatur x - y , erit tri D x y := tri. A B C (23.);

cum ftet D E : A B = D F : A C , etiam ftabit D E : D I = D F : D y , ergo x y eft ad, E F parallela ( 6 3 ) , et hinc ang. x = ang. E et y = F (50.) , fi hoc etiam B = E ; et C3= F , , con-

fequenter triangula h&c duo habent omnes tres ángulos ad invicem ¿equalcs, hoc ipfo funt funiiia (67). q. e dem,

69. T h e o r . Si in duobus íriangulis A B C í) E F (Fig. omnia tria latera fuerint ad invicem proportionalia, erunt ea fimilia.

D e u i . Fiat D x = A B et D y = A C , ducatur x y , erit x y ad E F parallela, quia ftat D.E: A B S S D F í A C hinc etiam D E : D x = D T : D y (63.) , ergo ang. x = a n g . E et ang.)*' a s ang F . proinde^rtri. D x y eft fimile tri. D E F

(67),

(42)

(67), lunc ftat D x : Ü E = x y : E F vel A B : D E — x y : E F , ex hypotheii etiara ftat: A B : P E = B C : E F , ergo x % == B C , unde tri.

D x y ~ tri. A F C (2?-) , consequentor flcuttri.' D x y eft fimile tri. D'E F , ita etiam tri. A B C érít -fimile e,ideirt> triangulo D'E F. q. e. demu'

70. P r o b l. Conftruere dato triangulo ABC (Fig- 32 ) fimile in data linea E'F.: -

R e s . Fiat in látele homologo B-C liAeá B y = = E F , ducatur per y paralleía y x lateri A C , erit tri. B y x fimile tri. B A C (68): fiat dem in linea E F triangulo'ByX «quale (jT1.);

orietür tri. E F x dato A B C fimile.

Si ver-» latos homologum in quo triangu.

lum fimile conrtruenduin >foret', esset' mijos latero B C , in eo cíisu lattis B C product debot, ut fiat B N asqukle 1 aterí' dato m r i N ducatur parallela laterí A C , et B A producatur, doñee parallelas per N ductre occ'ünat alicubi in O , erit B N O fimile B A C (68.), fiat dein in linea mn triangulum aequale triangulo B N O , aderit petitum triangulum. (•»•

71. P r o b 1. Datar» rectíim A B (Fig. 53.) in partes quotcqmque «quales dividcre»

D e m . Juugatür rectas A recta indefinita B C fub ángulo arbitrario A , e* hac indefinita abfcindaiitur frurta aequalia tot, in quot partes linea A B efl dividenda o.gr. 4 , néctatur alti- innrn punctum f cum A , per alia puncta e , d , c ducantur parallela; ad f A , divident e « lineam A B 111 partes defideratas aequales.

D e m . I11 tri. A B f linea 1 c. eft parallel and f A ergo fiat B f : B e =; B A : R l (62) proinde'ficut Be eft quarta pars de B f, ita B 1 erit;>

quarta pars de B A. q e. dehi.

72. P r o b l . Datam A B (Fig. 54.) dividere in tale? partes, quse fé habeant ficut nutneri dati e. gr. uti 5 1 7 . J

R e s .