Definíció: Átlagos változási sebesség egy intervallumon
10. példa: A határérték becslése
Határozzuk meg a határértéket.
Megoldás
Kiszámoltunk néhány 0-hoz közeli x esetén a függvényértéket, az adatokat 2.3. táblázatban tüntettük fel. A , , , helyeken fölvett függvényértékek alaján arra következtethetünk, hogy a függvény határértéke 0.05.
Amint azonban a kisebb, , , értékekeket vizsgáljuk, a határérték mintha mégis inkább 0 lenne.1
Mi lehet vajon a keresett határérték? Vajon a 0.5, a 0, vagy egy mindkettőtől különböző szám?
A kiszámított függvényértékek ennek eldöntésében nincsenek segítségünkre, a következő alfejezetben szereplő tételek alapján azonban kiderül: a helyes válasz . Az ehhez hasonló példák mutatják a kidolgozott elméletre épülő érvelés felsőbbségét a néhány megfigyelés alapján levont következtetésekkel szemben. A valóság leírásában mindazonáltal mindkét módszernek megvannak az előnyei (ahogy a hátrányai is). ∎
2.3. táblázat. Az függvény értékei az hely közelében.
1.5. 2.1. Feladatok
1.5.1. A határérték megállapítása a függvénygrafikon alapján
1. Az ábrán egy függvény grafikonja látható. Léteznek-e az alábbi határértékek? (Ha létezik a határérték, adjuk meg, ha nem létezik, magyarázzuk meg, miért nem.)
1A számításokat a összefüggésbe helyettesítve és 6 számjegyre kerekítve elvégezve adódnak a táblázatban feltüntetett eredmények. A kis értékekre így a számláló 0 lesz. (A lektor megjegyzése.)
1.
2.
3.
2. Az ábrán egy függvény grafikonja látható. Léteznek-e az alábbi határértékek? (Ha létezik a határtérték, adjuk meg, ha nem létezik, magyarázzuk meg, miért nem.)
1.
2.
3.
3. Mely állítások igazak és melyek hamisak az ábrán látható függvényre vonatkozóan?
1. létezik a határérték 2.
3.
4.
5.
6. a nyílt intervallum minden pontjában létezik
4. Mely állítások igazak és melyek hamisak az ábrán látható függvényre vonatkozóan?
a. határérték nem létezik
A 5. és a 6. feladatban magyarázzuk meg, miért nem létezik a szóban forgó határérték!
6.
7.
8. Tegyük fel, hogy az függvény az kivételével minden x valós számra értelmezett. Mondhatunk-e ennek alapján bármit a határértékről? Indokoljuk válaszunkat.
9. Tegyük fel, hogy az függvény a zárt intervallum minden pontjában értelmezett. Mondhatunk-e ennek alapján bármit a határértékről? Indokoljuk válaszunkat.
10. Következik-e abból, hogy , az, hogy f értelmezve van az 1 helyen? Ha igen, vajon
T A 11–20. feladatok megoldásában egy függvényábrázoló program (vagy számológép) jó hasznunkra lehet.
12. Legyen
a. Készítsünk táblázatot az helyeken fölvett függvényértékekről (a
számológépünkkel elérhető pontosságig). Adjunk becslést az adatok alapján a határértékre.
Hogyan változna a becslésünk, ha a fentiek helyett az helyeken felvett függvényértékeket számítanánk ki?
b. Támasszuk alá az (a) pontban adott válaszunkat számítógéppel. Ábrázoljuk a függvény grafikonját az pont közelében; a Zoom and Trace paranccsal vizsgáljuk, mi történik, amint .
c. A 5. példában alkalmazott módszert követve számoljuk ki a határértéket.
13. Legyen
a. Készítsünk táblázatot a -höz közelítő helyeken felvett függvényértékekről.
Becsüljük meg ennek alapján értékét.
b. Támasszuk alá az (a) pontban adott válaszunkat számítógéppel. Ábrázoljuk a függvény grafikonját az pont közelében; a Zoom and Trace paranccsal vizsgáljuk meg, hogy mi történik, amint . c. Határozzuk meg algebrai úton a értéket.
14. Legyen
a. Készítsünk táblázatot a G függvény helyeken felvett értékeiről, az adatok
alapján becsüljük meg értékét. Más eredményre jutnánk-e, ha az
értékeket vizsgálnánk?
b. Támasszuk alá iménti válaszunkat számítógéppel. Ábrázoljuk a függvény grafikonját az pont közelében; használjuk a Zoom and Trace parancsot annak vizsgálatára, hogy mi történik, amint . c. Számoljuk ki értékét.
15. Legyen
a. Készítsünk táblázatot a h függvény helyeken felvett értékeiről, az adatok alapján pedig becsüljük meg értékét. Más eredményre jutnánk-e, ha az
értékeket vizsgálnánk?
b. Támasszuk alá iménti válaszunkat számítógéppel. Ábrázoljuk a függvény grafikonját az pont közelében; használjuk a zoom and trace parancsot annak vizsgálatára, hogy mi történik, amint . c. Határozzuk meg algebrai úton értékét.
16. Legyen .
a. Készítsünk táblázatot annak vizsgálatára, hogy miként viselkedik az f függvény, amint x értékei (jobbról, illetve balról) a számhoz közelítenek. Becsüljük meg adataink alapján értékét.
b. Támasszuk alá válaszunkat a függvénygrafikon számítógépes vizsgálatával is.
c. Számítsuk ki pontos értékét.
17. Legyen .
a. Készítsünk táblázatot annak vizsgálatára, hogy miként viselkedik az f függvény, amint x értékei (jobbról, illetve balról) -höz közelítenek. Becsüljük meg adataink alapján értékét.
b. Támasszuk alá válaszunkat a függvény grafikonjának számítógépes vizsgálatával.
c. Határozzuk meg pontos értékét.
18. Legyen .
a. Készítsünk táblázatot annak vizsgálatára, hogy miként viselkedik a g függvény, amikor θ értékei (jobbról, illetve balról) -hoz közelítenek. Becsüljük meg adataink alapján értékét.
b. Ábrázoltassuk számítógéppel a g függvény grafikonját a hely közelében.
19. Legyen .
a. Készítsünk táblázatot, és állapítsuk meg, miként viselkedik az F függvény, amikor t értékei (jobbról, illetve balról) egyre jobban megközelítik a helyet. Becsüljük meg adataink alapján
értékét.
b. Rajzoltassuk ki a számítógéppel az F függvény grafikonját a közelében.
20. Legyen .
a. Készítsünk táblázatot, és állapítsuk meg, hogyan viselkedik a függvény, amikor x értékei (jobbról, illetve balról) 1-hez közelítenek. Van-e határértéke az f függvénynek, amint ? Ha van, mi lehet az? Ha nincs, miért nincs?
b. Támasszuk alá válaszunkat a függvénygrafikon számítógépes vizsgálatával.
21. Legyen
a. Készítsünk táblázatot, és állapítsuk meg, hogyan viselkedik a függvény, amikor x értékei (jobbról, illetve balról) 0-hoz közelítenek. Van-e határértéke az f függvénynek, amint ? Ha van, mi lehet az? Ha nincs, miért nincs?
b. Támasszuk alá válaszunkat a függvénygrafikon számítógépes vizsgálatával.
1.5.4. A határérték kiszámítása behelyettesítéssel
A 21–28. feladatokban szereplő határértékeket a behelyettesítés módszerével számíthatjuk ki legkönnyebben.
Amennyiben lehetséges, a kapott eredményt ellenőrizzük számoló- (vagy számító-) géppel is.
3.
Határozzuk meg a függvények átlagos változási sebességét a megadott intervallumokon (29–34. feladatok).
11.
(a) ; (b)
12.
(a) ; (b)
13.
(a) ; (b) 14.
(a) ; (b)
15. ;
16. ;
17. Ford Mustang Cobra. Az ábra egy álló helyzetből induló Ford Mustang Cobra által megtett út nagyságát mutatja.
a. A 2.3. ábra mintájára készítsünk táblázatot és határozzuk meg a , , és szakaszok meredekségét. Mi a megfelelő mértékegység?
b. Becsüljük meg a gépkocsi sebességét a s pillanatban.
18. A Hold felszínétől 80 méter magasságban a leszállóegységről levált egy alkatrész. Az ábra az alkatrész által megtett utat mutatja az idő függvényében.
a. A 2.3. ábra mintájára készítsünk táblázatot és határozzuk meg a , , és szakaszok meredekségét. Mi a megfelelő mértékegység?
b. Körülbelül mekkora sebességgel csapódott be az alkatrész?
19. Az alábbi táblázatban egy kisvállalkozás nettó nyereségét tüntettük fel a működés első öt évében.
Év Profit (ezer dollár)
1990 6
1991 27
Év Profit (ezer dollár)
1992 62
1993 111
1994 174
a. Ábrázoljuk egy koordináta-rendszerben az összetartozó értékeket, a kapott pontokra pedig illesszünk folytonos görbét.
b. Mekkora az 1992 és 1994 közötti átlagos évi profitnövekedés?
c. Grafikonunk alapján becsüljük meg a profit növekedésének ütemét 1992-ben.
20. Készítsünk táblázatot az függvénynek az , , ,
, és helyeken felvett értékeiről.
a. Határozzuk meg átlagos változási sebességét az intervallumokon (a táblázatban szereplő 1-től különböző x-ek esetén).
c. A táblázat alapján becsüljük meg g változási sebességét az pontban.
d. Számoljuk ki, mennyi a g függvény intervallumbeli változási sebességét megadó függvény határértéke, amint .
22. Legyen ; .
a. Határozzuk meg átlagos változási sebességét (i) a -től -ig; (ii) -től -ig.
b. Készítsünk táblázatot az f függvény átlagos változási sebességéről az intervallumokon, ahol T egyre
jobban megközelíti 2-t (vizsgáljuk például a
értékeket).
c. A táblázat alapján becsüljük meg f változási sebességét az pontban.
d. Számoljuk ki, mennyi az f függvény intervallumbeli változási sebességét megadó függvény határértéke, amint . (A behelyettesítés előtt alakítsuk át a függvény hozzárendelési szabályát megadó formulát.)
1.5.6. Határértékbecslés számítógéppel
A 41–46. feladatokban ábrázoljuk számítógéppel a függvények grafikonját a megadott pont környezetében, és a grafikon alapján becsüljük meg a szóban forgó határértéket.
5.
A 2.1. alfejezetben a függvények határértékét a grafikonjuk, illetve számológéppel kiszámított értékeik alapján becsültük meg. Ebben az alfejezetben több olyan tételt mondunk ki, amely a határértékek pontos kiszámításában segítségünkre lesz. Az első három tétel felhatalmazást nyújt arra, hogy az előző alfejezetbeli 7. példa módszerét alkalmazzuk polinom-, racionális és hatványfüggvények határértékének meghatározására. A negyedik és az ötödik tétel a későbbi számításokat készíti elő.
2.1. A határértékek kiszámítására vonatkozó tételek
A következő tétel azt adja meg, miként lehet meghatározni két függvény összegének, különbségének, szorzatának, hányadosának, illetve egy függvény konstansszorosának, illetve racionális kitevőjú hatványfüggvénnyel vett kompozíciójának határértékét.